專題5概率的計算

概率的計算

興知識精講

一.用列表法和樹狀圖法求事件的概率

1.列表法：當(dāng)試驗中存在兩個元素且出現(xiàn)的所有可能的結(jié)果較多時，為了不重不

漏地列舉出所有可能的結(jié)果，我們采用列表法來求出某事件的概率.

2.樹狀圖法：當(dāng)一個事件涉及三個或更多元素時，為不重不漏地列出所有可能的

結(jié)果，通常采用樹形圖法來求出某事件的概率.樹形圖列舉法一般是選擇一個元

素再和其他元素分別組合，依次列出，象樹的樹丫形式，最末端的樹丫個數(shù)就是

總的可能的結(jié)果.

二.用頻率估計概率

實際上，從長期實踐中，人們觀察到，對一般的隨機(jī)事件，在做大量重復(fù)試驗時，

隨著試驗次數(shù)的增加，一個時間出現(xiàn)的頻率，總在一個固定的數(shù)附近擺動，顯示

出一定的穩(wěn)定性.因此，我們可以通過大量的重復(fù)試驗，用一個隨機(jī)事件發(fā)生的

頻率去估計它的概率.

等可能事件的概率

一般地，如果一個試驗有〃個等可能的結(jié)果，事件A包含其中的機(jī)個結(jié)果,

那么，那么事件A發(fā)生的概率為：P（A）=仝.

n

等可能事件有：任意投擲一枚均勻的骰子，任意在一模一樣的球中抽取其中

一個.

知識點一：概率

L概率及公式

定義表示一個事件發(fā)生的可能性大小的數(shù).

概率公式P（A）=-（m表示試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，〃表示所有等可能出

n

現(xiàn)的結(jié)果的次數(shù)）.

例：設(shè)有12只型號相同的杯子，其中一等品7只，二等品3只，三等品2只，

則從中任意取出一只是二等品的概率是L

4

例：設(shè)有12只型號相同的杯子，其中一等品7只，二等品3只，三等品2只,

則從中任意取出一只是二等品的概率是L

4

2.用頻率可以估計概率

一般地，在大量重復(fù)試驗中，如果事件A發(fā)生的頻率里會穩(wěn)定在某個常數(shù)p附

n

近，那么事件A發(fā)生的概率P(A)=p=竺.

n

例：在一個不透明的布袋中裝有黃、白兩種顏色的球，除顏色外其他都相同，小

紅通過多次摸球試驗后發(fā)現(xiàn)，摸到黃球的頻率穩(wěn)定在0.3左右，則摸到白球的概

率為22.

1.利用頻率估算法：大量重復(fù)試驗中，事件A發(fā)生的頻率巴會穩(wěn)定在某個常

m

數(shù)p附近，那么這個常數(shù)p就叫做事件A的概率(有些時候用計算出A發(fā)生的

所有頻率的平均值作為其概率).

2.狹義定義法：如果在一次試驗中，有n種可能的結(jié)果，并且它們發(fā)生的可

能性都相等，考察事件A包含其中的m中結(jié)果，那么事件A發(fā)生的概率為P(A)

_m

n

3.列表法：當(dāng)一次試驗要設(shè)計兩個因素，可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多時，為

不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用列表法.其中一個因素作為行標(biāo)，另

一個因素作為列標(biāo).

4、當(dāng)事件中涉及的有兩個以上的因素時，用樹形圖的形式不重不漏地列出所有

可能的結(jié)果的方法叫樹形圖法.

3.事件的類型及其概率

事件類型概率

確定性事件1或0

必然事件1

不可能事件0

不確定性事件(隨機(jī)事件)0<P(A)<l

例：下列4個事件：①異號兩數(shù)相加，和為負(fù)數(shù)；②異號兩數(shù)相減，差為正數(shù);

③異號兩數(shù)相乘，積為正數(shù)；④異號兩數(shù)相除，商為負(fù)數(shù).其中必然事件是④,

不可能事件是③.

知識點二：隨機(jī)事件概率的計算

4隨機(jī)事件概率的計算方法

（1）一步完成：直接列舉法，運用概率公式計算；

（2）兩步完成：列表法、畫樹狀圖法；

（3）兩步以上：畫樹狀圖法

樹狀圖與列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，列表法適合于兩步完

成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件.

知識點三：幾何概率的計算*

5.幾何概率的計算方法

求出陰影區(qū)域面積與總面積之比即為該事件發(fā)生的概率.

幾何概率的考查一般結(jié)合特殊三邊形、四邊形或圓的基本性質(zhì)，不一定把具體的

面積求出來，只需要求出比值即可.

