離散狀態(tài)空間設計講述研究

第七章計算機控制系統(tǒng)的離散狀態(tài)空間設計本章主要內容：狀態(tài)空間描述的基本概念2采用狀態(tài)空間模型的極點配置設計3采用狀態(tài)空間模型的最優(yōu)化設計2024/11/71

狀態(tài)空間設計法是建立在矩陣理論基礎上、采用狀態(tài)空間模型對多輸入多輸出系統(tǒng)進行描述、分析和設計的方法。用狀態(tài)空間模型能夠分析和設計多輸入多輸出系統(tǒng)、非線性、時變和隨機系統(tǒng)等復雜系統(tǒng)，可以了解到系統(tǒng)內部的變化情況。并且這種分析方法便于計算機求解。

2024/11/727．1狀態(tài)空間描述的基本概念1.離散時間系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述

設連續(xù)的被控對象的狀態(tài)空間表達式

在作用下，系統(tǒng)的狀態(tài)響應為其中為系統(tǒng)的狀態(tài)轉移矩陣。取，，考慮到零階保持器的作用，有則（5－1－1）

（5－1－２）

（5－1－3）

（5－1－４）

2024/11/73作變量置換，令：

由此可得系統(tǒng)連續(xù)部分的離散化狀態(tài)空間表達式其中：式中：為維狀態(tài)向量，為維控制向量，為維輸出向量，為維狀態(tài)轉移矩陣，為維輸入矩陣，為維輸出矩陣。（5－1－５）

（5－1－６）

（5－1－７）

2024/11/74可用迭代法求得，

即：以k＝0，1，…

代入式（5－1－6）離散時間系統(tǒng)狀態(tài)方程的解2024/11/75離散時間系統(tǒng)的能控性

描述的系統(tǒng)，如果存在有限個控制信號，，能使系統(tǒng)從任意初始狀態(tài)轉移到終態(tài)，則系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的。

…、…寫成矩陣形式

能控性定義：對于式根據(jù)狀態(tài)方程的解，有2024/11/76則、、…、有解的充分必要條件，也即系統(tǒng)的能控性判據(jù)為式中:n為系統(tǒng)狀態(tài)向量的維數(shù)。得到輸出的能控性條件為式中:r為輸出向量的維數(shù)。2024/11/77描述的系統(tǒng)，如果能根據(jù)有限個采樣信號，，確定出系統(tǒng)的初始狀態(tài)，則系統(tǒng)是狀態(tài)完全能觀的

。

離散時間系統(tǒng)的能觀性

…、能觀性定義：對于式根據(jù)狀態(tài)方程的解，從0到時刻，各采樣瞬時的觀測值為：2024/11/78寫成矩陣形式

則有解的充分必要條件，即系統(tǒng)的能觀性判據(jù)為式中n為系統(tǒng)狀態(tài)向量的維數(shù)。2024/11/797．2采用狀態(tài)空間模型的極點配置設計

圖5－2按極點配置設計的控制器狀態(tài)空間模型按極點配置設計的控制器由兩部分組成：一部分是狀態(tài)觀測器，它根據(jù)所量測到的輸出重構出狀態(tài)；另一部分是控制規(guī)律，它直接反饋重構的狀態(tài)，構成狀態(tài)反饋控制。

根據(jù)分離性原理，控制器的設計可以分為兩個獨立的部分：一是假設全部狀態(tài)可用于反饋，按極點配置設計控制規(guī)律；二是按極點配置設計觀測器。2024/11/7101按極點配置設計控制規(guī)律設被控對象的離散狀態(tài)空間表達式為控制規(guī)律為線性狀態(tài)反饋

假設反饋的是被控對象實際的全部狀態(tài)x(k)得閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為作Z變換

顯然，閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為

圖5-3狀態(tài)反饋系統(tǒng)結構圖

2024/11/711如何設計反饋控制規(guī)律，以使閉環(huán)系統(tǒng)具有所期望的極點配置？

首先根據(jù)對系統(tǒng)的性能要求，找出所期望的閉環(huán)系統(tǒng)控制極點，再根據(jù)極點的期望值，求得閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為反饋控制規(guī)律應滿足如下的方程如果被控對象的狀態(tài)為維，控制作用為維，則反饋控制規(guī)律為維，即中包含個元素。2024/11/712例7-1

對于單輸入系統(tǒng)，給定二階系統(tǒng)的狀態(tài)方程設計狀態(tài)反饋控制規(guī)律，使閉環(huán)極點為解根據(jù)能控性判據(jù)，因

