專題九 三角形-2021年中考數(shù)學(xué)三輪沖刺復(fù)習(xí)專項訓(xùn)練

2021年中考數(shù)學(xué)三輪沖刺復(fù)習(xí)專題九三角形

一、單選題

1.如圖,將△ABC繞點C順時針方向旋轉(zhuǎn)40。，得AAB'C,若AC_LAE,則NA等于（）

A.50°B.60°C.70°D.80°

2.以3、4為兩邊的三角形的第三邊長是方程x2-13x+40=0的根，則這個三角形的周長為（）

A.15或12B.12C.15D.以上都不對

3.如圖所示，在JBC中，AB=AC,M,N分別是AB?AC的中點，D,E為BC上的點，

連接DN、EM，若AB=5cm'BC=8cm'DE=4cm）則圖中陰影部分的面積為（）

A.lcm2B.1.5cm2C.2cm2D.3cm2

4.已知等腰三角形的頂角是n。，那么它的一腰上的高與底邊的夾角等于（）

A.9°j。B.90°-—C.—D.90。一11。

222

5.如圖，R3ABC中，AB=9,BC=6,NB=90。，將△ABC折疊，使A點與BC的中點D重合，折痕為MN,

則線段BN的長為（）

A.-B.-C.4D.5

32

6.如圖AD是/BAC的角平分線，AD的垂直平分線OF交BC的延長線于F,若噤=：，則

AD5

生=（）

A

7.如圖，在矩形ABCD中，M是BC邊上一點，連接AM,DM，過點D作DE1AM,垂足為E?若DE=

DC=1'AE=?EM'則BM的長為（）

8.如圖，在x軸的上方，直角NBOA繞原點。按順時針方向旋轉(zhuǎn).若NBOA的兩邊分別與函數(shù)y=-1、

的圖象交于B、A兩點，則ZOAB大小的變化趨勢為（）

A.逐漸變小B.逐漸變大C.時大時小D.保持不變

9.如圖，半徑為1的④與x軸負(fù)半軸，y軸正半軸分別交于點D、E,直線y=kx伙＞0）交GD于A,B,AD,

BE的延長線相交于點C,當(dāng)k的值改變時，下列結(jié)論：①?NACB的度數(shù)不變，②團(tuán)CB與CD的比值不變,

③回CO的長度不變.其中正確的結(jié)論的序號是（）

10.如圖，在△ABC中，AD是中線，DEJ_BC交AB于E,AHIIDE交BC于H,且ZDAH=NCAH,連接CE交

AD于F,交AH于G.下列結(jié)論：①AAEF-ACEA；②FHIIAC；③若CEJ.AB,則tanNBAC=2；④若四

邊形AEDG是菱形，則NACB=60。.其中正確的是（）

A.①②③B.②③④C.①②D.①②③④

二、填空題

11.如圖，在△ABC中，射線AD交BC于點D,BE_LAD于E,CFJ_AD于F,請補充一個條件，使

△BED2ACFD,你補充的條件是（填出一個即可）.

12.已知：如圖，△ABC中，ZA=45°,AB=6,AC=472，點D、E、F分別是三邊AB、BC、CA上的點，則

△DEF周長的最小值是.

BEC

13.如圖，在矩形ABCD中，AB=3,對角線AC,BD相交于點。，AE垂直平分0B于點E,則AD的長為

14.如圖，直線y=-gx+4與x軸和y軸分別交于A,B兩點，△AOB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。后得到△AOB,

則點B的對應(yīng)點B，坐標(biāo)為

15.如圖,在AABC中,ZCAB=75°,在同一平面內(nèi)，將△ABC繞點A旋轉(zhuǎn)到△ABC的位置，使得CC'IIAB,

16.如圖，在矩形ABCD中，對角線AC,BD交于點0,過點A作EA_LCA交DB的延長線于點E,若AB=3,

17.如圖，點A(-l,0),點P是射線AO上一動點(不與。點重合)，過點P作直線y=x的平行線交y軸于C,

過點P作x軸的垂線交直線y=x于B,連結(jié)AB,AC,BC。

X

/B

(1)當(dāng)點P在線段OA上且AP=PC時，AB：BC=；

(2)當(dāng)△ABC與AOPC相似時，P點的橫坐標(biāo)為。

18.如圖，00是正方形ABCD的外接圓，AB=2,點E是劣弧AD上任意一點，CF_LBE于F.當(dāng)點E從點A

出發(fā)按順時針方向運動到點D時，則AF的取值范圍是.

