遼寧省遼陽市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)

高二考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號(hào)?考場(chǎng)號(hào)?座位號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：人教B版選擇性必修第三冊(cè)，必修第一冊(cè)，必修第二冊(cè)第四章.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.下列命題是真命題的是（）A.“”是全稱量詞命題B.成等差數(shù)列C.“”是存在量詞命題D.成等比數(shù)列2已知集合，，則（）A. B. C. D.3.曲線在點(diǎn)處的切線斜率為（）A. B. C. D.4.若等比數(shù)列滿足，則其公比為（）A. B. C. D.5.“”是“”的（）A充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件6.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.7.已知，則的最小值為（）A. B.8 C. D.108.已知定義域均為的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)分別為，且，則不等式的解集為（）A. B. C. D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列命題是假命題的是（）A.函數(shù)有極值點(diǎn)B.是奇函數(shù)C.函數(shù)無最大值D.“”的否定是“”10.某種退燒藥能夠降低的溫度（單位：）是血液中該藥物含量單位：）的函數(shù)，且，其中是一個(gè)常數(shù)，則（）A.在上單調(diào)遞減B.當(dāng)這種退燒藥在血液中的含量為時(shí)，能夠降低的溫度最大C.在上單調(diào)遞增D.當(dāng)這種退燒藥在血液中的含量為時(shí)，能夠降低的溫度最大11.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且，若，則（）A.B.C.方程有唯一實(shí)數(shù)解D.函數(shù)有最小值三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.______.13.設(shè)的個(gè)位數(shù)為，則__________.14.已知函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為__________；若成等差數(shù)列，則__________.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.設(shè)依次是等比數(shù)列的前3項(xiàng)，其中為正數(shù).（1）求；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.16.已知函數(shù)且.（1）當(dāng)時(shí)，求在上的值域；（2）求關(guān)于的不等式的解集；（3）若函數(shù)為上的增函數(shù)，求的取值范圍.17已知函數(shù).（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，求在上的最小值與最大值.18.已知數(shù)列滿足且.（1）求的通項(xiàng)公式.（2）設(shè)的前項(xiàng)和為，表示不大于的最大整數(shù).①求；②證明：當(dāng)時(shí)，為定值.19.若存實(shí)數(shù)，對(duì)任意，使得函數(shù)，則稱在上被控制.（1）已知函數(shù)在上被控制，求的取值范圍.（2）(i)證明：函數(shù)在上被1控制.(ii)設(shè)，證明：.高二考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號(hào)?考場(chǎng)號(hào)?座位號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：人教B版選擇性必修第三冊(cè)，必修第一冊(cè)，必修第二冊(cè)第四章.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.下列命題是真命題的是（）A.“”是全稱量詞命題B.成等差數(shù)列C.“”是存在量詞命題D.成等比數(shù)列【答案】D【解析】【分析】根據(jù)存在量詞和全稱量詞判斷A,C選項(xiàng)，應(yīng)用等比中項(xiàng)及等差中項(xiàng)判斷B,D選項(xiàng).【詳解】是存在量詞命題，是全稱量詞命題，A，C均為假命題.,B為假命題，D為真命題.故選：D.2.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解一元二次不等式求出集合，解指數(shù)不等式求出集合，再根據(jù)交集的定義計(jì)算可得.詳解】由，即，解得，所以，由，解得，所以，又，則，所以.故選：D3.曲線在點(diǎn)處的切線斜率為（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率即可.【詳解】因?yàn)?，所以曲線在點(diǎn)處的切線斜率為.故選：A.4.若等比數(shù)列滿足，則其公比為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列滿足，得到，兩式相比得，再求得驗(yàn)證即可.