2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專(zhuān)題2.4等式與不等式知識(shí)點(diǎn)講解含解析

專(zhuān)題2.4《等式與不等式》單元測(cè)試卷一、單選題1．（2024·大名中學(xué)高二月考）設(shè)集合，，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】依題意集合，集合，所以由補(bǔ)集定義可得，所以.故選:D.2．（2024·浙江省高三其他）設(shè)，則“”成立的必要不充分條件是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由得，解得.所以，“”成立的必要不充分條件是.故選：B.3．（2024·陜西省高二期末（理））已知，且，則的最小值為（）A．8 B．12 C．16 D．20【答案】C【解析】因?yàn)?，且，即為，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即取得等號(hào)，則的最小值為.故選：C．4．（2024·寧夏回族自治區(qū)賀蘭縣景博中學(xué)高一期末）若函數(shù)對(duì)都有恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由都有恒成立當(dāng)時(shí)，恒成立當(dāng)時(shí)，則綜上所述：故選：A5．（2024·河南省信陽(yáng)市第六高級(jí)中學(xué)高二月考（文））設(shè)，且，若，則必有（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)椋没静坏仁酱鷵Q，所以6．（2024·南昌市八一中學(xué)高一期中）已知正實(shí)數(shù)a、b滿意a+b=ab，則ab的最小值為（）A．1 B． C．2 D．4【答案】D【解析】∵ab=a+b≥2，≥2，∴ab≥4，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí)取等號(hào)，故ab的最小值為4，故選：D．7．（2024·銀川唐徠回民中學(xué)高三三模（理））下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)為()①若，則；②，，則；③若，，則；④若，，則.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】①,依據(jù)不等式的性質(zhì),可得,故①正確；②當(dāng),時(shí),滿意,且設(shè),,滿意,此時(shí),故②不正確；③當(dāng),時(shí),滿意,且設(shè),,滿意,此時(shí),故③不正確；④,,對(duì)兩邊同時(shí)除以得；又,,故④正確；綜上,正確的為①④,共2個(gè)故選：B8．（2024·全國(guó)高三課時(shí)練習(xí)）若不等式對(duì)隨意，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵不等式對(duì)隨意，恒成立，∴，∵，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，∴，∴，∴，∴實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選B.9．（2024·大名中學(xué)高二月考）已知函數(shù)，若關(guān)于的不等式的解集為，則A． B．C． D．【答案】B【解析】關(guān)于的不等式的解集為，可得，且，3為方程的兩根，可得，，即，，，，可得，（1），（4），可得（4）（1），故選．10．（2024·晉中市和誠(chéng)中學(xué)有限公司高三月考（理））在R上定義運(yùn)算:=ad-bc,若不等式≥1對(duì)隨意實(shí)數(shù)x恒成立,則實(shí)數(shù)a的最大值為()A．- B．- C． D．【答案】D【解析】由定義知,不等式≥1等價(jià)于x2-x-(a2-a-2)≥1,所以x2-x+1≥a2-a對(duì)隨意實(shí)數(shù)x恒成立.因?yàn)閤2-x+1=+≥,所以a2-a≤,解得-≤a≤,則實(shí)數(shù)a的最大值為.選D.二、多選題11．（2024·江蘇省高一期末）使不等式成立的一個(gè)充分不必要條件是（）A． B． C．或 D．【答案】AC【解析】不等式等價(jià)于，也就是，故不等式的解集為.A、B、C、D四個(gè)選項(xiàng)中，只有A、C中的不等式（不等組）對(duì)應(yīng)的集合為的真子集.故選：AC.點(diǎn)睛:（1）若是的必要不充分條件，則對(duì)應(yīng)集合是對(duì)應(yīng)集合的真子集；（2）是的充分不必要條件，則對(duì)應(yīng)集合是對(duì)應(yīng)集合的真子集；（3）是的充分必要條件，則對(duì)應(yīng)集合與對(duì)應(yīng)集合相等；（4）是的既不充分又不必要條件，對(duì)的集合與對(duì)應(yīng)集合互不包含．12．（2024·山東省高三二模）設(shè)表示不小于實(shí)數(shù)x的最小整數(shù)，則滿意關(guān)于x的不等式的解可以為（）A． B．