初中數(shù)學(xué).因式分解的基本方法(二).第14講.教師版

因式分解的基本方法因式分解的基本方法內(nèi)容基本要求略高要求較高要求因式分解了解因式分解的意義及其與整式乘法之間的關(guān)系會(huì)用提公因式法、公式法（直接用公式不超過兩次）進(jìn)行因式分解（指數(shù)是正整數(shù)）能運(yùn)用因式分解的方法進(jìn)行代數(shù)式的變形，解決有關(guān)問題十字相乘法十字相乘法：一個(gè)二次三項(xiàng)式，若可以分解，則一定可以寫成的形式，它的系數(shù)可以寫成，十字相乘法就是用試驗(yàn)的方法找出十字線兩端的數(shù)，其實(shí)就是分解系數(shù)a，b，c，使得：，，，若不是一個(gè)平方數(shù)，那么二次三項(xiàng)式就不能在有理數(shù)范圍內(nèi)分解分組分解分組分解法：將一個(gè)多項(xiàng)式分成二或三組，各組分別分解后，彼此又有公因式或者可以用公式，這就是分組分解法.十字相乘分解因式： ⑴ ⑵⑶ ⑷⑴；⑵；⑶；⑷分解因式：分解因式：分解因式：分解因式：分解因式：分解因式：分解因式：分解因式：分解因式：分解因式：分解因式：分解因式：分解因式：⑴；⑵⑴把看作一個(gè)整體，利用十字相乘法分解即可.⑵將看作整體，則原式.分解因式：分解因式：分解因式：把a(bǔ)視為未知數(shù)，其它視為參數(shù)。 原式 分解因式：，利用十字相乘思想分解因式：，利用十字相乘思想分解因式：多項(xiàng)式x2+px+12可分解為兩個(gè)一次因式的積，整數(shù)p的值是（寫出一個(gè)即可）．【解析】把12分解為兩個(gè)整數(shù)的積的形式，p等于這兩個(gè)整數(shù)的和．【答案】12=（±2）×（±6）=（±3）×（±4）=（±1）×（±12），所以p=（±2）+（±6）=±8，或（±3）+（±4）=±7，或（±1）×（±12）=±13．∴整數(shù)p的值是±7（或±8或±13）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了十字相乘法分解因式，對(duì)常數(shù)項(xiàng)的不同分解是解題的關(guān)鍵．一個(gè)長方形的面積為m2+m﹣2（m＞1），其長為m+2，則寬為．【解析】根據(jù)長方形的面積=長×寬，列式求解，然后利用十字相乘法分解因式，再進(jìn)行除法計(jì)算．【答案】（m2+m﹣2）÷（m+2）=（m+2）（m﹣1）÷（m+2）=m+1，∴寬為m﹣1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了十字相乘法分解因式，多項(xiàng)式除單項(xiàng)式，先利用十字相乘法分解因式，然后再進(jìn)行整式除法運(yùn)算比較簡單．如果二次三項(xiàng)式x2﹣ax+15在整數(shù)范圍內(nèi)可以分解因式，那么整數(shù)a的值為（只填寫一個(gè)你認(rèn)為正確的答案即可）．【解析】根據(jù)題意，﹣a是15分解成兩個(gè)因數(shù)的和，15可以分解兩個(gè)因數(shù)有幾種，任意選取一種就可以．【答案】3×5=15，﹣a=3+5，a=﹣8．【點(diǎn)評(píng)】本題考查十字相乘法因式分解，不過本題比較靈活，答案不唯一．我們已經(jīng)學(xué)過用面積來說明公式．如：（x+y）2=x2+2xy+y2就可以用下圖甲中的面積來說明．①請(qǐng)寫出圖乙的面積所說明的公式x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）；②請(qǐng)利用①中得到的公式因式分解：x2﹣7x+10=（x﹣2）（x﹣5）．【分析】利用面積分割法可證，大長方形的面積=三個(gè)長方形的面積+小正方形的面積，分別用代數(shù)式表示即可．【答案】根據(jù)題意可知，①x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）；②∵（﹣2）×（﹣5）=10，（﹣2）+（﹣5）=﹣7∴x2﹣7x+10=（x﹣2）（x﹣5）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了十字相乘法的幾何意義，利用了面積分割法，根據(jù)面積相等列式是解題的關(guān)鍵．當(dāng)m=時(shí)，二元二次六項(xiàng)式6x2+mxy﹣4y2﹣x+17y﹣15可以分解為兩個(gè)關(guān)于x，y的二元一次三項(xiàng)式的乘積．