【經(jīng)典例題1】（2020?邵陽）如圖①所示，平整的地面上有一個不規(guī)則圖案（圖

中陰影部分），小明想了解該圖案的面積是多少，他采取了以下辦法：用一個長

為5〃?，寬為4,”的長方形，將不規(guī)則圖案圍起來，然后在適當(dāng)位置隨機(jī)地朝長方

形區(qū)域扔小球，并記錄小球落在不規(guī)則圖案上的次數(shù)（球扔在界線上或長方形區(qū)

域外不計試驗結(jié)果），他將若干次有效試驗的結(jié)果繪制成了②所示的折線統(tǒng)計圖,

由此他估計不規(guī)則圖案的面積大約為（）

60120180240300360420實立次數(shù)

圖①圖②

A.B.777?2C.8/H2D.9m2

【解答】假設(shè)不規(guī)則圖案面積為X1，

由已知得：長方形面積為20療，

根據(jù)幾何概率公式小球落在不規(guī)則圖案的概率為：

20

當(dāng)事件A試驗次數(shù)足夠多，即樣本足夠大時，其頻率可作為事件A發(fā)生的概率估

計值，故由折線圖可知，小球落在不規(guī)則圖案的概率大約為0.35,

綜上有：—=0.35,解得x=7.

故選：B.

練習(xí)1-1（2020?湘潭）為慶祝建黨99周年，某校八年級（3）班團(tuán)支部為了讓同

學(xué)們進(jìn)一步了解中國科技的發(fā)展，給班上同學(xué)布置了一項課外作業(yè)，從選出的以

下五個內(nèi)容中任選部分內(nèi)容進(jìn)行手抄報的制作：A、“北斗衛(wèi)星”：3、“5G時代”；

C、“智軌快運系統(tǒng)”；。、“東風(fēng)快遞”；E、“高鐵”.統(tǒng)計同學(xué)們所選內(nèi)容的

頻數(shù)，繪制如圖所示的折線統(tǒng)計圖，則選擇“5G時代”的頻率是（）

【解析】由圖知，八年級（3）班的全體人數(shù)為：25+30+10+20+15=100（人），

選擇“5G時代”的人數(shù)為：30人，

選擇“5G時代”的頻率是：—=0.3;

故選：B.

4A數(shù)（人）

35...............

--!--：------------!------>

OABCDE湖?。?/p>

A.0.25B.0.3C.25D.30

練習(xí)1-2在大量重復(fù)試驗中，關(guān)于隨機(jī)事件發(fā)生的頻率與概率，下列說法正確的

是（）

A.頻率就是概率

B.頻率與試驗次數(shù)無關(guān)

C.概率是隨機(jī)的，與頻率無關(guān)

D.隨著試驗次數(shù)的增加，頻率一般會越來越接近概率

【解析】D

練習(xí)1-3某小組做“用頻率估計概率”的試驗時，統(tǒng)計了某一結(jié)果出現(xiàn)的頻率，繪

B.一副去掉大小王的普通撲克牌洗勻后，從中任抽一張牌的花色是紅桃

C.暗箱中有1個紅球和2個黃球，它們只有顏色上的區(qū)別，從中任取一球是黃

球

D.擲一枚質(zhì)地均勻的正六面體骰子，向上的面點數(shù)是4

【解析】D

練習(xí)1-4在一個不透明的袋中裝有除顏色外其余均相同的〃個小球，其中有5個

黑球，從袋中隨機(jī)摸出一球，記下其顏色，這稱為一次摸球試驗，之后把它放回

袋中，攪勻后，再繼續(xù)摸出一球.以下是利用計算機(jī)模擬的摸球試驗次數(shù)與摸出

黑球次數(shù)的列表：

摸球試驗次數(shù)100100050001000050000100000

摸出黑球次教46487250650082499650007

根據(jù)列表，可以估計出〃=.

【解析】10

【經(jīng)典例題2】如圖是正方形網(wǎng)格，除A,8兩點外，在網(wǎng)格的格點上任取一點

Q

C,連結(jié)AC,BC,能使△ABC為等腰三角形的概率是_右_.

練習(xí)2-1如圖，梯聲的正方形網(wǎng)格中，在翱贏.叫蹲四個點中任選三個點，能夠組

成等腰三角形的概率為（）

C.-

44

【解析】A

練習(xí)2-2“紅燈停，綠燈行”是我們在日常生活中必須遵守的交通規(guī)則.小剛每天

從家騎自行車上學(xué)都經(jīng)過兩個路口，且每個路口只安裝了紅燈和綠燈，假如每個

路口紅燈和綠燈亮的時間相同，那么小剛從家隨時出發(fā)去學(xué)校，他遇到一次紅燈

一次綠燈的概率是（）

rffl

A.-B.-\_X?一D.-

4!

