高中數學多選題知識歸納總結附解析

一、函數的概念與基本初等函數多選題

ln(x-2),x>2

1.設函數/(幻={1/,g(x)=x2-(m+1)x+n?2-2,下列選項正確的有

|x+l|,x<2

()

A.當m>3時，仃(x)]=m有5個不相等的實根

B.當m=0時，g[g(x)]=m有4個不相等的實根

C.當OVmVl時，f[g(x)]=m有6個不相等的實根

D.當m=2時，g[f(x)]=m有5個不相等的實根

【答案】BCD

【分析】

作出函數/(%)的圖象，利用函數/(制的圖象和函數g。)的圖象分析可解得結果.

【詳解】

作出函數/(x)的圖象：

當機>3時，/(%)=6有兩個根：4<-4,%>2+e',方程/(x)=4有1個根，方程

/3)=，2有2個根，所以A錯誤；

②當加=0時，g(x)=x2-x-2,0g(x)]=0,令g(x)=L

由g?)=0，得4=2,t2=-L

由4=2=J—2n9=邛^,

=

由&=一1="2-X-2=上x4~所以B正確；

③令g(x)=f,???/?)=/〃，因為0<相<1,所以/(，)="有3個實根根:山4，

設4<‘2<’3，所以F-1=桃G+1="I，ln(q-2)=m,

(、2八2c/加+1、23m*_2〃?-9、3加2-2/%-9

g(x)=x—z(加+1)工+m--2=(x------)+----------->------------,

244

3m2-2m-9.3m2-2m-9-3m2-2m+5

t.------------------=-m—1-------------=-------------,

1444

因為一3機2一2m+5在(°」)上遞減，所以一362_26+5>-3-2+5=0，

—3m"-2tn+5八,—3/n2-2/n+5

所以4----------------------->0，所以--------------,

即方程/(0=m的最小根乙大于g(x)的最小值，

所以g(x)=4、g(x)=t2>g(x)=f3都有2個不等實根，且這6個實根互不相等,

所以當OVmVl時，f[g(x)]=m有6個不相等的實根，所以C正確；

④令/(%)=，，則g(f)=m,

當/n=2時，方程g(，)=2化為/-3/=0，得4=3,￡2=0;

當芍=0=/(力，得%=-1,X2=3：

當6=3=/(幻,得當=11,X4=2,&=2+e3符合題意，所以D正確.

故選：BCD.

【點睛】

關鍵點點睛：作出函數的圖象，利用數形結合法求解是解題關鍵.

2.已知函數/(x)=2"+x-2的零點為。，函數8(刈=1082工+工一2的零點為8,貝IJ

()

a22

A.a+b=2B.2+log2b=2c.a+b>3D.0<ab<l

【答案】ABD

【分析】

在同一坐標系中分別作出函數y=2',y=log2x,)，=2一%的圖象，圖像的交點即為函

數的零點，反函數的性質知A,B關于點(1』)對稱，進而可判斷A,B,。正確.由函數

(1、

/1)在R上單調遞增，且/-<0,/(1)>0,可得零點。的范圍，可得C不正確.

【詳解】

由〃x)=0,g(x)=O得2、=2-冗，Iog2x=2-x,

函數),=2、與y=log2x互為反函數，

在同一坐標系中分別作出函數y=21y=log2x,y=2-x的圖象，如圖所示，

-3

則B伽lo&b）.

由反函數的性質知A,“關于點（1,1）對稱，

則。+匕=2,2"+log28=2.因為。>0,b>0,且標b,

所以0<出><（學）=1，故48,D正確.

因為/（/=2'+1一2在R上單調遞增，且/0）=1>0,

所以一<4<1.

2

因為。2+力2=/+（2—。尸=2（〃一］尸+2—<t/<,所以/+廳￡（2,5）,故C不正

確.

故選：ABD

【點睛】

方法點睛：通過畫函數圖象把零點問題轉化為函數圖象的交點問題，本題考查了運算能力

和邏輯推理能力，屬于難題.

3.已知函數y=/（x-l）的圖象關于x=l對稱，且對y=/（x）,xwR,當

%,工,￡（—8,0］時，」一）一/（』）<o成立,若〃*卜/僅/+1）對任意的無ER恒

成立，則。的可能取值為（）

A.->/2B.-1C.1D.y/2

【答案】BC

【分析】

由己知得函數是偶函數，在［0,十刃）_1_是單調增函數，將問題轉化為|2?|<|2/十1|對

任意的XER恒成立，由基本不等式可求得范圍得選項.

