走進(jìn)數(shù)學(xué)建模世界教學(xué)設(shè)計(jì)

第二屆東冰?中國I廊舐學(xué)師范專業(yè)

理科大學(xué)生教學(xué)技能創(chuàng)新實(shí)踐大賽

參賽教案

課題:走進(jìn)數(shù)學(xué)建模世界

教材：修①3。2函數(shù)模型及其應(yīng)用

授課對(duì)象：高一學(xué)生

參賽選手：華南師范大學(xué)黃澤君

選手專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)（師范）

數(shù)學(xué)的魅力在于,

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她能以穩(wěn)定的模式駕馭流動(dòng)的世界!

《走進(jìn)數(shù)耨模世界》

【教材】人教版數(shù)學(xué)必修①3。2函數(shù)模型及其應(yīng)用【課時(shí)卻Q第4課時(shí)

【教學(xué)對(duì)象】高■浮生【授i瞰師】華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院黃澤君

【教材分析】數(shù)學(xué)建模是高中數(shù)學(xué)新課程的新增內(nèi)容，但《標(biāo)準(zhǔn)》中沒有對(duì)數(shù)學(xué)

建模的課時(shí)和內(nèi)容作具體安排，只是建議懶學(xué)建模穿插在相關(guān)模塊的教學(xué)中.

而32函數(shù)模型及其應(yīng)用“一節(jié)只是通過六個(gè)例子介紹一次函數(shù)、二^函數(shù)、

頻函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)與幕函數(shù)在解決實(shí)際問題中的作用，為以后的數(shù)例年踐

打基礎(chǔ)，還未能使學(xué)生真I■解數(shù)學(xué)建模的真實(shí)全過程.本節(jié)課通過一個(gè)較為真實(shí)

的數(shù)學(xué)建模案例，以彌木康材的這一不足。

【學(xué)情分析】高一學(xué)生在進(jìn)入本節(jié)課的學(xué)習(xí)之前，需要腌前面已學(xué)過的二次函

數(shù)與三角函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)。

【教學(xué)目標(biāo)】

今知識(shí)與技能

(1)初步理解數(shù)學(xué)模型、數(shù)學(xué)建模兩個(gè)概念；

(2)掌握框圖2--數(shù)學(xué)建模的過程。

今過程與方法

(1)經(jīng)歷解決實(shí)際問題的全過程，初步掌握函數(shù)模型的思想與方法；

(2)提高學(xué)生通過建立函數(shù)模型解決實(shí)際問題的能力。

今情感態(tài)度價(jià)值觀

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(1)體驗(yàn)將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的數(shù)學(xué)化過程；

(2)感受數(shù)學(xué)的實(shí)用價(jià)值，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)；

(3)體味數(shù)學(xué)以不變應(yīng)萬變的魅力。

【教學(xué)重點(diǎn)】框圖2—數(shù)學(xué)建模的過程.

［教學(xué)難點(diǎn)、關(guān)鍵］方案二中答案的探索;關(guān)鍵是運(yùn)用合情推理.

【教學(xué)方法】引導(dǎo)探索、討論交施

【教狩段】PPT、幾何1杭

【教學(xué)過程設(shè)計(jì)】

-教學(xué)艇削

設(shè)計(jì)意圖：與大學(xué)數(shù)學(xué)建模相比，過去的中學(xué)

實(shí)際問題化為------

教學(xué)建模缺少理想化(模型假設(shè))i文一事要的

設(shè)計(jì)意圖：展示將理想化問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題

演化問題化為_____

..............—J

求解數(shù)學(xué)模型設(shè)計(jì)意圖：展示"解模"過程.

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設(shè)計(jì)意圖：

數(shù)學(xué)建模過程

設(shè)計(jì)意圖：

1.讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模中的優(yōu)化過程；

設(shè)計(jì)意圖：

什么是1.使學(xué)生獲得科學(xué)的數(shù)學(xué)建模理論：數(shù)學(xué)建模

與數(shù)學(xué)模型的概念、數(shù)學(xué)建模的具體過程;

■

設(shè)計(jì)意圖：

牛刀小試1.根據(jù)桑代克的練習(xí)律與斯金納的強(qiáng)化原理設(shè)

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現(xiàn)有寬為a的長方形板材，請將它設(shè)計(jì)制

(―)成向來的開口的長條形水槽，使水槽能通過

的流水量最大。

實(shí)際教師學(xué)生與大學(xué)