【解析】C

練習(xí)2-3在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)絡(luò)中，有如圖所示的A、B兩點，在格

點上任意放置點C,恰好能使得△ABC的面積為1的概率為（）

【解析】C

練習(xí)2-4—只螞蟻在如圖所示的樹上覓食物，假定螞蟻在每個岔路口都會隨機(jī)選

擇一條路徑，它獲得食物的概率是（）

【解析】A

練習(xí)2-4用2,3,4三個數(shù)字排成一個三位數(shù)，則排出的數(shù)是偶數(shù)的概率為

【解析】三分之二

-II

練習(xí)2-5在4張完全相同的小卡片上分別寫有實數(shù)0、有、兀、二,從中隨機(jī)抽

取兩張，抽到兩張小卡片上的數(shù)的積是無理數(shù)的概率是.

【解析】二分之一

練習(xí)2-6把十位上的數(shù)字比個位、百位上的數(shù)字都大的三位數(shù)叫做中高數(shù)，如

796就是一個“中高數(shù)”.若十位上的數(shù)字為7,則從3,4,5,6,8,9中任選兩

數(shù)，與7組成“中高數(shù)”的概率是（）

【解析】C列表如下:

個位結(jié)果

345689

百位

3374375376378379

4473475476478479

5573574576578579

6673674675678679

8873874875876879

9973974975976978

由表格可知，所有等可能的結(jié)果有30種，其中組成“中高數(shù)”的結(jié)果有12種，因

此組成“中高數(shù)”的概率為差1?2

練習(xí)2-7(2020湘西州)從長度分別為1cm>3ent、5cm>6四條線段中隨機(jī)取

出三條，則能夠組成三角形的概率為()

1113

CD-

A.4-B.3-2-4

【解析】二?試驗發(fā)生包含的基本事件為(1cm,3cm,5cm)；(1cm,3cm,6cm)；

(1cm,5cm,6cm)；(3cm,5cm,6cm),共4種；

而滿足條件的事件即可以構(gòu)成三角形的事件為(3cm,5cm,6cm),共1種；

以這三條線段為邊可以構(gòu)成三角形的概率是作

選A.

【經(jīng)典例題3】如圖所示，在平行四邊形紙片上作隨機(jī)扎針實驗，針頭扎在陰影

區(qū)域的概率為()

【解析】B

練習(xí)3-1如圖所示是用相同的正方形磚鋪成的地板，一寶物藏在某一塊下面，寶

物在白色區(qū)域的概率是（）

【解析】

練習(xí)3-2如圖，飛鏢游戲板中每一塊小正方形除顏色外都相同.若某人向游戲板投

擲飛鏢一次（假設(shè)飛鏢落在游戲板上），則飛鏢落在陰影部分的概率是（）

【解析】本題解答時要分別算出大正方形的面積和陰影部分的面積,

然后利用概率公式進(jìn)行計算.設(shè)小正方形的邊長為。，

則大正方形的面積為9a2,陰影部分的面積為4x；x“x2a=44，

4a"4

則飛鏢落在陰影部分的概率為:.=3,故選C.

練習(xí)3-3（2020山西）如圖是一張矩形紙板，順次連接各邊中點得到菱形，再順次

連接菱形各邊中點得到一個小矩形，將一個飛鏢隨機(jī)投擲到大矩形紙板上，則飛

鏢落在陰影區(qū)域的概率是（）

【解析】如解圖，連接HF、EG,則EG=BC,

:?S菱形EFGH=^HFEG=^ABBC=^S短脛ABC。，

QM=^HF,MN=^EG,

?,'S'Ai.KMNPQ=QMMN—~^HFEG=~^\BBC='^矩形ABCD，

:?S陰影=Sg?EFCH-S矩彩MNPQ=ZS矩形A8CD，

.?.飛鏢落在陰影區(qū)域的概率=產(chǎn)一=木

o^mABCD今

練習(xí)3-4如圖，正方形ABC。是一塊綠化帶，其中陰影部分￡。尸8,GHMN都是

正方形的花圃.已知自由飛翔的小鳥，將隨機(jī)落在這塊綠化帶上，則小鳥不落在

花圃上的概率為()

