《數(shù)學(職業(yè)模塊-工科類)》課件-《數(shù)學(職業(yè)模塊-工科類)》課件-第四、五章

邏輯代數(shù)又稱為布爾代數(shù)，是設計開關電路與邏輯電路的重要理論依據(jù)，是學習計算機相關知識的重要基礎．應用邏輯代數(shù)的方法可以使電路設計和程序開發(fā)簡便化，從而解決許多實際問題．本章主要研究二進制、邏輯變量、真值表、邏輯運算及邏輯式的化簡、邏輯圖等概念，并通過實例介紹它們的應用．4.1二進制在生活中，我們經常與數(shù)字打交道，且數(shù)字有著不同的計數(shù)方法．人們平時用的是十進制計數(shù)方法，那么什么是進制？生活中除了十進制，還有其他進制嗎？4.1.1二進制與十進制及其轉換1．二進制與十進制人們最常用、最熟悉的進位制是十進制．十進制是用“0，1，2，3，4，5，6，7，8，9”十個數(shù)碼符號（或稱為數(shù)碼）放到相應的位置來表示數(shù)，如2015．數(shù)碼符號在數(shù)中的位置叫做數(shù)位．計數(shù)制中，每個數(shù)位上可以使用的數(shù)碼符號個數(shù)叫做這個計數(shù)制的基數(shù)．十進制的每個數(shù)位都可以使用十個數(shù)碼符號，因此，十進制的基數(shù)為10．每個數(shù)位所代表的數(shù)叫做位權數(shù)．十進制數(shù)的進位規(guī)則是“逢10進位1”．十進制的位權數(shù)如表4-1所示．位置整數(shù)部分小數(shù)點…第3位第2位第1位起點位權數(shù)…102101100表4-1十進制數(shù)的意義是各個數(shù)位的數(shù)碼和與其位權數(shù)乘積之和．例如，．在電路中，電子元件與電路都具有兩種對立的狀態(tài)，如電燈的“亮”與“不亮”、電路的“通”與“斷”、信號的“有”與“無”．采用數(shù)碼0和1來表示相互對立的兩種狀態(tài)十分便捷，因此，在數(shù)字電路中普遍應用二進制．二進制的基數(shù)為2，每個數(shù)位只有兩個不同的數(shù)碼符號0和1，進位規(guī)則是“逢2進位1”．二進制的位權數(shù)如表4-2所示．位置整數(shù)部分小數(shù)點…第3位第2位第1位起點位權數(shù)…222120表4-2二進制數(shù)1010的意義是．為了區(qū)別不同進制的數(shù)，通常用下標指明基數(shù)，如(1010)2

表示二進制中的數(shù)，(2015)10表示十進制中的數(shù)．2．二進制與十進制的轉換若要將二進制數(shù)轉換為十進制數(shù)，只需將二進制數(shù)按權展開后，將各乘積項的積算出來，再將各項積相加即可．例如，，即．將十進制數(shù)換算為二進制數(shù)，其實質就是把十進制數(shù)化成2的各次冪之和的形式，并且各次冪的系數(shù)只能取0和1，通常采用的是“除2取余法”（余數(shù)只有0和1）．具體方法是：第一次除以2所得余數(shù)是轉換后所得二進制數(shù)的最低位，第二次除以2所得余數(shù)是轉換后所得二進制數(shù)的倒數(shù)第二位，……，依次類推，最后一次除以2且商為0時，所得余數(shù)是二進制數(shù)的最高位．例如，將十進制數(shù)23轉換為二進制數(shù)．

讀取順序按照從下往上讀的讀取方向，可得．例1將下列自然數(shù)表示成它各個數(shù)位的數(shù)碼與其乘積之和的形式．（1）； （2）．解（1）．（2）．例2將二進制數(shù)轉化成十進制數(shù)．解例3將十進制數(shù)轉化成二進制數(shù)．解

讀取順序按照從下往上讀的讀取方向，可得4.1.2二進制的加法與乘法我們對十進制數(shù)的算術運算非常熟悉，例如，，．那么二進制的算術運算是怎樣的呢？實際上，二進制數(shù)的算術運算也非常簡單，它與十進制數(shù)的算術運算十分相似，它的基本運算是加法運算和乘法運算．二進制數(shù)的基數(shù)為2，進位規(guī)則是“逢2進位1”，故二進制數(shù)的加法運算法則為（1）；（2），；（3）（逢2進位1，向高位進位1）．二進制的乘法運算法則為（1）；（2），；（3）．例4