引導(dǎo)聽講數(shù)學(xué)建

化為學(xué)生思量模相比，

臃閱讀過去的

化問iQA理解中學(xué)數(shù)

題1.初步整化問題學(xué)建模

估計(jì)在單位時(shí)間內(nèi)，該水槽能通過的流水量取決缺少理

時(shí)間于水流速度和它的橫截面積。我們將問題理并將想化這

2想化/限定水流速度是一定的.那末，要在單其理一重要

分鐘位時(shí)間內(nèi)獲得最大的流水量，就應(yīng)該將水槽想化的環(huán)節(jié)。

設(shè)計(jì)成橫截面積最大。于是，問題化歸為：本環(huán)節(jié)

現(xiàn)有寬為a的長方形板材，請將它設(shè)計(jì)制成意在恢

一開口的長條形水槽，使水槽的橫截面積最復(fù)數(shù)學(xué)

尢"建模的

2,注■步理?化真實(shí)面

如果將水槽的橫截面設(shè)計(jì)成矩形，那末這目。

一實(shí)際問題可以轉(zhuǎn)化為理想化問題：

如下圖所示，要建造一個(gè)橫截面為矩形

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ABCD的水槽，并且AB,BC,CD的長度

之和等于a.問應(yīng)當(dāng)怎樣設(shè)計(jì)水槽的深度和寬

度，使水槽的橫截面積最大?

/

A.

B'/1

(-)1.尋覓變量以及變量之間的關(guān)系

在此問題中，水槽的深度是一個(gè)變量，寬展示將

將理度是另一個(gè)變量，橫截面積也是一個(gè)變量。教師學(xué)生理想化

設(shè)AB=x,BC=y。矩形ABCD的面積為S。引導(dǎo)聽講問題轉(zhuǎn)

問題那末，這三個(gè)變量之間的關(guān)系是S=xy。講解思量化為數(shù)

變量S由兩個(gè)變量x和y確定如果我們學(xué)問題

為數(shù)

能使面積S表達(dá)式只由一慳量確定，那末的數(shù)學(xué)

學(xué)問我們研究的問題就可以簡化，這就需要尋覓化過程.

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題兩個(gè)變量X和y之間的關(guān)系.顯然，

估計(jì)2x+y=a.

時(shí)間2,建譴學(xué)模型

3S=x(a-2x)

分鐘.將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)純數(shù)學(xué)問題：

當(dāng)X取何值時(shí)，函數(shù)S=x(a-2x)(0<xT)

2

有最大值？

因?yàn)镾=x(a-2x)-2(x-a)2〈歲,

848

所以，當(dāng)x=工時(shí)，s有最大值0.125a2。

4

(三)教師學(xué)生展

止忸寸,v=a-2x=：.

2

引導(dǎo)聽講示

瞬分析思量解

講解求解模

堀模型過

當(dāng)水槽的橫截面設(shè)計(jì)成矩形時(shí),只要將深度、

程

寬度分別設(shè)計(jì)為工和生時(shí)，可得到最大的橫

42

截面積，從而口J獲得最大的流水量。

結(jié)果

可將上述數(shù)學(xué)建模的過程概括為下面的

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估計(jì)框圖1:

時(shí)間

2

分鐘

結(jié)合這

（四）教師學(xué)生一實(shí)際

引導(dǎo)聽講問題的

數(shù)學(xué)講解思量解決過

程，概括

過程出數(shù)學(xué)

建模的

估計(jì)基本過

時(shí)間程，以實(shí)

2分現(xiàn)由具

鐘?體到抽

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象的升

華。

（五）我們前面的設(shè)計(jì)是將橫截面設(shè)計(jì)成矩形，

將深度、寬度分別設(shè)計(jì)為a.和工時(shí)，可得到教師學(xué)生1.讓學(xué)

42

融最大的橫截面積，將學(xué)動(dòng)手生經(jīng)歷

解的如果將水槽的橫截面分別按照下圖中的生分探索數(shù)學(xué)建

屐五種方案進(jìn)行設(shè),結(jié)果又如何呢？成五各自模中的

估計(jì)個(gè)小的優(yōu)化i寸

方案一方案二

時(shí)間組，程；

7?h__A并巡方案2.培養(yǎng)

分鐘a

T腌學(xué)生的

三角能然腰描形

分探究意

方案三方案四領(lǐng)識(shí)。

2決問

5

445$題.