RFC

19cl-17r17

A.—B.-C.—D.—

3623632

【解析】

練習(xí)3-5一只螞蟻在如圖所示的正方形地磚上爬行，螞蟻停留在陰影部分的概率

為，

練習(xí)3-6大數(shù)據(jù)分析技術(shù)為打贏疫情防控阻擊戰(zhàn)發(fā)揮了重要作用.如圖K36-4是

小明同學(xué)的健康碼（綠碼）示意圖，用黑白打印機(jī)打印于邊長為2cm的正方形區(qū)

域內(nèi)，為了估計圖中黑色部分的總面積，在正方形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)擲點，經(jīng)過大量重

復(fù)試驗，發(fā)現(xiàn)點落入黑色部分的頻率穩(wěn)定在0.6左右，據(jù)此可以估計黑色部分的

總面積約為cm2.

【解析】???經(jīng)過大量重復(fù)試驗，發(fā)現(xiàn)點落入黑色部分的頻率穩(wěn)定在0.6左右,

二估計點落入黑色部分的概率為0.6.

?.?邊長為2cm的正方形的面積為4cm2,

???設(shè)黑色部分的面積為Sen?,則：=06

4

解得S=2.4（cm2）.

,估計黑色部分的總面積約為2.4cm2.

練習(xí)3-7有一個質(zhì)地均勻且可以轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤，盤面被分成6個全等的扇形區(qū)域,

在轉(zhuǎn)盤的適當(dāng)?shù)胤酵可匣疑?，未涂色部分為白色，用力轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，為了使轉(zhuǎn)盤停

止時，指針指向灰色的可能性的大小是g,那么下列涂色方案正確的是（）

【解析1A.指針指向灰色的概率為看2=點1故選項正確;

31

B.指針指向灰色的概率為q=當(dāng)故選項錯誤;

C.指針指向灰色的概率為t=|,故選項錯誤;

D.指針指向灰色的概率為為故選項錯誤.

練習(xí)3-8（2020衢州）如圖是一個游戲轉(zhuǎn)盤，自由轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動后,

指針落在數(shù)字“II”所示區(qū)域內(nèi)的概率是（）

1111

-

-C-D-

A.3468

【解析】由題意可知，數(shù)字“II”所示區(qū)域的扇形圓心角度數(shù)為120。，占整個圓盤

的百分比為12制00，1

.?.P（指針落在數(shù)字“II”所示區(qū)域內(nèi)）=：.

練習(xí)3-9如圖，正方形邊長為2,正方形/魏激內(nèi)的圖形來自中國古代的

太極圖，現(xiàn)隨機(jī)向正方形內(nèi)擲一枚小針，則針尖落在黑色區(qū)域內(nèi)的概率為.

練習(xí)3-102018?巴彥淖爾如圖，△ABC是一塊綠化帶，將陰影部分修建為花圃,

已知AB=13,AC=5,BC=12,陰影部分是△ABC的內(nèi)切圓，一只自由飛翔的

小鳥將隨機(jī)落在這塊綠化帶上，則小鳥落在花圃上的概率為（）

【解析】BC=12,AC=5,

：.AB1=BC?+AC1,

...△ABC為直角三角形，

△ABC的內(nèi)切圓半徑=上土|一"=2.

V5AABC=|AC-BC=^X5X12=30,5圜=4兀,

.?.小鳥落在花圃上的概率=察=某

練習(xí)3-11在如圖所示（A、B、C三個區(qū)域）的圖形中隨機(jī)撒一把豆子，豆子落

在_____區(qū)域的可能性最大。

練習(xí)3-12正方形ABCO的邊長為2,以各邊為直徑在正方形內(nèi)畫半圓，得到如

圖所示陰影部分，若隨機(jī)向正方形ABCD內(nèi)投一粒米，則米粒落在陰影部分的

概率為（）

【解析】A因為正方形ABC。的面積為4,陰影部分的面積為四個半圓的面積

與正方形ABC。的面積之差，即4乂9兀><（三）2一4=2兀-4,

所以米粒落在陰影部分的概率為竽-亭.

練習(xí)3-13[2020?隨州]如圖K34-4,△ABC中，點。,E,尸分別為AB,AC,BC

的中點，點P,M,N分別為DE,DF,EF的中點，若隨機(jī)向△45C內(nèi)投一粒

米，則米粒落在圖中陰影部分的概率為.

【解析】???點。，E,尸分別為AB,AC,3C的中點,

5ADE/^SAABC-

???點P,M,N分別為DE,DF,稗的中點，泌四.

