2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第五章數(shù)列5.2.1等差數(shù)列課后習(xí)題含解析新人教B版選擇性必修第三冊(cè)

第五章數(shù)列5.2等差數(shù)列5.2.1等差數(shù)列課后篇鞏固提升基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練1.已知等差數(shù)列{an}的前三項(xiàng)依次為a-1,a+1,2a+3,則此數(shù)列的通項(xiàng)公式為()A.an=2n-5 B.an=2n-3C.an=2n-1 D.an=2n+1解析由題意得2(a+1)=(a-1)+(2a+3),解得a=0.所以{an}的前三項(xiàng)分別為-1,1,3,即a1=-1,d=2.故an=-1+(n-1)·2=2n-3.答案B2.在等差數(shù)列{an}中,已知a4+a8=16,則a2+a10=()A.12 B.16 C.20 D.24解析a2+a10=a4+a8=16,故選B.答案B3.一個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為23,公差為整數(shù),且前6項(xiàng)均為正數(shù),從第7項(xiàng)起為負(fù)數(shù),則公差為()A.-2 B.-3 C.-4 D.-5解析設(shè)公差為d,d∈Z,由a6=23+5d>0,且a7=23+6d<0,得-235<d<-236.∵d∈Z,∴d=-答案C4.(2024湖南長(zhǎng)沙高三月考)元代數(shù)學(xué)家朱世杰編著的《算法啟蒙》中記載了有關(guān)數(shù)列的計(jì)算問(wèn)題:“今有竹七節(jié),下兩節(jié)容米四升,上兩節(jié)容米二升,各節(jié)欲均容,問(wèn)逐節(jié)各容幾升?”其大意為:現(xiàn)有一根七節(jié)的竹子,最下面兩節(jié)可裝米四升,最上面兩節(jié)可裝米二升,假如竹子裝米量逐節(jié)等量削減,問(wèn)竹子各節(jié)各裝米多少升?以此計(jì)算,第四節(jié)竹子的裝米量為()A.1升 B.32升 C.23升 D.解析設(shè)竹子自下而上的各節(jié)容米量分別為a1,a2,…,a7,則有a1+a2+a6+a7=6,由等差數(shù)列的性質(zhì)可得a1+a7=2a4=3,所以a4=32.故選B答案B5.若等差數(shù)列的第一、二、三項(xiàng)依次是1x+1,56x,解析依題意得2×56x=1x+1+1答案16.已知{an}為等差數(shù)列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,則a20=.

解析設(shè)其公差為d,∵a1+a3+a5=105,∴3a3=105.∴a3=35.同理,由a2+a4+a6=99,得a4=33.∴d=a4-a3=-2.∴a20=a4+16d=33+16×(-2)=1.答案17.一種嬉戲軟件的租金,第一天6元,其次天12元,以后每天比前一天多3元,則第n(n≥2)天的租金an=(單位:元).

解析a1=6,a2=12,a3=15,a4=18,…,從其次項(xiàng)起,{an}才構(gòu)成等差數(shù)列,且公差為3,在這個(gè)等差數(shù)列中第一項(xiàng)是12,而第n天的租金,是第n-1項(xiàng),故an=12+(n-2)×3=3n+6(n≥2).答案3n+6(n≥2)8.(1)求等差數(shù)列8,5,2,…的第20項(xiàng);(2)-401是不是等差數(shù)列-5,-9,-13,…中的項(xiàng)?假如是,那么是第幾項(xiàng)?解(1)由a1=8,d=5-8=2-5=-3,得數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=-3n+11,令n=20,得a20=-49.(2)由a1=-5,d=-9-(-5)=-4,得數(shù)列通項(xiàng)公式為an=-5-4(n-1).令an=-401,解得n=100,即-401是這個(gè)數(shù)列的第100項(xiàng).9.四個(gè)數(shù)成遞增等差數(shù)列,中間兩數(shù)的和為2,首末兩項(xiàng)的積為-8,求這四個(gè)數(shù).解設(shè)這四個(gè)數(shù)為a-3d,a-d,a+d,a+3d(公差為2d),依題意,2a=2,且(a-3d)(a+3d)=-8,即a=1,a2-9d2=-8,∴d2=1,∴d=1或d=-1.又四個(gè)數(shù)成遞增等差數(shù)列,所以d>0,∴d=1,故所求的四個(gè)數(shù)為-2,0,2,4.10.(2024湖南長(zhǎng)沙高二學(xué)業(yè)考試)已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=14(an+1)2(n∈N+)(1)求a1,a2;(2)求證:數(shù)列{an}是等差數(shù)列.(1)解由已知條件得,a1=14(a1+1)2∴a1=1.又有a1+a2=14(a2+1)2,即a22-2a2-3解得a2=-1(舍)或a2=3.(2)證明由Sn=14(an+1)2當(dāng)n≥2時(shí),Sn-1=14(an-1+1)2∴Sn-Sn-1=14[(an+1)2-(an-1+1)2=14[an2-an即4an=an2-an-12+2∴an2-an-12-2a∴(an+an-1)(an-an-1-2)=0,∴an-an-1-2=0,即an-an-1=2(n≥2).所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列.實(shí)力提升練1.在正整數(shù)100至400之間能被11整除的整數(shù)的個(gè)數(shù)是()A.25 B.26 C.27 D.28解析由100≤11k≤400(k∈Z),得9111≤k≤36411.故k=10,11,…,36,共36-10+1=27(個(gè)答案C2.設(shè){an}是首項(xiàng)為50,公差為2的等差數(shù)列,{bn}是首項(xiàng)為10,公差為4的等差數(shù)列,以ak和bk為兩邊的矩形內(nèi)的最大圓的面積記為Sk,假如k≤21,那么Sk等于()A.π(k+24)2 B.π(k+12)2C.π(2k+3)2 D.π(2k+1)2解析由題意,得ak=2k+48,bk=4k+6,bk-ak=(4k+6)-(2k+48)=2k-42.∵k≤21,∴2k-42<0,∴bk<ak,∴矩形內(nèi)的最大圓是以bk為直徑的圓.因此Sk=π(2k+3)2.答案C3.已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a,公差為b,且不等式log2(ax2-3x+6)>2的解集為{x|x<1或x>b},則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為.

