浙江省紹興市2024年6月普通高中學(xué)業(yè)水平適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題

2024年6月浙江省普通高中學(xué)業(yè)水平適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)本試題卷分選擇題和非選擇題兩部分，共4頁(yè)，滿分100分.考試時(shí)間80分鐘.考生須知：1.答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用黑色字跡的簽字筆或鋼筆分別填寫(xiě)在試題卷和答題紙規(guī)定的位置上.2.答題時(shí)，請(qǐng)按照答題紙上“注意事項(xiàng)”的要求，在答題紙相應(yīng)的位置上規(guī)范作答，在本試題卷上的作答一律無(wú)效.3.非選擇題的答案必須使用黑色字跡的簽字筆或鋼筆寫(xiě)在答題紙上相應(yīng)的區(qū)域內(nèi)，作圖時(shí)可先使用2B鉛筆，確定后必須使用黑色字跡的簽字筆或鋼筆描黑.選擇題部分一、單項(xiàng)選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分.在每小題給出的四個(gè)備選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的，不選，多選，錯(cuò)選均不給分）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)交集的定義計(jì)算可得；【詳解】集合，，則.故選：C2.復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式計(jì)算即可.【詳解】復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)為.故選：A3.函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)偶次根式有意義的條件求解即可【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋蔬x：B4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用同角三角函數(shù)關(guān)系求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，?lián)立，解得：，故選：A5.已知，則下列計(jì)算正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由公式可得A、B；換底公式可得C；可得D.【詳解】，故A錯(cuò)；，故B錯(cuò)；，故C對(duì)；，故D錯(cuò).故選：C.6.在空間中，有一平面，平面內(nèi)有一直線，平面外有一點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是（）A.過(guò)點(diǎn)且與平面垂直的直線不止一條B.過(guò)點(diǎn)且與直線垂直的直線有且僅有一條C.過(guò)點(diǎn)的直線與直線的夾角的余弦值有可能為D.過(guò)點(diǎn)的直線與平面的夾角的余弦值不可能為【答案】D【解析】【分析】根據(jù)線線垂直、線面垂直的定義可判定A、B，利用線線夾角與線面夾角的定義可判定C、D.【詳解】過(guò)點(diǎn)且與平面垂直的直線有且只有一條，故A錯(cuò)誤；過(guò)點(diǎn)且與直線垂直的直線有無(wú)數(shù)條，故B錯(cuò)誤；兩條直線的夾角范圍在，所以其余弦值不能是負(fù)數(shù)，故C錯(cuò)誤；直線與平面的夾角范圍在，所以其余弦值不能是負(fù)數(shù)，故D正確.故選：D7.下圖為某同學(xué)兩次月考成績(jī)占總成績(jī)百分?jǐn)?shù)的扇形統(tǒng)計(jì)圖，已知該同學(xué)第一次月考總分低于第二次月考總分，則（）A.該同學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科成績(jī)一定下降 B.該同學(xué)政治學(xué)科成績(jī)一定下降C.該同學(xué)化學(xué)學(xué)科成績(jī)可能下降 D.該同學(xué)語(yǔ)文學(xué)科成績(jī)一定提升【答案】D【解析】【分析】根據(jù)扇形統(tǒng)計(jì)圖一一分析即可.【詳解】對(duì)于A：第一次月考數(shù)學(xué)成績(jī)占，第二次月考數(shù)學(xué)成績(jī)占，且第一次月考總分低于第二次月考總分，所以第二次月考數(shù)學(xué)成績(jī)比第一次數(shù)學(xué)成績(jī)要高，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：第一次月考政治成績(jī)占，第二次月考政治成績(jī)占，由于只知道第一次月考總分低于第二次月考總分，故無(wú)法判斷這兩次月考政治學(xué)科成績(jī)的變化，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：第一次月考化學(xué)成績(jī)占，第二次月考化學(xué)成績(jī)占，且第一次月考總分低于第二次月考總分，所以第二次月考化學(xué)成績(jī)比第一次化學(xué)成績(jī)要高，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：第一次月考語(yǔ)文成績(jī)占，第二次月考語(yǔ)文成績(jī)占，且第一次月考總分低于第二次月考總分，所以第二次月考語(yǔ)文成績(jī)比第一次語(yǔ)文成績(jī)要高，故D正確.