【詳解】因?yàn)椋缘缺葦?shù)列的公比，又，所以，所以，即等比數(shù)列的公比為.故選：C.5.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的概念即可判斷.【詳解】因?yàn)椋阅芡瞥?，且不能推出，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B.6.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性排除C,D;再由函數(shù)的零點(diǎn)只有三個(gè)，排除B即得.【詳解】因?yàn)?，所以是偶函?shù)，排除C，D;因?yàn)樵谏系牧泓c(diǎn)有共三個(gè)，排除B.故選:A.7.已知，則的最小值為（）A. B.8 C. D.10【答案】C【解析】【分析】根據(jù)已知條件，應(yīng)用1的活用常值代換結(jié)合基本不等式求出最值.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立.故的最小值為.故選：C.8.已知定義域均為的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)分別為，且，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】運(yùn)用函數(shù)導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算構(gòu)造新,，則用新函數(shù)的單調(diào)性解題即可.【詳解】令，則，所以單調(diào)遞減．由，得，所以．故選：B.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列命題是假命題的是（）A.函數(shù)有極值點(diǎn)B.是奇函數(shù)C.函數(shù)無最大值D.“”的否定是“”【答案】ACD【解析】【分析】利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)性即可判斷A選項(xiàng)，利用奇函數(shù)的定義可以判斷B選項(xiàng)，利用基本不等式可以判斷C選項(xiàng)，求存在量詞命題的否定規(guī)則可以判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，所以為增函?shù)，則無極值點(diǎn)，A是假命題.對(duì)于B，因?yàn)?，所以是奇函?shù)，B是真命題.對(duì)于C，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以函數(shù)有最大值，是假命題.對(duì)于D，“”的否定是“”，D是假命題.故選：ACD.10.某種退燒藥能夠降低的溫度（單位：）是血液中該藥物含量單位：）的函數(shù)，且，其中是一個(gè)常數(shù)，則（）A.在上單調(diào)遞減B.當(dāng)這種退燒藥在血液中的含量為時(shí)，能夠降低的溫度最大C.在上單調(diào)遞增D.當(dāng)這種退燒藥在血液中的含量為時(shí)，能夠降低的溫度最大【答案】CD【解析】【分析】運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，進(jìn)而得到極值最值即可.【詳解】，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減．所以均錯(cuò)誤，均正確.故選：CD．11.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?，若，則（）A.B.C.方程有唯一的實(shí)數(shù)解D.函數(shù)有最小值【答案】ABD【解析】【分析】賦值法令，求解判斷A；令，求出.令，求出，因?yàn)闉樵龊瘮?shù)，且，判斷B；等價(jià)于.設(shè)，用零點(diǎn)存在性定理判斷C;因?yàn)椋院瘮?shù)有最小值，判斷D.【詳解】令，得.因?yàn)?，所以，即，A正確.令，得，由，得.又，所以.令，得，即，所以，因?yàn)闉樵龊瘮?shù)，且，所以，B正確.所以等價(jià)于.設(shè)，因?yàn)椋栽谏媳赜幸粋€(gè)零點(diǎn)，又，所以的零點(diǎn)不唯一，從而方程的實(shí)數(shù)解不唯一，C錯(cuò)誤.因?yàn)椋院瘮?shù)有最小值，D正確.故選：ABD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12______.【答案】13【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】故答案為：13.設(shè)的個(gè)位數(shù)為，則__________.【答案】279【解析】【分析】先計(jì)算確定數(shù)列的周期性，再結(jié)合應(yīng)用數(shù)列的周期計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)榈膫€(gè)位數(shù)分別為，所以數(shù)列是周期為4的周期數(shù)列，所以.故答案為：279.14.已知函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為__________；若成等差數(shù)列，則__________.【答案】①.②.