蘇教版學高中數(shù)學選修統(tǒng)計案例回歸分析講義

學習目標核心素養(yǎng)

1.會作出兩個有關(guān)聯(lián)變量的散點圖，并利用散點圖1.通過學習線性回歸分析，

認識變量間的相關(guān)關(guān)系.提升數(shù)據(jù)分析、數(shù)學建模素

2.了解線性回歸模型，能根據(jù)給出的線性回歸方程養(yǎng).

系數(shù)公式建立線性回歸方程.(重點、難點)2.通過對相關(guān)關(guān)系的學習，

3.了解回歸分析的基本思想、方法及簡單應用.提升數(shù)學運算、數(shù)學抽象素養(yǎng).

自主預習。揣新相

Z.1ZHUYIJXITAZX1ZNI1I

K新知初探G

1,線性回歸模型

(1)線性回歸模型的概念：將b=a+bx+￡稱為線性回歸模型,其中a+3”是確定性函數(shù)，￡稱為

隨機誤差.

(2)線性回歸方程:直線錯誤！=錯誤！+錯誤!x稱為線性回歸方程，其中錯誤!稱為回歸截距，錯誤!

稱為回歸系數(shù)，錯誤!稱為回歸值，其中

錯誤！

其中錯誤！=錯誤!錯誤!巧，錯誤！=錯誤!錯誤!必

2.相關(guān)關(guān)系

(1)壁系數(shù)是精確刻畫線性相關(guān)關(guān)系的量.

(2)相關(guān)系數(shù)々錯誤！

=錯誤!.

(3)相關(guān)系數(shù)/?具有的性質(zhì)：

1|心1；

2川越接近于1,x,y的線性相關(guān)程度越強；

3M越接近于0,x,y的線性相關(guān)程度越挹.

(4)相關(guān)性檢驗的步驟：

1提出統(tǒng)計假設外：變量x,y不具有線性相關(guān)關(guān)系；

2如果以95%的把握作出推斷，那么可以根據(jù)1—0.95=0.05與/7—2在附錄2中查出一個r

的臨界值々,05（其中1—0.95=0.05稱為檢驗水平）；

3計算樣本相關(guān)系數(shù)廣；

4作出統(tǒng)計推斷：若力＞々.05,則否定Ho,表明有95%的把握認為x與y之間具有線性相關(guān)關(guān)系；

若用4/D.05,則沒有理由拒絕原來的假設H0,即就目前數(shù)據(jù)而言，沒有充分理由認為y與x之間有線性

相關(guān)關(guān)系.

思考1:在回歸直線方程錯誤！=錯誤！+錯誤!*中，當一次項系數(shù)錯誤!為正數(shù)時，說明兩個變量有

何相關(guān)關(guān)系？在散點圖上如何反映？

［提示］說明兩個變量正相關(guān)，在散點圖上自左向右看這些點呈上升趨勢.

思考2:有什么辦法判斷兩個變量是否具有線性相關(guān)關(guān)系?

［提示］作出散點圖，看這些點是否在某一直線的附近，或通過計算線性相關(guān)系數(shù).

—初試身手」

1?若回歸直線方程中的回歸系數(shù)錯誤！=0,則相關(guān)系數(shù)為（）

A.r=1B.r=—l

C.r=0D.無法確定

C［因為錯誤！=錯誤！=0時，有錯誤！（必一錯誤?。ㄉ襄e誤?。?0,故相關(guān)關(guān)系/"=錯誤！=0.］

2.下列結(jié)論正確的是（）

1函數(shù)關(guān)系是一種確定性關(guān)系；2相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系；3回歸分析是對具有函數(shù)關(guān)系的兩

個變量進行統(tǒng)計分析的一種方法；4回歸分析是對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的一種常用方

法.

