2024八年級數(shù)學(xué)上冊階段拔尖專訓(xùn)10平行線間的拐點問題習(xí)題課件新版北師大版

北師版八年級上階段拔尖專訓(xùn)10平行線間的拐點問題

構(gòu)造截線1.

如圖，

AB

∥

CD

，

BF

，

DF

分別平分∠

ABE

和∠

CDE

，

BF

∥

DE

，∠

F

與∠

ABE

互補，求∠

F

的度數(shù).

123456

【解】延長

FB

交

CD

于點

G

，如圖.∵

BF

，

DF

分別平分∠

ABE

和∠

CDE

，∴∠

FBA

＝∠

FBE

，∠1＝∠2.∵

AB

∥

CD

，∴∠

FBA

＝∠3.123456∵

BF

∥

DE

，∠

F

與∠

ABE

互補，∴∠3＝∠

EDC

＝2∠2，∠

F

＝∠1，∠

F

＋∠

ABE

＝

180°.設(shè)∠

F

＝

x

°，則∠1＝∠2＝

x

°，∴∠3＝2

x

°，∴∠

ABE

＝4

x

°，∴

x

＋4

x

＝180，解得

x

＝36，即∠

F

的度數(shù)為36°.123456

構(gòu)造三角形2.

[新趨勢·跨學(xué)科2024蕪湖期末]如圖所示是汽車燈的剖面

圖，從位于

O

點燈發(fā)出光照射到凹面鏡上反射出的光線

BA

，

CD

都是水平線，若∠

ABO

＝α，∠

DCO

＝60°，

則∠

BOC

的度數(shù)為(

C

)A.180°－αB.120°－αC.60°＋αD.60°－α(第2題)

C1234563.

如圖，在五邊形

ABCDE

中，

AB

∥

CD

，∠1，∠2，∠3

分別是∠

BAE

，∠

AED

，∠

EDC

的外角，則∠1＋∠2＋

∠3等于(

B

)A.90°B.180°C.210°D.270°(第3題)B1234564.

如圖，

AB

∥

CD

，點

P

為平面內(nèi)一點.當點

P

在點

B

右上

方時，∠

ABP

，∠

CDP

，∠

BPD

之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)

系？請證明.123456

【解】∠

ABP

＝∠

BPD

＋∠

CDP

.

證明：如圖，延長

AB

交

PD

于點

H

，則∠

ABP

是△

PBH

的一個外角.∴∠

ABP

＝∠

BPD

＋∠

BHP

.

∵

AH

∥

CD

，∴∠

CDP

＝∠

BHP

.

∴∠

ABP

＝∠

BPD

＋∠

CDP

.

123456

構(gòu)造平行線5.

(1)問題背景：如圖①，已知

AB

∥

CD

，線段

AD

與

BC

相

交于點

E

，點

B

在點

A

右側(cè).若∠

ABC

＝41°，∠

ADC

＝78°，求∠

AEC

；

123456【解】過點

E

作

EP

∥

AB

，如圖①，∴∠

ABC

＝∠

PEC

＝41°.∵

AB

∥

CD

(已知)，∴

PE

∥

CD

，∴∠

AEP

＝∠

ADC

＝78°，∴∠

AEC

＝∠

AEP

＋∠

PEC

＝78°＋41°＝119°.123456(2)類比探究：如圖②，若∠

ABC

與∠

ADC

的平分線相交

于點

F

，探究∠

BFD

與∠

AEC

之間的數(shù)量關(guān)系.123456

【解】由(1)知∠

AEC

＝∠

ABC

＋∠

ADC

.

∵

BF

，

DF

分別是∠

ABC

與∠

ADC

的平分線，∴∠

ABC

＝2∠

ABF

，∠

ADC

＝2∠

FDC

，∴∠

AEC

＝2(∠

ABF

＋∠

FDC

).過點

F

作

FP

∥

AB

，如圖②，則∠

ABF

＝∠

BFP

.

∵

AB

∥

CD

，∴

FP

∥

CD

，∴∠

PFD

＝∠

FDC

，∴∠

BFD

＝∠

BFP

＋∠

PFD

＝∠

ABF

＋∠

FDC

，∴∠

AEC

＝2∠

BFD

.

1234566.

[2024遂寧期末]已知：

AB

∥

CD

.

(1)如圖①，試探究∠

B

，∠

BED

，∠

D

之間的數(shù)量關(guān)

系，并說明理由；123456【解】∠

BED

＝∠

B

＋∠

D

.

理由：如圖①，過點

E

作

EM

∥

AB

.

∵

AB

∥

CD

，∴

EM

∥

CD

∥

AB

，∴∠

B

＝∠

BEM

，∠

MED

＝∠

D

.

∵∠

BED

＝∠

BEM

＋∠

MED

，∴∠

BED

＝∠

B

＋∠

D

.

123456(2)利用上述結(jié)論，回答問題.①如圖②，試探究∠

E

，∠

G

，∠

B

，∠

F

，∠

D

之

間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；123456【解】∠

BEF

＋∠

FGD

＝∠

B

＋∠

EFG

＋∠

D

.

理由如下：如圖②，過點

E

作

EM

∥

AB

，過點

F

作

FN

∥

AB

，過點

G

作

GH

∥

AB

.

∵

AB

∥

CD

，∴

AB

∥

CD

∥

EM

∥

FN

∥

GH

，∴∠

B

＝∠

BEM

，∠

MEF

＝∠

EFN

，∠

NFG

＝∠

FGH

，∠

HGD

＝∠

D

，∴∠

BEM

＋∠

MEF

＋∠

FGH

＋∠

HGD

＝∠

B

＋∠

EFN

＋∠

NFG

＋∠

D

，即∠

BEF

＋∠

FGD

＝∠

B

＋∠

EFG

＋∠

D

.

123456②如圖③，請直接寫出∠

B

，∠

D

，∠

E1，∠E2，…，∠

En

，∠

F1，∠

F2，…，∠

Fn＋1之間的數(shù)量關(guān)系.【解】∠

B

＋∠

BF1

E1＋∠

F2＋…＋∠

Fn

＋∠

EnFn＋1

D

＋∠

D

＝∠

E1＋∠

E2＋…＋∠

En

＋360°.123456【點撥】如圖③，過點

F1作

F1

N

∥

AB

，過點

Fn＋1作

Fn＋1

R

∥

CD

.

∵

AB

∥

CD

，∴

NF1∥

RFn＋1.∴∠

B

＋∠

BF1

N

＝∠

D

＋∠

DFn＋1

R

＝180°，由①得∠

NF1

E1

＋∠

F2＋…＋∠

Fn

＋∠

EnFn＋1

R

＝∠

E1＋

E2＋…＋

∠

En

，∴∠

B

＋∠

BF1

N

＋∠

NF1

E1＋∠

F2＋…＋∠

Fn

＋∠

EnFn＋1

R