【詳解】

因為函數），=/（工一1）的圖象關于直線x=l對稱，所以函數y=/（x）的圖象關于直線

x=o（即y軸）對稱，所以函數A#是偶函數.

ZVI

又大,/W（Y，0］時，J\2/J\"<0成立,所以函數/（X）在［0,+00）上是單調增函數.

且〃2奴）<+1）對任意的N￡R恒成立，所以12ar|<|2/+11對任意的xgR恒成

立，

當x=0時，Ovl恒成立，當x#0時，|。|<筆答=|x+；|=|x|+|；|,

12x\2x2x

又因為|劃+|1-|22\伍國=應，當且僅當|打=立時，等號成立，

LXV2x2

所以|a|＜忘，因此一正＜。＜應，

故選：BC.

【點睛】

方法點睛：不等式恒成立問題常見方法：①分離參數。之）（十）恒成立即可）

或恒成立（〃＜『"）1nhi即可）；②數形結合（y=/（x）圖象在y=g（x）上方

即可）；③討論最值/（x）1nhiNO或/（耳儂W0恒成立.

4.設[4表示不超過X的最大整數，Jia：[1.2]=1,[-1.2]=-2,了=國乂稱為取整函

數，在現實生活中有著廣泛的應用，諸如停車收費，出租車收費等均按“取整函數〃進行計

費，以下關于“取整函數"的描述，正確的是（）

A.Vxe[2x]-2[x]

B.Vx,yG/?,若[戈]二[習，則

C.VxwR,[司+x+g=[2x]

D.不等式2[x]2—[x]—3N0的解集為{x|x＜0或xN2}

【答案】BCD

【分析】

通過反例可得A錯誤，根據取整函數的定義可證明BC成立，求出不等式2--，-320的

解后可得不等式2[可2一[司一3之0的解集，從而可判斷D正確與否.

【詳解】

對于A,%=-1.5,則[2月=[-3]=-3,2[x]=2x（-2）=-4,故[2x]工2區(qū),故A不成

立.

對于B,[x]=[y]=w,則+y＜加+1,

故一加一1＜一丁《一加，所以工一）＞-1,故B成立.

對于C,設％=機+/*,其中加wZ,rw[O,l）,

則[x]+x+—=2m+r+—,[2x]=2/n+[2r],

22

若OWr＜g,則r+|=0,[2r]=0,故[x]+x+；=[2x];

若;vr＜l,則r+y=1,[2r]=l,故卜]+x+-=[2x],故C成立.

對于D,由不等式2［呼一［同一320可得3V—1或［4之|,

故x<0或xN2,故D正確.

故選：BCD

【點睛】

本題考查在新定義背景下恒等式的證明與不等式的解法，注意把等式的證明歸結為整數部

分和小數部分的關系，本題屬于較難題.

5.若/(X)滿足對任意的實數。，匕都有44+6)=〃。)/?且f(l)=2,則下列判

斷正確的有()

A.〃力是奇函數

B.”力在定義域上單調遞增

C.當%￡(0,+8)時，函數/(刈>1

型+妙迪+以迎鴛上幽+心嘰2020

,/(1)"3)f(5)/(2015)/(2017)/(2019)

【答案】BCD

【分析】

利用新定義結合函數的性質進行判斷.計算出了⑴判斷A；先利用/。)=2>1證明所有

有理數〃，有/(P)>I,然后用任意無理數g都可以看作是一個有理數列的極限，由極限

的性質得這樣可判斷C,由此再根據單調性定義判斷B,根據定義計算

/(2/0

/一-(〃CN),然后求得D中的和，從而判斷D.

/(2H-1)

【詳解】

令4=0,b=l,則/⑴=/(1+0)=/⑴/(0),即2=2/(0),"0)=1,/")不可

能是奇函數，A錯；

對于任意xwR，/(x)w0,若存在小￡/?,使得/(%)=o,則

/(0)=/(x0+(-x0))=/(x0)f(-x0)=0,與/(0)=1矛盾，故對于任意XER,

.?.對于任意xeR,/)=陪+升佃佃=/圖>。，

?:/(1)=2>1,.?.對任意正整數〃，

同理f（n）=/（I+1+…+1）=/（1）/（1）--/（I）=2">1，

對任意正有理數〃，顯然有p=%（名〃是互質的正整數），則

n

M尼卜陽]/

對任意正無理數9,可得看作是某個有理數列Pl，P2，P3,…的極限，而

iwN,i./W）與f（pj的極限，了.,

綜上對所有正實數x,有C正確，

設e<七，則々一百>。，「?一$）>1，則

/（工2）=/（③+。2一玉））=/（%>/（工2一玉）>/（X），，/（X）是增函數，B正確;

由已知/（2〃）=/（2〃—1+1）=/（2〃-1）/（1）=2/（2〃-1）,儼=2,

/（2016）/（2018）/（2020）

型+加+3..??