A.12B.123

C.124D.1234

C［函數(shù)關(guān)系和相關(guān)關(guān)系的區(qū)別是前者是確定性關(guān)系，后者是非確定性關(guān)系，故12正確；回歸分析

是對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的一種方法，故3錯誤，4正確.］

3.某考察團對10個城市的職工人均工資x（千元）與居民人均消費y（千元）進行調(diào)查統(tǒng)計，得出

P與x具有線性相關(guān)關(guān)系，且線性回歸方程為錯誤！=0.6%+1.2.若某城市職工人均工資為5千元，

估計該城市人均消費額占人均工資收入的百分比為()

A.66%B.67%

C.79%D.84%

D匕/與x具有線性相關(guān)關(guān)系，且滿足回歸方程錯誤！=0.6x+1.2，該城市居民人均工資為錯誤!

=5，，可以估計該城市的職工人均消費水平錯誤！=0.6x5+1.2=4.2,.?.可以估計該城市人均

消費額占人均工資收入的百分比為錯誤！=84%」

4.已知回歸直線方程為錯誤！=2—2.5x,則x=25時，錯誤!的估計值為.

—60.5[因為錯誤！=2—2.5x,又*=25,所以錯誤！=2—2.5x25=—60.5.即

錯誤!的估計值為-60.5.]

合作探究。提素養(yǎng)

HEZU。TAZJIUTISUYANG

隊大型]回歸分析的有關(guān)概念

【例1】(1)有下列說法：

1線性回歸分析就是由樣本點去尋找一條直線，使之貼近這些樣本點的數(shù)學方法；

2利用樣本點的散點圖可以直觀判斷兩個變量的關(guān)系是否可以用線性關(guān)系表示；

3通過回歸方程錯誤！=錯誤!X+錯誤！，可以估計和觀測變量的取值和變化趨勢；

4因為由任何一組觀測值都可以求得一個線性回歸方程，所以沒有必要進行相關(guān)性檢驗.

其中正確的命題是(填序號).

(2)如果某地的財政收入x與支出y滿足線性回歸方程錯誤！=錯誤!x+錯誤！+e(單位：億元)，

其中錯誤！=0.8,錯誤！=2,同40.5,如果今年該地區(qū)財政收入10億元，則今年支出預計不會超

過_______億.

(1)123(2)10.5[(1)1反映的正是最小二乘法思想，故正確.2反映的是畫散點

圖的作用，也正確.3解釋的是回歸方程錯誤！=錯誤!X+錯誤!的作用，故也正確.4在求回歸方程之前

必須進行相關(guān)性檢驗，以體現(xiàn)兩變量的關(guān)系，故不正確.

(2)由題意可得：錯誤！=0.8x+2+e,當x=10時，錯誤！=0.8xl0+2+e=10+e,又

|e|<0.5,.'.9.54錯誤！410.5.

故今年支出預計不會超過10.5億.]

規(guī)律方法

1.在分析兩個變量的相關(guān)關(guān)系時，可根據(jù)樣本數(shù)據(jù)散點圖確定兩個變量之間是否存在相關(guān)關(guān)系，然

后利用最小二乘法求出回歸直線方程.

2.由線性回歸方程給出的是一個預報值而非精確值.

3.隨機誤差的主要來源

(1)線性回歸模型與真實情況引起的誤差；

(2)省略了一些因素的影響產(chǎn)生的誤差；

(3)觀測與計算產(chǎn)生的誤差.

Q跟蹋訓練

1.下列有關(guān)線性回歸的說法,不正確的是(填序號).

1自變量取值一定時，因變量的取值帶有一定隨機性的兩個變量之間的關(guān)系叫做相關(guān)關(guān)系；

2在平面直角坐標系中用描點的方法得到表示具有相關(guān)關(guān)系的兩個量的一組數(shù)據(jù)的圖形叫做散點圖；

3線性回歸方程最能代表觀測值x,y之間的關(guān)系；

4任何一組觀測值都能得到具有代表意義的回歸直線方程.