計算：．解根據(jù)二進制數(shù)的加法運算法則得即例5計算：．解根據(jù)二進制數(shù)的乘法運算法則得即4.2.1邏輯變量與基本運算1．邏輯與觀察兩個開關相互串聯(lián)的電路，如圖4-1所示．由串聯(lián)電路的性質可知，只有當開關A，B同時閉合時，電燈S才會亮；只要有其中一個開關沒有閉合（開關A沒有閉合或開關B沒有閉合）或者兩個開關都沒有閉合，電燈S就不會亮．圖4-1將開關A，B與電燈S的狀態(tài)列表，如表4-3所示．可以看到，電燈S是否亮，取決于開關A，B的狀態(tài)，它們之間具有因果邏輯關系．邏輯是指事物的因果關系，即事件的發(fā)生和決定該事件發(fā)生的條件之間的因果關系．開關A的狀態(tài)開關B的狀態(tài)電燈S的狀態(tài)閉合閉合亮閉合斷開不亮斷開閉合不亮斷開斷開不亮表4-3開關A，B與電燈S的狀態(tài)都是只取兩種狀態(tài)的變量，這樣的變量叫做邏輯變量，用大寫字母A，B，S，……表示．邏輯變量只有兩種取值“0”和“1”．這里的“0”和“1”叫做邏輯常量，僅代表兩種對立的邏輯狀態(tài)，無數(shù)量上的大小關系．例如，燈的“亮”與“滅”、電路的“通”與“斷”．規(guī)定：開關“閉合”取值為“1”，“斷開”為“0”；“燈亮”為“1”，“燈不亮”為“0”，則表4-3可表示為表4-4．開關A的狀態(tài)開關B的狀態(tài)電燈S的狀態(tài)111100010000表4-4AB11100100當決定事件發(fā)生的條件全部具備時，這件事才會發(fā)生，這樣的邏輯關系叫做與邏輯關系．在兩個開關相互串聯(lián)的電路中，如圖4-1所示，只有當開關A，B同時閉合時，電燈S才會亮，這種邏輯關系叫做邏輯變量A與邏輯變量B的邏輯乘法運算（“與”運算）．其中，S叫做A，B的邏輯積，記作

（或），簡記為AB=S，讀作“A乘B”或“A與B”．“與”運算的運算法則如表4-5所示．

表4-5開關A的狀態(tài)開關B的狀態(tài)電燈S的狀態(tài)1111010110002．邏輯或觀察兩個開關相互并聯(lián)的電路，如圖4-2所示．規(guī)定：開關“閉合”取值為“1”，“斷開”為“0”；“燈亮”為“1”，“燈不亮”為“0”．將開關A，B與電燈S的狀態(tài)列表，如表4-6所示．圖4-2表4-6AB11100100當決定事件發(fā)生的條件有一個具備時，這件事就會發(fā)生，這樣的邏輯關系叫做或邏輯關系．在兩個開關相互并聯(lián)的電路中，如圖4-2所示，當開關A和開關B至少有一個閉合時，電燈S就會亮，這種邏輯關系叫做邏輯變量A與邏輯變量B的邏輯加法運算（“或”運算）．其中，S叫做A，B的邏輯和，記作A+B=S（或），讀作“A加B”或“A或B”．“或”運算的運算法則如表4-7所示．表4-7開關A的狀態(tài)電燈S的狀態(tài)10013．邏輯非觀察電燈與開關相并聯(lián)的電路，如圖4-3所示．規(guī)定：開關“閉合”取值為“1”，“斷開”為“0”；“燈亮”為“1”，“燈不亮”為“0”．將開關A與電燈S的狀態(tài)列表，如表4-8所示．圖4-3表4-8A10我們將事件的發(fā)生和條件的具備總是相反的邏輯關系叫做非邏輯關系，即條件具備時，事件不發(fā)生；條件不具備時，事件發(fā)生．在電燈與開關相并聯(lián)的電路中，如圖4-3所示，當開關A“合上”時，電燈S就不亮；當開關A“斷開”時，電燈S就會亮，這種邏輯關系叫做邏輯變量A的邏輯“非”運算．其中，S叫做A的邏輯非，記作，讀作“A的非”．表4-9中和代表的含義是什么？“非”運算的運算法則如表4-9所示．表4-9例1填補表4-10的空白．解根據(jù)“與”運算、“或”運算、“非”運算的運算法則，將計算結果填進表4-10中，如表4-11所示．AB11100100AB110011100110011010001100表4-10表4-11邏輯代數(shù)式和普通代數(shù)式有什么異同？由常量1，0以及邏輯變量經邏輯運算構成的式子叫做邏輯代數(shù)式，簡稱邏輯式．例如，等都是邏輯式．這里，表示常量的1和0及單個變量都可看作是邏輯式．實數(shù)運算的先后順序是“先乘除，后加減”，邏輯運算也有它的優(yōu)先次序．邏輯運算的優(yōu)先次序依次為“非運算”“與運算”“或運算”，對于有括號的邏輯式，要先算括號內的邏輯式．例如，的運算順序應為：先計算，再計算，，然后計算，最后計算．4.2.2邏輯式與真值表將各邏輯變量的取值代入邏輯式，經過運算，可以得到邏輯式的一個值（0或1）．例如，，當時，有；當時，有．AB111100010001列出A，B的一切可能取值與相應邏輯式的值的表，叫做邏輯式的真值表．例如，表4-12為邏輯式的真值表．如果對于變量A，B，C的任何一組取值，兩個邏輯式的值都相同，則這樣的兩個邏輯式叫做等值邏輯式．等值邏輯式可用等號“=”聯(lián)結，并稱為等式，如．需要注意的是，這種相等是狀態(tài)的相同．