故選：D8.在正四面體中，是的中點(diǎn)，在的延長(zhǎng)線上，，則異面直線和所成角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】連接，或其補(bǔ)角為異面直線和所成角，在中由余弦定理求得及和所成角的正弦值.【詳解】連接，因?yàn)?，是的中點(diǎn)，所以，所以或其補(bǔ)角為異面直線和所成角，設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為2，則，在中由余弦定理得，所以和所成角的正弦值為，故選：B9.已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，若對(duì)任意，，均有恒成立，則下列情形可能成立的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】對(duì)ACD，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷，對(duì)B舉例說(shuō)明不正確.【詳解】對(duì)A：若，所以，所以為單調(diào)遞減的指數(shù)函數(shù)，因此對(duì)任意，，均有恒成立，故A正確；對(duì)B：若，，函數(shù)無(wú)意義，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：若，所以，所以為單調(diào)遞增的指數(shù)函數(shù)，所以對(duì)任意，，均有恒成立，故C錯(cuò)誤；對(duì)D：若，所以，所以為單調(diào)遞增的指數(shù)函數(shù)，所以對(duì)任意，，均有恒成立，故D錯(cuò)誤；故選：A10.某地區(qū)的公共衛(wèi)生部門(mén)為了調(diào)查本地區(qū)中學(xué)生的吸煙情況，對(duì)隨機(jī)抽出的200名學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查.調(diào)查中使用了兩個(gè)問(wèn)題：?jiǎn)栴}1：你父親的公歷生日日期是不是奇數(shù)？問(wèn)題2：你是否經(jīng)常吸煙?調(diào)查者設(shè)計(jì)了一個(gè)隨機(jī)化裝置，這是一個(gè)裝有的50個(gè)白球和50個(gè)紅球的袋子，這些小球除了顏色外完全相同.每個(gè)被調(diào)查者隨機(jī)從袋中摸取一個(gè)球（摸出的球再放回袋中），摸到白球的學(xué)生如實(shí)回答問(wèn)題1，摸到紅球的學(xué)生如實(shí)回答問(wèn)題2.已知在被調(diào)查的200人中，共有54人回答“是”，試估計(jì)這個(gè)地區(qū)中學(xué)生吸煙的百分比最接近（）A.54% B.27% C.13.5% D.4%【答案】D【解析】【分析】設(shè)這個(gè)地區(qū)中學(xué)生吸煙的百分比為，利用全概率公式即可得解.【詳解】設(shè)這個(gè)地區(qū)中學(xué)生吸煙的百分比為，父親的公歷生日日期是奇數(shù)的概率為0.5，摸到白球、紅球的概率均為0.5，故回答“是”的概率為，解得，故選：D.11.若存在，使函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，則的最小值為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】由對(duì)稱中心知，討論的取值，找出正整數(shù)的最小值.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，所以，所以，所以，當(dāng)時(shí)不滿足，當(dāng)時(shí)，，所以，因?yàn)?，此時(shí)的最小值為3；當(dāng)時(shí)，，所以，因?yàn)椋藭r(shí)的最小值為6；一般的：，所以，當(dāng)正整數(shù)增大時(shí)，的最小值也越來(lái)越大，故的最小值為3；故選：C12.在邊長(zhǎng)為2的正方體中，取3條棱的中點(diǎn)構(gòu)成平面，平面截正方體的截面面積為，從剩余9條棱的中點(diǎn)在平面的投影為，記，當(dāng)最大時(shí)，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】截面為過(guò)棱中點(diǎn)的正六邊形，投影為兩個(gè)正六邊形的頂點(diǎn)，在平面中逐類(lèi)分析的取值情況，找出最小值.