所以系統(tǒng)是能控的。期望的閉環(huán)特征方程為設狀態(tài)反饋控制規(guī)律

2024/11/713取，比較兩邊同次冪的系數(shù)，有可得：即狀態(tài)反饋控制規(guī)律為

閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為

2024/11/7142按極點配置設計狀態(tài)觀測器

在實際工程中，采用全狀態(tài)反饋通常是不現(xiàn)實的。常用的方法是設計狀態(tài)觀測器，由測量的輸出值重構全部狀態(tài)，實際反饋的只是重構狀態(tài)。即常用的狀態(tài)觀測器有三種。

圖5-4狀態(tài)觀測器結構圖2024/11/715狀態(tài)重構誤差的動態(tài)性能取決于特征方程根的分布。若狀態(tài)重構誤差為：

得狀態(tài)重構誤差方程為：

預報觀測器的特征方程：

的特性是快速收斂的，則對于任何初始誤差，都將快速收斂到零。因此，只要適當?shù)剡x擇增益矩陣，便可獲得要求的狀態(tài)重構性能。預報觀測器觀測器方程2024/11/716如果給出觀測器的極點，可求得觀測器的特征方程為了獲得所需要的狀態(tài)重構性能，應有

通過比較兩邊z的同次冪的系數(shù)，可求得中的n個未知數(shù)。

對于任意的極點配置，具有唯一解的充分必要條件是對象是完全能觀的。

2024/11/717現(xiàn)時觀測器觀測器方程

狀態(tài)重構誤差為

狀態(tài)重構誤差方程：

2024/11/718現(xiàn)時觀測器特征方程：為使現(xiàn)時觀測器具有期望的極點配置，應有

同理，通過比較兩邊z的同次冪的系數(shù)，可求得K

中的n個未知數(shù)。降階觀測器

將原狀態(tài)向量分成兩部分，一部分是可以直接測量的，一部分是需要重構的。2024/11/719被控對象的離散狀態(tài)方程可以分塊表示為即比較得：2024/11/720觀測器方程:狀態(tài)重構誤差方程：

降階觀測器特征方程：

同理，使，通過比較兩邊z的同次冪的系數(shù)，可求得K

中的n個未知數(shù)。2024/11/7213按極點配置設計控制器

1）控制器組成

設被控對象的離散狀態(tài)空間描述為控制器由預報觀測器和狀態(tài)反饋控制律組成，即2）分離性原理閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

矩陣形式：

2024/11/722閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為可見，閉環(huán)系統(tǒng)的2n個極點由兩部分組成，一部分是按極點配置設計的控制規(guī)律給定的n個極點，稱為控制極點，另一部分是按極點配置設計的狀態(tài)觀測器給定的n個極點，稱為觀測器極點。兩部分相互獨立，可分別設計。2024/11/7233）數(shù)字控制器實現(xiàn)設狀態(tài)反饋控制規(guī)律為代入預報觀測器方程觀測器與控制規(guī)律的關系

得控制器的脈沖傳遞函數(shù)為

將脈沖傳遞函數(shù)轉換為差分方程，就可以在計算機上實現(xiàn)數(shù)字控制器。2024/11/724

，無阻尼自然頻率；

②觀測器極點所對應的衰減速度比控制極點所對應的衰減速度快約3倍。例7－3

設被控對象的傳遞函數(shù)為，采樣周期，采用零階保持器，試設計狀態(tài)反饋控制器，要求：①閉環(huán)系統(tǒng)的性能相應于二階連續(xù)系統(tǒng)的阻尼比解被控對象的等效微分方程為

定義兩個狀態(tài)變量

2024/11/725則被控對象的連續(xù)狀態(tài)空間表達式離散狀態(tài)空間表達式其中：2024/11/726①判斷被控對象的能控性和能觀性

因此，被控對象是能控且能觀的。根據(jù)能控性判據(jù)和能觀性判據(jù)

②設計狀態(tài)反饋控制規(guī)律

設狀態(tài)反饋控制規(guī)律為，對應的特征方程為

2024/11/727根據(jù)對閉環(huán)極點的要求，對應的極點和特征方程為由，可得解得L1＝2，L2＝－0.317，即2024/11/728③設計狀態(tài)觀測器

選用現(xiàn)時觀測器，設觀測器增益矩陣為

現(xiàn)時觀測器的特征方程為依題意：對應的特征方程為2024/11/729解得，，即由，可得

④組成控制器

其中

，。2024/11/7307．3采用狀態(tài)空間模型的最優(yōu)化設計針對隨機系統(tǒng)按最優(yōu)化方法設計控制器。

假定被控對象是線性的，系統(tǒng)性能指標是狀態(tài)和控制的二次型函數(shù)，則系統(tǒng)的綜合問題就是尋求允許的控制信號序列，使性能指標函數(shù)最小，這類問題稱為線性二次型（LinearQuadratic）控制問題。如果考慮系統(tǒng)中隨機的過程干擾和量測噪聲，且過程干擾和量測噪聲均是具有正態(tài)分布的白噪聲，這類問題稱為線性二次型高斯（LinearQuadraticGaussian）控制問題。2024/11/731