表4-12ABA+B1110000101001001101000001111例2用真值表驗證邏輯式與是否相等．解列出真值表，如表4-13所示．可用看出，對于邏輯變量A，B的任何一組取值，與的值都相等，所以表4-13例3如圖4-4所示電路中，燈S的狀態(tài)能否用開關A，B，C的邏輯運算來表示？試給出結果．分析由圖4-4可知，這個電路是開關A，B，C相并聯(lián)的電路，三個開關中至少有一個“合上”時，電燈S才會亮，故使用邏輯加法運算．解由題意可知，圖4-44.3.1邏輯函數(shù)與邏輯圖反映邏輯變量之間關系的函數(shù)叫做邏輯函數(shù)．邏輯函數(shù)的自變量是邏輯變量，稱為輸入邏輯變量；邏輯函數(shù)的因變量也是邏輯變量，稱為輸出邏輯變量，它們的取值范圍均為0和1．與普通代數(shù)相類似，邏輯函數(shù)可以寫作．

其中，邏輯變量A，B，C是邏輯函數(shù)的自變量，邏輯變量Y是邏輯函數(shù)的因變量，f是邏輯函數(shù)的對應法則．邏輯函數(shù)一般用邏輯式來表示，如．能夠實現(xiàn)邏輯運算的電路叫做邏輯門電路．我們把能實現(xiàn)邏輯乘運算的門電路叫做“與”門；能實現(xiàn)邏輯加運算的門電路叫做“或”門；能實現(xiàn)邏輯非運算的門電路叫做“非”門．“與”門電路、“或”門電路、“非”門電路是三種基本邏輯門，它們的圖示如圖4-6所示．圖中A，B為輸入邏輯變量，Y為輸出邏輯變量．

（a）“與”門

（b）“或”門

（c）“非”門用門電路連接邏輯線路的圖叫做邏輯圖．邏輯函數(shù)可以用邏輯圖來表示，畫邏輯圖的方法為按照邏輯運算的優(yōu)先次序，順次連結各門電路．圖4-6例1畫出邏輯函數(shù)的邏輯圖．分析按照邏輯運算的優(yōu)先次序，順次聯(lián)結各門電路圖示．解邏輯函數(shù)的邏輯圖如圖4-7所示．圖4-7普通代數(shù)有加、減、乘、除、乘方、開方等多種運算，但是邏輯運算只有“與”“或”“非”三種基本運算．與普通代數(shù)相類似，邏輯代數(shù)也有許多運算律．邏輯代數(shù)常用的運算律如下．（1）基本的“與”運算、“或”運算、“非”運算的運算律如表4-15所示．4.3.2邏輯代數(shù)的運算律名稱運算律0-1律自等律重疊率互補律還原律表4-152）其他運算律如表4-16所示．上述運算律都可以通過真值表進行驗證．任何數(shù)學邏輯門電路都可以用邏輯函數(shù)來表示．邏輯函數(shù)越簡單，實現(xiàn)起來越節(jié)省器材，且可靠性也高，所以大多數(shù)時候要對邏輯函數(shù)進行化簡．利用表4-15和表4-16中的運算律，可以化簡函數(shù)．化簡邏輯函數(shù)的一般步驟如下．（1）去括號：將被加項中的括號去掉；（2）減項數(shù)：使被加項的項數(shù)最少；（3）減次數(shù)：基本邏輯變量出現(xiàn)的次數(shù)最少．名稱運算律交換律結合律分配率吸收率反演律

