廣西欽州市2024-2025學年高二上學期期中考試數學試題含答案

廣西欽州市2024-2025學年高二上學期期中考試數學試題一、單選題（每小題5分，共40分）1.某小組有三名女生，兩名男生，先從這個小組中任意選一人當組長，則女生小麗當選為組長的概率是（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據古典概型的概率公式可得.【詳解】從這個小組中任選一人當組長，有5種選法，其中選小麗當組長只有一種選法，根據古典概型的概率公式可得所求概率為.故選：B【點睛】本題考查了古典概型的概率公式，屬于基礎題.2.法國有個名人叫做布萊爾·帕斯卡，他認識兩個賭徒，這兩個賭徒向他提出一個問題，他們說，他們下賭金之后，約定誰先贏滿5局，誰就獲得全部賭金700法郎，賭了半天，甲贏了4局，乙贏了3局，時間很晚了，他們都不想再賭下去了.假設每局兩賭徒輸贏的概率各占，每局輸贏相互獨立，那么這700法郎如何分配比較合理（）A.甲400法郎，乙300法郎 B.甲500法郎，乙200法郎C.甲525法郎，乙175法郎 D.甲350法郎，乙350法郎【答案】C【解析】【分析】通過分析甲可能獲勝的概率來分得獎金，假定再賭一局，甲獲勝的概率為；若再賭兩局，甲才獲勝的概率為，從而得甲獲勝的概率為，可得出獎金的分配金額.【詳解】假定再賭一局，甲獲勝的概率為；若再賭兩局，甲才獲勝的概率為，∴甲獲勝的概率為，∴甲應分得：（法郎），乙應分得：（法郎）.故選：C.【點睛】本題考查概率知識的實際應用，關鍵在于明確概率的原理，以達到理論聯(lián)系實際，屬于中檔題.3.下列敘述隨機事件的頻率與概率的關系中，說法正確的是A.頻率就是概率 B.頻率是隨機，與試驗次數無關C.概率是穩(wěn)定的，與試驗次數無關 D.概率是隨機的，與試驗次數有關【答案】C【解析】【分析】根據頻率、概率的概念，可得結果.【詳解】頻率指的是：在相同條件下重復試驗下，事件A出現(xiàn)的次數除以總數，是變化的概率指的是：在大量重復進行同一個實驗時，事件A發(fā)生的頻率總接近于某個常數，這個常數就是事件A的概率，是不變的故選：C【點睛】本題考查頻率與概率的區(qū)別，屬基礎題.4.已知復數與在復平面內對應的點關于原點對稱，且，則虛部為（）A B. C.1 D.【答案】A【解析】【分析】根據復數的運算，先求解，根據復數在復平面內對應的點求解，即可求解的虛部.【詳解】解：因為，故，所以在復平面對應的點為，則在復平面對應的點為，故，的虛部為-1.故選：A.5.已知復數（為虛數單位），則復數在復平面上對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】根據復數的運算求解復數，得到，根據復數的幾何意義即可求解.【詳解】，則，在復平面上對應的點的坐標為，位于第四象限.故選：D．6.在復平面內，下列命題是真命題的是（）A.若復數z滿足R，則RB.若復數z滿足R，則RC.若復數，滿足R，則D.若復數R，則【答案】A【解析】【分析】A選項，設復數為，表達出，根據得到，A正確；BCD選項，舉出反例；【詳解】A選項，設復數，，則，若，則，所以，A為真命題；B選項，若復數，則，但，故B為假命題；C選項，若復數，，滿足，但，C為假命題；D選項，如果，則無意義，D為假命題.故選：A.7.已知復數z=（為虛數單位），則|z|=（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】化簡得，即得解.【詳解】解：由題得z=，所以|z|=.故選：A8.已知為虛數單位，在復平面內，復數對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【詳解】先化簡復數得到復數為，即得解.【點睛】解：，所以該復數對應的點為，在第四象限.故選：D二、多選題（每小題6分，共18分）9.設復數在復平面內對應的點為Z，原點為O，為虛數單位，則下列說法正確的是（）A.若，則或B.若點Z的坐標為，且是關于的方程的一個根，則C.若，則的虛部為D.若，則點的集合所構成的圖形的面積為【答案】BD【解析】【分析】舉反例可判斷A；根據復數相等列方程組可解p、q，然后可判斷B；由虛部概念可判斷C；利用兩圓面積相減可判斷D.【詳解】A中，令，則，故A錯誤；B中，若點Z的坐標為，則，所以，整理得，所以，解得，所以，故B正確；C中，易知的虛部為，故C錯誤；D中，記，則所以，圓的面積為，圓的面積為，所以點的集合所構成的圖形的面積為，故D正確.故選：BD10.已知復數z滿足，則（）A.z的虛部為-3 B.z在復平面內對應的點位于第二象限C. D.【答案】BC【解析】【分析】利用復數的乘除運算求解復數，根據復數的性質判斷各項正誤.【詳解】解：由可得，故z的虛部為3，A錯誤；z在復平面內對應的點為，位于第二象限，B正確；，C正確；，故D錯誤.