最優(yōu)控制器也是由兩部分組成，一部分是狀態(tài)最優(yōu)估計器；另一部分是最優(yōu)控制規(guī)律。圖5－5

最優(yōu)調節(jié)器結構圖

其設計也可分為兩個獨立的部分：一是將系統(tǒng)看作確定性系統(tǒng)；二是考慮隨機的過程干擾v和量測噪聲w，設計狀態(tài)最優(yōu)估計器。2024/11/7321最優(yōu)控制規(guī)律設計有限時間最優(yōu)調節(jié)器設計設連續(xù)被控對象的離散化狀態(tài)方程為初始條件給定二次型性能指標函數(shù)

線性二次型最優(yōu)控制的任務是尋求最優(yōu)控制序列（k＝0，1，…，N－1），在把初始狀態(tài)x(0)轉移到x(N)的過程中，使性能指標函數(shù)最小。

2024/11/733

求解二次型最優(yōu)控制問題可采用變分法、動態(tài)規(guī)劃法等方法。這里采用離散動態(tài)規(guī)劃法來進行求解。

動態(tài)規(guī)劃法的基本思想是：將一個多級決策過程轉變?yōu)榍蠼舛鄠€單級決策優(yōu)化問題，這里需要決策的是控制變量（k＝0，1，…，N－1）。令二次型性能指標函數(shù)其中：i＝N－1、N－2、…、0。下面從最末一級往前逐級求解最優(yōu)控制序列。

2024/11/734

首先求解，以使最小。求對u(N－1)的一階導數(shù)并令其等于零：由上式和連續(xù)被控對象的離散化狀態(tài)方程，有2024/11/735進一步求得最優(yōu)的控制決策為其中得依次，可求的、、…、。、…、其中2024/11/736計算公式歸納：

最優(yōu)性能指標為

滿足上式的最優(yōu)控制一定存在且是唯一的。其中利用以上公式可以逆向遞推計算出S(k)和L(k)。2024/11/737無限時間最優(yōu)調節(jié)器設計設被控對象的狀態(tài)方程為

當N→∞時，其性能指標函數(shù)簡化為

其中是非負定對稱陣，是正定對稱陣。假定［F，G］是能控的，且［F，D］是能觀的，其中D為能使DTD＝Q1成立的任何矩陣。計算機控制系統(tǒng)的最優(yōu)設計，最經常碰到的是離散定常系統(tǒng)終端時間無限的最優(yōu)調節(jié)器問題。當終端時間N→∞時，矩陣S

(k)將趨于某個常數(shù)，因此可得到定常的最優(yōu)反饋增益矩陣L，便于工程實現(xiàn)。2024/11/738存在，且是與無關的常數(shù)陣。或：的解，那么對于任何非負定對稱陣，有①設S

(k)是如下的黎卡堤（Riccati）方程可以證明有以下幾點結論：2024/11/739③穩(wěn)態(tài)控制規(guī)律

是使上面性能指標函數(shù)J極小的最優(yōu)反饋控制規(guī)律，最優(yōu)性能指標函數(shù)為④所求得的最優(yōu)控制規(guī)律使得閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定。

②S是如下的黎卡堤代數(shù)方程

或：的唯一正定對稱解。2024/11/740

該結論說明了：當滿足上述結論中所給條件時，最優(yōu)的反饋控制規(guī)律是常數(shù)陣；并且使得閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。同時該結論也指出了計算最優(yōu)反饋控制規(guī)律的途徑，它既可以通過直接黎卡堤代數(shù)方程求解，也可以通過迭代法解黎卡堤差分方程求得。同時也可以看出，結論條件“是正定對稱陣”可以放寬到“是正定對稱陣”。2024/11/741例7－4考慮離散系統(tǒng)：其中：設計最優(yōu)控制器，使性能指標：最小。2024/11/742解選和，。通過MATLAB仿真，可解得兩種情況下的最優(yōu)反饋增益矩陣為：(a)權矩陣較小的情況(b)權矩陣較大的情況2024/11/743解選，和。通過MATLAB仿真，可解得兩種情況下的最優(yōu)反饋增益矩陣為：(a)權矩陣較小的情況(b)權矩陣較大的情況2024/11/7442狀態(tài)最優(yōu)估計器設計

