浙江省精誠聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題

2024學(xué)年第一學(xué)期浙江省精誠聯(lián)盟10月聯(lián)考高二年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科試題考生須知：1.本卷共4頁滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級(jí)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào)并填涂相應(yīng)數(shù)字.3.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效.4.考試結(jié)束后，只需上交答題紙.選擇題部分一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求得直線的斜率，從而求得對(duì)應(yīng)的傾斜角.【詳解】由于直線的傾斜角為，則直線的斜率，再由，可得.故選：C2.已知，，且，則的值為（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】A【解析】【分析】利用向量減法的坐標(biāo)運(yùn)算求出，再根據(jù)得出數(shù)量積等于零，建立等式求解．【詳解】，，，解得：，故選：A．3.直線：與直線：的距離是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用平行線間的距離公式可直接求解.【詳解】設(shè)與的距離為d，則.故選：B.4.已知空間向量，，，若四點(diǎn)共面，則實(shí)數(shù)x的值為（）A. B.0 C. D.2【答案】A【解析】【分析】利用空間向量共面定理得到關(guān)于的方程組，解之即可得解.【詳解】因?yàn)樗狞c(diǎn)共面，所以向量共面，即存在實(shí)數(shù)使得，又，，，所以，所以，解得，則.故選：A.5.已知點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)Q在圓C：外，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A. B. C. D.或【答案】C【解析】【分析】設(shè)，利用點(diǎn)關(guān)于線對(duì)稱列方程求得Q坐標(biāo)，代入圓方程得出不等式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)，則，解得.因?yàn)樵谕?，所以，可得且表示圓可得，即得綜上可得.故選：C.6.已知點(diǎn)A坐標(biāo)為，直線經(jīng)過原點(diǎn)且與向量平行，則點(diǎn)A到直線的距離為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用空間向量垂直，以及兩點(diǎn)間的距離公式即可得到結(jié)論．【詳解】由題意得，直線的一個(gè)方向向量為，所以，點(diǎn)到直線的距離為：，.故選：C．7.已知，，直線：上存在點(diǎn)P，滿足，則的傾斜角的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】找到動(dòng)直線的定點(diǎn)，由動(dòng)直線與線段有，結(jié)合圖形判斷出傾斜角的范圍.【詳解】將代入得，將代入得，所以，不在直線上，又∵，所以點(diǎn)在線段上，直線的方程為：，直線過定點(diǎn)且斜率一定存在，故由數(shù)形結(jié)合可知：或故傾斜角，故選：D8.正三角形邊長為2，D為的中點(diǎn)，將三角形沿折疊，使.則三棱錐的體積為（）A B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)正三角形折疊后得出平面,設(shè)夾角為，進(jìn)而,再應(yīng)用三棱錐體積公式計(jì)算即可.【詳解】正三角形邊長為2，D為的中點(diǎn)，將三角形沿折疊，平面,平面,設(shè)夾角為，使.則.故選：A.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每個(gè)給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說法正確的是（）.A.直線恒過第一象限B.直線關(guān)于x軸的對(duì)稱直線為C.原點(diǎn)到直線的距離為D.已知直線過點(diǎn)，且在x，y軸上截距相等，則直線的方程為【答案】AC【解析】【分析】求出直線過得定點(diǎn)判斷A，求得直線關(guān)于x軸的對(duì)稱直線方程判斷B，由點(diǎn)到直線的距離判斷C，討論直線在軸上截距是否為0，求出直線方程判斷D.【詳解】直線即直，當(dāng)時(shí)，，即直線恒過定點(diǎn)，由在第一象限知A正確；直線關(guān)于x軸的對(duì)稱直線為，即，故B錯(cuò)誤；由點(diǎn)到直線距離可得，故C正確；因?yàn)橹本€過點(diǎn)，且在軸上截距相等，當(dāng)截距都為0時(shí)，直線方程為，當(dāng)截距不為0時(shí)，可設(shè)直線方程為，則，，則直線方程為，故D錯(cuò)誤.故選：AC10.已知點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)，則PQ的可能取值為（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)對(duì)稱性可知：只需討論軸以及其上方的圖象即可，分和兩種情況，結(jié)合圓的性質(zhì)分析求PQ的最值，結(jié)合選項(xiàng)分析判斷.