?0?5*APMN=jS>ABCy

ID

...米粒落在圖中陰影部分的概率為白

16

練習(xí)3-14[2019?煙臺]將一枚飛鏢任意投擲到如圖K34-6所示的正六邊形鏢盤上,

飛鏢落在白色區(qū)域的概率為（）

A.jB.iC.jD.無法確定

525

【解析】利用圖形的對稱性，可以看出在正六邊形鏢盤中，白色區(qū)域與陰影區(qū)域

的面積相等，所以飛鏢落在白色區(qū)域的概率為點

【經(jīng)典例題4］如圖，隨機(jī)閉合開關(guān)中的兩個，能讓燈泡發(fā)光的概率是.

9

【解析】：當(dāng)開關(guān)S1與％閉合，或S與S3閉合時，燈泡才會發(fā)光.同時閉合兩

個開關(guān)可能出現(xiàn)表格中的幾種情況：

SiS2S3

51(Si,Si)(Si,S3)

52⑸，51)(S2,S3)

S3⑸，S,)(S3,S2)

47

，p（燈泡發(fā)光）

練習(xí)4-1已知電流在一定時間段內(nèi)正常通過電子元件“，”的概率是0.5,則在一

定時間段內(nèi)，由該元件組成的圖示電路A,8之間，電流能夠正常通過的概率是

()

A.0.75B.0.625C.0.5D.0.25

【解析】根據(jù)題意畫樹狀圖如解圖，則有4種等可能情況，電流能夠正常通過的

3

有3種，,P（電流能夠正常通過）=彳=0.75.

練習(xí)4-2如圖，電路圖上有4個開關(guān)A,B,C,。和1個小燈泡，同時閉合開關(guān)

A,8或同時閉合開關(guān)C,。都可以使小燈泡發(fā)光,下列操作中，“小燈泡發(fā)光”這

個事件是隨機(jī)事件的是

A.只閉合1個開關(guān)B.只閉合2個開關(guān)

C.只閉合3個開關(guān)D.閉合4個開關(guān)

【解析】A.只閉合1個開關(guān)，小燈泡不會發(fā)光，屬于不可能事件，不符合題意;

B.只閉合2個開關(guān)，小燈泡可能發(fā)光也可能不發(fā)光，是隨機(jī)事件，符合題意；

C.只閉合3個開關(guān)，小燈泡一定會發(fā)光，是必然事件，不符合題意；

D.閉合4個開關(guān)，小燈泡一定會發(fā)光，是必然事件，不符合題意.

故選B.

練習(xí)4-3（2020廣元）在如圖所示的電路圖中，當(dāng)隨機(jī)閉合開關(guān)Ki、E、心中的兩

個時，能夠讓燈泡發(fā)光的概率為.

【解析】分析電路圖知：要讓燈泡發(fā)光，K必須閉合，同時K2,心中任意一個

閉合.共有：K\和Ki,2和&、K\和扁三種情況，滿足條件的有Ki和K2、

K和K3兩種情況，

能夠讓燈泡發(fā)光的概率為（2

【經(jīng)典例題5][2020?重慶A卷]現(xiàn)有四張正面分別標(biāo)有數(shù)字-1,1,2,3的不透

明卡片，它們除數(shù)字外其余完全相同，將它們背面朝上洗均勻，隨機(jī)抽取一張,

記下數(shù)字后放回，背面朝上洗均勻，再隨機(jī)抽取一張記下數(shù)字，前后兩次抽取的

數(shù)字分別記為加，n,則點P（〃?，〃）在第二象限的概率為.

【解析】列表如下：

n

-1123

m

-1(-1,-1)(-1,1)(-1,2)(-1,3)

1(1，-1)(1，D(1，2)(1,3)

2(2,-1)(2，1)(2,2)(2,3)

3(3,-1)(3，1)(3,2)(3,3)

由上表可知，共有16種等可能的結(jié)果，其中點P（加，〃）在第二象限的結(jié)果有3

種，即（-1,1）,（-1,2）,（-1,3）,

所以點尸（相，〃）在第二象限的概率為攝

16

練習(xí)5-1點P的坐標(biāo)是（a,b）,從-2,-1,0,1,2這五個數(shù)中任取一個數(shù)作

為。的值，再從余下的四個數(shù)中任取一個數(shù)作為人的值，則點P（a，份在平面直

角坐標(biāo)系中第二象限內(nèi)的概率是.