故選：BC.11.下列命題為真命題的是（）A.若，為共扼復數，則為實數B.若為虛數單位，為正整數，則C.復數在復平面內對應的點在第三象限D.復數的共軛復數為【答案】AC【解析】【分析】根據共軛復數的概念可判斷A項；利用復數的乘方運算可判斷B項；利用復數的幾何意義可判斷C項；利用復數的除法運算結合共軛復數的概念可判斷D項.【詳解】解：設，則，故，故A正確；因為，故B錯誤；因為復數在復平面內對應點的坐標為，所以在第三象限，故C正確；因為，其共軛復數為，故D錯誤；故選：AC.第II卷（非選擇題）三、填空題（每小題5分，共15分）12.已知復數滿足，的虛部為－2，所對應的點在第二象限，則_________．【答案】##【解析】【分析】設復數，根據題干中的條件列方程組求解的值即可.【詳解】解：設復數，則，所以，又，且的虛部為-2，則，因為所對應的點在第二象限，即點在第二象限，所以，故，解得，故.故答案為：.13.若|，則的最小值為_____.【答案】1【解析】【分析】設，根據復數的幾何意義可得，則，即可求解.【詳解】設，則.所以，即，所以，所以，故當時，的最小值為1.故答案為：1.14.已知為虛數單位，復數，則的實部為________．【答案】【解析】【分析】利用復數的除法運算化簡復數，進而確定其實部.【詳解】由，則實部為：，故答案為：.四、解答題（共77分）15.化簡：，，，，，，，．【答案】.【解析】【分析】由復數的乘方法則即可求解.【詳解】由復數乘方法則可知，所以，，，，，，，.16.求適合下列方程的實數x，y的值：（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】根據復數相等即可得到方程組，解出即可.【小問1詳解】由題意得，解得.【小問2詳解】由題意得，解得.17.已知復數z滿足，的虛部是2，z對應的點A在第一象限，（1）求z的值；（2）若在復平面上對應點分別為A，B，C，求cos∠ABC.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設出，利用復數的模和的虛部列出方程組，求出z的值；（2）在（1）的基礎上，得到和對應的復數，利用復數的除法運算的三角表示及其幾何意義求出答案.【小問1詳解】設，，則，由題意得，故，因為z對應的點A在第一象限，所以，解得，故；【小問2詳解】由（1）知，，，對應的復數為，對應的復數為，因為，且的輻角為，所以18.一個小組的3個學生在分發(fā)數學作業(yè)時，從他們3人的作業(yè)中各隨機地取出了一份作業(yè)．（1）每個學生恰好拿到自己作業(yè)的概率是多少？（2）3個學生不都拿到自己作業(yè)的概率是多少？（3）每個學生拿的都不是自己作業(yè)的概率是多少？【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）首先確定3人拿作業(yè)的情況包含種可能，再求概率；（2）根據（1）的結果，利用對立事件求概率；（3）首先列舉基本事件，再求概率.【詳解】（1）由題意可知，每個學生恰好拿到自己作業(yè)的概率；（2）3個學生不都拿到自己作業(yè)的概率；（3）三個學生分別設為，則每個學生拿的都不是自己的作業(yè)包含的基本事件是或，共2個基本事件，所以每個學生拿都不是自己作業(yè)的概率.19.古人云：“腹有詩書氣自華.”為響應全民閱讀，建設書香中國，校園讀書活動的熱潮正在興起.某校為統(tǒng)計學生一周課外讀書的時間，從全校學生中隨機抽取名學生進行問卷調查，統(tǒng)計了他們一周課外讀書時間（單位：）的數據如下：一周課外讀書時間/合計頻數46101214244634頻率0.020.030.050.060.070.120.250.171（1）根據表格中提供的數據，求，，的值并估算一周課外讀書時間的中位數.（2）如果讀書時間按，，分組，用分層抽樣的方法從名學生中抽取20人.①求每層應抽取的人數；②若從，中抽出的學生中再隨機選取2人，求這2人不在同一層的概率.【答案】（1），，，中位數；（2）①三層中抽取的人數分別為2，5，13；②【解析】【分析】（1）根據頻率分布直方表的性質，即可求得，得到，，再結合中位數的計算方法，即可求解.（2）①由題意知用分層抽樣的方法從樣本中抽取20人，根據抽樣比，求得在三層中抽取的人數；②由①知，設內被抽取學生分別為，內被抽取的學生分別為，利用列舉法得到基本事件的總數，利用古典概型的概率計算公式，即可求解.【詳解】（1）由題意，可得，所以，.設一周課外讀書時間的中位數為小時，則，解得，即一周課外讀書時間的中位數約為小時.（2）①由題意知用分層抽樣的方法從樣本中抽取20人，抽樣比為，又因為，，的頻數分別為20，50，130，所以從，，三層中抽取的人數分別為2，5，13.②由①知，在，兩層中共抽