2021年1月新疆維吾爾自治區(qū)普通高中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試卷（含答案解析）

2021年1月新疆維吾爾自治區(qū)普通高中學(xué)業(yè)水平考試試題卷數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．本試題卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共4頁(yè)，總分100分，考試時(shí)間120分鐘．2．答題前，考生先在答題卡上將自己的座位號(hào)、姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，待監(jiān)考員粘貼條形碼后，認(rèn)真核對(duì)條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)與自己的準(zhǔn)考證上的信息是否一致．3．考生必須在答題卡上作答，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效．第Ⅰ卷（選擇題，共48分）一、選擇題（本大題共16小題，每小題3分，共48分）在下列各小題的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由集合并集計(jì)算即可；【詳解】由題意可得，故選：D.2.已知向量，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)條件，利用向量坐標(biāo)運(yùn)算，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，，則，故選：B.3.若直線l的方程是，則這條直線的斜率（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)直線的一般方程求得直線的斜率.【詳解】直線的斜率為.故選：C4.函數(shù)的零點(diǎn)是（）A.1 B. C.0 D.【答案】D【解析】【分析】令即可求解.【詳解】令,解得,故函數(shù)的零點(diǎn)為.故選：D.5.從24名數(shù)學(xué)教師，16名物理教師，8名化學(xué)教師中，用分層抽樣的方法抽取一個(gè)容量為6的樣本，則抽取數(shù)學(xué)教師的人數(shù)是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】直接利用分層抽樣的定義和方法即可求解.【詳解】從24名數(shù)學(xué)教師，16名物理教師，8名化學(xué)教師中，用分層抽樣的方法抽取一個(gè)容量為6的樣本，則應(yīng)抽取的數(shù)學(xué)教師人數(shù)是人.故選：C.6.已知，且為銳角，則（）A. B. C. D.1【答案】A【解析】【分析】依題意結(jié)合平方和關(guān)系即可計(jì)算求解.【詳解】因?yàn)椋覟殇J角，所以.故選：A.7.已知兩點(diǎn)，，則的值是（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】B【解析】【分析】利用兩點(diǎn)間的距離公式求解可得.【詳解】由兩點(diǎn)間的距離公式得.故選：B8.在長(zhǎng)方體中，長(zhǎng)，寬，高，則它體積是（）A.60 B.50 C.40 D.30【答案】A【解析】【分析】根據(jù)長(zhǎng)方體的幾何結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合柱體的體積公式，即可求解.【詳解】在長(zhǎng)方體中，因?yàn)?，由柱體的體積公式，可得長(zhǎng)方體的體積為.故選：A.9.函數(shù)（，且）的圖象過(guò)的定點(diǎn)是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象過(guò)定點(diǎn)，從而可求解.【詳解】由指數(shù)函數(shù)的圖象過(guò)定點(diǎn)，所以函數(shù)的圖象過(guò)定點(diǎn)，故C正確.故選：C.10.（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)兩角和的正弦公式求得正確答案.【詳解】.故選：A11.下圖為某組數(shù)據(jù)的莖葉圖，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是（）A.18 B.19 C.20 D.21【答案】B【解析】【分析】根據(jù)莖葉圖可知這組數(shù)據(jù)，進(jìn)而求平均數(shù).【詳解】由莖葉圖可知這組數(shù)據(jù)為12，15，20，23，25，所以組數(shù)據(jù)的平均數(shù).故選：B.12.不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】因式分解，然后由一元二次不等式解法可得.【詳解】不等式，解得.故選：A13.在等差數(shù)列an中，滿足，，則（）A11 B.14 C.15 D.17【答案】B【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式的性質(zhì)求解．【詳解】是等差數(shù)列，則，故選：B．14.在中，已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理代值計(jì)算即得.【詳解】由正弦定理，可得，故選：D.15.執(zhí)行如圖所示程序框圖，如果輸入t的值為2，則輸出的（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】【分析】根據(jù)程序框圖，依次列出程序執(zhí)行的步驟即可.【詳解】由題意，t=2>1,所以，，解得，，故選：C.16.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等知識(shí)來(lái)確定正確答案.