【解析】畫樹狀圖如下：

-2-1012

/7K/7K/7K/TV

-1012-2012-2-112-2-102-2-101

共有20種等可能的結(jié)果，其中點P（a,力）在平面直角坐標(biāo)系中第二象限內(nèi)的結(jié)果

有4種，

4]

所以點P（a,與在平面直角坐標(biāo)系中第二象限內(nèi)的概率為而=亍

k-3<0,

練習(xí)5-2任取不等式組?「八的一個整數(shù)解，則能使關(guān)于龍的方程2x+女=一

[2k+5>0

1的解為非負(fù)數(shù)的概率為.

|k-3<0,5

【解析】因為不等式組、c的解集為一5〈仁3,

[2k+5>02

所以不等式組的整數(shù)解為一2,-1,0,1,2,3.

k+1

關(guān)于x的方程2x+%=—1的解為甘=一°.

因為關(guān)于x的方程2x+Z=—1的解為非負(fù)數(shù)，

所以Z+1W0,解得1,

所以能使關(guān)于x的方程2%+左=-1的解為非負(fù)數(shù)的人的值為一1,-2,

21

所以能使關(guān)于x的方程級+%=-1的解為非負(fù)數(shù)的概率為

練習(xí)5-3（2020大慶）兩個人做游戲：每個人都從一1,0,1這三個整數(shù)中隨機(jī)選

擇一個寫在紙上，則兩人所寫整數(shù)的絕對值相等的概率為.

【解析】畫樹狀圖如解圖所示，共有9種等可能的結(jié)果，其中兩人所寫整數(shù)的絕

對值相等的結(jié)果有5種，...P（兩人所寫整數(shù)的絕對值相等）="

練習(xí)5-4（2020荷澤）從一1,2,—3,4這四個數(shù)中任取兩個不同的數(shù)分別作為a,

人的值，得到反比例函數(shù)丁=卓，則這些反比例函數(shù)中，其圖象在二、四象限的

概率是.

【解析】當(dāng)必＜0時，反比例函數(shù)的圖象在第二、四象限，由樹狀圖可知，共有

12種等可能的情況，其中ab＜0的情況共有8種，

Q9

??.P（圖象在二、四象限尸藝=號

練習(xí)5-5從1、2、3、4四個數(shù)中隨機(jī)選取兩個不同的數(shù)，分別記為a、c,則關(guān)

于尤的一元二次方程a?+4x+c=0有實數(shù)解的概率為（）

A.1B.|C.D.|

4323

【解析】C

練習(xí)5-6（2020岳陽）在一3,-2,1,2,3五個數(shù)中隨機(jī)選取一個數(shù)作為二次函

數(shù)y=a?+4x-2中a的值，則該二次函數(shù)圖象開口向上的概率是.

【解析】???當(dāng)。＞0時，該二次函數(shù)圖象開口向上，在一3,-2,1,2,3五個

數(shù)中，大于0的數(shù)有3個，

???該二次函數(shù)圖象開口向上的概率是|.

練習(xí)5-7若事件“對于二次函數(shù)y=9-2〃ir+l,當(dāng)爛1時，y隨著x的增大而減

小是必然事件，則實數(shù)機(jī)的取值范圍是.

【解析】對于二次函數(shù)y=5-2,nx+l,對稱軸為x=-?=〃，，

Na

,當(dāng)g1時，y隨x的增大而減小，

???實數(shù)機(jī)的取值范圍是加之1,

故答案為：m>\.

練習(xí)5-8從-1,0,1,2,3這五個數(shù)中，隨機(jī)取出一個數(shù)，記為a,那么使關(guān)

于x的方程等~=1有解，且使關(guān)于x的一元二次方程N-3x+a=0有兩個不相

等的實數(shù)根的概率為.

【解析】:?使關(guān)于x的方程竿=1有解，

二?？扇?1,0,1,2,3這五個數(shù)，

???一元二次方程/-3x+a=0有兩個不相等的實數(shù)根，

(-3)2-4xlxa=9-4a>0,

解得：?

可取-1、0、1、2,共有四個，

.?.從-1,0,1,2,3這五個數(shù)中，隨機(jī)取出一個數(shù)，符合條件的有4個，

二使關(guān)于龍的方程竿=1有解，且使關(guān)于x的一元二次方程x2-3x+a=0

有兩個不相等的實數(shù)根的概率為1，

D

故答案為：

D

練習(xí)5-9已知關(guān)于x的一元二次方程/升,加出￡=蚓，從2和3中任選一個數(shù)作為

b的值，從1,2,《中任選一個數(shù)作為c的值，則該一元二次方程有兩個不相

等的實數(shù)根的概率為.

【解析】三分之二

練習(xí)5-10(2020銅仁)從一2,一1,2三個數(shù)中任取兩個不同的數(shù)，作為點的坐標(biāo),

則該點在第三象限的概率等于.

