安徽宿州五校2024年高三考前模擬（一）數(shù)學(xué)試題

安徽宿州五校2024年高三考前模擬（一）數(shù)學(xué)試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的（）A．2 B．3 C． D．2．已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位，），則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點所在的象限為（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知是定義在上的奇函數(shù)，當時，，則（）A． B．2 C．3 D．4．已知直三棱柱中，，，，則異面直線與所成的角的正弦值為（）．A． B． C． D．5．記個兩兩無交集的區(qū)間的并集為階區(qū)間如為2階區(qū)間，設(shè)函數(shù)，則不等式的解集為（）A．2階區(qū)間 B．3階區(qū)間 C．4階區(qū)間 D．5階區(qū)間6．若為過橢圓中心的弦，為橢圓的焦點，則△面積的最大值為（）A．20 B．30 C．50 D．607．已知函數(shù)，，且，則（）A．3 B．3或7 C．5 D．5或88．胡夫金字塔是底面為正方形的錐體，四個側(cè)面都是相同的等腰三角形．研究發(fā)現(xiàn)，該金字塔底面周長除以倍的塔高，恰好為祖沖之發(fā)現(xiàn)的密率．設(shè)胡夫金字塔的高為，假如對胡夫金字塔進行亮化，沿其側(cè)棱和底邊布設(shè)單條燈帶，則需要燈帶的總長度約為A． B．C． D．9．在棱長均相等的正三棱柱中，為的中點，在上，且，則下述結(jié)論：①；②；③平面平面：④異面直線與所成角為其中正確命題的個數(shù)為()A．1 B．2 C．3 D．410．為比較甲、乙兩名高中學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，對課程標準中規(guī)定的數(shù)學(xué)六大素養(yǎng)進行指標測驗（指標值滿分為100分，分值高者為優(yōu)），根據(jù)測驗情況繪制了如圖所示的六大素養(yǎng)指標雷達圖，則下面敘述不正確的是（）A．甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于乙 B．乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)C．甲的六大素養(yǎng)整體水平優(yōu)于乙 D．甲的六大素養(yǎng)中數(shù)學(xué)運算最強11．某裝飾公司制作一種扇形板狀裝飾品，其圓心角為120°，并在扇形弧上正面等距安裝7個發(fā)彩色光的小燈泡且在背面用導(dǎo)線相連(弧的兩端各一個，導(dǎo)線接頭忽略不計)，已知扇形的半徑為30厘米，則連接導(dǎo)線最小大致需要的長度為（）A．58厘米 B．63厘米 C．69厘米 D．76厘米12．如圖所示的程序框圖，若輸入，，則輸出的結(jié)果是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在數(shù)列中，已知，則數(shù)列的的前項和為__________.14．若、滿足約束條件，則的最小值為______.15．下圖是一個算法的流程圖，則輸出的x的值為_______．16．已知向量，滿足，，，則向量在的夾角為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，并且.（1）已知_______________，計算的面積；請①，②，③這三個條件中任選兩個，將問題（1）補充完整，并作答.注意，只需選擇其中的一種情況作答即可，如果選擇多種情況作答，以第一種情況的解答計分.（2）求的最大值.18．（12分）已知向量，.（1）求的最小正周期；（2）若的內(nèi)角的對邊分別為，且，求的面積.19．（12分）如圖，四棱錐E﹣ABCD的側(cè)棱DE與四棱錐F﹣ABCD的側(cè)棱BF都與底面ABCD垂直，，//，.（1）證明：//平面BCE.（2）設(shè)平面ABF與平面CDF所成的二面角為θ，求.20．（12分）已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的極值；（2）記關(guān)于的方程的兩根分別為，求證：.21．（12分）已知函數(shù)（1）若，不等式的解集；（2）若，求實數(shù)的取值范圍.22．（10分）在四棱錐的底面中，，，平面，是的中點，且（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）線段上是否存在點，使得，若存在指出點的位置，若不存在請說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

運行程序，依次進行循環(huán),結(jié)合判斷框，可得輸出值.【詳解】起始階段有，，第一次循環(huán)后，，第二次循環(huán)后，，第三次循環(huán)后，，第四次循環(huán)后，，所有后面的循環(huán)具有周期性，周期為3，當時，再次循環(huán)輸出的,，此時，循環(huán)結(jié)束，輸出，故選：B【點睛】本題主要考查程序框圖的相關(guān)知識，經(jīng)過幾次循環(huán)找出規(guī)律是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題型.2、B【解析】

分別比較復(fù)數(shù)的實部、虛部與0的大小關(guān)系，可判斷出在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點所在的象限.【詳解】因為時，所以，，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限.故選：B.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義，考查學(xué)生的計算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.3、A【解析】

由奇函數(shù)定義求出和．【詳解】因為是定義在上的奇函數(shù)，.又當時，，.故選：A．【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性，掌握奇函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵．4、C【解析】