3 C．-4.5 D．-5【答案】BC【解析】因?yàn)椴坏仁?，所以，所以，又因?yàn)楸硎静恍∮趯?shí)數(shù)x的最小整數(shù)，所以不等式的解可以為3，-4.5.故選：BC13．（2024·山東省高二期中）已知，關(guān)于的一元二次不等式的解集中有且僅有3個(gè)整數(shù)，則的值可以是（）.A．6 B．7 C．8 D．9【答案】ABC【解析】設(shè)，其圖像為開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸是的拋物線，如圖所示.若關(guān)于的一元二次不等式的解集中有且僅有3個(gè)整數(shù)，因?yàn)閷?duì)稱(chēng)軸為,則解得，.又，故可以為6，7，8.故選:ABC14．（2024·江蘇省高一期末）對(duì)于給定的實(shí)數(shù)，關(guān)于實(shí)數(shù)的一元二次不等式的解集可能為（）A． B． C． D．【答案】ABCD【解析】對(duì)于一元二次不等式，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)開(kāi)口向上，與軸的交點(diǎn)為，，故不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)開(kāi)口向下，若，不等式解集為；若，不等式的解集為，若，不等式的解集為，綜上，都成立，故選：．三、填空題15．（2024·江蘇省連云港市錦屏高級(jí)中學(xué)高三期中）若關(guān)于x的不等式的解集是，則_________.【答案】－14【解析】不等式的解集是，所以對(duì)應(yīng)方程的實(shí)數(shù)根為和，且，由根與系數(shù)的關(guān)系得，解得，，故答案為.16．（2024·湖南省長(zhǎng)沙一中高三月考（理））設(shè)，若是的最小值，是的取值范圍為_(kāi)_____________．【答案】【解析】解：當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)有最小值為，因?yàn)槭堑淖钚≈?，所以?dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，故，此時(shí)最小值，故，解得，綜上所述的取值范圍為.故答案為：.17．（2024·天津高三其他）設(shè)，，則的最小值為_(kāi)____________.【答案】【解析】，，，，當(dāng)且即，時(shí)，等號(hào)同時(shí)成立，的最小值為1.故答案為：1.四、雙空題18．（2024·浙江省高三其他）已知正數(shù)a，b滿意a+b=1，則的最小值等于__________，此時(shí)a=____________.【答案】3【解析】依據(jù)題意，正數(shù)a、b滿意，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為3，此時(shí).故答案為：3；.19．（2024·浙江省高三月考）已知，，則的最大值為_(kāi)_______，的取值范圍是________．【答案】【解析】因?yàn)?，，所以．因?yàn)?，所以，解得，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．又，所以，，解得，所以的取值范圍是．故答案為：；．20．（2024·海南省海南中學(xué)高三月考）某電動(dòng)車(chē)生產(chǎn)企業(yè)，上年度生產(chǎn)電動(dòng)車(chē)的投入成本為1萬(wàn)元/輛，出廠價(jià)為1.2萬(wàn)元/輛，年銷(xiāo)售量為1000輛．本年度為適應(yīng)市場(chǎng)需求，安排提高產(chǎn)品檔次，適度增加投入成本．若每輛車(chē)投入成本增加的比例為，則出廠價(jià)相應(yīng)提高的比例為，且當(dāng)不超過(guò)0.5時(shí)，預(yù)料年銷(xiāo)售量增加的比例為，而當(dāng)超過(guò)0.5時(shí)，預(yù)料年銷(xiāo)售量不變．已知年利潤(rùn)=（出廠價(jià)－投入成本）×年銷(xiāo)售量．則本年度預(yù)料的年利潤(rùn)與投入成本增加的比例的關(guān)系式為_(kāi)_____；為使本年度利潤(rùn)比上年有所增加，投入成本增加的比例的取值范圍為_(kāi)_____．【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；年利潤(rùn)與投入成本增加的比例的關(guān)系式為.上年利潤(rùn)為，令，解得：；令，解得：（舍）；所求的取值范圍為.故答案為：；.21．（2024·浙江省高三其他）已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，不等式的解集是________，，若存在兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是________．【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，不等式可得：，即解得．