第08講平行四邊形的判定

第08講平行四邊形的判定判定定理1兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形．如圖，在四邊形ABCD中，AB=CD，AD=BC．求證：四邊形ABCD是平行四邊形．證明：連接BD．∵AB=CD，AD=BC，BD是公共邊，∴△ABD≌△CDB．∴∠1=∠2，∠3=∠4．∴AB∥DC，AD∥BC．∴四邊形ABCD是平行四邊形．判定定理2兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形．已知：在四邊形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D．求證：四邊形ABCD是平行四邊形．證明：∵多邊形ABCD是四邊形，∴∠A+∠B+∠C+∠D=360°．又∵∠A=∠C，∠B=∠D，∴∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°．∴AD∥BC，AB∥DC．∴四邊形ABCD是平行四邊形．判定定理3對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．已知：如圖，在四邊形ABCD中，AC，BD相交于點O，且OA=OC，OB=OD．求證：四邊形ABCD是平行四邊形．證明：∵OA=OC，OB=OD，∠AOD=∠COB，∴△AOD≌△COB．∴∠OAD=∠OCB．∴AD∥BC．同理AB∥DC．∴四邊形ABCD是平行四邊形．判定定理4一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.已知：如圖，在四邊形ABCD中，AB//CD，AB=CD，求證：四邊形ABCD是平行四邊形.證明：連接AC.∵AB//CD，∴∠1=∠2．又∵AB=CD，AC=CA，∴△ABC≌△CDA．∴BC=DA．∴四邊形ABCD是平行四邊形．平行四邊形的判定有五種：（1）兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；（2）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；（3）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；（4）兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；（5）對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．【注意】（1）判定方法可作為“畫平行四邊形”的依據(jù)．（2）一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形不一定是平行四邊形，有可能是等腰梯形．（3）一組對邊相等，一組對角相等的四邊形也不一定是平行四邊形．（4）兩組鄰邊分別相等或兩組鄰角分別相等都不能判定四邊形是平行四邊形．考點剖析考點一、平行四邊形的判定條件【例1】如圖，在四邊形中，與相交于點，下列條件不能判定四邊形為平行四邊形的是（

）

A．， B．，C．， D．，【答案】C【解析】解：A．根據(jù)“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”可判定四邊形為平行四邊形，故此選項不符合題意；B．根據(jù)“兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形”可判定四邊形為平行四邊形，故此選項不符合題意；C．“一組對邊平行，另一組對邊相等”的四邊形也可能是等腰梯形，故本選項符合題意；D．根據(jù)“對角線互相平分的四邊形是平行四邊形”可判定四邊形為平行四邊形，故此選項不符合題意；故選C．【變式1】根據(jù)圖中所給的邊長及角度，下列四邊形中，一定可以判定為平行四邊形的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由，可知一組對邊平行，另一組對邊相等，不一定是平行四邊形，所以A不符合題意；由，可知一組對邊平行，平行線間距離是5，可知另一組對邊平行，該四邊形是平行四邊形，所以B符合題意；由，可知一組對邊平行，另一組對邊無法確定，不一定是平行四邊形，所以C不符合題意；由，可知一組對邊平行，另一組對邊無法確定，不一定是平行四邊形，所以D不符合題意．故選B．考點二、由兩組對邊的關(guān)系判定平行四邊形【例2】如圖，在平行四邊形中，分別是，的角平分線．求證：四邊形是平行四邊形．

【解析】∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，又∵分別是，的角平分線，∴．∴，∴，∴四邊形是平行四邊形.【變式2】如圖，已知都是等邊三角形，點不在同一條直線上．你能證明四邊形是平行四邊形嗎？【解析】證明：都是等邊三角形，．，即．．．又∵在等邊三角形中，，，同理可得．∴四邊形是平行四邊形．考點三、由一組對邊的關(guān)系判定平行四邊形【例3】如圖，點D，C在上，，，．

(1)求證：；(2)連接，，判定四邊形的形狀，并說明理由．【解析】（1）證明：∵，∴，∵，∴，即，在與中，∴，∴；（2）判定：四邊形為平行四邊形，理由如下：由（1）知，∴，∴，又∵，∴四邊形為平行四邊形．【變式3】如圖，已知是等邊三角形，點D、F分別在線段、上，，．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若，求證：．【解析】（1）證明：是等邊三角形，，，，，，四邊形是平行四邊形；（2）證明：如圖，連接，，是等邊三角形，，，，是等邊三角形，，，在與中，，，．考點四、由對角線的關(guān)系判定平行四邊形【例4】如圖，將平行四邊形的對角線向的兩個方向延長，分別至點和點，且使得，求證：四邊形為平行四邊形．