【詳解】對(duì)于方程，將換成可得：，即，可知曲線關(guān)于軸對(duì)稱，且點(diǎn)在軸上，則只需討論軸以及其上方的圖象即可，當(dāng)，則曲線方程化為，即，此時(shí)曲線為以為圓心，半徑的半圓，可知，當(dāng)且僅當(dāng)為線段與曲線的交點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立；當(dāng)，則曲線方程化為，即，此時(shí)曲線為以為圓心，半徑，可知，當(dāng)且僅當(dāng)為的延長線與曲線的交點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立；即，結(jié)合選項(xiàng)可知：AD錯(cuò)誤；BC正確.故選：BC.11.正方體的棱長為2，點(diǎn)M為側(cè)面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含邊界），點(diǎn)P、Q分別是線段、的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.存在點(diǎn)M，使得二面角大小為B.最大值為6C.直線與面所成角為時(shí)，則點(diǎn)M的軌跡長度為D.當(dāng)時(shí)，則三棱錐的體積為定值.【答案】BCD【解析】【分析】由題意得到二面角的平面角,其中，可得判定A錯(cuò)誤；建系求出點(diǎn)及向量，再應(yīng)用向量的數(shù)量積坐標(biāo)表示計(jì)算最值判斷B,根據(jù)線面角得出的軌跡，結(jié)合邊長得出角進(jìn)而應(yīng)用弧長公式求出側(cè)面內(nèi)的劣弧判斷C,應(yīng)用向量垂直得出點(diǎn)的位置，再應(yīng)用等體積法求體積即可判斷D.【詳解】在正方體中，可得平面，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，所以二面角的平面角為，其中，A錯(cuò)誤；

如圖建系，設(shè)，，存在時(shí)，取最大值6，B正確；

設(shè)面法向量為n=0,1,0，直線與面所成角為時(shí)，可得，所以，則點(diǎn)M的軌跡是以E0,0,1為球心，2點(diǎn)M為側(cè)面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)M的軌跡在側(cè)面內(nèi)是以E0,0,1為圓心，2為半徑的劣弧，如圖所示，分別交，于，，如圖所示，，則，則，劣弧長為，C正確當(dāng)時(shí)，，所以，所以，可得為，則三棱錐的體積為，所以當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值，D正確.故選：BCD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決軌跡長度的關(guān)鍵是先設(shè)點(diǎn)計(jì)算求軌跡方程，點(diǎn)M的軌跡是以E0,0,1為球心以2為半徑的球，再結(jié)合側(cè)面內(nèi)的邊長得出角進(jìn)而得出弧長即可.非選擇題部分三、填空題：本大題共3小題，每題5分，共15分.12.，，則在上的投影向量為________（用坐標(biāo)表示）【答案】【解析】【分析】直接利用向量的夾角運(yùn)算及數(shù)量積運(yùn)算求出投影向量．【詳解】由于空間向量，，故向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)．故答案為：．13.已知直線：，：，若滿足，則兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為________.【答案】【解析】【分析】先由直線與直線垂直的性質(zhì)能求出，再聯(lián)立直線方程求交點(diǎn)即可.【詳解】直線與直線垂直，，解得，所以，解得故答案為：.14.如圖所示的試驗(yàn)裝置中，兩個(gè)正方形框架、的邊長都是，且它們所在的平面互相垂直.長度為的金屬桿端點(diǎn)在對(duì)角線上移動(dòng)，另一個(gè)端點(diǎn)在正方形內(nèi)（含邊界）移動(dòng)，且始終保持，則端點(diǎn)的軌跡長度為________.【答案】【解析】【分析】建系標(biāo)點(diǎn)，設(shè)，根據(jù)垂直關(guān)系可得，結(jié)合長度可得，分析可知端點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑的圓的部分，即可得結(jié)果.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，可得，因?yàn)?，即，可得，則，則，整理可得，可知端點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑的圓的部分，所以端點(diǎn)的軌跡長度為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知圓C的圓心在y軸上，并且過原點(diǎn)和.（1）求圓C的方程；（2）若線段的端點(diǎn)，端點(diǎn)B在圓C上運(yùn)動(dòng)，求線段的中點(diǎn)M的軌跡方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法計(jì)算即可求解；（2）設(shè)Mx,y，，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，，代入圓C方程，整理即可求解.