1.3 空間向量及其運算的坐標(biāo)表示(分層練習(xí))（解析版）

第一章空間向量與立體幾何1.3空間向量及其運算的坐標(biāo)表示精選練習(xí)基礎(chǔ)篇基礎(chǔ)篇點A3,4,5關(guān)于坐標(biāo)平面Oyz對稱的點B的坐標(biāo)為（A．3,4,?5 B．?3,4,5C．?3,4,?5 D．?3,?4,?5【答案】B【分析】利用空間直角坐標(biāo)系中點的對稱特征判定即可.【詳解】關(guān)于坐標(biāo)平面Oyz即點A3,4,5關(guān)于坐標(biāo)平面Oyz對稱的點B的坐標(biāo)為已知點P5,4,?3，則點P到x軸的距離為（

A．3 B．5 C．25 D．【答案】B【分析】點Px,y,z到x軸的距離【詳解】∵點P5,4,?3，∴點P到x軸的距離為4點P(1,?2,5)到xOy平面的距離為（

）A．1 B．2 C．?2 D．5【答案】D【分析】根據(jù)空間點的坐標(biāo)的含義，即可得答案.【詳解】點P(1,?2,5)在xOy平面上的射影是P'則點P(1,?2,5)到xOy平面的距離為PP已知點A(1,?1,2)，則滿足(x?1)2+(y+1)A．以點(1,?1,2)為球心，以3為半徑的球面B．以點(1,?1,2)為球心，以3為半徑的球面C．以點(?1,1,?2)為球心，以3為半徑的球面D．以點(?1,1,?2)為球心，以3為半徑的球面【答案】B【分析】根據(jù)空間兩點間的距離公式可得答案.【詳解】方程(x?1)2動點(x,y,z)到定點A(1,?1,2)的距離為3.故選：B.已知a=?3,2,5，b=1,5,?1，則【答案】44【分析】根據(jù)空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算求得正確答案.【詳解】由于a+3所以a?a+3b已知空間直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個頂點的坐標(biāo)分別為A1,1,0，B0,1,3，C2,5,1，則BC【答案】2【分析】根據(jù)空間向量中點坐標(biāo)以及兩點間距離公式計算即可；【詳解】設(shè)BC的中點為D，因為B0,1,3，C2,5,1，所以D1,3,2AD=AD=已知兩個向量a=2,?1,2，b=6,m,n，且a∥A．1 B．3 C．5 D．9【答案】B【分析】根據(jù)空間向量的平行，列出比例式，求得m,n，即得答案.【詳解】由題意a=2,?1,2，b=故62=m已知a=2,3,1，b=1,?2,?2，則a在A．2b B．?2b C．23【答案】D【分析】根據(jù)空間向量的投影向量公式進(jìn)行求解.【詳解】a?bb2=2,3,1?已知空間向量m=1,2,3，空間向量n滿足m//n且A．12,1,3C．?32,?1,?【答案】A【分析】由空間向量共線的坐標(biāo)表示與數(shù)量積的坐標(biāo)表示求解即可.【詳解】∵m=1,2,3，且空間向量n滿足m//n，又m?n=7，∴1×λ+2×2λ+3×3λ=14λ=7，得λ=1如圖，在長方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=5,AD=4,AA1=3，以直線DA,DC,D