【解析】連接，與交于點O．如圖所示：

∵四邊形是平行四邊形，∴，又∵，∴，即．∴四邊形是平行四邊形．【變式4】已知：如圖，在中，E，F(xiàn)是對角線上的兩點，G，H是對角線上的兩點，，．求證：四邊形是平行四邊形．【解析】證明：在中，，因為，，所以，所以，所以四邊形是平行四邊形．考點五、添加條件使四邊形是平行四邊形【例5】如圖，在四邊形中，，，垂足分別為點E，F(xiàn)，連接．(1)請你只添加一個條件（不另加輔助線），使得四邊形為平行四邊形，你添加的條件是；(2)在（1）中添加條件后，請證明四邊形為平行四邊形．【解析】（1）解：；根據(jù)，，可得，再添加，利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可判定；故答案為：（答案不唯一）．（2）證明：∵，，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形．【變式5】如圖，平行四邊形ABCD中，E、F是對角線BD上不同的兩點，添加個條件，使得四邊形AECF為平行四邊形．(1)現(xiàn)有四個條件：①BE＝DF；②AF∥CE；③AE＝CF；④∠BAE＝∠DCF．你添加的條件是：（填一個序號即可）(2)在（1）的基礎(chǔ)上，求證：四邊形AECF是平行四邊形．【解析】（1）解：添加①，證明AE＝CF，AECF，可根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得出結(jié)論；添加②，證明AF＝CE，可根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得出結(jié)論；添加④，證明AE＝CF，AECF，可根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得出結(jié)論；添加③不能得出四邊形AECF為平行四邊形．故答案為：①或②或④（填一個即可）；（2）證明：如圖，添加①BE＝DF時，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，ABCD，∴∠ABE＝∠CDF，∵BE＝DF，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，∴∠AEF＝∠CFE，∴AECF，∴四邊形AECF是平行四邊形；添加②AFCE時，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴ADBC，AD＝BC，∴∠ADF＝∠CBE，∵AFCE，∴∠AFE＝∠CEF，∴∠AFD＝∠CEB，∴△ADF≌△CBE（AAS），∴AF＝CE，∵AFCE，∴四邊形AECF是平行四邊形；添加④∠BAE＝∠DCF時，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，ABCD，∴∠ABE＝∠CDF，∵∠BAE＝∠DCF，∴△ABE≌△CDF（ASA），∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，∴∠AEF＝∠CFE，∴AECF，∴四邊形AECF是平行四邊形．考點六、與已知三點構(gòu)成平行四邊形【例6】在平面直角坐標(biāo)系中，已知點、、，在坐標(biāo)平面內(nèi)找一點D，使得以A，B，C，D四點組成的四邊形為平行四辺形，請寫出D點坐標(biāo)：．【答案】，，【解析】解：①當(dāng)為邊且為鄰邊時：如圖，

因為點、，所以點先向右平移3個單位，再向上平移2個單位得點，相應(yīng)地，點先向右平移3個單位，再向上平移2個單位得點，，；②當(dāng)為邊且為鄰邊時：如圖，

因為點、，所以點先向左平移2個單位，再向上平移1個單位得點，相應(yīng)地，點先向左平移2個單位，再向上平移1個單位得點，，；③當(dāng)為對角線時：如圖，

因為點、，所以點先向右平移2個單位，再向下平移1個單位得點，相應(yīng)地，點先向右平移2個單位，再向下平移1個單位得點，，；故答案為：，，．【變式6】平面直角坐標(biāo)系中，，，，為平面內(nèi)一點若、、、四點恰好構(gòu)成一個平行四邊形，則平面內(nèi)符合條件的點的坐標(biāo)為．【答案】或或【解析】解：如圖，

當(dāng)，時，點的坐標(biāo)為；當(dāng)，時，點的坐標(biāo)為；當(dāng)，時，點的坐標(biāo)為；綜上所述，滿足條件的點的坐標(biāo)為或或，故答案為：或或．考點七、平行四邊形與動點問題【例7】如圖，在四邊形中，，，，點從點出發(fā)，向以的速度運動，到點即停止．點從點出發(fā)，向以的速度運動，到點即停止，點，同時出發(fā)，設(shè)運動時間為.(1)用含t的代數(shù)式表示：_________；___________；(2)當(dāng)t為何值時，四邊形是平行四邊形？(3)是否存在某一時刻t，使四邊形是平行四邊形？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．【解析】（1）解：∵點以的速度運動，點以的速度運動，∴，，故答案為：tcm，．（2）解：∵，∴，∴當(dāng)時，四邊形是平行四邊形，∴，解得，∴當(dāng)時，四邊形是平行四邊形；（3）解：∵，∴，∴當(dāng)時，四邊形是平行四邊形，∵，，∴，解得：，∴存在，當(dāng)時，四邊形是平行四邊形．【變式7】在四邊形中，，，，，點從出發(fā)以1cm/s的速度向運動，點從點出發(fā)，以2cm/s的速度向點運動，當(dāng)其中一點到達(dá)終點，而另一點也隨之停止，設(shè)運動時間為t．