四個(gè)底角都為五個(gè)底角都為

67.5。的等腰三角形72。的等腰三角形

由

一

缺IT

少

導(dǎo)

數(shù)

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下面，我們將全班分成5個(gè)小組，分別

探索五個(gè)方案的設(shè)計(jì)。最后派代表報(bào)告本小

組的探索結(jié)果。

:S=1X（a—x）sin9共！X（a—x）

教師學(xué)生通過觀

22

=—_J（x—'la）?共絲=0.125a2.總結(jié)代表察、試

8228

點(diǎn)評(píng)講解算估算

浮=900,且x=_Ja時(shí)，S=0.125a2.

2max

各自與數(shù)學(xué)

a士

轆75^^:s=1（2a+2._.sin9）cos9

2333方案實(shí)驗(yàn)，培

解的

=^（1+sin9）cos9

9的答養(yǎng)學(xué)生

腐

（演示數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)）案的合情

西

9=30o時(shí),S必0.144a2推理能

估計(jì)mas

并指

方案三（四個(gè)底角為67.5。的等腰三角形）：力和數(shù)

時(shí)間出運(yùn)

火犬必用導(dǎo)

S=44tan67.500.151a2.學(xué)發(fā)現(xiàn)

248數(shù)工

7

具可

方案四（五個(gè)底角為72。的等腰三角形）：能力.

分鐘以證

S=5人［&舄tan72o必0.154a2.明我

們的

答案

方案五：

是正

確的

a\己2

?.?幾r=a,：r石.：S—幾12二^必0.159a2.

幾22幾

通過比較以上五種方案和橫截面設(shè)計(jì)為

矩形時(shí)的情況可以得出，方案五是這個(gè)實(shí)際

問題的最優(yōu)解，即：

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將水槽的橫截面設(shè)計(jì)為半徑為土的半圓

形時(shí)，從而RJ狀得最大的流水量。

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以上我們進(jìn)行了六種設(shè)計(jì)方案的探索后，才

找到了該問題的最優(yōu)解。這就表明，數(shù)學(xué)建

模需要對(duì)所得到的結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)評(píng)價(jià)，以確教師學(xué)生1.使學(xué)

認(rèn)結(jié)果是否合理，是否是較好的結(jié)果.如果結(jié)講解聽講生獲得

（六）果不滿意，就需要重新回到"理想化問題”概括思量科學(xué)的

這一環(huán)節(jié)。于是，我們就可以概括出一個(gè)較數(shù)學(xué)建

什么為完善的數(shù)學(xué)建模過程的框圖。模理論：

是框圖2:數(shù)學(xué)建

數(shù)學(xué)模與數(shù)

實(shí)際問題

學(xué)模型

重新理想化

理想化問題

估計(jì)f尋覓變量關(guān)系數(shù)學(xué)建

時(shí)間模的具

f建立數(shù)學(xué)模型

6體過程；

分鐘2.體會(huì)

數(shù)學(xué)以

求解數(shù)學(xué)模型

不變應(yīng)

結(jié)果不理想

萬變的

結(jié)果是不合理

魅力；

是

問題獲得解決

3.彌補(bǔ)

《標(biāo)準(zhǔn)》

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中數(shù)學(xué)

的建模

理論的

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根據(jù)這個(gè)框圖，我們就可以來回答什么是數(shù)

猙模？

數(shù)學(xué)建模(MathematicalModelling):

就是運(yùn)用數(shù)學(xué)化的手段從實(shí)際問題中提煉、

抽象出一個(gè)數(shù)學(xué)模型，求出模型的解，檢驗(yàn)?zāi)?/p>

型的合理性，從而使這一實(shí)際問題得以解決

的過程.