表4-16例2化簡下列邏輯式．（1）；（2）；（3）．解（1）（反演律）（結合律）（重疊律）（2）（吸收律）（3）（交換律）（重疊律）（交換律）（分配律）（互補律）對于一個給定的邏輯函數(shù)，它的表達式的形式多種多樣，那是否存在一種表達形式用起來最方便？4.4.1邏輯函數(shù)的最小項表達式由三個邏輯變量可以構成許多乘積項，如等，其中有一類乘積項具有如下特征：（1）每一項只有3個因子，而且包含了全部的三個變量；（2）每個變量作為因子在各項中只出現(xiàn)一次．具備這兩個特征的項叫做這三個邏輯變量的邏輯函數(shù)的最小項．一般地，n個邏輯變量一共有個最小項，如邏輯變量A，B，C的最小項有個．為了書寫方便，給最小項進行編號，一般用表示第i個最小項．在輸入變量順序確定后，將某一最小項中的原變量記為1，反變量記為0，由此形成一個二進制數(shù)，此二進制數(shù)對應的十進制數(shù)即為i．最小項最小項編號二進制賦值m0000m1001m2010m3011m4100m5101m6110m7111三個邏輯變量A，B，C的個最小項對應的編號及對應的二進制數(shù)如表4-17所示．表4-17利用真值表可以驗證，最小項具有以下性質（以三個邏輯變量為例）．（1）對于任意一個最小項，只有一組變量取值使它的值為1，而其余各種變量取值均使它的值為0．（2）所有最小項的和為1，即（3）任意兩個最小項的積為0．例如，（4）只有一個因子不同的兩個最小項，叫做邏輯相鄰的最小項．它們的和可以消去一個因子，合并成一項．例如，任意一個邏輯函數(shù)都可以表示成唯一的一組最小項之和的形式，叫做最小項表達式（“與—或”表達式）．例如，為了獲得邏輯函數(shù)的最小項表達式，應首先將給定的邏輯函數(shù)轉化為若干乘積項之和的形式，然后再利用基本公式