若是上一點，且，t取何值時，以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形？【解析】解：∵，是上一點，即，①當(dāng)點在線段上，時，以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形，則有，解得，②當(dāng)在線段上，時，以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形，則有，解得，綜上所述，s或s時，以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形．過關(guān)檢測一、單選題1．在下列命題中，是假命題的是（

）A．兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形B．有一組對邊相等，一組對邊平行的四邊形是平行四邊形C．一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形D．對角線互相平分的四邊形是平行四邊形【答案】B【解析】解：A、兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，是真命題，故本選項不符合題意；B、有一組對邊相等，一組對邊平行的四邊形可能是等腰梯形，原命題是假命題，故本選項符合題意；C、一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，是真命題，故本選項不符合題意；D、對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，是真命題，故本選項不符合題意；故選B．2．如圖，在四邊形中，對角線與相交于點，下列條件中不能判定四邊形是平行四邊形的是（）A．， B．，C．， D．，【答案】D【解析】解：A、∵，，∴四邊形是平行四邊形，故選項A不符合題意；B、∵，，∴四邊形是平行四邊形，故選項B不符合題意；C、∵，，∴四邊形是平行四邊形，故選項C不符合題意；D、由，，不能判定四邊形是平行四邊形，故選項D符合題意．故選D．3．如圖，點是內(nèi)的一點，過點作直線、分別平行于、，與的邊分別交于、、、．則圖中平行四邊形的個數(shù)為（

）A．4個 B．5個 C．8個 D．9個【答案】D【解析】解：∵四邊形為平行四邊形，∴，∵過點作直線、分別平行于、，∴，∴四邊形均為平行四邊形，∴加上共9個；故選D．4．如圖，，，且平分，則下列結(jié)論：；；．其中正確的個數(shù)是（）

A． B． C． D．【答案】C【解析】解：∵，，∴，，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴正確；∵，∴，∵，∴，∴正確；∵四邊形是平行四邊形，∴，∴與不會全等，∴錯誤．故選．二、填空題5．如圖，D是直線l外一點，在l上取兩點A，B，連接AD，分別以點B，D為圓心，AD，AB的長為半徑畫弧，兩弧交于點C，連接CD，BC，則四邊形ABCD是平行四邊形，理由是．【答案】兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形【解析】由題意可知，AD=BC，AB=CD，所以四邊形ABCD是平行四邊形.故答案為：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.6．如圖，四邊形的對角線相交于點，．請?zhí)砑右粋€條件：，使四邊形是平行四邊形（寫出一種情況即可）．【答案】（答案不唯一）【解析】∵，∴AD∥BC，∴可添加，得四邊形是平行四邊形，故答案為：（答案不唯一）.7．在四邊形中,,為兩條對角線,若,,則在下列結(jié)論中,不正確的是．；；；.【答案】【解析】解:∵,∴,在和中,,∴,∴,故正確；,故正確；,故錯誤；∴四邊形是平行四邊形,,故正確．故答案為:．8．如圖，O是等邊三角形內(nèi)任意一點，過點O作分別交于點G，H，I，已知等邊三角形的周長為18，則．【答案】6【解析】解：∵，∴則四邊形和四邊形都是平行四邊形，∵是等邊三角形，∴是等邊三角形，則，∴，∴，∵的周長為，∴．故答案為：6．9．如圖所示，四邊形是平行四邊形，按下列條件得到的四邊形是平行四邊形的有個．①圖甲，；②圖乙，平分，平分；③圖丙，是的中點，是的中點；

④圖丁，是上一點，．【答案】3【解析】①∵四邊形是平行四邊形，，，，，，，∴四邊形是平行四邊形；②∵四邊形是平行四邊形，，，平分，平分，，在和中，，，，，，∴四邊形是平行四邊形；③∵四邊形是平行四邊形，，是的中點，是的中點，，，，∴四邊形是平行四邊形；④∵四邊形是平行四邊形，，是上一點，，無法判斷，∴四邊形不一定是平行四邊形；綜上所述，能得到四邊形是平行四邊形的個數(shù)是3，故答案為：3．10．如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都為1，點A、B、C在網(wǎng)格中的位置如圖所示，建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，使點A、B、C的坐標(biāo)分別為、、，在平面直角坐標(biāo)系中找一點D，使以A、B、C、D四點為頂點的四邊形是平行四邊形，請寫出所有符合條件的點D的坐標(biāo)：．【答案】或或【解析】解：根據(jù)題意得，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系．當(dāng)，時，；當(dāng)，時，；當(dāng)，時，．故答案為：或或．三、解答題11．已知：在的邊，上分別取一個點，，使得，，連接，．求證：

(1)四邊形是平行四邊形；(2)