對數函數及其冪函數教案及復習資料詳解

/對數函數與冪函數教學目標一、教學知識點1、對數函數的概念.2、對數函數的圖象和性質3、冪函數的概念。4、五種冪函數的圖象并歸納他們的基本性質，并能進行簡單的應用。二、能力訓練要求1、理解對數函數的的概念.2、掌握對數函數的圖象和性質.3、培養(yǎng)學生數形結合的意識.4、理解冪函數的概念。5、理解五種冪函數的圖象并歸納他們的基本性質，并能進行簡單的應用。教學重點對數函數的圖象和性質冪函數的概念從五個具體冪函數中認識冪函數的一些性質教學難點對數函數指數函數的關系畫五個具體冪函數的圖象并由圖象概括其性質，體會圖象的變化規(guī)律對數及其對數函數1、對數的概念（1）定義：如果的b次冪等于N，就是，那么數稱以為底N的對數，記作其中稱對數的底，N稱真數。=1\*GB3①以10為底的對數稱常用對數，記作；=2\*GB3②以無理數為底的對數稱自然對數，，記作；（2）基本性質：=1\*GB3①真數N為正數（負數和零無對數）；2）；=3\*GB3③；4）對數恒等式：。（3）運算性質：如果則=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③R）。（4）換底公式：兩個非常有用的結論=1\*GB3①；=2\*GB3②。【注】指數方程和對數方程主要有以下幾種類型：af(x)=bf(x)=logab,logaf(x)=bf(x)=ab;（定義法）af(x)=ag(x)f(x)=g(x),logaf(x)=logag(x)f(x)=g(x)>0（轉化法）af(x)=bg(x)f(x)logma=g(x)logmb(取對數法)logaf(x)=logbg(x)logaf(x)=logag(x)/logab(換底法)2．對數函數定義一般地，當a>0且a≠1時，函數y=㏒2x.叫做對數函數.這里大家要明確，對數函數與指數函數互為反函數，所以，對數函數的解析式可以由指數函數求反函數得到，對數函數的定義域、值域也就是指數函數的值域、定義域.即對數函數的定義域是（0，+∞），值域是R.3．對數函數的性質：（1）圖象：由于對數函數是指數函數的反函數，所以對數函數的圖象只須由相應的指數函數圖象作關于的對稱圖形，即可獲得。同樣：也分與兩種情況歸納，以（圖1）與（圖2）為例。111111（圖1）（圖2）（圖1）（圖2）（2）對數函數性質列表：圖象 性質（1）定義域：（2）值域：（3）過點，即當時，（4）在（0，+∞）上是增函數（4）在上是減函數冪函數1.問題引入我們先看下面幾個具體問題:(1).如果圣誕節(jié)卡片每張1元，那么買x張卡片需y元。y=x(2).如果正方形的邊長為x，面積為y。y=(3).如果正方形邊長為x，體積為y。y=(4).如果正方形的面積為x，邊長為y。y=(5).如果某人x秒內騎車行了1km,他騎車的平均速度為y.y=以上問題中的函數具有什么共同特征？答：共同特征：（1）都是函數；（2）均是以自變量為底的冪；（3）指數為常數；（4）自變量前的系數為1;2、冪函數的概念一般地，函數y=叫做冪函數，其中x是自變量，是常數注：一般我們討論為有理數的情況3、冪函數性質的探究：對于冪函數，我們只討論=1，2，3，，–1時的情形。