將每個乘積項中缺少的因子補全即可．例1將邏輯函數(shù)表示為最小項表達式．解最小項表達式為4.4.2卡諾圖及邏輯函數(shù)的卡諾圖表示利用邏輯代數(shù)的運算律化簡邏輯函數(shù)表達式，需要一系列的推導過程，一般是比較復雜的，但如果利用“卡諾圖”來完成，就比較簡單了．卡諾圖是一張表，除了直接相鄰的兩個格稱為相鄰外，表中最左邊一列的小方格與最右邊一列的對應方格也稱為相鄰；最上面一行的小方格與最下面一行的對應方格也稱為相鄰，就像是把畫有表格的紙（見圖4-9（a））卷成筒（見圖4-9（b），（c））一樣．（a）（b）（c）圖4-9將邏輯函數(shù)的每一個最小項用1個小方塊表示，再將這些小方塊進行排序，使得相鄰的2個小方塊中的最小項是邏輯相鄰的最小項，這樣的圖形叫做卡諾圖．如圖4-10所示是2個邏輯變量的卡諾圖．圖4-10為了清楚地看出卡諾圖與邏輯函數(shù)表達式之間的關系，我們將2個邏輯變量的卡諾圖畫成如圖4-11所示的形式．圖4-11例如，如圖4-12所示是3個邏輯變量的卡諾圖．因為卡諾圖的每1個小方格都唯一地對應1個最小項，所以用卡諾圖表示邏輯函數(shù)的步驟為：（1）將邏輯函數(shù)寫成最小項表達式；（2）在表達式含有的最小項所對應的卡諾圖小方格填入“1”，其余位置填入“0”．圖4-12例2作出邏輯函數(shù)的邏輯圖．分析首先將邏輯函數(shù)用最小項表達式表示，然后畫出卡諾圖．解在3個邏輯變量的卡諾圖中，將對應的小方格中填入“1”，其余位置填入“0”，就得到邏輯函數(shù)的卡諾圖，如圖4-13所示．圖4-13例3根據(jù)如圖4-14所示的卡諾圖，寫出對應邏輯函數(shù)的最小項表達式．解對應邏輯函數(shù)的最小項表達式為圖4-144.4.3利用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)由于卡諾圖中兩個相鄰最小項中，只有一個變量取值不同，而其余取值都相同，所以可以合并相鄰最小項．2個相鄰的最小項結合（用一個包圍圈表示），可以消去1個取值不同的變量而合并為l項．如圖4-15所示，將卡諾圖中相鄰的兩個“1”圈起來，圈中的最小項為和，其中變量A不同，將其合并為1項，得．圖4-15圖4-164個相鄰的最小項結合（用一個包圍圈表示），可以消去2個取值不同的變量而合并為l項．如圖4-16所示，將卡諾圖中相鄰的4個“1”圈起來，圈中的最小項為，，，，其中變量A，B不同，將其合并為1項，得C．8個相鄰的最小項結合（用一個包圍圈表示），可以消去3個取值不同的變量而合并為l項．如圖4-17所示，將卡諾圖中相鄰的8個“1”圈起來，圈中的最小項為，，，，，，

，，其中變量A，B，C不同，將其合并為1項，得C．圖4-17總之，個相鄰的最小項結合，可以消去n個取值不同的變量而合并為l項．由此可見，用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)，就是在卡諾圖中找出相鄰的最小項，即畫圈，然后將圈中的最小項合并消去多余因子，從而得到邏輯函數(shù)的最簡形式．為了保證將邏輯函數(shù)化到最簡，畫圈時必須遵循以下原則：（1）圈要盡可能大．