三、綜合題

19.【問題情境】張老師給愛好學(xué)習(xí)的小軍和小俊提出這樣一個問題：如圖1,在△ABC中，AB=AC,點P

為邊BC上的任一點，過點P作PD_LAB,PE_LAC,垂足分別為D、E,過點C作CF_LAB,垂足為F.求證：

PD+PE=CF.

(1).小軍的證明思路是：如圖2,連接AP,由△ABP與△ACP面積之和等于△ABC的面積可以證得：

PD+PE=CF.

小俊的證明思路是：如圖2,過點P作PG_LCF,垂足為G,可以證得：PD=GF,PE=CG,則PD+PE=CF.

(2).【變式探究】如圖3,當(dāng)點P在BC延長線上時，其余條件不變，求證：PD-PE=CF；

(3).【結(jié)論運用】如圖4,將矩形ABCD沿EF折疊，使點D落在點B上，點C落在點C處，點P為折痕

EF上的任一點，過點P作PG_LBE、PH_LBC,垂足分別為G、H,若AD=8,CF=3,求PG+PH的值;

(4).【遷移拓展】圖5是一個航模的截面示意圖.在四邊形ABCD中，E為AB邊上的一點，EDXAD,

EC±CB,垂足分別為D、C,且AD?CE=DE?BC,AB=2V13dm,AD=3dm,BD=V37dm.M、N分別為AE、

圖④圖⑤

20.在AOAB中，OA=OB,OA±OB.OCDOC=OD,OC±OD.

(2)如圖2,若A,0,D三點不在同一條直線上，△OAB和△OCD不重疊.貝ISAAOC=SABOD是否仍成立？

若成立，請予以證明；若不成立，也請說明理由.

圖2

(3)若A,0,D三點不在同一條直線上，AOAB和AOCD有部分重疊，經(jīng)過畫圖猜想，請直接寫出SAAOC

和SABOD的大小關(guān)系.

21.如圖①，在正方形ABCD中，對角線AC、BD交于點0,動點P在線段BC上(不含點B),ZBPE=i

ZACB,PE交BO于點E,過點B作BFJLPE,垂足為F,交AC于點G.

DDD

(1)如圖②，當(dāng)點P與點C重合時，求證：△BOGM^POE；

(2)通過觀察、測量、猜想：寞=，并結(jié)合圖①證明你的猜想;

(3)把正方形ABCD改為菱形，其他條件不變(如圖②)，若NACB二a,直接寫出黑的值，為

rE

.(用含a的式子表示)

22.如圖，已知△ABC內(nèi)接于。。，且AB=AC,直徑AD交BC于點E,F是0E上的一點，使CFIIBD.

(1)求證：BE=CE；

(2)試判斷四邊形BFCD的形狀，并說明理由;

(3)若BC=AD=8,求CD的長.

23.如圖，已知點。為半圓的圓心，直徑AB=12,C是半圓上一點，ODLAC于點D,0D=3.

(1)求AC的長;

(2)求圖中陰影部分的面積.

24.如圖，AB為的直徑，C為。。上一點，AD和過點C的切線互相垂直，垂足為D,AB,DC的延長線

交于點E.

D

(2)若BE=3,CE=3V3，求圖中陰影部分的面積.

25.如圖，已知等腰△ABC中，AB=AC,ZBAC=120°,AD_LBC于點D,點P是BA延長線上一點，點。是線

段AD上一點，OP=OC.

(2)求證：點P在0C的垂直平分線上.

26.在日△ABC中，NACB=90。，D是△ABC內(nèi)一點，連接AD,BD.在BD左側(cè)作RtABDE,使NBDE=90。,

以AD和DE為鄰邊作DADEF,連接CD,DF.

(1)若AC=BC,BD=DE.

①如圖1,當(dāng)B,D,F三點共線時，CD與DF之間的數(shù)量關(guān)系為.

②如圖2,當(dāng)B,D,F三點不共線時，①中的結(jié)論是否仍然成立？請說明理由.

(2)若BC=2AC,BD=2DE,累=：,且E,C,F三點共線，求霧的值.

AC5CE

27.我們發(fā)現(xiàn)，"用不同的方式表示同一圖形的面積”可以解決計算線段的有關(guān)問題，這種方法稱為面積法.

圖1圖2圖3

(1)如圖1,在ABC中，NACB=90°,AC=3,BC=4,CD是斜邊AB邊上的高線.用“面積法”求CD的

長.

(2)如圖2,在等腰三角形ABC中，AB=AC=13,BC=10,P為底邊BC上的任意一點，過點P作PMJ_AB,

PNJLAC,垂足分別為M,N,連結(jié)AP,利用SAABC=SAABP+SAACP，求PM+PN的值.