定義域

R

R

R

值域

R

R

奇偶性

奇函數

偶函數

奇函數

非奇非偶函數

奇函數單調性

公共點

（1，1）通過上表我們得出：函數，，，和得圖像都通過點（1，1）函數，，是奇函數，函數是偶函數在區(qū)間上，函數，，，是增函數，函數是減函數在第一象限內，函數的圖像向上與y軸無限接近，向右與x軸無限接近。由上述推理歸納：冪函數的性質如下(1)所有的冪函數在(0,+∞)都有定義,并且圖象都通過點(1,1);(2)指數是偶數的冪函數是偶函數,指數是奇數的冪函數是奇函數(3)如果＞０，則冪函數在區(qū)間[0,+∞)上是增函數；如果＜０，則冪函數在區(qū)間(0,+∞)上是減函數，在第一象限內，圖象向上與y軸無限接近，圖象向右與x軸無限接近。4、課堂小結（1）學習了對數函數和冪函數的定義（2）對數函數和冪函數的圖像和性質（3）利用冪函數的單調性判別“同指數不同底數”的冪的大小（4）數形結合思想的再次升華典例解析例1．計算（1）；（2）；（3）。例2．設、、為正數，且滿足（1）求證：；（2）若，，求、、的值。例3.（1）已知log189=a,18b=5,求log3645（用a,b表示）（2）設求證：例4．設關于的方程R），（1）若方程有實數解，求實數b的取值范圍；（2）當方程有實數解時，討論方程實根的個數，并求出方程的解。.例5.已知y=loga(2－ax)在區(qū)間[0，1]上是x的減函數，求a的取值范圍．例6，已知函數f(x)=loga(a－ax)且a＞1，（1）求函數的定義域和值域；（2）討論f(x)在其定義域上的單調性；例7.已知冪函數的圖象與軸都無交點，且關于軸對稱，求的值。課后練習1．函數的定義域是，值域是.2．方程log2(2x+1)log2(2x+1+2)=2的解為.3．函數y=的單調遞增區(qū)間是.4．若函數log2(kx2+4kx+3)的定義域為R，則k的取值范圍是___________.5．設若時有意義，求實數的范圍6.已知函數.(1)求函數f(x)的定義域；(2)求函數f(x)的值域.7.如圖，A，B，C為函數的圖象上的三點，它們的橫坐標分別是t,t+2,t+4(t1).(1)設ABC的面積為S求S=f(t)；(2)判斷函數S=f(t)的單調性；(3)求S=f(t)的最大值.8.已知冪函數在（0，＋∞）上是增函數，且在其定義域內是偶函數，求的值，并寫出相應的函數例題答案與解析例1.解：（1）原式；（2）原式；（3）分子=；分母=；原式=。點評：這是一組很基本的對數運算的練習題，雖然在考試中這些運算要求并不高，但是數式運算是學習數學的基本功，通過這樣的運算練習熟練掌握運算公式、法則，以及學習數式變換的各種技巧。例2．證明：（1）左邊；解：（2）由得，∴……………①由得………②由①②得……③由①得，代入得，∵，∴………………④由③、④解得，，從而。點評：對于含對數因式的證明和求值問題，還是以對數運算法則為主，將代數式化簡到最見形式再來處理即可。例3.（1）解：∵log189=a∴∴l(xiāng)og182=1a∵18b=5∴l(xiāng)og185=b∴（2）證：∵∴∴題型4：指數、對數方程例4．解：（1）原方程為，，時方程有實數解；（2）①當時，，∴方程有唯一解；②當時，.的解為；令的解為；綜合①、②，得1）當時原方程有兩解：；2）當時，原方程有唯一解；3）當時，原方程無解。點評：具有一些綜合性的指數、對數問題，問題的解答涉及指數、對數函數，二次函數、參數討論、方程討論等各種基本能力，這也是指數、對數問題的特點，題型非常廣泛，應通過解題學習不斷積累經驗。例5.解析：先求函數定義域：由2－ax＞0，得ax＜2又a是對數的底數，∴a＞0且a≠1，∴x＜由遞減區(qū)間[0，1]應在定義域內可得＞1，∴a＜2又2－ax在x∈[0，1]是減函數∴y=loga(2－ax)在區(qū)間[0，1]也是減函數，由復合函數單調性可知：a＞1∴1＜a＜2例6．解析：(1)定義域為(－∞，1)，值域為(－∞，1)(2)設1＞x2＞x1∵a＞1，∴，于是a－＜a－則loga(a－a)＜loga(a－)即f(x2)＜f(x1)∴f(x)在定義域(－∞，1)上是減函數例7，解：因為的圖象與x,y軸都無交點，所以，，所以，m可取0，1，2。因為的圖象關于y軸對稱所以m=1課后習題答案與解析1．2.03.4. 5.解：由已知得，當時，∴∴∴，∴，∴6.解：(1)函數的定義域為(1，p).(2)當p＞3時，f(x)的值域為(－∞，2log2(p+1)－2)；當1＜p3時，f(x)的值域為(－，1+log2(p+1)).7.解：（1）過A,B,C,分別作AA1,BB1,CC1垂直于x軸，垂足為