【解析】根據(jù)題意，列表如下：

縱坐標(biāo)

-2-12

橫坐標(biāo)

-2(-2,-1)(-2,2)

-1(—1,-2)(T，2)

2(2，-2)(2，-1)

由列表可知，共有6種等可能的情況，該點在第三象限的有2種情況，，尸(該

21

點在第三象限)=%=Q.

練習(xí)5-11有三張正面分別寫有數(shù)字一2,-1,1的卡片，它們的背面完全相同，

將這三張卡片背面朝上洗勻后隨機(jī)抽取一張，以其正面數(shù)字作為光的值，放回卡

片洗勻后，再從三張卡片中隨機(jī)抽取一張，以其正面數(shù)字作為y的值，兩次結(jié)果

記作(x,y).

(1)用畫樹狀圖法或列表法表示(x,y)所有可能出現(xiàn)的結(jié)果；

(2)求使分式"+上有意義的(x,y)出現(xiàn)的概率；

x-yx-y

(3)化簡分式+上，并求使分式的值為整數(shù)的(x,y)出現(xiàn)的概率.

【解析】(1)畫樹狀圖如下：

X-2-11

//K

y-2-11-2-11-2-11

所以所有可能出現(xiàn)的結(jié)果為(一2,—2),(—2,—1),(—2,1),(—L—2),(―

1,-1),(-1,1),(1,-2),(1,-1),(1,1).

(2)要使分式3?+—有意義，則有(x+y)(x—y)#0,

x-y"x-y

所以只有(一2,—1),(—2,1),(—1,—2),(1,—2)符合條件，所以使分式

與當(dāng)+二二有意義的(x,y)出現(xiàn)的概率為*

(3)—7—7+^-

x2—y2x-y

______x2-3xy+y(x+y)

(x+y)(x—y)(x+y)(x—y)

______x2-3xy+_____xy+y2_____

(x+y)(x—y)(x+y)(x—y)

x2-3xy+xy+y2

(x+y)(x—y)

x2-2xy+y2

(x+y)(x—y)

______(x-y)2____x-y

(x+y)(x—y)x+y*

將使公式士有意義的(一2,—1),(12,1),(11,—2),(1,—2)

xzy，xy

分別代入上式，計算可得原式的值分別為g,3,Y，-3,

2

所以使分式的值為整數(shù)的(x,y)出現(xiàn)的概率為爭

練習(xí)5-12在甲、乙兩個不透明的口袋中裝有大小、材質(zhì)完全相同的小球，其中

甲袋中的小球上分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,乙袋中的小球上分別標(biāo)有數(shù)字2,3,

4,先從甲袋中任意摸出一個小球，記下數(shù)字為〃?，再從乙袋中任意摸出一個小

球，記下數(shù)字為九

(1)請用列表或畫樹狀圖的方法表示出所有(〃?，〃)的可能的結(jié)果；

⑵若〃?，〃都是方程/-5%+6=0的解，則小明獲勝；若機(jī)，〃都不是方程W

—5x+6=0的解，則小利獲勝，他們兩人誰獲勝的概率大？

【解析】(1)畫樹狀圖如圖所示：

n234234234234

(2)因為解方程X2—5工+6=0,得光=2或1=3.

由樹狀圖得共有12種等可能的結(jié)果，其中小，〃都是方程5x+6=0的解的

結(jié)果有4種，

團(tuán)，〃都不是方程f—5x+6=0的解的結(jié)果有2種,

4121

所以小明獲勝的概率為五=],小利獲勝的概率為正=不

所以小明獲勝的概率大.

【經(jīng)典例題61（2020徐州）在一個不透明的袋子里裝有紅球、黃球共20個，這

些球除顏色外都相同.小明通過多次試驗發(fā)現(xiàn)，摸出紅球的頻率穩(wěn)定在0.25左

右，則袋子中紅球的個數(shù)最有可能是（）

A.5B.10C.12D.15

【解析】20x0.25=5個.

練習(xí)6-1在一個不透明的盒子中裝有m個除顏色外完全相同的球，這m個球中

只有3個紅球，從中隨機(jī)摸出一個小球，恰好是紅球的概率為最那么機(jī)的值是

（）

A.12B.15C.18D.21

【解析】由題意得3V苦1解得〃?=15.

練習(xí)6-2不透明的黑色袋子中裝有4個除顏色外其它均相同的小球，其中紅球2

個，黃球1個，白球1個，從袋子中隨機(jī)摸出1個球，記錄顏色后放回，再隨機(jī)

摸出一個球，兩個球的顏色不一樣的概率是.