【解析】【分析】運(yùn)用三次函數(shù)性質(zhì)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)和等差數(shù)列知識(shí)解題即可.【詳解】，令，得，函數(shù)單調(diào)遞減；令，得或，函數(shù)單調(diào)遞增.所以的極大值為的極小值為.因?yàn)橛?個(gè)零點(diǎn)，所以解得.設(shè)，則，令，得，由于，三次函數(shù)曲線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.若成等差數(shù)列，則，解得.故答案為：；.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題運(yùn)用導(dǎo)數(shù)來研究三次函數(shù)的單調(diào)性和極值，與零點(diǎn)，對(duì)稱性，數(shù)列知識(shí)綜合，屬于中檔題.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.設(shè)依次是等比數(shù)列的前3項(xiàng)，其中為正數(shù).（1）求；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）運(yùn)用等比數(shù)列的性質(zhì)公式求解即可；（2）運(yùn)用分組求和,結(jié)合對(duì)數(shù)性質(zhì)計(jì)算即可.【小問1詳解】依題意可得，整理得，解得或1.因?yàn)闉檎龜?shù)，所以，所以的前3項(xiàng)依次是，所以.【小問2詳解】由（1）知，所以，所以.16.已知函數(shù)且.（1）當(dāng)時(shí)，求在上的值域；（2）求關(guān)于的不等式的解集；（3）若函數(shù)為上的增函數(shù)，求的取值范圍.【答案】（1）（2）答案見解析（3）.【解析】【分析】（1）根據(jù)增函數(shù)加增函數(shù)為增函數(shù)的結(jié)論得到的單調(diào)性，從而得到其值域；（2）對(duì)分和討論即可；（3）根據(jù)分段函數(shù)單調(diào)性得到不等式組，解出即可.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，因?yàn)榫鶠樵龊瘮?shù)，所以為增函數(shù)，所以，，所以當(dāng)時(shí)，在上的值域?yàn)?【小問2詳解】的定義域?yàn)?當(dāng)時(shí)，因?yàn)榫鶠樵龊瘮?shù)，所以為增函數(shù)，因?yàn)?，所以不等式的解集?當(dāng)時(shí)，因?yàn)榫鶠闇p函數(shù)，所以為減函數(shù)，所以不等式的解集為.【小問3詳解】依題意可得，解得，即的取值范圍為.17.已知函數(shù).（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，求在上的最小值與最大值.【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為（2）答案見解析【解析】【分析】（1）先求導(dǎo)函數(shù)再根據(jù)導(dǎo)數(shù)正負(fù)求出單調(diào)區(qū)間即可；（2）先根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合自變量的區(qū)間分類討論求最值即可；【小問1詳解】.令，得；令，得；令，得.所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，.由（1）知，在處取得極大值，且極大值為.當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，.當(dāng)時(shí)，，若，則，因?yàn)?，所?18.已知數(shù)列滿足且.（1）求的通項(xiàng)公式.（2）設(shè)的前項(xiàng)和為，表示不大于的最大整數(shù).①求；②證明：當(dāng)時(shí)，為定值.【答案】（1）（2）①；②證明見解析【解析】【分析】（1）構(gòu)造數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列定義計(jì)算即可得；（2）①借助錯(cuò)位相減法計(jì)算即可得；②構(gòu)造數(shù)列，結(jié)合數(shù)列單調(diào)性可得當(dāng)時(shí)，，即可得為定值.【小問1詳解】由，則，即，則數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列，又，故，即；【小問2詳解】①由，則，，則，故；②令，則，則，故數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，又，故當(dāng)時(shí)，，故，即當(dāng)時(shí)，恒成立，即為定值.19.若存在實(shí)數(shù)，對(duì)任意，使得函數(shù)，則稱在上被控制.（1）已知函數(shù)在上被控制，求的取值范圍.（2）(i)證明：函數(shù)在上被1控制.(ii)設(shè)，證明：.【答案】（1）（2）(i)證明見解析；(ii)證明見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)概念即求在上恒成立，利用導(dǎo)數(shù)分類求得的最小值即得；（2）(i)利用導(dǎo)數(shù)證明不等式在上恒成立；(ii)根據(jù)(i)得利用裂項(xiàng)相消法可證.【小問1詳解】令，，則，