詳解】如圖：由正方體的對(duì)稱性知，過(guò)3條棱的中點(diǎn)的平面截正方體的截面面積最大時(shí)為過(guò)棱中點(diǎn)的正六邊形，其邊長(zhǎng)為，設(shè)截面與6條棱交點(diǎn)分別為，由正方體知體對(duì)角線，又，所以平面，延長(zhǎng)交棱延長(zhǎng)線于E，設(shè)此棱中點(diǎn)為B，則，作交平面于，所以平面，則為B在截面的投影，且為正邊的中線，又，所以是的重心，同理可得其余5條棱的中點(diǎn)在截面的投影到O的距離也為，由對(duì)稱性知，六邊形為棱長(zhǎng)為的正六邊形，如圖在平面中建立直角坐標(biāo)系，則可得四點(diǎn)共線，由對(duì)稱性知也共線,也共線，由正六邊形性質(zhì)知為正三角形，為邊長(zhǎng)的正三角形，邊長(zhǎng)的正三角形，所以，求的最小值先考慮為負(fù)值的情況，當(dāng)時(shí)，不妨令，在中，則，其余結(jié)果都非負(fù).當(dāng)時(shí)，則，其余結(jié)果都非負(fù).當(dāng)，時(shí)，不妨令，與夾角不超過(guò)，故，當(dāng)，時(shí)，不妨令，，，所以為鈍角，為銳角，，由對(duì)稱性知的取值情況同上，，綜上：的最小值為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題關(guān)鍵是找出各棱中點(diǎn)在截面的投影，根據(jù)兩個(gè)正六邊形的特點(diǎn)求出的所有可能取值.二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題4分，共16分.在每小題給出的四個(gè)備選項(xiàng)中，有多個(gè)是符合題目要求的，全部選對(duì)得4分，部分選對(duì)且沒(méi)有錯(cuò)得2分，不選，錯(cuò)選得0分）13.如圖，平行六面體的棱長(zhǎng)均相等，，則（）A.平面 B.平面C.平面 D.平面【答案】AC【解析】【分析】利用線面平行與線面垂直判定定理結(jié)合空間向量的運(yùn)算依次判斷選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，且，所以四邊形為平行四邊形，則，平面，平面，所以平面，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)槠叫辛骟w的棱長(zhǎng)均相等，所以四邊形為菱形，且，因?yàn)?，所以，所以與不垂直，則與平面不垂直，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)槠叫辛骟w的棱長(zhǎng)均相等，所以四邊形為菱形，且，所以，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，平面，且平面，所以與平面不平行，故D錯(cuò)誤；故選：AC14.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則（）A. B.C.3是的零點(diǎn) D.【答案】AB【解析】【分析】A選項(xiàng)，解不等式，求出定義域，得到；B選項(xiàng)，代入求值；C選項(xiàng)，令，求出零點(diǎn)；D選項(xiàng)，舉出反例.【詳解】A選項(xiàng)，，解得，故的定義域?yàn)椋?，解得，A正確；B選項(xiàng)，，，B正確；C選項(xiàng)，令，即，解得，故是的零點(diǎn)，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，故D錯(cuò)誤.故選：AB15.現(xiàn)有，兩個(gè)相同的箱子，其中均有除了顏色不同外其他均相同的紅白小球各3個(gè)，先從兩個(gè)箱子中各取出一個(gè)小球，，再將兩箱子混合后取出一個(gè)小球，事件：“小球?yàn)榧t色”，事件：“小球?yàn)榘咨保录骸靶∏驗(yàn)榧t色”，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的有（）A.發(fā)生的概率為 B.與互斥C.與相互獨(dú)立 D.發(fā)生的概率為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)古典概型公式判斷A，根據(jù)互斥事件的定義判斷B，根據(jù)相互獨(dú)立事件的定義判斷C，對(duì)于D，分兩種情況討論，若取出顏色相同與顏色不同，分別計(jì)算出概率即可判斷.【詳解】根據(jù)題意可得，故A錯(cuò)誤；根據(jù)互斥事件的定義可知與不互斥，故B錯(cuò)誤；由題可得，，所以與相互獨(dú)立，故C正確；對(duì)于D，事件分為兩類(lèi)：第一類(lèi),若先從兩個(gè)箱子取出顏色相同的小球,1、顏色都為白球,則混合后袋中有白球4個(gè),紅球6個(gè),取出紅球概率；2、顏色都為紅球,則混合后袋中有白球6個(gè),紅球4個(gè),取出紅球概率為第二類(lèi),若先從兩個(gè)箱子顏色不同的小球,則混合后袋中有白球5個(gè)，紅球5個(gè)，取出紅球概率為，故D不對(duì)，故選：ABD16.