++=2+22…+2=2x1010=2020

）（）/（2015）/（2017）/（2019）

”1）“3/51010個2

,D正確.

故選：BCD.

【點睛】

本題考查新定義函數，考查學生分析問題，解決問題的能力，邏輯思維能力，運算求解能

力，對學生要求較高，本題屬于難題.

--------,x>2

6.已知定義域為R的奇函數滿足f（x）=《2x-3,下列敘述正確的

x2-2x+2,0<x<2

是（）

A.存在實數匕使關于x的方程f（x）="有7個不相等的實數根

B.當一1<X1<w<1時，恒有

C.若當X€（0,。]時，/（X）的最小值為L則?！闧1,3]

2

33

D.若關于4的方程f（x）=5和〃幻=加的所有實數根之和為零，則初二一耳

【答案】AC

【分析】

根據奇函數/（一此=-/（幻，利用已知定義域的解析式，可得到對稱區(qū)間上的函數解析

式，然后結合函數的圖象分析各選項的正誤，即可確定答案

【詳解】

函數是奇函數，故在R上的解析式為：

-^―,x<-2

2x+3

-x2-2x-2,-2<x<0

f(x)=<0,x=0

x2-2x+2,0<x<2

—,x>2

[2x-3

對4如下圖所示直線4與該函數有7個交點，故A正確;

故當/（X）的最小值為1時有。故C正確

【點睛】

本題考查了分段函數的圖象，根據奇函數確定對稱區(qū)間上函數的解析式，進而根據函數的

圖象分析命題是否成立

7.定義：若函數尸（工）在區(qū)間［a句上的值域為［a同，則稱區(qū)間［a同是函數尸（無）

的“完美區(qū)間”，另外，定義區(qū)間尸（X）的“復區(qū)間長度〃為2（。一4）,已知函數

y（x）=p-i|,則（）

A.［（）』是/（X）的一個〃完美區(qū)間〃

B.上黃，與叵是/（戈）的一個“完美區(qū)間”

C."力的所有"完美區(qū)間"的"復區(qū)間長度”的和為3+方

D./（力的所有"完美區(qū)間〃的“復區(qū)間長度〃的和為3+2逐

【答案】AC

【分析】

根據定義，當冗w［O,l］時求得/(X)的值域，即可判斷A；對于B,結合函數值域特點即可

判斷；對于C、D,討論人K1與人＞1兩種情況，分別結合定義求得“復區(qū)間長度〃，即可判

斷選項.

【詳解】

對于A,當X￡［O,1］時，/(x)=|x2-l|=l-x2,則其值域為［0,1］,滿足定義域與值域的

范圍相同，因而滿足“完美區(qū)間”定義，所以A正確；

對于B,因為函數/(力二,一心0,所以其值域為［0,內)，而匕*＜0,所以不存

在定義域與值域范圍相同情況，所以B錯誤；

對于C,由定義域為［。，同，可知0?。＜力，

當時，何。［0』，此時〃力=產一1卜1一寸，所以/(力在心，句內單調遞

減.

f(a)=i-a2=bcc

則滿足|=i_/=a，化簡可得a2-a=b2-b^

即所以4_2_=匕_』或。一'二,一6,

[2)[2)2222

解得〃=b(舍)或a+b=l,

a+b=i

由《?.解得力=1或b=0(舍)，

所以。=。-1=0,經檢驗滿足原方程組，所以此時完美區(qū)間為［0］］,則“復區(qū)間長度”為

29-〃)=2；

當匕＞1時，①若OVavL貝可，此時“切一=/?⑴=0.當f⑴在/b］

的值域為［a句，則a=0J(3=R因為人＞1,所以/(3=6一1=。，即滿足

廬一匕_1=0,解得b=號5,b上興(舍).所以此時完美區(qū)間為［。,上手］,則

“復區(qū)間長度”為2(b-〃)=2x與叵=1+石；

②若1W。，則/(x)=Y-i,XG［t7,b］,此時在［。，句內單調遞增，若/(X)

的值域為ab］貝時小?,則為方程-7-1=0的兩個不等式實數

t［f(b)=b--1=b

根,

1-5/5

解得西一上瀘，巧一巴黃，所以?a=

乙l，與l<a矛盾，所以此時不存在完美

,1+V5

b=---

2

區(qū)間.