即要保證存在兩個(gè)零點(diǎn)需保證有兩個(gè)不同實(shí)根，有兩個(gè)不同實(shí)根，即函數(shù)與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，令，①當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；②當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．畫(huà)出的圖象：如圖由的圖象可知，若函數(shù)與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則．故答案為：；.五、解答題22．（2024·鹽城市伍佑中學(xué)高二月考）已知不等式的解集為或.（1）求實(shí)數(shù)的值（2）解不等式【答案】（1），（2）【解析】（1）不等式的解集為或.由不等式與方程關(guān)系可知，和是方程的兩個(gè)根，將代入可得，將代入方程可得，解得或，所以.（2）將，代入不等式可得，即，解得，所以不等式的解集為.23.（2024·河北安平中學(xué)高三月考（文））對(duì)于函數(shù)（）．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的零點(diǎn)；（Ⅱ）若對(duì)隨意實(shí)數(shù)，函數(shù)恒有兩個(gè)相異的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，所以由可得；（Ⅱ）由函數(shù)恒有兩個(gè)相異的零點(diǎn)，得恒成立，即對(duì)于恒成立，這是一個(gè)關(guān)于的二次不等式，所以，即可解得．試題解析：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，代入得，所以由可得，所以函數(shù)的零點(diǎn)為；（Ⅱ）由題意可得，則對(duì)于恒成立，所以，從而解得．24．（2024·上海市七寶中學(xué)高三月考）某工廠在制造產(chǎn)品時(shí)須要用到長(zhǎng)度為698mm的A型和長(zhǎng)度為518mm的B型兩種鋼管，工廠利用長(zhǎng)度為4000mm的鋼管原材料，裁剪成若干A型和B型鋼管。假設(shè)裁剪時(shí)損耗忽視不計(jì)，裁剪后所剩廢料與原材料的百分比稱(chēng)為廢料率.（1）有兩種裁剪方案的廢料率小于4.5%，請(qǐng)說(shuō)明這兩種方案并計(jì)算它們的廢料率；（2）工廠現(xiàn)有100根原材料鋼管，一根A型和一根B型鋼管為一套毛胚。按（1）中的方案裁剪，最多可裁剪多少套毛胚？最終的廢料率為多少？【答案】（1）方案一：，廢料率最小為，方案二：，廢料率其次小為；（2）最多可裁剪320套毛胚，最終的廢料率為2.72%【解析】（1）設(shè)每根原材料可裁剪成根A型鋼管和根B型鋼管，則，方案一：，廢料率最小為；方案二：，廢料率其次小為；（2）設(shè)用方案一裁剪根原材料，用方案二裁剪根原材料，共裁剪得套毛胚，則，當(dāng)，套，廢料率為綜上：最多可裁剪320套毛胚，最終的廢料率為2.72%.25．（2024·上海市進(jìn)才中學(xué)高三月考）已知函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)，且函數(shù)圖像又關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).（1）求函數(shù)的解析式；（2）若關(guān)于的不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】（1）依題意，函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)和.所以，故.（2）不等式可化為.即對(duì)一切的恒成立.因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以.點(diǎn)睛：依據(jù)不等式恒成立求解參數(shù)范圍的兩種方法：（1）分類(lèi)探討法：依據(jù)參數(shù)的臨界值分類(lèi)探討參數(shù)的取值是否滿意要求；（2）參變分別法：將參數(shù)從不等式中分別出來(lái)，通過(guò)函數(shù)或者不等式確定最值，由此得到參數(shù)范圍.26．（2024·江西省都昌蔡嶺慈濟(jì)中學(xué)高三月考（文））投資商到一開(kāi)發(fā)區(qū)投資72萬(wàn)元建起一座蔬菜加工廠，經(jīng)營(yíng)中，第一年支出12萬(wàn)元，以后每年支出增加4萬(wàn)元，從第一年起每年蔬菜銷(xiāo)售收入50萬(wàn)元，設(shè)表示前n年的純利潤(rùn)總和（前年總收入-前年的總支出-投資額72萬(wàn)元）（Ⅰ）該廠從第幾年起先盈利？（Ⅱ）該廠第幾年平均純利潤(rùn)達(dá)到最大？并求出年平均純利潤(rùn)的最大值.【答案】（I）從第三年起先盈利；（II）第6年，投資商年平均純利潤(rùn)達(dá)到最大，年平均純利潤(rùn)最大值16萬(wàn)元【解析】(Ⅰ)依題意前年總收入-前年的總支出-投資額72萬(wàn)元,可得由得,解得由于,所以從第3年起先盈利.(Ⅱ)年平均利潤(rùn)當(dāng)且僅當(dāng),即