設(shè)M,N,P分別為和的中點，得出的夾角為MN和NP夾角或其補角，根據(jù)中位線定理，結(jié)合余弦定理求出和的余弦值再求其正弦值即可.【詳解】根據(jù)題意畫出圖形:設(shè)M,N,P分別為和的中點，則的夾角為MN和NP夾角或其補角可知，.作BC中點Q，則為直角三角形；中，由余弦定理得，在中，在中，由余弦定理得所以故選：C【點睛】此題考查異面直線夾角，關(guān)鍵點通過平移將異面直線夾角轉(zhuǎn)化為同一平面內(nèi)的夾角，屬于較易題目.5、D【解析】

可判斷函數(shù)為奇函數(shù)，先討論當且時的導(dǎo)數(shù)情況，再畫出函數(shù)大致圖形，將所求區(qū)間端點值分別看作對應(yīng)常函數(shù)，再由圖形確定具體自變量范圍即可求解【詳解】當且時，.令得.可得和的變化情況如下表：令，則原不等式變?yōu)?，由圖像知的解集為，再次由圖像得到的解集由5段分離的部分組成，所以解集為5階區(qū)間.故選：D【點睛】本題考查由函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性求解對應(yīng)自變量范圍，導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)增減性，數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想，屬于難題6、D【解析】

先設(shè)A點的坐標為，根據(jù)對稱性可得，在表示出面積，由圖象遏制，當點A在橢圓的頂點時，此時面積最大，再結(jié)合橢圓的標準方程，即可求解.【詳解】由題意，設(shè)A點的坐標為，根據(jù)對稱性可得，則的面積為，當最大時，的面積最大，由圖象可知，當點A在橢圓的上下頂點時，此時的面積最大，又由，可得橢圓的上下頂點坐標為，所以的面積的最大值為.故選：D.【點睛】本題主要考查了橢圓的標準方程及簡單的幾何性質(zhì)，以及三角形面積公式的應(yīng)用，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，以及化歸與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.7、B【解析】

根據(jù)函數(shù)的對稱軸以及函數(shù)值，可得結(jié)果.【詳解】函數(shù)，若，則的圖象關(guān)于對稱，又，所以或，所以的值是7或3.故選：B.【點睛】本題考查的是三角函數(shù)的概念及性質(zhì)和函數(shù)的對稱性問題，屬基礎(chǔ)題8、D【解析】

設(shè)胡夫金字塔的底面邊長為，由題可得，所以，該金字塔的側(cè)棱長為，所以需要燈帶的總長度約為，故選D．9、B【解析】

設(shè)出棱長，通過直線與直線的垂直判斷直線與直線的平行，推出①的正誤；判斷是的中點推出②正的誤；利用直線與平面垂直推出平面與平面垂直推出③正的誤；建立空間直角坐標系求出異面直線與所成角判斷④的正誤．【詳解】解：不妨設(shè)棱長為：2，對于①連結(jié)，則，即與不垂直，又，①不正確；對于②，連結(jié)，，在中，，而，是的中點，所以，②正確；對于③由②可知，在中，，連結(jié)，易知，而在中，，，即，又，面，平面平面，③正確；以為坐標原點，平面上過點垂直于的直線為軸，所在的直線為軸，所在的直線為軸，建立如圖所示的直角坐標系；，，，，，；，；異面直線與所成角為，，故．④不正確．故選：．【點睛】本題考查命題的真假的判斷，棱錐的結(jié)構(gòu)特征，直線與平面垂直，直線與直線的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查空間想象能力以及邏輯推理能力．10、D【解析】

根據(jù)所給的雷達圖逐個選項分析即可.【詳解】對于A，甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)為100分，乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)為80分，故甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于乙，故A正確；對于B，乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)為80分，數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)為60分，故乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，故B正確；對于C，甲的六大素養(yǎng)整體水平平均得分為，乙的六大素養(yǎng)整體水平均得分為，故C正確；對于D，甲的六大素養(yǎng)中數(shù)學(xué)運算為80分，不是最強的，故D錯誤；故選：D【點睛】本題考查了樣本數(shù)據(jù)的特征、平均數(shù)的計算，考查了學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力，屬于基礎(chǔ)題.11、B【解析】

由于實際問題中扇形弧長較小，可將導(dǎo)線的長視為扇形弧長，利用弧長公式計算即可.【詳解】因為弧長比較短的情況下分成6等分，所以每部分的弦長和弧長相差很小，可以用弧長近似代替弦長，故導(dǎo)線長度約為63(厘米).故選：B.【點睛】本題主要考查了扇形弧長的計算，屬于容易題.12、B【解析】