綜上可知，函數/（同二產一”的”復區(qū)間長度，，的和為2+1+逐=3+石，所以C正確，

D錯誤；

故選：AC.

【點睛】

本題考查了函數新定義的綜合應用，由函數單調性判斷函數的值域，函數與方程的綜合應

用，分類討論思想的綜合應用，屬于難題.

8.下列選項中。的范圍能使得關于X的不等式f+k-a-zvo至少有一個負數解的是

（）

A.卜小。）B.（2,3）C.（1,2）D.（0,1）

【答案】ACD

【分析】

將不等式變形為忖一4<2一爐，作出函數》二次一4，丫=2一/的圖象，根據恰有一個負

數解時判斷出臨界位置，再通過平移圖象得到。的取值范圍.

【詳解】

因為x2+|x——2<0,所以|x—a|v2—x2且2?％2>O，

在同一坐標系中作出丁=k一《,，=2—工2的圖象如下圖：

9

工一々=2-丁僅有一解，所以A=l+4（〃+2）=。，所以。=一［,

將）=g一4向右移動至第二次過點（0,2）時，|0-同=2,此時〃=2或。=一2（舍），

結合圖象可知：?！?一｝,2｝廳以ACD滿足要求.

故選：ACD.

【點睛】

本題考查函數與方程的綜合應用，著重考查數形結合的思想，難度較難.利用數形結合可解

決的常見問題有：函數的零點或方程根的個數問題、求解參數范圍或者解不等式、研究函

數的性質等.

+2x4-1V0

9.已知函數〃力=1/+2]+1[<0‘則下列判斷正確的是()

A./(X)為奇函數

G

B.對任意石，％2R,則有(玉-^)[/(%))-/(^)]<0

C.對任意xwR,則有〃X)+〃T)=2

D,若函數y=|/(x)|一〃比有兩個不同的零點，則實數m的取值范圍是(YO,0)U(4,T8)

【答案】CD

【分析】

根據函數的奇偶性以及單調性判斷AB選項；對工進行分類討論，判斷C選項；對選項D,

構造函數，將函數的零點問題轉億為函數圖象的交點問題，即可得出實數m的取值范圍.

【詳解】

對于A選項，當工〉0時?，-x<0,則

f(~x)=-(—x)2+2(-x)+1=-(x2+2%-1)w-f(x)

所以函數/(尤)不是奇函數，故A錯誤；

對于B選項，y=f+2x+l的對稱軸為冗=一1，y=-f+2x+l的對稱軸為x=l

所以函數)=9+2工+1在區(qū)間[0,+8)上單調遞增，函數)，=一/+2%+1在區(qū)間(_oo,o)

上單調遞增，并且02+2x0+1=-02+2x0+1

所以/(力在R上單調遞增

即對任意不<毛,(%,毛￡氏)，都有/(%)</(電)

則％一9v0,/(%)一/(々乂。=>(不)—故B錯誤；

對于C選項，當x>0時，-x<0,則/(―%)=—(―幻~+2(—x)+1=—X?—2%+1

則/(%)+/(-x)=x24-2X+1-A:2-2x+l=2

當x=0時，/(-0)=/(0)=1,則/(-0)+/(0)=2

當x<0時，一]>0,M/(-x)=(-x)2+2(-x)+1=x2-2x+1

貝ijf(x)+f(-x)=-x24-2X+1+X2-2x4-1=2

即對任意xwR,則有f(x)+f(r)=2,故C正確；

對于D選項，當x=0時，y=|/(O)|=l±O,則x=o不是該函數的零點

當XHO時，-郎=0。1^^=相

令函數g*)=上工必，函數丁=加

X

由題意可知函數)=機與函數gq)=l^l必的圖象有兩個不同的交點

x

因為/(x)NO時，XG[1-&,同，f(x)<0時,XG(-00,1-V2)

1-八

xH—+2,x>0

X

所以g(x)=?-X+—+2,1-^2<x<0

x

x----2,x<1->/2

x

當x>0時，設Ov^v/vl，g(X)-g(X2)=X+^■一x2---=—~~~—

%x2否％2

因為％_彳2<°，X1々-1<0，所以g(xJ_g(9)>0，即g(xj>g(x2)

設1<%<8，g(藥)一g(工2)=&-)(百工2」)<0,即g(xj<g(w)

所以函數g(x)在區(qū)間(0,1)上單調遞減，在區(qū)間(l,+oo)上單調遞增

同理可證，函數g(X)在區(qū)間［1-夜,0)上單調遞減，在區(qū)間卜81-J5)上單調遞增

g⑴=1+；+2=4

函數g(x)圖象如下圖所示

由圖可知，要使得函數)'=加與函數g*)=n必的圖象有兩個不同的交點

X

則實數m的取值范圍是(-OO,0)U(4,M),故D正確；

故選：CD

【點睛】

本題主要考查了利用定義證明函數的單調性以及奇偶性，由函數零點的個數求參數的范

圍，屬于較難題.

