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教學設計《利用函數(shù)性質(zhì)判定方程解的存在》郭斌一、教學內(nèi)容分析此節(jié)內(nèi)容為北師大版本必修1的第四章《函數(shù)應用》第一課時4.1.1利用函數(shù)性質(zhì)判定方程解的存在。函數(shù)是高中的起始課程,函數(shù)的重要性有兩方面,一是函數(shù)的思想價值,二是函數(shù)應用的價值。本節(jié)內(nèi)容就是函數(shù)應用價值的體現(xiàn),利用函數(shù)和其他數(shù)學知識的有機聯(lián)系,從函數(shù)特征判定方程解的存在性。二、學生情況分析學生已學習了函數(shù)的圖像和性質(zhì),因此本節(jié)內(nèi)容從學生熟悉的二次函數(shù)入手,研究學習判定方程解存在的方法。這樣,從特殊到一般的學習方法,學生容易掌握理解。三、設計思想讓學生感識常見的數(shù)學思想中體現(xiàn)出的數(shù)學樂趣,學會從特殊到一般的歸納、總結(jié)的過程。四、教學方法啟發(fā)誘導五、教具多媒體課件六、教學目標讓學生明確“方程的解”與“函數(shù)的零點”之間的密切關系,掌握利用函數(shù)圖像性質(zhì)判斷方程解的存在性。通過本節(jié)學習讓學生感識“數(shù)形結(jié)合”,“特殊到一般”的數(shù)學思想。本節(jié)內(nèi)容的學習,進一步拓展了學生的視野,使他們體會到數(shù)學當中不同內(nèi)容之間的內(nèi)在聯(lián)系。七、教學重點難點重點:零點的理解;利用函數(shù)性質(zhì)判定方程解的存在性。難點:數(shù)形結(jié)合思想的合理應用。八、教學過程設計導入:觀察函數(shù)的圖像(利用多媒體展示下圖)師:引導學生觀察分析此時,f(-2)>0,f(1)<0,f(4)>0.則f(-2)f(1)<0,那么方程在(-2,1)內(nèi)有解。同理,f(1)f(4)<0,方程在(1,4)內(nèi)有解。分析:2.講授新知識:師:引導學生歸納零點定義一般的,對于函數(shù)y=f(x),我們把使f(x)=0的實數(shù)x叫作方程的零點。注:零點是一個實數(shù)。師(提問):怎樣判斷函數(shù)有零點?歸納總結(jié):若函數(shù)y=f(x)滿足以下條件:2.講授新知識:師:引導學生歸納零點定義一般的,對于函數(shù)y=f(x),我們把使f(x)=0的實數(shù)x叫作方程的零點。注:零點是一個實數(shù)。師(提問):怎樣判斷函數(shù)有零點?歸納總結(jié):若函數(shù)y=f(x)滿足以下條件:(1)f(x1)f(x2)<0;(2)函數(shù)y=f(x)的圖像在[x1,x2]上連續(xù);則方程f(x)=0在(x1,x2)上有解.注:①滿足以上兩個條件則函數(shù)就有零點,兩條件必須同時滿足。例如:,f(-1)f(2)<0,可方程無解,因為函數(shù)圖象不連續(xù)。②函數(shù)有零點則方程一定有解。學:判斷函數(shù)是否有零點,方程是否有解。(討論結(jié)果,代表發(fā)言)③此方法只能判定有解,而不能判定解的個數(shù)。④以上條件若不成立,不能說明方程無解。⑤函數(shù)圖像若在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)且有零點,則方程在此區(qū)間內(nèi)只有一解。(以上五個結(jié)論利用多媒體展示完成)小結(jié):函數(shù)圖像從x軸上方到下方或從x軸下方到上方都會穿過x軸,即圖像連續(xù)且有使函數(shù)值為零的點的橫坐標,那么對應方程一定有解。可利用函數(shù)值判定方程根的存在。③以上條件若不成立,不能判定方程無解。例如:x2=0有解,可f(-1)f(1)=(-1)2×12=1+1=2>0④只能判定有解而不能判定解的個數(shù)。⑤若函數(shù)圖象在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)且有零點,則方程在此區(qū)間內(nèi)有且只有一個解。(以上結(jié)論用多媒體展示推導過程)3.例題講解:例1判定方程x3+2x+1=0在[-2,3]上是否有解。學:獨立完成此題。師:板書解題過程。分析:利用上述結(jié)論。解:因為f(-2)=(-2)3+2×(-2)+1=-11<0f(3)=33+2×3+1=34>0則f(-2)f(3)<0又因為函數(shù)f(x)=x3+2x+1的圖像在[-2,3]上連續(xù),所以,方程x3+2x+1=0在[-2,3]上有解。小結(jié):①滿足兩個條件則可判定有解。②一般地,若給定區(qū)間為函數(shù)定義域的子區(qū)間,則函數(shù)圖像在此區(qū)間上連續(xù)。例2判斷方程是否有解。學:完成方法一。師:引導學生完成方法二及方法三。方法一:經(jīng)試算f(0.1)=1-<0,f(100)=2->0,且函數(shù)f(x)=的圖像在[0.1,100]上連續(xù),所以方程在(0.1,100)上有解。y方法二:畫出函數(shù)f(x)=的圖像如下:(畫圖過程利用多媒體展示)yxx從圖可得:方程有兩個解,即為圖中交點的橫坐標。方法三:題中方程可變形為則可得到兩個函數(shù)y=及y=可畫出兩個函數(shù)圖象如下:Y=Y=xyY=Y=xy01從圖可得:方程在(0,1)和(1,+∞)上各有一解。小結(jié):①函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標叫做函數(shù)的零點,即函數(shù)的零點為對應方程的解。②利用函數(shù)圖像判斷方程的解更加直觀。③數(shù)形結(jié)合思想的應用④發(fā)散思維一題多解。4.課堂練習:(多媒體展示)①斷方程x3-x=0在[-2,2]上是否有解。學:課堂內(nèi)獨立完成。師:講解評價,鼓勵學生一題多解,代數(shù)法,幾何法。②斷方程x3+x=0在(-∞,0)上是否有解。師:引導啟發(fā),類比例二。學:思考交流后完成。③用函數(shù)增長的快慢判斷方程x3=2x是否有解。師:思考題,引導學生一起完成。學:回顧冪函數(shù),指數(shù)函數(shù)增長快慢的性質(zhì)。設計以上練習題的意圖:繼續(xù)鞏固例題中講解的判定方程解存在性的方法;一題多解,開闊思路;從函數(shù)值,函數(shù)圖象兩大方面方法進行練習,使學生體會數(shù)形結(jié)合的優(yōu)勢;代數(shù)法、何法的合理應用;感受數(shù)學知識的內(nèi)在聯(lián)系。5.課堂小結(jié):(師生共同完成,并用多媒體展示)①理解零點與方程解的關系。②利用函數(shù)性質(zhì)判定方程解的存在,例如,利用函數(shù)值、像等。③要求熟練掌握利用函數(shù)值判定解存在的方法。④理解數(shù)形結(jié)合思想在判定方程解存在中的應用。6.布置作業(yè):判定下列方程在給定區(qū)間上是否有解:⑴x5+3x+1=0,x∈[-1,1];⑵,x∈[-1,1];⑶,x∈[-,].九、課堂反思本節(jié)課的內(nèi)容容量偏大,雖

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