【詳解】A選項(xiàng)，是非奇非偶函數(shù)，不符合題意.B選項(xiàng)，在上不是增函數(shù)，不符合題意.C選項(xiàng)，在上單調(diào)遞減，不符合題意.D選項(xiàng)，設(shè)的定義域是，，所以是奇函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可知在上單調(diào)遞增，符合題意.故選：D第Ⅱ卷（非選擇題，共52分）注意：在答題卡上，作答有小題號(hào)的題時(shí)，需依次寫明小題號(hào)．二、填空題（本大題共4小題，每小題4分，共16分）17.__________．【答案】4【解析】【詳解】18.在區(qū)間上隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)，則的概率為__________．【答案】【解析】【詳解】由幾何概型的計(jì)算公式可得，.19.已知向量，，且，則__________．【答案】3【解析】【分析】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示直接計(jì)算求解即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以，解?故答案為：3.20.如果，那么的最小值是__________．【答案】【解析】【分析】直接利用基本不等式求和的最小值.【詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).故答案為：.三、解答題（本大題共6小題，每小題6分，共36分）解答題應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．21.已知函數(shù)．（1）求的最小正周期；（2）求的單調(diào)遞減區(qū)間．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)余弦函數(shù)周期公式求解；（2）根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間求解.【小問(wèn)1詳解】的最小正周期為.【小問(wèn)2詳解】令，解得：，，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，.22.已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求．【答案】（1）（2）121【解析】【分析】（1）設(shè)等比數(shù)列an的公比為，利用等比數(shù)列通項(xiàng)的基本量運(yùn)算列出方程組，解之即得；（2）利用（1）的結(jié)論，根據(jù)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式計(jì)算即得.【小問(wèn)1詳解】設(shè)等比數(shù)列an的公比為，由題意得，，解得，，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式為：；【小問(wèn)2詳解】由（1）已得，則23.如圖，在正方體中．（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成的角．【答案】（1）證明見解析；（2）直線與平面所成的角為.【解析】【分析】（1）先證明，，再證明，根據(jù)線面平行判定定理證明結(jié)論；（2）連接交與點(diǎn)，證明為直線與平面所成的角，解三角形求其大小.【小問(wèn)1詳解】連接，由正方體性質(zhì)可得，，，，所以，，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面；【小問(wèn)2詳解】連接交與點(diǎn)，因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以，由已知平面，平面，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，即平面，所以為直線與平面所成的角，設(shè)，則，，在中，，，，所以，又，所以.所以直線與平面所成的角為.24.同時(shí)擲兩個(gè)骰子一次，計(jì)算向上的點(diǎn)數(shù)，求：（1）點(diǎn)數(shù)之和是7的概率；（2）點(diǎn)數(shù)中恰有一個(gè)奇數(shù)和一個(gè)偶數(shù)概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）記所求事件為事件A，列表可得，，結(jié)合古典概型運(yùn)算求解；（2）記所求事件為事件B，列表可得，結(jié)合古典概型運(yùn)算求解.【小問(wèn)1詳解】列表可得：1234561╳╳╳╳╳√2╳╳╳╳√╳3╳╳╳√╳╳4╳╳√╳╳╳5╳√╳╳╳╳6√╳╳╳╳╳設(shè)樣本空間為，則，記“點(diǎn)數(shù)之和是7”為事件A，可知，所以.【小問(wèn)2詳解】列表可得：1234561╳√╳√╳√2√╳√╳√╳3╳√╳√╳√4√╳√╳√╳5╳√╳√╳√6√╳√╳√╳記“點(diǎn)數(shù)中恰有一個(gè)奇數(shù)和一個(gè)偶數(shù)”為事件B，可知，所以.25.已知函數(shù)．（1）判斷點(diǎn)是否在的圖象上，并說(shuō)明理由；（2）當(dāng)時(shí)，的最大值為m，最小值為n，求的值．【答案】（1）點(diǎn)不在的圖象上（2）【解析】【分析】（1）代入，驗(yàn)證函數(shù)值是否為3，即可判斷；（2）首先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再求函數(shù)的最值.【小問(wèn)1詳解】，所有點(diǎn)不在的圖象上；【小問(wèn)2詳解】設(shè)，，因?yàn)椋?，，即，則，所以函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，，，所以.26.已知圓的圓心在直線上，與x軸相切于點(diǎn)．（1）求圓的方程；（2）過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線被圓截得的弦長(zhǎng)為，求直線的方程．【答案】（1）