忸-x<1..

10.己知/*)=《1,則關于X的方程"(x)]2-/(%)+24-1=0,下列正

Inx,x>1.

確的是()

A.存在實數上,使得方程恰有1個不同的實數解;

B.存在實數3使得方程恰有2個不同的實數解;

C.存在實數左，使得方程恰有3個不同的實數解;

D.存在實數3使得方程恰有6個不同的實數解;

【答案】ACD

【分析】

令/(耳=，之0,根據判別式確定方程產一1+2左一1=0根的個數，作出了(力的大致圖

象，根據根的取值，數形結合即可求解.

【詳解】

令"X)=年0,則關于X的方程"(x)]2-f(x)+2k-\=0f

可得廠—/+2k—1=0，

當％=(時，A=l-4(2A:-l)=0,此時方程僅有一個根.=3

當時，△=1-4（2%—1）>0,此時方程有兩個根乙山，

且％+弓=1，此時至少有一個正根：

當時，A=l—4（2Z-l）<0,此時方程無根；

作出〃力的大致圖象，如下：

當左時，此時方程有兩個根;12,且4+，2=1，此時至少有一個正根，

8

當乙40,1）、Z2G（0,1）,且/產/2時，/（x）=Z，有6個不同的交點，D正確；

當方程有兩個根4,，2,一個大于1，另一個小于0，

此時f（x）=r,僅有1個交點，故A正確；

當方程有兩個根4冉，一個等于1，另一個等于o，/（x）=r,有.3個不同的交點，

當時，△ul-qzk-DvO,此時方程無根.

8

故選：ACD

【點睛】

關鍵點點睛：本題考查了根的個數求參數的取值范圍，解題的關鍵是利用換元法將方程化

為/2一/+2攵-1=（），根據方程根的分布求解，考查了數形結合的思想，分類討論的思想.

二、導數及其應用多選題

11.已知a>0,b>0,下列說法錯誤的是（）

A.若?！?必=1,則〃+人之2

B.若，+2a=e"+3b，則。>匕

c.a(lna-lnb)2〃一力恒成立

D.---Z?ln〃v一恒成立

ee

【答案】AD

【分析】

對A式化簡，通過構造函數的方法，結合函數圖象，說明A錯誤；對B不等式放縮

/+24>/+?，通過構造函數的方法，由函數的單調性，即可證明B正確；對C不等

式等價變型〃(Ina-lnh)Na-〃。In幺之1一々，通過O,lnx>1-,恒成立，可得

bax

a=1

C正確；D求出二一/Hnb的最大值，當且僅當I,1時取等號，故D錯誤.

eb=-

e

【詳解】

A.aabh=1<^>a\na+b\nb=O

由圖可知，當人.1+時，存在0+,使/(a)+/S)=O

此時1,故A錯誤.

B.ea+2a=eb-^3b>eh+2b

設/(x)=e、2x單調遞增，/.a〉/?,B正確

C.a(\na-\nb)>a-b-

又\/x>0,lnx>l—,In—21—,C正確

xha

Y]

D.y=—=>y=-當且僅當x=1；

eemax

y=xlnx=ymin=一!當且僅當工=」；

ee

a-\

所以二—Rn〃W-,當且僅當<1時取等號，D錯誤.

eeb=-

故選：AD

【點睛】

本題考查了導數的綜合應用，考查了運算求解能力和邏輯推理能力，轉化的數學思想和數

形結合的數學思想，屬于難題.

Inx

12.對于函數/(X)=-r，下列說法正確的是()

X~

A.函數在五處取得極大值!B.函數的值域為1-8,5

2e

c./(外有兩個不同的零點D./(2)</(V^)</(V3)

【答案】ABD

【分析】

求導，利用導數研究函數的單調區(qū)間,進而研究函數的極值可判斷A選項，作出函數/*)

的抽象圖像可以判斷BCD選項.