這樣消去的變量就多，但每個圈內只能含有（）個相鄰項．（2）圈要盡可能少．因為圈越少，合并后的項越少．（3）有些方格可能多次被圈，但是每個圈內的方格，至少有一個不是其他圈所圈過的．例4如圖4-18所示為邏輯函數(shù)的卡諾圖，試寫出化簡后的邏輯函數(shù)表達式．解在卡諾圖中用圈將相鄰的1圈起來．觀察左邊的圈，圈中的最小項為和，其中變量A不同，將其合并為1項，得；觀察右邊的圈，圈中的最小項為和，其中變量C不同，將其合并為1項，得．因此，化簡后的邏輯表達式為．圖4-18例5化簡邏輯函數(shù)．解對應的卡諾圖如圖4-19所示．觀察上面的圈，圈中的最小項為，，，，其中變量B，C不同，將其合并為1項，得；觀察下面的圈，圈中的最小項為，，，，其中變量A，B不同，將其合并為1項，得C．因此，化簡后的邏輯表達式圖4-19利用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)的基本步驟是：（1）將邏輯函數(shù)寫成最小項表達式；（2）畫出函數(shù)的卡諾圖；（3）在卡諾圖中“圈1”；（4）消去各圈中以相反狀態(tài)出現(xiàn)的變量；（5）寫出化簡后的邏輯函數(shù)表達式．邏輯代數(shù)是分析和設計數(shù)字電路的基本數(shù)學工具，下面就來看看邏輯代數(shù)在實際生活中的一些應用．4.5應用舉例ABCS11111101101110000111001001000000例1設計一個電路，由三個開關A，B，C（閉合為1，斷開為0）控制一盞電燈S（燈亮為1，不亮為0），當至少兩個開關閉合時，燈S才能亮．（1）寫出這個電路的邏輯關系式；（2）化簡邏輯關系式，并畫出邏輯圖．解（1）列出開關A，B，C及燈S的真值表，如表4-18所示．表4-18觀察真值表4-18發(fā)現(xiàn)，只有在4種情況下燈S才亮，即（1）開關A閉合（），開關B閉合（），開關C閉合（）；（2）開關A閉合（），開關B閉合（），開關C斷開（）；（3）開關A閉合（），開關B斷開（），開關C閉合（）；（4）開關A斷開（），開關B閉合（），開關C閉合（）．由此可知，在以下4種情況下，成立：（1）成立；（2）成立；（3）成立；（4）成立．因此，這個電路的邏輯表達式為(2)畫出對應的卡諾圖，如圖4-20所示．在卡諾圖中用圈將相鄰的1圈起來．觀察左邊的圈，圈中的最小項為和，其中變量B不同，將其合并為1項，得；觀察中間的圈，圈中的最小項為和，其中變量A不同，將其合并為1項，得；觀察右邊的圈，圈中的最小項為和，其中變量C不同，將其合并為1項，得．因此，化簡后的邏輯表達式為．畫出對應的邏輯圖，如圖4-21所示．圖4-20圖4-21例2寫出邏輯圖4-22的邏輯關系式，并將其化簡，針對化簡后的邏輯關系式，畫出邏輯圖．解由圖4-22可知，邏輯關系式為將邏輯關系式寫成最小項表達式為圖4-22畫出對應的卡諾圖，如圖4-23所示．在卡諾圖中用圈將相鄰的1圈起來．觀察上面的圈，圈中的最小項為和，其中變量B不同，將其合并為1項，得；觀察下面的圈，圈中的最小項為和，其中變量C不同，將其合并為1項，得．因此，化簡后的邏輯表達式為畫出對應的邏輯圖，如圖4-24所示．