【解析】本題先研究x，將x項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)進(jìn)行十字分解，然后設(shè)出兩個(gè)因式，相乘得到的結(jié)果與原多項(xiàng)式比較，可列出方程，從而達(dá)到結(jié)果，然后得到m的值．【答案】利用“十字相乘法”分解二次三項(xiàng)式的知識(shí)，可以判定給出的二元二次六項(xiàng)式6x2+mxy﹣4y2﹣x+17y﹣15中6x2﹣x﹣15三項(xiàng)應(yīng)當(dāng)分解為：（3x﹣5）（2x+3）；現(xiàn)在要考慮y，只須先改寫作（3x﹣5+ay）（2x+3+by）；然后根據(jù)﹣4y2，17y這兩項(xiàng)式，即可斷定是：&a+b=3&ab=﹣4解得：a=4，b=﹣1，所以（3x+4y﹣5）（2x﹣y+3）=6x2+5xy﹣4y2﹣【點(diǎn)評(píng)】本題考查十字相乘法分解因式，運(yùn)用十字相乘法分解因式時(shí)，要注意觀察，嘗試，并體會(huì)它實(shí)質(zhì)是二項(xiàng)式乘法的逆過程．分組分解分解因式：解法一：按字母的冪來分組．解法二：按字母的冪來分組．原式的6項(xiàng)是平均分配的，或者分成三組，每組兩項(xiàng)；或者分成兩組，每組三項(xiàng)． 如果分組的目的是使第二步與第三步都有公因式可提，那么就必須平均分配． 特別注意結(jié)合選主元思想，在系數(shù)上分析分組！分解因式：法1：法2：分解因式：分解因式：分解因式：分解因式：分解因式：分解因式：分解因式：分解因式：原式，體會(huì)利用系數(shù)分組引導(dǎo)整體因式分解分解因式：或分解因式：原式分解因式：原式=分解因式：原式分解因式：分解因式：分解因式：【補(bǔ)充】分解因式：原式分解因式：解根據(jù)a的冪來分組是可以行得通的，恰好能用上公式(2)，并為下一步提公因式奠好基礎(chǔ)．分解因式：分解因式：分解因式：分解因式：原式（2009?常德）因式分解：m2﹣mn+mx﹣nx=．【解析】被分解的式子是四項(xiàng)時(shí)，應(yīng)考慮運(yùn)用分組分解法進(jìn)行分解．m2﹣mn可提公因式，分為一組；mx﹣nx可提公因式，分為一組．【答案】m2﹣mn+mx﹣nx=（m2﹣mn）+（mx﹣nx）=m（m﹣n）+x（m﹣n）=（m﹣n）（m+x）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查用分組分解法進(jìn)行因式分解．難點(diǎn)是采用兩兩分組還是三一分組．要考慮分組后還能進(jìn)行下一步分解．分解因式：a3+a2b﹣ab2﹣b3=．【分析】當(dāng)被分解的式子是四項(xiàng)時(shí)，應(yīng)考慮運(yùn)用分組分解法進(jìn)行分解．本題前兩項(xiàng)、后兩項(xiàng)都有公因式，且分解后還能繼續(xù)分解，故使前兩項(xiàng)一組，后兩項(xiàng)一組．【答案】a3+a2b﹣ab2﹣b3=a2（a+b）﹣b2（a+b）=（a+b）（a2﹣b2）=（a+b）2（a﹣b）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查用分組分解法進(jìn)行因式分解．難點(diǎn)是采用兩兩分組還是三一分組．此題主要用到了提取公因式法和平方差公式進(jìn)行因式分解．將ab﹣a+b﹣1因式分解，其結(jié)果是．【解析】當(dāng)被分解的式子是四項(xiàng)時(shí)，應(yīng)考慮運(yùn)用分組分解法進(jìn)行分解．本題中有a的是前兩項(xiàng)，可以考慮把前兩項(xiàng)分為一組．【答案】ab﹣a+b﹣1=（ab﹣a）+（b﹣1）=a（b﹣1）+（b﹣1）=（a+1）（b﹣1）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查用分組分解法進(jìn)行因式分解．難點(diǎn)是采用兩兩分組還是三一分組．本題中有a的是前兩項(xiàng)，可以考慮把前兩項(xiàng)分為一組．）因式分解：（a+b）（a﹣b）+4（b﹣1）=．【解析】首先把式子整理，可知是將一個(gè)四項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，考慮運(yùn)用分組分解法．