2025屆高考數(shù)學(xué)統(tǒng)考二輪復(fù)習(xí)增分強(qiáng)化練十一三角恒等變換與解三角形理含解析

PAGE增分強(qiáng)化練(十一)考點(diǎn)一三角恒等變換及其應(yīng)用1．(2024·寧德質(zhì)檢)cos31°cos1°＋sin149°sin1°＝()A．－eq\f(\r(3),2) B.eq\f(\r(3),2)C．－eq\f(1,2) D.eq\f(1,2)解析：cos31°cos1°＋sin149°sin1°＝cos31°cos1°＋sin31°sin1°＝cos(31°－1°)＝cos30°＝eq\f(\r(3),2)，故選B.答案：B2．(2024·蚌埠模擬)函數(shù)f(x)＝2sinxcosx＋2cos2x－1的圖象的對稱軸可能為()A．x＝eq\f(π,8) B．x＝eq\f(π,4)C．x＝eq\f(π,2) D．x＝－eq\f(π,4)解析：f(x)＝2sinxcosx＋2cos2x－1＝sin2x＋cos2x＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))，令2x＋eq\f(π,4)＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，解得x＝eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,8)，(k∈Z)，當(dāng)k＝0時(shí)，x＝eq\f(π,8)，故選A.答案：A3．(1＋tan20°)·(1＋tan25°)＝________.解析：因?yàn)?1＋tan20°)·(1＋tan25°)＝1＋tan25°＋tan20°＋tan20°tan25°，又tan45°＝eq\f(tan25°＋tan20°,1－tan20°tan25°)＝1，所以tan25°＋tan20°＝1－tan20°tan25°，所以(1＋tan20°)·(1＋tan25°)＝1＋tan25°＋tan20°＋tan20°tan25°＝2.答案：24．(2024·北京西城區(qū)模擬)函數(shù)f(x)＝sin2x＋cos2x的最小正周期T＝________；假如對于隨意的x∈R都有f(x)≤a，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．解析：f(x)＝sin2x＋cos2x＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))，最小正周期T＝π，依題意，知a≥f(x)恒成立，所以，a≥f(x)max＝eq\r(2)，即a≥eq\r(2).答案：π[eq\r(2)，＋∞)考點(diǎn)二正弦定理與余弦定理1．(2024·湛江模擬)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且acosB＝(4c－b)cosA，則cos2A．－eq\f(7,8) B．－eq\f(1,8)C.eq\f(7,8) D.eq\f(1,8)解析：∵acosB＝(4c－b)cosA.∴sinAcosB＝4sinCcosA－sinBcosA，即sinAcosB＋sinBcosA＝4cosAsinC，∴sinC＝4cosAsinC，∵0＜C＜π，sinC≠0.∴1＝4cosA，即cosA＝eq\f(1,4)，則cos2A＝2cos2A－1＝－eq\f(7,8).故選A.答案：A2．(2024·蚌埠模擬)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若2sin2A＋c(sinC－sinA)＝2sin2B，且△ABC的面積S＝eq\f(1,4)abc，則角B＝________.解析：S＝eq\f(1,4)abc?eq\f(1,4)abc＝eq\f(1,2)absinC?c＝2sinC，代入2sin2A＋c(sinC－sinA)＝2sin2B中，得sin2A＋sin2C－sinAsinC＝sin2B，由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，可將上式化簡為a2＋c2－ac＝b2，由余弦定理可知b2＝a2＋c2－2ac·cosB，所以有cosB＝eq\f(1,2)，又因?yàn)锽∈(0，π)，所以角B＝eq\f(π,3).答案：eq\f(π,3)3．(2024·晉城模擬)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且2sin2(B＋C)－3cosA＝0.(1)求角A的大??；(2)若B＝eq\f(π,4)，a＝2eq\r(3)，求邊長c.解析：(1)因?yàn)锳＋B＋C＝π，2sin2(B＋C)－3cosA＝0，所以2sin2A－3cosA＝0,2(1－cos2A)－3cosA＝0，所以2cos2A＋3cosA－2＝0，即(2cosA－1)(cosA＋2)＝0.因?yàn)閏osA∈(－1,1)，所以cosA＝eq\f(1,2)，因?yàn)锳∈(0，π)，所以A＝eq\f(π,3).(2)sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(2),2)＋eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4).在△ABC中，由正弦定理得eq\f(c,sinC)＝eq\f(a,sinA)，所以eq\f(c,\f(\r(6)＋\r(2),4))＝eq\f(2\r(3),\f(\r(3),2))，解得c＝eq\r(6)＋eq\r(2).考點(diǎn)三解三角形與三角函數(shù)的交匯問題1．(2024·寧德質(zhì)檢)海洋藍(lán)洞是地球罕見的自然地理現(xiàn)象，被喻為“地球留給人類保留宇宙隱私的最終遺產(chǎn)”，我國擁有世界上最深的海洋藍(lán)洞，若要測量如圖所示的藍(lán)洞的口徑A，B兩點(diǎn)間的距離，現(xiàn)在珊瑚群島上取兩點(diǎn)C，D，測得CD＝80，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，則A，B兩點(diǎn)的距離為________．解析：由已知，△ACD中，∠ACD＝15°，∠ADC＝150°，∴∠DAC＝15°.由正弦定理得AC＝eq\f(80sin150°,sin15°)＝eq\f(40,\f(\r(6)－\r(2),4))＝40(eq\r(6)＋eq\r(2))，△BCD中，∠BDC＝15°，∠BCD＝135°，∴∠DBC＝30°，由正弦定理，eq\f(CD,sin∠CBD)＝eq\f(BC,sin∠BDC)，所以BC＝eq\f(CD·sin∠BDC,sin∠CBD)＝eq\f(80×sin15°,\f(1,2))＝160sin15°＝40(eq\r(6)－eq\r(2))；△ABC中，由余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝1600(8＋4eq\r(3))＋1600(8－4eq\r(3))＋2×1600(eq\r(6)＋eq\r(2))×(eq\r(6)－eq\r(2))×eq\f(1,2)＝1600×16＋1600×4＝1600×20，解得AB＝80eq\r(5)，則兩目標(biāo)A，B間的距離為80eq\r(5).答案：80eq\r(5)2．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若sinA，sinB，sinC成等差數(shù)列，且cosC＝eq\f(1,3).(1)求eq\f(b,a)的值；(2)若c＝11，求△ABC的面積．解析：(1)因?yàn)閟inA，sinB，sinC成等差數(shù)列，所以2sinB＝sinA＋sinC，由正弦定理得2b＝a＋c，即c＝2b－a.又因?yàn)閏osC＝eq\f(1,3)，依據(jù)余弦定理有：cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(a2＋b2－2b－a2,2ab)＝2－eq\f(3b,2a)＝eq\f(1,3)，所以eq\f(b,a)＝eq\f(10,9).(2)因?yàn)閏＝11，cosC＝eq\f(1,3)，依據(jù)余弦定理有a2＋b2－2ab·eq\f(1,3)＝121，由(1)知b＝eq\f(10,9)a，所以a2＋eq\f(1