圖4-23圖4-24例3一個公司通過表決來確定一個新的企劃案是否可行．若董事會高層領導甲、乙、丙三人中至少要有兩個人同意，則新的企劃案通過表決；但甲擁有否決權，只要甲不同意，則不通過．寫出邏輯關系式，并畫出邏輯圖．解設A，B，C為邏輯變量（同意為1，不同意為0）分別表示甲、乙、丙三人，Y表示企劃案（通過為1，不同意為0）．根據(jù)設計要求可知，邏輯關系式為畫出對應的卡諾圖，如圖4-25所示．圖4-25在卡諾圖中用圈將相鄰的1圈起來．觀察左邊的圈，圈中的最小項為和，其中變量B不同，將其合并為1項，得；觀察右邊的圈，圈中的最小項為和，其中變量C不同，將其合并為1項，得．因此，化簡后的邏輯表達式為畫出對應的邏輯圖，如圖4-26所示．圖4-26算法不僅是數(shù)學及其應用的重要組成部分，也是計算機科學的重要基礎．在現(xiàn)代社會里，計算機已經成為人們日常生活和工作不可缺少的工具．聽音樂、看電影、玩游戲、打字、畫卡通畫、處理數(shù)據(jù)，計算機幾乎滲透到了人們生活的所有領域．那么，計算機是怎樣工作的呢？要想弄清楚這個問題，算法的學習是一個開始．從數(shù)學發(fā)展的歷史來看，算法并不是一個全新的概念．比如，在西方數(shù)學中很早就有了歐幾里得算法，而中國古代數(shù)學中蘊含著更為豐富的算法內容和思想．在這一章里，我們將主要研究算法的概念、算法的幾種基本邏輯結構和程序框圖．本章知識是學習相關專業(yè)課程的基礎．5.1.1算法的概念實際上，算法對我們來說并不陌生．回顧一元一次方程的求解過程，我們可以歸納出以下基本步驟．第一步：移項．將數(shù)字6從方程左邊移到右邊，得第二步：合并同類項，得第三步：系數(shù)化為1．方程兩邊同時除以3，得通過移項、合并同類項、系數(shù)化為1這三個步驟，可以解任意形如的一元一次方程．這些步驟也就構成了解一元一次方程的算法．算法（algorithm）這個詞出現(xiàn)于12世紀，指的是用阿拉伯數(shù)字進行算術運算的過程．在數(shù)學中，現(xiàn)代意義上的“算法”通常是指可以用計算機來解決某一類問題的程序或步驟，這些程序或步驟必須是明確的、有效的，而且能夠在有限步之內完成．不難看出，算法具有以下特點：（1）確定性．算法中每一步操作內容的含義是確切的，能有效地執(zhí)行，并且能得到確定的結果，而不能模棱兩可，含混不清．（2）有限性．算法中執(zhí)行的步驟應是有限的，不能無休止地執(zhí)行下去．算法中可以有零個、一個或多個輸入．（3）有序性．算法初始步驟開始，分為若干明確的步驟，每一個步驟只能有一個確定的后繼步驟，只能執(zhí)行完前一步才能進行下一步．（4）不唯一性．求解某個問題的解法不一定是唯一的，因此對于一個問題可能有不同的算法．（5）有一個或多個輸出．一個算法必須有一個或多個輸出．因為算法的目的是用來解決一個給定的問題，所以沒有結果輸出的算法是無效的，無意義的．按照這樣的理解，我們可以設計出很多具體數(shù)學問題的算法．例1設計一個算法，求的值．分析實數(shù)的乘法滿足結合律，可以將數(shù)字從左至右依次相乘．解算法如下．第一步：計算得到2．第二步：將第一步中的運算結果2與3相乘得到6．第三步：將第二步中的運算結果6與4相乘得到24．第四步：將第三步中的運算結果24與5相乘得到120．第五步：將第四步中的運算結果120與6相乘得到720．因此，5.1.2命題邏輯與條件判斷在設計算法解決實際問題時，經常需要對表示步驟或程序的語句進行判斷．例如，（1）3大于5．（2）如果對頂角相等，那么兩直線平行．（3）是有理數(shù)．以上陳述句中，（2）陳述語句敘述的事情是真的；（1）（3）陳述語句敘述的事情是假的．一個能判斷真假的陳述語句叫做命題．一個命題敘述的事情如果是真的，稱其為真命題；如果是假的，稱其為假命題．只用一句簡單的陳述句表達的命題叫做簡單命題．例如，命題（1）是簡單命題，且是假命題．用“如果……，那么……”將兩個簡單命題聯(lián)結起來所組成的新命題叫做復合命題，其中前半部分是命題的條件，后半部分是命題的結論．例如，命題（2）是復合命題，命題的條件是“對頂角相等”，命題的結論是“兩直線平行”．由條件的正確可以推出結論的正確，所以這個復合命題是真命題．試舉出生活中要先進行條件判斷才能解決的問題．在研究實際問題時，經常會遇到由不同條件得到不同結論的問題．例如，兒童乘坐火車，若身高不超過，兒童可以免費乘車，無需購票；若身高高于，但不超過，兒童應該購買半價票乘車；若身高超過，兒童應該購買全價票乘車．上述問題的特點是：滿足不同的條件，所得結論就不同，因此需要進行條件判斷．其算法如下．第一步：測量兒童身高，得到數(shù)據(jù)h．第二步：條件判斷．如果，那么兒童可以免費乘車；如果