此時(shí)后三項(xiàng)提取﹣1后b2﹣4b+4可組成完全平方公式，可把后三項(xiàng)分為一組．【答案】（a+b）（a﹣b）+4（b﹣1）=a2﹣b2+4b﹣4=a2﹣（b﹣2）2=（a+b﹣2）（a﹣b+2）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平方差公式，分組分解法分解因式，要先把式子整理，再分解因式．對(duì)于一個(gè)四項(xiàng)式用分組分解法進(jìn)行因式分解，難點(diǎn)是采用兩兩分組還是三一分組．本題后三項(xiàng)可組成完全平方公式，可把后三項(xiàng)分為一組．分解因式（ax+by）2+（bx﹣ay）2=．【解析】先根據(jù)完全平方公式展開，合并同類項(xiàng)后再兩兩分組，然后兩次提取公因式分解即可．【答案】（ax+by）2+（bx﹣ay）2=a2x2+b2y2+2abxy+b2x2+a2y2﹣2abxy=a2x2+b2x2+b2y2+a2y2，=（a2+b2）x2+（a2+b2）y2=（a2+b2）（x2+y2）．故答案為：（a2+b2）（x2+y2）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分組分解法分解因式，先根據(jù)完全平方公式計(jì)算，合并同類項(xiàng)后再分組分解因式．分解因式：x4﹣5x2+4x=．【分析】首先提取公因式x，然后變?yōu)閤（x3﹣x﹣4x+4），接著利用分組分解法即可解決問題．【答案】x4﹣5x2+4x=x（x3﹣x﹣4x+4）=x[x（x2﹣1）﹣4（x﹣1）]=x[x（x﹣1）（x+1）﹣4（x﹣1）]=x（x﹣1）（x2+x﹣4）．故答案為：x（x﹣1）（x2+x﹣4）．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了利用分組分解法分解因式，首先提取公因式，接著把﹣5x變?yōu)椹亁﹣4x，然后提取公因式即可解決問題．若x2﹣y2﹣x+y=（x﹣y）?A，則A=．【分析】觀察該多項(xiàng)式，可以把x﹣y看作一個(gè)整體進(jìn)行分解．平方差公式：（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2．【答案】原式=（x2﹣y2）﹣（x﹣y），=（x﹣y）（x+y）﹣（x﹣y），=（x﹣y）（x+y﹣1）．因此A=x+y﹣1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分組分解法分解因式，當(dāng)一個(gè)多項(xiàng)式為四項(xiàng)以上時(shí)，首先要合理分組，然后運(yùn)用提公因式法或公式法完成因式分解．已知整數(shù)a、b、c滿足不等式a2+b2+c2+43≤ab+9b+8c，則a、b、c分別等于．【解析】由已知條件構(gòu)造完全平方公式，得（a﹣b2）2+3（b2﹣3）2+（c﹣4）【答案】由已知得a2+b2+c2+43﹣ab﹣9b﹣8c≤0，配方得（a﹣b2）2+3（b2﹣3）2+（c﹣4）又∵（a﹣b2）2+3（b2﹣3）2+（c﹣4）2≥0，∴（a﹣b2）2+3（b2﹣3）2+（c∴a﹣b2=0，b2﹣3=0，c﹣4=0，【點(diǎn)評(píng)】此題考查用分組分解法進(jìn)行因式分解．難點(diǎn)是配方成非負(fù)數(shù)的形式，再根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求解．若|m+4|與n2﹣2n+1互為相反數(shù)，把多項(xiàng)式x2+4y2﹣mxy﹣n分解因式．【解析】由題意可知|m+4|與n2﹣2n+1互為相反數(shù)，即|m+4|+（n﹣1）2=0，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出m，n=1，再把m，n的值代入所求代數(shù)式利用分組分解法和完全平方公式、平方差公式分解因式即可．【答案】由題意可得|m+4|+（n﹣1）2=0，∴&m+4=0&n﹣1=0∴x2+4y2﹣mxy﹣n=x2+4y2+4xy﹣1=（x+2y）2﹣1=（x+2y+1）（x+2y﹣1）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查公式法、分組分解法分解因式，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出m、n的值是解題的關(guān)鍵．