4［只有具有線性相關(guān)的兩個觀測值才能得到具有代表意義的回歸直線方程.］

嶺型2求線性回歸方程

【例2］某班5名學生的數(shù)學和物理成績?nèi)缦卤恚?/p>

學生

ABCDE

學科成績

數(shù)學成績(X)8876736663

物理成績(y)7865716461

(1)畫出散點圖；

(2)求物理成績y對數(shù)學成績x的回歸直線方程；

(3)一名學生的數(shù)學成績是96，試預測他的物理成績.

［思路探究］先畫散點圖，分析物理與數(shù)學成績是否有線性相關(guān)關(guān)系，若相關(guān)，再利用線性回歸模型

求解.

［解］(1)散點圖如圖所示.

y

90-

80-.

70-*

??

60-*

501-----1----1-------1-----1-----1-----1-----1----->

5560657075808590人

(2)由散點圖可知y與*之間具有線性相關(guān)關(guān)系.

因為錯誤！=錯誤！X(88+76+73+66+63)=73.2,

錯誤！=錯誤！x(78+65+71+64+61)=67.8,

錯誤!物=88x78+76x65+73x71+66x64+63x61=25054,

錯誤!耀誤！=882+762+732+662+632=27174.

所以錯誤！=錯誤！=錯誤!.625,

錯誤！=錯誤!一錯誤!錯誤!,67.8—0.625x73.2=22.05.

所以y對x的回歸直線方程是錯誤！=0.625X+22.05.

(3)當*=96時，錯誤！=0.625x96+22.05^82,即可以預測他的物理成績是82.

規(guī)律方法

1?求線性回歸方程的基本步驟

2.需特別注意的是，只有在散點圖大致呈直線時，求出的線性回歸方程才有實際意義，否則求出的

回歸方程毫無意義.

。跟蹤訓練

2.某商場經(jīng)營一批進價是30元/臺的小商品，在市場調(diào)查中發(fā)現(xiàn)，此商品的銷售單價x(x取整數(shù))

元與日銷售量y臺之間有如下關(guān)系：

X35404550

y56412811

(1)y與*是否具有線性相關(guān)關(guān)系？如果具有線性相關(guān)關(guān)系，求出回歸直線方程.(方程的回歸系數(shù)

保留一位有效數(shù)字)

(2)設經(jīng)營此商品的日銷售利潤為。元，根據(jù)(1)寫出。關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并預測當銷售單

價X為多少元時，才能獲得最大日銷售利潤.

［解］(1)散點圖如圖所示，從圖中可以看出這些點大致分布在一條直線附近，因此兩個變量線性

相關(guān).

設回歸直線為錯誤！=錯誤!x+錯誤！.由題知錯誤！=42.5,錯誤！=34,

則求得錯誤！=錯誤！=錯誤!，一3,

錯誤！=錯誤!一錯誤!錯誤！=34—(—3)x42.5=161.5,

..錯誤！=—3x+161.5.

(2)依題意有P=(—3x+161.5)(—30)=—3/+251.514845=—3錯誤!

2+錯誤!一4845.

.?.當丫=錯誤!2時，。有最大值，約為426,

即預測銷售單價為42元時，能獲得最大日銷售利潤.

1aM3線性回歸分析

［探究問題］

1.作散點圖的目的是什么？

［提示］直觀分析數(shù)據(jù)是否存在線性相關(guān)關(guān)系.

2.下表顯示出變量y隨變量x變化的一組數(shù)據(jù)，由此判斷表示y與x之間的關(guān)系最可能的是

.(填序號)

X45678910

y14181920232528

1線性函數(shù)模型；2二次函數(shù)模型；3指數(shù)函數(shù)模型；4對數(shù)函數(shù)模型.

［提示］畫出散點圖(圖略)，可以得到這些樣本點在一條直線附近，故最可能是線性函數(shù)模型.故填

【例3】10名同學在高一和高二的數(shù)學成績?nèi)缦卤恚?/p>

X74717268767367706574

y76757170767965776272

其中x為高一數(shù)學成績，y為高二數(shù)學成績.