目前有許多狀態(tài)估計方法，這里介紹Kalman濾波器。設被控對象的離散狀態(tài)空間表達式為其中：x(k)為n維狀態(tài)向量，u(k)為m維控制向量，y(k)為r維輸出向量，v(k)為n維過程干擾向量，w(k)為r維測量噪聲向量。假設v(k)和w(k)均為離散化處理后的高斯白噪聲序列，且有設V為非負定對稱陣，W為正定對稱陣，并設v(k)和w(k)不相關。1）Kalman濾波公式的推導2024/11/745

由于系統(tǒng)中存在隨機的干擾v(k)和隨機的量測噪聲w(k)，因此系統(tǒng)的狀態(tài)向量x(k)也是隨機向量，y(k)是能夠量測的輸出量。若記x(k)的估計量為問題：如何根據(jù)輸出量y(k)估計出x(k)則：為狀態(tài)的估計誤差，因而

為狀態(tài)估計的協(xié)方差陣。顯然P(k)為非負定對稱陣。這里估計的準則為：根據(jù)量測量y(k)，y(k－1)，…，最優(yōu)地估計出，以使P(k)極?。ㄒ騊(k)是非負定對稱陣，因此可比較其大?。＿@樣的估計稱為最小方差估計。2024/11/746根據(jù)最優(yōu)估計理論，最小方差估計為

即x(k)最小方差估計等于在直到k時刻的所有量測量y的情況下x(k)的條件期望。

引入更一般的記號若，表示根據(jù)直到現(xiàn)時刻的量測量來估計過去時刻的狀態(tài)，稱為內插或平滑；，表示根據(jù)直到現(xiàn)時刻的量測量來估計將來時刻的狀態(tài)，稱為預報或外推；，表示根據(jù)直到現(xiàn)時刻的量測量來估計現(xiàn)時刻的狀態(tài)，稱為濾波。這里所討論的狀態(tài)最優(yōu)估計問題即是指濾波問題。2024/11/747引入如下記號；k－1時刻的狀態(tài)估計；k－1時刻的狀態(tài)估計誤差；k－1時刻的狀態(tài)估計誤差協(xié)方差陣

；一步預報估計

；一步預報估計誤差；一步預報估計誤差誤差協(xié)方差陣同樣，如：；k時刻的狀態(tài)估計2024/11/748求一步預報誤差根據(jù)前面的定義，上式中第一項為，是輸入到控制對象的確定量，因此上式中的第二項為。第三項中、、…均與不相關，則第三項為零。

求得一步預報方程為2024/11/749根據(jù)上式，可求得一步預報估計誤差為

可進一步求得一步預報誤差的協(xié)方差陣為簡化為

2024/11/750

該估計器方程具有明顯的物理意義。式中第一項是的一步最優(yōu)預報估計，它是根據(jù)直到時刻的所有量測量的信息而得到的關于的最優(yōu)估計。式中第二項是修正項，它是根據(jù)最新的量測信息對最優(yōu)預報估計進行修正。在第二項中其中稱為狀態(tài)估計器增益，或Kalman濾波器增益。設x(k)的最小方差估計具有如下的形式是關于量測量的一步預報估計。2024/11/751是關于量測量的一步預報誤差，它包含了最新量測量的信息。因此x(k)的最小方差估計所表示的最優(yōu)狀態(tài)估計可以看成是一步最優(yōu)預報與最新量測量信息的加權平均，其中增益矩陣可認為是加權矩陣。從而問題變?yōu)槿绾魏线m地選擇，以獲得的最小方差估計，即使得狀態(tài)估計誤差的協(xié)方差為最小。

現(xiàn)在的問題變?yōu)椋簩で螅允箻O小。2024/11/752極小。J表示的各個分量的方差之和，因而它是標量。可以證明，使極小等價于使如下的標量函數(shù)由以上公式，可得的狀態(tài)估計誤差為2024/11/753進一步求得狀態(tài)估計誤差的協(xié)方差陣為由于與不相關，因此交叉相乘項的期望值為零。取，使為，變?yōu)?024/11/754其中

如果能使取極小值，那么，對于任意的增量均應有。則必須有

2024/11/755Kalman濾波公式歸納和給定，k＝1，2，…

若Kalman濾波增益矩陣已知，則根據(jù)以上公式遞推計算出狀態(tài)最優(yōu)估計，k＝1，2，…。可見，為獲得狀態(tài)的最優(yōu)估計，關鍵是需要事先計算出Kalman濾波增益矩陣。2024/11/756①給定參數(shù)F、C、V、W和，給定迭代計算總步數(shù)N，置k＝1；②計算P(k|k－1)；③計算；④計算；⑤如果k＝N，轉（7），否則，轉（6）；⑥k←k－1轉（2）；⑦輸出和，k＝1，2，…N。2）Kalman濾波增益矩陣的計算2024/11/757例7-6