(3)如圖3,有一直角三角形紙片ABE,ZACE=90°,AC=4,EC=6,點D在斜邊AE上，連結(jié)CD,將

△ADC沿CD折疊，點A的對應(yīng)點A，落在EC邊上，求折疊后紙片重疊部分的面積.

答案解析部分

一、單選題

1.A

2.B

3.B

4.C

5.C

6.C

7.D

8.D

9.B

10.D

二、填空題

11.BD=DC

12.噂

5

13.3V3

14.(7,3)

15.30°

16.—

24

17.(1)V3：V5

(2)一：或［

18.?-：l甩京博為

三、綜合題

19.(1)證明：(小軍的方法)連接AP,如圖②

圖⑵

PD±AB,PE±AC,CF±AB,

且SAABC=SAABP+SAACP,

-AB?CF=-AB?PD+-AC?PE.

222

,/AB=AC,

??.CF=PD+PE.

（小俊的方法）過點P作PGLCF,垂足為G,如圖②.

,/PD±AB,CF±AB,PG±FC,

/.ZCFD=ZFDP=ZFGP=90°.

「?四邊形PDFG是矩形.

/.DP=FG,ZDPG=90°.

/.ZCGP=90°.

-/PE±AC,

/.ZCEP=90°.

ZPGC=ZCEP.

ZBDP=ZDPG=90°.

/.PGIIAB.

ZGPC=ZB.

??,AB=AC,

/.ZB=ZACB.

/.ZGPC=ZECP.

在4PGC和^CEP中,

NPGC=NCEP

{/GPC=NECP

PC=CP

△PGC^△CEP.

/.CG=PE.

??.CF=CG+FG

=PE+PD.

（2）證明：連接AP,如圖③.

?/PD±AB,PE±AC,CF±AB,

R.SAABC=SAABP-SAACP，

??.IAB.CF=1AB-PD-|ACPE.

???AB=AC,

CF=PD-PE.

（3）過點E作EQ_LBC,垂足為Q,如圖④,

?「四邊形ABCD是矩形，

/.AD=BC,ZC=ZADC=90°.

/AD=8,CF=3,

/.BF=BC-CF=AD-CF=5.

由折疊可得：DF=BF,ZBEF=ZDEF.

DF=5.

,/ZC=90°,

DC=>JDF2-CF2

=V52-32

=4.

/EQ±BC,ZC=ZADC=90°,

/.ZEQC=90°=ZC=ZADC.

四邊形EQCD是矩形.

EQ=DC=4.

ADIIBC,

???ZDEF=ZEFB.

???ZBEF=ZDEF,

/.ZBEF=ZEFB.

BE=BF.

由問題情境中的結(jié)論可得：PG+PH=EQ.

PG+PH=4.

/.PG+PH的值為4.

圖④

(4)延長AD、BC交于點F,作BHJ_AF,垂足為H,如圖⑤.

*/AD*CE=DE*BC,

.AD_BC

?.DE~EC

ED±AD,EC±CB,

/.ZADE=ZBCE=90°.

△ADE?△BCE.

ZA=ZCBE.

FA=FB.

由問題情境中的結(jié)論可得：ED+EC=BH.

設(shè)DH=xdm,

則AH=AD+DH=(3+x)dm.

,/BH±AF,

ZBHA=90°.

??.BH2=BD2-DH2=AB2-AH2.

AB=2713，AD=3,BD=737，

/.(V37)2-x2=(2y/Ti)2-(3+x)2.

解得：X=l.

??.BH2=BD2-DH2

=37-1=36.

BH=6dm.

ED+EC=6.

ZADE=ZBCE=90°,

且M、N分別為AE、BE的中點，

DM=AM=EM=-AE,CN=BN=EN=-BE.

22

/.△DEM與ACEN的周長之和

=DE+DM+EM+CN+EN+EC

=DE+AE+BE+EC

=DE+AB+EC

=DE+EC+AB

=6+2713.

/.△DEM與4CEN的周長之和為(6+2后)dm.

國⑤

20.(1)解：:A,O,D三點在一條直線上，OAJ_OB,OC±OD,

???ZBOD=NAOC=90°.

-t?SAAOC=I?OA?OC,SABOD=|?OB?OD,

OA=OB,OC=OD,

SAAOC=SABOD

(2)解：AOC=SaBOD是仍成立，

證明如下：作DE_LOB于E,作CF_LOA交AO的延長線于F.

ZBOF=NCOD=90°,

/.ZBOD=NCOF.