列舉出循環(huán)的每一步，可得出輸出結(jié)果.【詳解】，，不成立，，；不成立，，；不成立，，；成立，輸出的值為.故選：B.【點睛】本題考查利用程序框圖計算輸出結(jié)果，一般要將算法的每一步列舉出來，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由已知數(shù)列遞推式可得數(shù)列的所有奇數(shù)項與偶數(shù)項分別構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列，求其通項公式，得到，再由求解．【詳解】解：由，得，，則數(shù)列的所有奇數(shù)項與偶數(shù)項分別構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列．，．．故答案為：．【點睛】本題考查數(shù)列遞推式，考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式，訓(xùn)練了數(shù)列的分組求和，屬于中檔題．14、【解析】

作出不等式組所表示的可行域，利用平移直線的方法找出使得目標函數(shù)取得最小時對應(yīng)的最優(yōu)解，代入目標函數(shù)計算即可.【詳解】作出不等式組所表示的可行域如下圖所示：聯(lián)立，解得，即點，平移直線，當直線經(jīng)過可行域的頂點時，該直線在軸上的截距最小，此時取最小值，即.故答案為：.【點睛】本題考查簡單的線性規(guī)劃問題，考查線性目標函數(shù)的最值問題，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.15、1【解析】

利用流程圖，逐次進行運算，直到退出循環(huán)，得到輸出值.【詳解】第一次：x＝4，y＝11，第二次：x＝5，y＝32，第三次：x＝1，y＝14，此時14＞10×1＋3，輸出x，故輸出x的值為1．故答案為：.【點睛】本題主要考查程序框圖的識別，“還原現(xiàn)場”是求解這類問題的良方，側(cè)重考查邏輯推理的核心素養(yǎng).16、【解析】

把平方利用數(shù)量積的運算化簡即得解.【詳解】因為，，，所以，∴，∴，因為所以.故答案為：【點睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積的運算法則，考查向量的夾角的計算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析（2）1【解析】

（1）選②，③．可得，結(jié)合，求得．即可；若選①，②．由可得由，求得．即可；若選①，③，可得，又，可得，即可；（2）化簡，根據(jù)角的范圍求最值即可．【詳解】（1）若選②，③．，，，，又，．的面積．若選①，②．由可得，，，又，．的面積．若選①，③，，又，，可得，的面積．（2），當時，有最大值1．【點睛】本題考查了正余弦定理，三角三角恒等變形，考查了計算能力，屬于中檔題．18、（1）；（2）或【解析】

（1）利用平面向量數(shù)量積的坐標運算可得，利用正弦函數(shù)的周期性即可求解；（2）由（1）可求，結(jié)合范圍，可求的值，由余弦定理可求的值，進而根據(jù)三角形的面積公式即可求解．【詳解】（1）∴最小正周期.（2）由（1）知，∴∴，又∴或.解得或當時，由余弦定理得即，解得.此時.當時，由余弦定理得.即，解得.此時.【點睛】本題主要考查了平面向量數(shù)量積的坐標運算、正弦函數(shù)的周期性，考查余弦定理、三角形的面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和分類討論思想，屬于基礎(chǔ)題．19、（1）證明見解析（2）【解析】

（1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理，可得DE//BF，然后根據(jù)勾股定理計算可得BF＝DE，最后利用線面平行的判定定理，可得結(jié)果.（2）利用建系的方法，可得平面ABF的一個法向量為，平面CDF的法向量為，然后利用向量的夾角公式以及平方關(guān)系，可得結(jié)果.【詳解】（1）因為DE⊥平面ABCD，所以DEAD，因為AD＝4，AE＝5，DE＝3，同理BF＝3，又DE⊥平面ABCD，BF⊥平面ABCD，所以DE//BF，又BF＝DE，所以平行四邊形BEDF，故DF//BE，因為BE平面BCE，DF平面BCE所以DF//平面BCE；（2）建立如圖空間直角坐標系，則D（0，0，0），A（4，0，0），C（0，4，0），F(xiàn)（4，3，﹣3），，設(shè)平面CDF的法向量為，由，令x＝3，得，易知平面ABF的一個法向量為，所以，故.【點睛】本題考查線面平行的判定以及利用建系方法解決面面角問題，屬基礎(chǔ)題.20、（1）見解析；（2）見解析【解析】

（1）對函數(shù)求導(dǎo)，對參數(shù)討論，得函數(shù)單調(diào)區(qū)間，進而求出極值；（2）是方程的兩根，代入方程，化簡換元，構(gòu)造新函數(shù)利用函數(shù)單調(diào)性求最值可解.【詳解】（1）依題意，；若，則，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，此時函數(shù)既無極大值，也無極小值；若，則，令，解得，故當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減，此時函數(shù)有極大值，無極小值；若，則，令，解得，故當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減，此時函數(shù)有極大值，無極小值；（2）依題意，，則，，故，；要證：，即證，即證：，即證，設(shè)，只需證：，設(shè)，則，故在上單調(diào)遞增，故，即，故.【點睛】本題考查函數(shù)極值及利用導(dǎo)數(shù)證明二元不等式.證明二元不等式常用方法是轉(zhuǎn)化為證