【詳解】

2

l.x-lnx-2x1-21nx>

函數的定義域為(O,+8)，求導/，3)二

4

XX

令ra)=o,解得：x=8

X(0,^)戲(五,+00)

f'M+0—

fM極大值

所以當］二-時，函數有極大值/(&)=(，故A正確；

對于BCD,令f(x)=0,得lnx=0,即x=l,當x—>+oo時，lni>0,%2>0，則

/(x)>0

作出函數/(幻的抽象圖像，如圖所示：

,故B正確；函數只有一個零點，故C錯誤；又函數

/(x)在(五,+oo)上單調遞減，且&<6<同<2,則/⑵<人正)</(石)，故D

正確：

故選:ABD

【點睛】

方法點睛：本題考查利用導數研究函數單調性，函數的極值，函數的值域，及求函數零點

個數，求函數零點個數常用的方法：

(1)方程法：令/(力=0,如果能求出解，有幾個解就有幾個零點.

(2)零點存在性定理法：利用定理不僅要求函數在區(qū)間句上是連續(xù)不斷的曲線，且

/(a)/(/?)<0,還必須結合函數的圖像與性質(如單調性、奇偶性、周期性、對稱性)才

能確定函數有多少個零點或零點值所具有的性質.

(3)數形結合法：轉化為兩個函數的圖像的交點個數問題.先畫出兩個函數的圖像，看其

交點的個數，其中交點的橫坐標有幾個不同的值，就有幾個不同的零點.

13.已知函數/(刈=皿目—X+Jg(x)=x-(x-l)lnx,則下列結論正確的是()

A.g。)存在唯一極值點且”(1,2)

B./(力恰有3個零點

C.當ZV1時，函數g(x)與〃(切="的圖象有兩個交點

D.若不入2>0且/(x)+/(w)=o，則

【答案】ACD

【分析】

根據導數求得函數g'(x)在(0,+8)上為單調遞減函數，結合零點的存在性定，可判定A正

確；利用導數求得函數“外在(-8,0),(0,+00)單調遞減，進而得到函數“X)只有2

個零點，可判定B不正確；由g(X)=Ax,轉化為函數。(x)=(x-l)lnx和〃心0=(1-幻x

的圖象的交點個數，可判定c正確：由/(%)+/(w)=0,化簡得到/(%)=/('-),

X2

結合單調性，可判定D正確.

【詳解】

由函數g(x)=%一(x—l)lnx,可得g'(x)=_lnx+，,x>0,則g"(x)=-LL<o,

XXx~

所以g'(x)在(0,"o)上為單調遞減函數，又由g'(l)=l>0,g(2)=-M2+gv0,

所以函數g(x)在區(qū)間(1,2)內只有一個極值點，所以A正確；

由函數/(x)=ln|x|-x+；,

i2?

當x>OH寸，f(x)=lnx-x+-f可得/(力="”+2,

X1

i3

因為—x2+%—1=—(%—/A—w<0，所以/'(x)vO,函數/(x)在(0,+°。)單調遞減；

又由/(1)=0,所以函數在(0,+8)上只有一個零點，

當x<0時，/(x)=ln(-x)-x+-,可得r(x)=_r:l,

Xr

13

因為一丁+%—1=—(%—耳)2一a<0,所以/'(X)VO,函數/(X)在(-00,。)單調遞減；

又由/(-1)=0,所以函數在(一8,0)上只有一個零點，

綜上可得函數/(6=1小|-1+：在定義域內只有2個零點，所以B不正確；

令g(x)="，BPx-(x-\)\nx=kx,Bp(x-l)lnx=(l-A:)x,

設0(x)=(x-l)lnx,〃i(x)=(l-k)x,

可得d(x)=lnx+l-：,則/(H=[+!>O,所以函數。(x)(0,+8)單調遞增，

又由"(1)=0,可得當tw(0,D時,”(x)v0,函數。(%)單調遞減,

當xw(l,+oo)時,“(力>0,函數。(%)單調遞增,

當x=i時，函數e(x)取得最小值，最小值為0(i)=o,

又由雙x)=(l-A)x,因為Zvi,則1一2>0,且過原點的直線，

結合圖象，即可得到函數e(x)=(x-l)lnx和鞏x)=(l-Qx的圖象有兩個交點，所以C正

確；

由百占>0,若%>0,42>0時，因為/(%)+/(七)=0，

可得/(%)=-/。3)=-,與-%+()=仙/+；_:=/(})

'f&一人2

勺

fM=f(-K因為/(%)在(0,XO)單調遞減，所以即XR=1，

同理可知，若用<0,W<0時，可得看工2=1，所以D正確.