【小問1詳解】設(shè)圓C方程：，由已知，解得，∴圓C方程為.【小問2詳解】設(shè)點(diǎn)Mx,y，.∵，∴.整理得，，∵點(diǎn)B在圓C上，∴，∴點(diǎn)M的軌跡方程為.16.在四面體中，，，E是的中點(diǎn)，F(xiàn)是上靠近A的三等分點(diǎn)，（1）設(shè)，，，試用向量、、表示向量；（2）證明：．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）由向量的加法與減法運(yùn)算；（2）證明，得，可得．【小問1詳解】，即；【小問2詳解】所以．17.在長方體中，，點(diǎn)M為棱上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)）．（1）當(dāng)點(diǎn)M為棱的中點(diǎn)時(shí)，求二面角的余弦值；（2）當(dāng)?shù)拈L度為何值時(shí)，直線與平面所成角的正弦值最小，并求出最小值．【答案】（1）（2），最小值為【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，找出坐標(biāo)，求出平面的一個(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量為，再利用公式求解即可；（2）引入?yún)?shù)，設(shè)，，表示出，，，．求出平面法向量，設(shè)與平面的所成角為，利用建立等式，再利用基本不等式求解．【小問1詳解】如圖，以為原點(diǎn)，，，分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)二面角為，則該角為銳角．而，，，．所以，．設(shè)平面法向量所以．取，得平面的一個(gè)法向量為易知平面的一個(gè)法向量為所以．【小問2詳解】設(shè)，所以，，，．設(shè)平面法向量為．所以取，得平面的一個(gè)法向量為．設(shè)與平面的所成角為所以令，則即當(dāng)時(shí)，即，．最小值為，此時(shí)．18.已知，點(diǎn)，點(diǎn)B，C在直線上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)B在點(diǎn)C上方）.（1）已知以點(diǎn)A為頂點(diǎn)的是等腰三角形，求邊上的中線所在直線方程；（2）已知，試問：是否存在點(diǎn)C，使得的面積被x軸平分，若存在，求直線方程；若不存在，說明理由?【答案】（1）（2）存在，【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性質(zhì)及垂直直線的斜率關(guān)系求得邊的中線的斜率，然后利用點(diǎn)斜式直線方程求解即可；（2）結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式求出的面積，設(shè)，，分點(diǎn)C在x軸下方和點(diǎn)C在x軸或x軸上方，兩種情況討論，根據(jù)面積列式求解點(diǎn)C的坐標(biāo)，再求直線方程即可.【小問1詳解】因?yàn)槭且渣c(diǎn)A為頂點(diǎn)的等腰三角形，所以邊的中線垂直直線，所以邊的中線的斜率，又過點(diǎn)，所以邊的中線方程為，即；【小問2詳解】因?yàn)辄c(diǎn)A到直線的距離，故.假設(shè)存在C滿足條件，設(shè)，，則，即，①當(dāng)點(diǎn)C在x軸下方時(shí)，即時(shí)，即，所在直線的方程為，令，解得，直線與x軸的交點(diǎn)，又直線與x軸的交點(diǎn)，所以，，解得或，舍去；②當(dāng)點(diǎn)C在x軸或x軸上方時(shí)，即時(shí)，即，所在直線的方程為，令，解得，直線與x軸的交點(diǎn)，所以，，解得或（舍去）；綜上，當(dāng)時(shí)，存在點(diǎn)滿足題意，此時(shí)，直線的斜率為，故直線方程為.19.出租車幾何或曼哈頓距離（ManhattanDistance）是由十九世紀(jì)的赫爾曼·閔可夫斯基所創(chuàng)詞匯，是種使用在幾何度量空間的幾何學(xué)用語，用以標(biāo)明兩個(gè)點(diǎn)在空間（平面）直角坐標(biāo)系上的絕對(duì)軸距總和.例如：在平面直角坐標(biāo)系中，若，，兩點(diǎn)之間的曼哈頓距離.（1）已知點(diǎn)，，求的值；（2）記為點(diǎn)B與直線上一點(diǎn)的曼哈頓距離的最小值.已知點(diǎn)，直線：，求；（3）已知三維空間內(nèi)定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，求動(dòng)點(diǎn)P圍成的幾何體的表面積.【答案】（1）9（2）（3）【解析】【分析】（1）由曼哈頓距離定義直接計(jì)算即可；（2）設(shè)直線上任意一點(diǎn)坐標(biāo)為Px,y，然后表示，分類討論求的最小值即可；（3）不妨將A平移到A0,0,0處，利用曼哈頓距離定義求得P圍成的圖形為八面體，即可求解其表面積【小問1詳解】，所以.【小問2詳解】設(shè)動(dòng)點(diǎn)Px,y為直線上一點(diǎn)，則，所以，即，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；綜上，為.【小問3詳解】動(dòng)點(diǎn)P圍成的幾何體為八面體，每個(gè)面均為邊長的正三角形，其表面積.證明如下