答案an=2n-14.已知方程(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0的四個(gè)根組成一個(gè)首項(xiàng)為14的等差數(shù)列,則|m-n|等于.解析設(shè)a1=14,a2=14+d,a3=14+2d,a4=14+3d,而方程x2-2x+m=0的兩根之和為2,方程x2-2∴a1+a2+a3+a4=1+6d=4.∴d=12因此a1=14,a4=74是一個(gè)方程的兩根,a2=34,a3=∴m,n分別為716∴|m-n|=12答案15.已知函數(shù)f(x)=cosx,x∈(0,2π)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x1,x2,且方程f(x)=m有兩個(gè)不同的實(shí)根x3,x4,若把這四個(gè)數(shù)按從小到大排列,能構(gòu)成等差數(shù)列,則實(shí)數(shù)m=.

答案-36.(2024新疆維吾爾自治區(qū)喀什其次中學(xué)高二期末)等差數(shù)列{an}中,a3=8,a7=20.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列1anan+1的前n項(xiàng)和解(1)設(shè)等差數(shù)列公差為d,由a7-a3=4d=12,得d=3,∴an=3n-1.(2)∵1=131∴Sn=1a1a2=1312-1=1312-7.已知數(shù)列{an}滿意a1=2,an=2an-1+2n+1(n≥2,n∈N+).(1)設(shè)bn=an2n,求證數(shù)列{bn}是等差數(shù)列(2)若數(shù)列{cn}滿意cn=2n+1,且對(duì)于隨意正整數(shù)n,不等式abn+4≤1+1c分析本題(1)事實(shí)上降低了難度,構(gòu)造數(shù)列{bn},使其構(gòu)成等差數(shù)列并求解.由定義,只需證明bn-bn-1=d(n≥2)即可.(2)恒成立問(wèn)題通常轉(zhuǎn)化為與最大值、最小值比較.a≤1bn+4(1)證明∵an=2an-1+2n+1,∴an2n=an-12n-∵bn=an2n,∴bn=bn-1+2(n≥2,n∈N又b1=a12∴{bn}是以1為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列.∴bn=1+(n-1)×2=2n-1.(2)解由abn+4≤1+1c11+1c2…1+1cn,記f(n)=12則f=4n2+16又f(n)>0,∴f(n+1)>f(n),即f(n)單調(diào)遞增.故f(n)min=f(1)=4515,∴0<a≤即a的取值范圍是0,素養(yǎng)培優(yōu)練數(shù)列{an}滿意a1=1,an+1=(n2+n-λ)an(n=1,2,…),λ是常數(shù).(1)當(dāng)a2=-1時(shí),求λ及a3的值.(2)是否存在實(shí)數(shù)λ使數(shù)列{an}為等差數(shù)列?若存在,求出λ及數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.解(1)由于an+1=(n2+n-λ)an(n=1,2,…),且a1=1,所以當(dāng)a2=-1時(shí),得-1=2-λ,故λ=3.從而a3=(22+2-3)×(-1)=-3.(2)數(shù)列{an}不行能為等差數(shù)列,證明如下:由a1=1,an+1=(n2+n-λ