故選：ACD.

pIxI-1x-1|lnx

刑(x)=(l-左)X

【點睛】

函數由零點求參數的取值范圍的常用方法與策略：

1、分類參數法：一般命題情境為給出區(qū)間，求滿足函數零點個數的參數范圍，通常解法為

從/（X）中分離參數，然后利用求導的方法求出由參數構造的新函數的最值，根據題設條

件構建關于參數的不等式，再通過解不等式確定參數的取值范圍；

2、分類討論法：一般命題情境為沒有固定的區(qū)間，求滿足函數零點個數的參數范圍，通常

解法為結合函數的單調性，先確定參數分類標準，在每個小范圍內研究零點的個數是否符

合題意，將滿足題意的參數的各個小范圍并在一起，即可為所求參數的范圍.

14.設函數/（幻=/+以+雙〃力￡R）,下列條件中，使得y=f（x）有且僅有一個零點

的是（）

A.a-1,b=2B,。=-3,b=-3c.。>0,b<2D.a<0,b>0

【答案】ABC

【分析】

求導廣（幻=3/+〃，分和。<0進行討論，當。NO時，可知函數單調遞增，有且

只有一個零點；當avO時，討論函數的單調性，要使函數有一個零點，則需比較函數的極

大值與極小值與。的關系，再驗證選項即可得解.

【詳解】

QfM=x3+ax+b,求導得r（x）=3d+々

當a?0時，f\x）>0,.,./3）單調遞增，當xff時，/（x）f-oo；當xf”

時，+8；由零點存在性定理知，函數/（%）有且只有一個零點，故A,C滿足題

足、；

當X變化時，/（X）,/（X）的變化情況如下表:

f'(x)+0—0+

fM極大值極小值

故當,函數/*）取得極大值

_a2a

+b,

~3T

+b3

當工=，函數/（X）取得極小值/+b

3

又當Xf-00時，f(X)->-00；當Xf4O0時，/(x)f+8；

2a

>0+b>0

T,即b>-網

則需，,即<>0,

2aI-a,3

>0+b>0

D選項，a<0,b>0t不一定滿足，故D不符合題意；

故選：ABC

【點睛】

思路點睛：本題考查函數的零點問題，如果函數y=/（x）在區(qū)間口,句上的圖像是連續(xù)不

斷的一條曲線，并且有〃。卜/伍）<0,那么，函數）=/（力在區(qū)間（。力）內有零點，

即存在使得/（c）=0,這個c也就是方程/（尤）=0的根，考查學生的邏輯推

理與運算能力，屬于較難題.

15.關于函數/（x）=/+sinx,xe（—4,+8）,下列結論正確的有（）

A./（x）在（0,”）上是增函數

B./（?存在唯一極小值點小

C./（外在（一肛+0。）上有一個零點

D./（x）在（-肛+0。）上有兩個零點

【答案】ABD

【分析】

根據函數/（為求得/（X）與尸（X）,再根據/〃（箱>0在（-肛+◎恒成立，確定/"）在

（一肛+0。）上單調遞增，及xw（0,+8）r（x）>0,且存在唯一實數豌e（一號，一］）,使

r（xo）=O,從而判斷A,B選項正確；再據此判斷函數/（%）的單調性，從而判斷零點個數.

【詳解】

由已知f（x）=ex+sinX,XG（一4,+8）得ff（x）=ex+cosx，/"*）=-一sinx,

xe（一肛-H?）,f\x）>0恒成立，

f（x）在（-肛+o。）上單調遞增，

又八一7）=^-y-<0，r（-|）=e%>0,/（0）=2>0

.?.xe（0,+8）時/（幻>:（0）>0,且存在唯一實數與七（一與使/（%）=0,即

Xn

e=-cosx0,

所以/（x）在（0,+8）上是增函數，且f（x）存在唯一極小值點與,故A,B選項正確.

且f（x）在（一肛與）單調遞減，（%,+8）單調遞增，

=^2sin(XQ----)<0,

又/（一萬）=""+0>0,/(x0)=e"+sinx0=sinx0-cosx0

/（0）=l>0,所以/（x）在（一肛口）上有兩個零點，故D選項正確，C選項錯誤.

故選：ABD.

【點睛】

導數是研究函數的單調性、極值（最值）最有效的工具，而函數是高中數學中重要的知識

點，對導數的應用的考查主要從以下兒個角度進行：（1）考查導數的兒何意義，往往與解析

幾何、微積分相聯系.（2）利用導數求函數的單調區(qū)間，判斷單調性；已知單調性，求參

數.（3）利用導數求函數的最值（極值），解決生活中的優(yōu)化問題.（4）考查數形結合思想的應

用.