NOED=NOFC=90°

在^OED和^OFC中,{NEOD=/FOC

OD=OC

△OEDM△OFC(AAS),

DE=CF,

SAAOC=~?OA?CF,SABOD=-?OB>DE,

22

SAAOC=SABOD

(3)解：SAAOC=SABOD，

作DE_LOB于E,作CF_LOA交AO的延長線于F.

,/ZBOF=NCOD=90°,

ZBOD=NCOF.

NOED=NOFC=90°

在AOED和八OFC中,{4EOD=NFOC

OD=OC

：.△OEDM△OFC(AAS),

DE=CF,

??SAAOC=~*OA*CF,SABOD=~?OB*DE?

SAAOC=SABOD>

21.(1)證明：?.,四邊形ABCD是正方形，P與C重合,

??.OB=OP,ZBOC=ZBOG=90°,

,/PF±BG,ZPFB=90°,

/.ZGBO=90°-ZBGO,ZEPO=90°-ZBGO,

/.ZGBO=ZEPO,

NGBO=ZEPO

在^BOG和^POE中，{OB=OP，

NBOG=ZCOE

：.△BOG合△POE(ASA)

(3)tana

22.(1)證明：.「AD是直徑，

/.ZABD=ZACD=90°,

在RtAABD和RtAACD中，

rAB=AC

[AD=AD'

/.RtAABDMRtAACD,

/.ZBAD=ZCAD,

AB=AC,

??.BE=CE；

(2)證明：四邊形BFCD是菱形.理由如下:

證明：AD是直徑,AB=AC,

AD±BC,BE=CE,

,/CFIIBD,

/.ZFCE=ZDBE,

在^BED和^CEF中，

NFCE=/DBE

{BE=BE,

/BED=NCEF=90°

△BED2△CEF,

/.CF=BD,

四邊形BFCD是平行四邊形,

ZBAD=ZCAD,

BD=CD,

四邊形BFCD是菱形；

(3)解：；AD是直徑，AD_LBC,BE=CE,

CE2=DE?AE,

設(shè)DE=x,

BC=8,AD=10,

42=x(10-x),

解得：x=4,

在RtACED中，

CD=>JCE2+DE2=4V2.

23.(1)解：AB=12,OD=3.

/.AO=6,

?/OD±AC,,

AD=y/AO2-DO2=V62-32=373，

.1.AC=2AD=6V3.

(2)解：連OC,在RtAADO中，AO=6,OD=3,，OD=1AO,ZA=30。又丫OA=OC「.ZOCA=N

A=30"

肥=Z

ZAOC=120°S?12℃6_1X3X6V3=12TT-9V3

3602

24.(1)證明：連接OC,如圖，

CD與00相切于點E,

COJLCD,

?，,AD±CD,

/.ADIICO,

ZDAC=ZACO,

?1,OA=OC,

ZACO=ZCAO,

ZDAC=ZCAO,

即AC平分NDAB

(2)解：設(shè)。O半徑為r,

在RtAOEC中，OE2+EC2=OC2

r2+27=(r+3)2解得r=3,

OC=3,OE=6,

OC1

COSZ8E=布，

ZCOE=60°,

60-7T-329b

陰影=ACOE-痢形COB二：3

?'-SSS?3?3V3——71

36022

25.(1)解：如圖1,連接OB,

BDC

圖1

??AB=AC,AD±BC,

/.BD=CD,NBAD=1ZBAC=\xl20?=60%

OB=OC,ZABC=900-ZBAD=30°

,/OP=OC,

OB=OC=OP,

ZAPO=ZABO,ZDCO=ZDBO,

/.ZAPO+ZDCO=ZABO+ZDBO=ZABD=30°

(2)解：/ZAPC+ZDCP+ZPBC=180°,

ZAPC+ZDCP=150°,

,/ZAPO+ZDCO=30°,

ZOPC+ZOCP=120°,

/.ZPOC=180°-(ZOPC+ZOCP)=60°,

?/OP=OC,

「.△OPC是等邊三角形，

OP=PC,

???點P在0C的垂直平分線上.

26.(1)DF=V2CD.；結(jié)論仍然成立,理由：如圖2中，連接CF.延長BD交AF的延長線于H,設(shè)AC交

B

BHT-G,百

,??四邊形AFED是平行四邊形,/.AF=DE,DEIIAF,/BD=DE,/.AF

圖2

=BD,???ZBDE=90°,/.ZDEH=ZDHA=90°=ZBCG,；NCGB=NAGH,/.ZCBD=ZCAF,=BC=AC,

BCD空.ACF(SAS),：.ZBCD=ZACF,CD=CF,ZBCA=NDCF=90。，二△CDF是等腰直角三角

形，DF=V2CD

(2)解