數(shù)學(xué)模型就是用數(shù)學(xué)語言符號(hào)來描述

客觀事物的特征及芟內(nèi)在聯(lián)系的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)

表達(dá)式.例如，各種函數(shù)、方程、不等式、

不等式組等等都是比較常見的數(shù)學(xué)模型。

世界上最簡單的數(shù)學(xué)模型是表示數(shù)的

字母a。數(shù)學(xué)模型"a”有兩方面的含義：

1。作為結(jié)果，她表示的是一個(gè)確定的

數(shù)值，可以參預(yù)運(yùn)算；

2。作為過程，她表示的是一個(gè)變量:可

大可??；可正可負(fù)；可以是有理數(shù)也可以使

也瞰

由于數(shù)學(xué)模型具有高度的抽象性、概括

性和結(jié)構(gòu)的確定性，所以數(shù)學(xué)模型能以不變應(yīng)

萬變。不管是中文還是英文，一個(gè)字所能表

達(dá)的意義十分有限，但我們的數(shù)學(xué)模型"a"

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卻可以表示無窮無盡的對(duì)象——流動(dòng)的世

界。

又比如說勾股定理，這一模型可以用來

處理數(shù)以億計(jì)的實(shí)際問題。從小到斜邊長為

一微米的直角三角形到大至斜邊長為十萬八

千里的直角三角形，只要是直角三角形，它們

居然都滿足同樣的結(jié)構(gòu)模型：

斜邊的平方等于兩條直角邊的平方之和。

我不知道,這個(gè)世界上還有什么學(xué)科象數(shù)學(xué)這

樣如此簡潔，如此概括，如此統(tǒng)一。

我只知道：

"數(shù)學(xué)的魅力在于，

她能以穩(wěn)定的模式駕馭流動(dòng)的世界！"

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如下圖，某房地產(chǎn)公司擁有一塊“缺角矩

1O根據(jù)

形“荒地ABCDE,邊長和方向如圖所示，欲在練習(xí)律

（七）這塊地上建一座地基為長方形東西走向的公教師學(xué)生和強(qiáng)化

寓，請劃出這塊地基，并求地基的最大面積。動(dòng)手凰里，強(qiáng)

牛刀\北說明解決化剛剛

100m

小試A問題.問題獲得的

估計(jì)西最后數(shù)學(xué)建

80m

時(shí)間60m演示模理論；

\______________

14C70mD數(shù)學(xué)2.培養(yǎng)

分鐘數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn).學(xué)生的

問題解

能力。

1.小結(jié)1。小結(jié)

這節(jié)課，我們通過解決一個(gè)實(shí)際問題，帶意在強(qiáng)

(A)大家走進(jìn)了數(shù)學(xué)建模世界。教師學(xué)生化數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)建模就是……；講解內(nèi)化建模理

。冷數(shù)學(xué)模型就是……;點(diǎn)化數(shù)學(xué)論，成

與數(shù)學(xué)建模的具體過程……建模知識(shí)組

陶我們還感受到了理論塊；

思量"數(shù)學(xué)的魅力在于，2.設(shè)計(jì)

她能以穩(wěn)定的模式駕馭流動(dòng)的世界！"四個(gè)課

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估計(jì)2.課后思■:后思考

時(shí)間(1)將各方案中的圖形沿虛線向上翻折，并觀察思曲目

2考：周長為2a的凸多邊形，什么時(shí)候面積最大？教師學(xué)生的是培

分鐘(2)家庭物理小實(shí)驗(yàn)呈現(xiàn)思量養(yǎng)學(xué)生

先將一條長度固定的柔軟絲線的兩頭連接起問題準(zhǔn)備的數(shù)學(xué)

來，再將此封閉的曲線輕輕放在一個(gè)蒙有肥皂膜的解決探究能

問題1：

正方形(邊長約5cm)鐵絲框上的肥皂膜上(注意，問題力、動(dòng)手

是讓學(xué)

生探索

別弄破肥皂膜！),最后用小釘將曲線內(nèi)的肥皂膜刺實(shí)踐能

發(fā)現(xiàn)周問題2:

長一定讓學(xué)生

破。你觀察到什么現(xiàn)象，說明了什么問題？力和數(shù)

的凸多通過動(dòng)

邊形中手實(shí)踐

(3)請你匡助吉東皇后解決問題學(xué)創(chuàng)新

，正多發(fā)現(xiàn)周

邊形的長一定

吉東是泰雅皇帝的女兒，歷經(jīng)周折，逃到非洲，意識(shí)。

面積最的圖形

大.中，圓

且成為迦太基的創(chuàng)始人和第一位奇妙的皇后。剛到

的面積

最大.問題3：

非洲時(shí)，吉東要在靠海岸線的地方購買"一張獸皮"

是等周間

題在解決

的土地：她把獸皮剪成細(xì)條，結(jié)成長繩，剩下的問

實(shí)際問題

中的應(yīng)

題是:怎么圍，才會(huì)得到最多的土地呢？