，那么兒童應該購買半價票乘車；如果，那么兒童應該購買全價票乘車．第三步：給出問題的答案．且是真命題．（4）此句是一個陳述句，但敘述的事情是假的，所以是命題，而且是假命題．（5）對于該語句，若其敘述的事情為“真”，即“我正在說假話”為真，則這句話也應是假話，所以應為假命題，與假設矛盾；反之，若其敘述的事情為“假”，即“我正在說假話”為假，也就是“我正在說真話”，則這句話也應是真話，所以應為真命題，與假設矛盾．于是，這句話的真假無法確定，所以不是命題．例2判斷下列語句是否是命題，為什么？若是命題，請說明是真命題還是假命題．（1）．（2）不準亂扔垃圾．（3）是的真子集．（4）4是質數(shù)．（5）我正在說假話．解（1）x的取值不確定，是一個不能確定真假的陳述句，所以不是命題．（2）此句是一個祈使句，不是陳述句，所以不是命題．（3）此句是一個陳述句，并且敘述的事情是真的，所以是命題，而例3寫出形如的不等式解集的一個算法．解第一步：計算．第二步：條件判斷．如果，表示方程

存在兩根（設），那么不等式的解集為；如果，表示方程有兩個相等的根，那么不等式的的解集為

；如果，表示方程沒有實根，那么不等式的解集為R．第三步：給出問題的答案．5.1.3算法的基本邏輯結構1．順序結構由若干個依次執(zhí)行的處理步驟組成的結構稱為順序結構．在算法的邏輯結構中，順序結構是最簡單的邏輯結構，也是任何一個算法都離不開的基本結構．例4已知直角坐標系中的兩點和，寫出求直線AB的方程與坐標軸圍成面積的一個算法．解算法如下．第一步：取，，，．第二步：計算．第三步：在第二步結果中，令，得到y(tǒng)的值m，從而得到直線與y軸的交點．第四步：在第二步結果中，令，得到x的值n，從而得到直線與x軸的交點．第五步：計算．第六步：輸出結果．2．條件結構如果在一個算法中需要進行條件判斷，根據(jù)條件是否成立會有不同的處理步驟，那么，這種算法結構稱為條件結構．例如，節(jié)中兒童乘坐火車購買車票的算法結構就是條件結構．例5寫出對任意3個整數(shù)a，b，c求最大值的算法．解算法如下．第一步：令．第二步：判斷是否成立，若成立，則令；否則值不變．第三步：判斷是否成立，若成立，則令；否則值不變．第四步：輸出．3．循環(huán)結構反復循環(huán)執(zhí)行同一步驟的算法稱為循環(huán)結構．例6設計一個算法，求100以內能被5整除的最小正整數(shù)．解設100以內的正整數(shù)按照由小到大的順序組成一列數(shù)：算法如下．第一步：輸入數(shù)據(jù)1．第二步：如果1能被5整除，則輸出1；如果1不能被5整除，則返回第一步，輸入下一個數(shù)2，直至輸入的數(shù)能被5整除為止．第三步：輸出結果．例7設計一個算法，求的值．分析通常我們按照逐一求和的方法來計算的值，然而，這個過程中包含重復操作的步驟，故可以用循環(huán)結構來表示．分析逐一求和的計算過程，可以發(fā)現(xiàn)每一步都可以表示為：第

步的結果第i步的結果．為了方便、有效地表示，我們用一個累加變量S來表示第一步的計算結果，把的結果仍記為S，從而第i步的結果表示為，其中S的初始值為0，i依次?。馑惴ㄒ坏谝徊剑毫睿诙剑喝舫闪?，則執(zhí)行第三步；否則，輸出S，結束算法．第三步：

．第四步：，返回第二步．算法二第一步：令．第二步：．第三步：．第四步：若成立，則執(zhí)行第二步；否則，輸出S，結束算法．上一節(jié)我們學習了用自然語言描述算法的方法，這種方法符合人們的認知習慣，便于閱讀，易于理解，但描述得不太簡練，不夠直觀．這節(jié)課我們將要學習算法的圖形語言——程序框圖．5.2.1程序框圖1．程序框圖的基本圖例我們把算法中每一步操作的內容寫在框（即程序框）內，步驟之間的順序關系用帶箭頭的線（指向線或流程線）連接成一個整體．這種用規(guī)定的圖形、指向線及文字說明來準確、直觀地表示算法的圖形，叫做算法的程序框圖（又叫做流程圖），如圖5-1所示．它是算法說明的一種圖形語言．圖5-1使用程序框圖的規(guī)則如下：（1）使用規(guī)定的圖形符號．（2）框圖一般按照從上到下、從左到右的方向畫．（3）開始框有一個出口；結束框有一個進口；判斷框一般有一個進口，兩個出口；其他框有一個進口，一個出口．（4）框圖中的語句要簡練、清楚．2．程序框圖的基本結構根據(jù)算法的三種基本邏輯結構，相應的算法程序框圖也有三種基本的邏輯結構：順序結構、條件結構和循環(huán)結構．順序結構：是最簡單的算法結構．語句與語句之間，框與框之間是按照從上到下的順序進行的，它是由若干個依次執(zhí)行的處理步驟組成的，它是任何一個算法都離不開的基本結構，其一般形式如圖5-2所示，先執(zhí)行語句1，再執(zhí)行語句2．圖5-2條件結構：是指在算法中通過條件的判斷，根據(jù)條件是否成立而選擇不同流向的算法結構．它的一般形式如圖5-3或圖5-4所示，其中P代表一個條件，當P成立（記作“Y”）時執(zhí)行語句1；當P不成立（記作“N”）時執(zhí)行語句2．圖5-3圖5-4循環(huán)結構：是指在算法中需要反復執(zhí)行某項任務直到條件得到滿足為止．它的一般形式如圖5-5所示，其中當條件P成立時，進行循環(huán)體；當條件P不成立時，退出循環(huán)體．圖5-5例1如圖5-6所示是一個算法的程序框圖．已知