在中，，，，則（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】由余弦定理及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系判斷AB，根據(jù)誘導(dǎo)公式、二倍角的余弦公式及余弦函數(shù)的單調(diào)性判斷C，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律及數(shù)量積定義判斷D.【詳解】因?yàn)?，而，所以，故，故A正確；由A知，，所以，故B錯(cuò)誤；，若成立，只需成立，即，所以只需，即，而，，故成立，故C正確；因?yàn)?，所以，故D正確.故選：ACD非選擇題部分三、填空題（本大題共4小題，每空3分，共15分）17.數(shù)據(jù)5，8，9，12，12，15的第75百分位數(shù)為_(kāi)_________.【答案】12【解析】【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義計(jì)算即可.【詳解】由題意可知：，則從小到大第五個(gè)數(shù)為12.故答案為：1218.上、下底面面積分別為1，4，高為3的圓臺(tái)體積為_(kāi)__________.【答案】7【解析】【分析】由圓臺(tái)體積公式即可求解.【詳解】由題意知,,，所以.故答案為：.19.若定義在上的偶函數(shù)滿足，則___________，___________.【答案】①.1②.4【解析】【分析】由奇偶性及賦值得，，由得周期為2，可求.【詳解】在中令得，又為偶函數(shù)，所以，所以.由得，所以，所以的周期為2，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，在中令得，所以，所以，故答案為：1；420.已知正數(shù)a，b，c滿足，，則的最小值為_(kāi)__________.【答案】2【解析】【分析】使用不等式將放縮，使用“1”代換及基本不等式求得目標(biāo)最小值.【詳解】由題意知，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，綜上，當(dāng)時(shí)，的最小值為2.故答案為：2【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題求最小值關(guān)鍵是第一步用放縮法將放掉，第二步是將中的2代換為，將整式處理為，再用“1”的代換求最小值.四、解答題（本大題3小題，每小題11分，共33分）21.梅雨季節(jié)，楊梅上市，現(xiàn)有8筐楊梅，其中3筐是A種楊梅，5筐是B種楊梅，兩種筐子完全相同.（1）從中抽取1筐，直接寫(xiě)出所抽為A種楊梅的概率；（2）從中無(wú)放回地抽取2筐，求所抽筐都是A種楊梅的概率；（3）從中無(wú)放回地抽取2筐，求所抽筐中至少有1筐是B種楊梅的概率.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）利用古典概型的概率計(jì)算公式求解即可；（2）利用概率的獨(dú)立性計(jì)算求解即可；（3）利用對(duì)立事件的概率公式計(jì)算求解即可．【小問(wèn)1詳解】記事件A：所抽1筐為A種楊梅為A，則；小問(wèn)2詳解】記事件B：抽第2筐楊梅為A種；事件C：所抽2筐都是A種楊梅；則；小問(wèn)3詳解】記事件D：至少有1筐是B種楊梅；則.22.如圖，在底面為邊長(zhǎng)為2的菱形的四棱錐中，，平面平面，，設(shè)是棱上一點(diǎn)，三棱錐的體積為.（1）證明：；（2）求；（3）求二面角的正弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）（3）【解析】【分析】（1）取中點(diǎn)，連結(jié)，，證明平面，再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)即可得證；（2）作于，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)證明平面，再根據(jù)三棱錐的體積公式即可得解；（3）作交于的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，證明平面，則，則即為二面角的平面角，再解即可.【小問(wèn)1詳解】取中點(diǎn)，連結(jié)，，因?yàn)?，所以，在菱形中，，則是等邊三角形，所以，又平面，故平面，又平面，所以；【小問(wèn)2詳解】作于，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，所以，所以，所以；【小?wèn)3詳解】作交于的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，由平面，平面，得，又平面，所以平面，又平面，所以，所以即為二面角的平面角，.23.已知函數(shù)，的零點(diǎn)分別為，.（1）若，求；（2）是否存在，使？說(shuō)明理由；（3）若，用含的代數(shù)式表示最大值