(1)y與x是否具有相關(guān)關(guān)系？

(2)如果y與x具有線性相關(guān)關(guān)系，求回歸直線方程.

［思路探究］可先計算線性相關(guān)系數(shù)r的值，然后與々.。5比較，進而對x與y的相關(guān)性做出判斷.

［解］(1)由已知表格中的數(shù)據(jù)，求得錯誤！=71,錯誤！=72.3,

r=錯誤！*0.78.

由檢驗水平0.05及〃-2=8,在課本附錄2中查得4.05=0.632，因為0.78>0,632,

所以y與x之間具有很強的線性相關(guān)關(guān)系.

(2)y與x具有線性相關(guān)關(guān)系，設回歸直線方程為

錯誤！=錯誤！+錯誤!X,則有錯誤！=錯誤!，1.22,

錯誤！=錯誤!一錯誤!錯誤！=72.3—1.22x71=—14.32.

所以y關(guān)于x的回歸直線方程為錯誤！=1,22A—14.32.

規(guī)律方法

1,線性回歸分析必須進行相關(guān)性檢驗；若忽略，則所求回歸方程沒有實際意義.

2.加越接近于1,兩變量相關(guān)性越強，M越接近于o,兩變量相關(guān)性越弱.

3.關(guān)于兩個變量x和y的7組數(shù)據(jù)如下表所示:

X21232527293235

1132

y711212466

55

試判斷x與y之間是否有線性相關(guān)關(guān)系.

［解］錯誤！=錯誤！x(21+23+25+27+29+32+35)*27.4,

錯誤！=錯誤！x(7+11+21+24+66+115+325)?81.3,

錯誤!浦誤！=212+232+252+272+292+322+352=5414,

錯誤!物=21x7+23x11+25x21+27x24+29x66+32x115+35x325

=18542,

錯誤!婕誤！=72+112+212+242+662+1152+3252=124393,

.■/=錯誤！

=錯誤！

?0.8375.

-.0.8375>0,755,

.”與y之間具有線性相關(guān)關(guān)系.

g課堂小結(jié)n

1.本節(jié)課的重點是線性回歸方程的求法，及線性回歸分析，相關(guān)關(guān)系；難點是恰當選擇模型，求解

回歸方程.

2.注意，回歸直線方程一定過樣本中心點(錯誤！，錯誤！).

當堂達標。國叩基

DAZGTAZGDABIACGUSHUAZC

1,判斷(正確的打"門，錯誤的打"X")

(1)求回歸直線方程前必須進行相關(guān)性檢驗.()

(2)兩個變量的相關(guān)系數(shù)越大，它們的相關(guān)程度越強.()

(3)若相關(guān)系數(shù)r=0,則兩變量x,y之間沒有關(guān)系.()

［答案］(1)V(2)x(3)V

2.某產(chǎn)品的廣告費用x與銷售額y的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：

廣告費用*(萬元)4235

銷售額y(萬元)49263954

根據(jù)上表可得回歸方程錯誤！=錯誤!x+錯誤!中的錯誤!為9.4,據(jù)此模型預報廣告費用為6萬元

時銷售額為()

A.63.6萬元B.65.5萬元

C.67.7萬元D.72.0萬元

B【樣本點的中心是(3.5,42)，則錯誤！=錯誤!一錯誤!錯誤！=42—9.4x3.5=9.1,

所以回歸直線方程是錯誤！=9.4x+9.1,把x=6代入得錯誤！=65.5.］

3.設某大學生的女生體重y(單位：kg)與身高x(單位：cm)具有線性相關(guān)關(guān)系.根據(jù)一組樣本

數(shù)據(jù)(為，/)(/=1,2，…，77),用最小二乘法建立的回歸方程為錯誤！=0.85—85.71,則下列

結(jié)論中正確的是_______(填序號).

(1)y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系；

(2)回歸直線過樣本點的中心(錯誤！，錯誤！)；

(3)若該大學某女生身高增加1cm,則其體重約增加0.8