先閱讀下列因式分解的過程，再回答所提出的問題：例1：1+ax+ax（1+ax）=（1+ax）（1+ax）=（1+ax）2；例2：1+ax+ax（1+ax）+ax（1+ax）2=（1+ax）（1+ax）+ax（1+ax）2=（1+ax）2+ax（1+ax）2=（1+ax）2（1+ax）=（1+ax）3（1）分解因式：1+ax+ax（1+ax）+ax（1+ax）2+…+ax（1+ax）n=；（2）分解因式：x﹣1﹣x（x﹣1）+x（x﹣1）2﹣x（x﹣1）3+…﹣x（x﹣1）2003+x（x﹣1）2004（答題要求：請(qǐng)將第（1）問的答案填寫在題中的橫線上）【解析】首先把式子整理，可知是將一個(gè)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，考慮運(yùn)用分組分解法．（1）可以把1+ax分成一組，看作一個(gè)整體，反復(fù)利用提公因式法就可求解．（2）可以把x﹣1分成一組，看作一個(gè)整體，反復(fù)利用提公因式法就可求解．【答案】（1）1+ax+ax（1+ax）+ax（1+ax）2+…+ax（1+ax）n=（1+ax）（1+ax）+ax（1+ax）2+…+ax（1+ax）n=（1+ax）2+ax（1+ax）2+…+ax（1+ax）n=（1+ax）2（1+ax）+…+ax（1+ax）n=（1+ax）3+…+ax（1+ax）n=（1﹣ax）n（1+ax），=（1+ax）n+1；（2）x﹣1﹣x（x﹣1）+x（x﹣1）2﹣x（x﹣1）3+…﹣x（x﹣1）2003+x（x﹣1）2004，=（x﹣1）（1﹣x））+x（x﹣1）2﹣x（x﹣1）3+…﹣x（x﹣1）2003+x（x﹣1）2004，=（x﹣1）2（﹣1+x）2﹣x（x﹣1）3+…﹣x（x﹣1）2003+x（x﹣1）2004，=（x﹣1）2（1﹣x）+…﹣x（x﹣1）2003+x（x﹣1）2004，=（x﹣1）2005．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分組分解法分解因式，關(guān)鍵是將原式轉(zhuǎn)化為（x﹣1）n的形式，解題時(shí)要有構(gòu)造意識(shí)和想象力．課后作業(yè)課后作業(yè)把x2﹣y2﹣2y﹣1分解因式結(jié)果正確的是（） A、（x+y+1）（x﹣y﹣1） B、（x+y﹣1）（x﹣y﹣1） C、（x+y﹣1）（x+y+1） D、（x﹣y+1）（x+y+1）【解析】由于后三項(xiàng)符合完全平方公式，應(yīng)考慮三一分組，然后再用平方差公式進(jìn)行二次分解．【答案】原式=x2﹣（y2+2y+1）=x2﹣（y+1）2=（x+y+1）（x﹣y﹣1）．故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查用分組分解法進(jìn)行因式分解．難點(diǎn)是采用兩兩分組還是三一分組．本題后三項(xiàng)可以構(gòu)成完全平方式，首要考慮的就是三一分組．因式分解：1﹣4x2﹣4y2+8xy，正確的分組是（） A、（1﹣4x2）+（8xy﹣4y2） B、（1﹣4x2﹣4y2）+8xy C、（1+8xy）﹣（4x2+4y2） D、1﹣（4x2+4y2﹣8xy）【解析】當(dāng)被分解的式子是四項(xiàng)時(shí)，應(yīng)考慮運(yùn)用分組分解法進(jìn)行分解．本題中﹣4x2﹣4y2+正好符合完全平方公式，應(yīng)考慮2，3，4項(xiàng)為一組．【答案】1﹣4x2﹣4y2+8xy=1﹣（4x2+4y2﹣8xy）．故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查用分組分解法進(jìn)行因式分解．難點(diǎn)是采用兩兩分組還是一、三分組．由于2，3，4項(xiàng)符合完全平方式，故采取一三分組．分解因式：x2﹣2xy+y2+x﹣y的結(jié)果是（） A、（x﹣y）（x﹣y+1） B、（x﹣y）（x﹣y﹣1） C、（x+y）（x﹣y+1） D、（x+y）（x﹣y﹣1）【解析】當(dāng)被分解的式子是四，五項(xiàng)時(shí)，應(yīng)考慮運(yùn)用分組分解法進(jìn)行分解．本題中x2﹣2xy+y2正好符合完全平方公式，應(yīng)考慮1，2，3項(xiàng)為一組，x﹣y為一組．【答案】x2﹣2xy+y2+x﹣y=（x2﹣2xy+y2）+（x﹣y）=（x﹣y）2+（x﹣y）=（x﹣y）（x﹣y+