【解析】根據(jù)題意畫樹狀圖得:

開始

白黃紙組

白黃紙空白黃紅/L白黃紅,紅，白黃組組

???共有16種等可能的結(jié)果，兩次摸出的小球顏色不同的有10種情況,

,兩次摸出的小球顏色不一樣的概率為：某=■!.

168

故答案為："I",

o

練習(xí)6-3在一個不透明的口袋中，裝有一些除顏色外完全相同的紅、白、黑三種

顏色的小球，已知袋中有紅球5個，白球23個，且從袋中隨機(jī)摸出一個紅球的

概率是工，則袋中黑球的個數(shù)為

in------------

【解析】設(shè)袋中黑球的個數(shù)為X,則摸出紅球的概率為二一=工，所以X=22.

22—*10

練習(xí)6-4[202。鹽城]一只不透明的袋中裝有2個白球和3個黑球，這些球除顏色

外都相同，攪勻后從中任意摸出1個球，摸到白球的概率為.

【解析】|

練習(xí)6-5從-1,1,2,4四個數(shù)中任取兩個不同的數(shù)（記作:曲姐構(gòu)成一個數(shù)組

Mk={ak,4}（其中左=1,2,S,且將{以，從}與{心,四}視為同一個數(shù)組）,若

滿足:對于任意的M和％={勾，b}（拘，WS,iggS）都有?+8#勾+力，

則5的最大值是（）

AJOB.6

C.5D.4

【解析】從-1,1,2,4這四個數(shù)中任取兩個不同的數(shù)，共有{-1,1},{-1,2},

{-1.4},{1,2},{1,4},{2,4}六種情況，

其中{-1,4},{1,2}兩數(shù)和相同，

所以共有五種情況，即S最大為5,選C.

練習(xí)6-6在一個不透明的袋子中裝有黑球加個、白球〃個、紅球3個，除顏色外

無其他差別，任意摸出一個球是紅球的概率是（）

A3c3-m+n卜m+n

【解析】B

練習(xí)6-7（2020棗莊）不透明布袋中裝有除顏色外沒有其他區(qū)別的1個紅球和2個

白球，攪勻后從中摸出一個球，放回攪勻，再摸出一個球，兩次都摸出白球的概

率

是<

4221

--C-D-

A.9933

【解析】畫樹狀圖如解圖，則共有9種等可能的結(jié)果，兩次都摸到白球的有4

種情況,

4

，兩次都摸到白球的概率為G.故選A.

練習(xí)6-8有兩個正方體的積木，如圖所示:

我是②號，

我一面灰

色，五面白色

下面是淘氣擲200次積木的情況統(tǒng)計表:

灰色的面朝上白色的面朝上

32次168次

根據(jù)表幣的數(shù)據(jù)推測，淘^^有可能擲的是號積木，請簡要說明你的

判斷理由.

【解析】①號積木由于三面灰色，三面白色，因此隨機(jī)擲1次，朝上的面是白色、

灰色的可能性都是■|=50%,

②號積木由于一面灰色，五面白色，因此隨機(jī)擲1次，朝上的面是灰色的可

能性都是入16.7%,是白色的可能性為?^83.3%,

66

由表格中的數(shù)據(jù)可得，淘氣擲200次積木得到朝上的面為灰色的頻率為爵=

16%,白色的頻率為端=84%,

故他選擇的是②號積木，

理由：淘氣擲200次積木的實驗頻率接近于②號積木相應(yīng)的概率.

【經(jīng)典例題7】在某中學(xué)的迎國慶聯(lián)歡會上有一個小嘉賓抽獎的環(huán)節(jié)，主持人把

分別寫有“我”、“愛”、“祖”、“國”四個字的四張卡片分別裝入四個外形相同的小

盒子并密封起來，由主持人隨機(jī)地弄亂這四個盒子的順序，然后請出抽獎的小嘉

賓，讓他在四個小盒子的外邊也分別寫上“我"、"愛祖"、“國”四個字，最后

由主持人打開小盒子取出卡片，如果每一個盒子上面寫的字和里面小卡片上面寫

的字都不相同就算失敗,其余的情況就算中獎，那么小嘉賓中獎的概率為（）

2539

A.-B.-C.—D.—

38416

【解析】

練習(xí)7-1太原是我國生活垃圾分類的46個試點城市之一，垃圾分類的強(qiáng)制實施

也即將提上日程根據(jù)規(guī)定，我市將垃圾分為了四類可回收垃圾、餐廚垃圾有害垃

圾和其他垃圾現(xiàn)有投放這四類垃圾的垃圾桶各1個，若將用不透明垃圾袋分類打