A．點B1的坐標(biāo)為B．點C1關(guān)于點B對稱的點為C．點A關(guān)于直線BD1D．點C關(guān)于平面ABB1【答案】BCD【分析】對于A，根據(jù)圖示分析即可；對于B，設(shè)點C1關(guān)于點B對稱的點為Px,y,z，再根據(jù)B為C1P的中點列式求解即可；對于C，根據(jù)四邊形ABC【詳解】對于A，由圖形及其已知可得：點B1的坐標(biāo)為4,5,3對于B，由圖，C10,5,3，B4,5,0，設(shè)點C1關(guān)于點則0+x2=4,5+y2=5,對于C，在長方體中AD所以四邊形ABC1D1為正方形，即點A關(guān)于直線BD1對稱的點為對于D，因為CB⊥平面ABB1A1，故點C0,5,0關(guān)于平面AB故選：BCD.提升篇提升篇已知向量a=1,1,0，b=?1,0,2，且ka+b【答案】75/【分析】向量的垂直用坐標(biāo)表示為x1【詳解】ka2a?b=21,1,0因為ka+b所以ka即k?1,k,2?3,2,解得：k=已知m>0，n>0，空間向量a=m,4,?3與b=1,n,2垂直，則A．32 B．3 C．9 D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用空間向量垂直的坐標(biāo)表示，再利用均值不等式求解作答.【詳解】依題意，a?而m>0，n>0，則6=m+4n≥2m?4n因此mn≤94，當(dāng)且僅當(dāng)所以當(dāng)m=3,n=34時，mn取得最大值故選：D.在四面體P?ABC中，PA,PB,PC兩兩垂直，設(shè)PA=PB=PC=a，則點?P?到平面ABC的距離為（A．63a B．33a C．【答案】B【分析】由題設(shè)構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，過P作PH⊥面ABC，交面ABC于H，則PH的長即為P到平面ABC的距離，確定P、H（三角形重心）坐標(biāo)，應(yīng)用兩點式求距離即可.【詳解】根據(jù)題意，可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系P?xyz，則P(0,0,0),A(a,0,0),B(0,a,0),C(0,0,a).過P作PH⊥面ABC，交面ABC于H，則PH的長即為P到平面ABC的距離.PA=PB=PC=a，則H為△ABC的外心.易知△ABC為正三角形，∴H為△ABC的重心，可得?H?的坐標(biāo)為∴|PH|=a∴點?P?到平面ABC的距離為a=(1,?1,2)，b=(?2,1,?1)，c=(5,?3,k)，若a，b，c共面，則實數(shù)kA．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】利用空間向量共面的充要條件：存在唯一的實數(shù)對(x,y)，使c=xa+y【詳解】∵向量a=(1,?1,2)，b=(?2,1,?1)，若向量a，b，c共面，則存在唯一的實數(shù)對(x,y)，使c=x即(5,?3,k)=x(1,?1,2)+y(?2,1,?1)=(x?2y,?x+y,2x?y)∴x?2y=5?x+y=?32x?y=k，解得x=1y=?2k=4如圖，長方體ABCD?A1B1C1D1中，CC1=

【答案】34【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點的坐標(biāo)，設(shè)P0,m,3?3m【詳解】以C1為坐標(biāo)原點，分別以C1D則C10,0,0,D則C=4m當(dāng)m=34時，C1P?D如圖，棱長為2正方體ABCD?A1B1C1D1，O為底面AC的中心，點P在側(cè)面BC1內(nèi)運動且

【答案】8【分析】以點C為坐標(biāo)原點，CD、CB、CC1所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點P0,y,z0≤y≤2,0≤z≤2，求得y=2z，取線段BB1的中點E，可知點P的軌跡為線段CE，求出點【詳解】以點C為坐標(biāo)原點，CD、CB、CC1所在直線分別為x、y、則D12,0,2、O1,1,0、BD1O=因為D1O⊥PO，則D1O?由題意可得0≤z≤20≤2z≤2，則0≤z≤1取點E0,2,1，則點P的軌跡為線段CE，設(shè)點B關(guān)于直線CE的對稱點為點B則線段BB'的中點M0,2+s2,tBB'=0,s?2,t聯(lián)立①②可得s=65，t=85，則點所以，點P到底面ABCD的距離與它到點B的距離之和的最小值，即為點B'到平面ABCD的距離，即為85.故答案為：已知點A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5)．(1)求以AB，AC為邊的平行四邊形的面積；(2)若向量a分別與AB，AC垂直，且|a|=3【答案】(1)73；(2)a=(1,1,1)或【分析】(1)設(shè)<AB,AC>=θ，由cosθ=(2)設(shè)a=(x,y,z)，由a?AB=0,【詳解】（1）解：因為AB=(?2,?1,3)，AC設(shè)<AB,AC又因為θ∈[0,π]，所以所以以AB,AC為邊的平行四邊形的面積S=|AB（2）解：設(shè)a=(x,y,z)，則a?AB=?2x?y+3z=0,解得x=y=z=1或x=y=z=?1，所以a=(1,1,1)或a設(shè)全體空間向量組成的集合為V，a=(a1,a2,(1)設(shè)u=?1,0,0，v=0,0,?1，若(2)對于V中的任意單位向量x，求fx【答案】(1)22,0,?22或【分析】（1）設(shè)a=a1（2）設(shè)x與a的夾角為α，根據(jù)數(shù)量積的運算律得到f(x【詳解】（1）依題意得：fu=u則?u?a=a（2）設(shè)x與a的夾角為α，則x?則f(x)+2x如圖，在四棱錐S?ABCD中，底面ABCD為正方形，側(cè)棱SD⊥底面ABCD，E，F(xiàn)，G分別為AB，SC，SD的中點．若AB=a，SD=b．(1)求EF；(2)求cosAG【答案】(1)4a2+【分析】（1）構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系并確定相關(guān)點