16.（多選）已知函數/（x）=ox-lnx（aeR）,則下列說法正確的是（）

A.若aWO,則函數/*）沒有極值

B.若?！?,則函數/（幻有極值

C.若函數/（x）有且只有兩個零點，則實數a的取值范圍是

D.若函數/（X）有且只有一個零點，則實數a的取值范圍是

【答案】ABD

【分析】

先對/（力進行求導，再對〃進行分類討論，根據極值的定義以及零點的定義即可判斷.

【詳解】

解：由題意得，函數/*）的定義域為（0,+8），且/（幻二4一2=竺二二

XX

當aKO時，r（x）vO恒成立，此時單調遞減，沒有極值，

又???當x趨近于。時，/（%）趨近于+8,當x趨近于+8時，“X）趨近于Y。，

「?有且只有一個零點，

當。＞0時，在（（）,：）上，ru）＜o,單調遞減，

在（5,+8）上，rw＞o,/（M單調遞增，

.,.當x時，/a）取得極小值，同時也是最小值，

a

???=l+ln。,

當X趨近于。時，Inx趨近于YO,f（x）趨近于+8,

當X趨近于+8時，/（%）趨近于+8,

當l+lna=O,即。=！時，/V）有且只有一個零點：

e

當l+lna＜0,即時，/（?有且僅有兩個零點，

e

綜上可知ABD正確，C錯誤.

故選：ABD.

【點睛】

方法點睛：函數零點的求解與判斷方法：

⑴直接求零點：令/（力=0,如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點；

⑵零點存在性定理：利用定理不僅要函數在區(qū)間加上是連續(xù)不斷的曲線，且

/（4/（^）＜o,還必須結合函數的圖象與性質（如單調性、奇偶性）才能確定函數有多少

個零點；

⑶利用圖象交點的個數：將函數變形為兩個函數的差，畫兩個函數的圖象，看其交點的橫

坐標有幾個不同的值，就有幾個不同的零點.

17.定義在R上的函數/。)，若存在函數g(x)=at+人(a,b為常數)，使得

f(x)Ng(x)對一切實數x都成立，則稱g(x)為函數/*)的一個承托函數，下列命題中

正確的是()

[inx,x>0

A.函數g(x)=-2是函數/*)=〈的一個承托函數

1,元,0

B.函數g(x)=x-1是函數/(x)=x+sinx的一個承托函數

C.若函數8(X)=雙是函數〃式)="的一個承托函數，則。的取值范圍是[0,々

D.值域是R的函數/3)不存在承托函數

【答案】BC

【分析】

由承托函數的定義依次判斷即可.

【詳解】

解：對A,.?當x>0時，/(A)=InAe-KJO),

/。)之8。)二-2對一切實數乂不一定都成立，故A錯誤；

對B,令?x)=/(x)-g(x),則r(x)=x+sinx-(x-l)=sinx+120恒成立，

函數g(x)=x-l是函數/(x)=x+sinx的一個承托函數，故B正確；

xx

對C,令h(x)=e-axf則h(x)=e-at

若。=0,由題意知，結論成立，

若。>0,令〃(x)=0,得x=lna,

函數力(的在(一孫Ina)上為減函數，在(Ina,+8)上為增函數，

???當x=ln〃時，函數〃(幻取得極小值，也是最小值，為。一alna,

???g(x)=ar是函數/(x)=e"的一個承托函數，

-1.a-a\na>0，

即InaS1,

0<a<e

若。<0,當XT—時，Zz(X)fT?,故不成立，

綜上，當滕女e時，函數g(x)二必是函數〃x)=/的一個承托函數，故C正確；

對D,不妨令不Cr)=2x,g(%)=2x-1,則/(x)-g(x)=lN0恒成立，

故g(x)=2X一1是f(x)=2x的一個承托函數，故D錯誤.

故選：BC.

【點睛】

方法點睛：以函數為載體的新定義問題，是高考命題創(chuàng)新型試題的一個熱點，常見的命題

形式有新概念、新法則、新運算等，這類試題中函數只是基本的依托，考查的是考生創(chuàng)造

性解決問題的能力.

18.設函數的定義域為(0,+8),已知/(%)有且只有一個零點，下

列結論正確的有()

A.a=eB./(力在區(qū)間(l,e)單調遞增

C.x=l是/(力的極大值點D./(e)是/(x)的最小值

【答案】ACD

【分析】

/(X)只有一個零點，轉化為方程/一￡二0在(0,+8)上只有一個根，即止=則只有

xa