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專題三函數(shù)
考向(一)函數(shù)的概念、圖像與性質(zhì)
規(guī)律小結(jié)
函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)內(nèi)容的一條主線,對(duì)整個(gè)高中數(shù)學(xué)有著重要的意義,每
年高考卷都將其作為必考題,題目分布在選擇題和填空題.本專題常以基本函數(shù)、
基本函數(shù)組成的復(fù)合函數(shù)以及抽象函數(shù)為載體,對(duì)函數(shù)內(nèi)容和性質(zhì)進(jìn)行考查,
考查函數(shù)的定義域、值域,函數(shù)的表示方法及性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性、
周期性)、圖像等,常與導(dǎo)數(shù)、不等式、方程等知識(shí)交匯命題,考查數(shù)形結(jié)合、
分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸和函數(shù)與方程等思想方法.同時(shí)加大對(duì)數(shù)學(xué)建模的考查力
度,根據(jù)實(shí)際問(wèn)題,建立函數(shù)模型或用已知模型解決實(shí)際問(wèn)題,考查建模及應(yīng)
用能力.
3.考點(diǎn)頻度
高頻考點(diǎn):函數(shù)的概念、圖像與性質(zhì)以及指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和能函數(shù).
低頻考點(diǎn):函數(shù)與方程.
4.備考策略
函數(shù)主要以課程學(xué)習(xí)情境為主,備考應(yīng)以常見(jiàn)的選擇題和填空題為主進(jìn)行
訓(xùn)練,難度跨度大,既有容易題,也有中檔題,更有困難題,而且常考常新.考
生在備考時(shí)要注意以下兩點(diǎn).
(1)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、黑函數(shù)及一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)是
基礎(chǔ),要求考生在理解的基礎(chǔ)上熟練掌握這些函數(shù)的圖像和性質(zhì),準(zhǔn)確把握函
數(shù)概念和性質(zhì)的本質(zhì),會(huì)處理分段函數(shù)與抽象函數(shù)的相關(guān)問(wèn)題,會(huì)識(shí)別函數(shù)圖
像的變化.同時(shí),指對(duì)運(yùn)算也是??疾榈闹R(shí)點(diǎn),考生應(yīng)加強(qiáng)對(duì)公式的理解及應(yīng)
用的訓(xùn)練.
(2)函數(shù)性質(zhì)、零點(diǎn)、圖像等問(wèn)題是函數(shù)專題的重點(diǎn)考查內(nèi)容,注意函數(shù)
的奇偶性、單調(diào)性的綜合應(yīng)用,注重?cái)?shù)形結(jié)合,轉(zhuǎn)化與化歸思想以及構(gòu)造新函
數(shù)的訓(xùn)練,為突破難點(diǎn)做好準(zhǔn)備工作.
1.(2021全國(guó)甲,理12)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,f(x+1)為奇函
數(shù),f(x+2)為偶函數(shù),當(dāng)xe[l,2]時(shí),f(x)=ax2+b.若f(0)+f(3)=6,
則/?=(.)
A.--B.--C.-D.-
4242
[試題情境]本題屬于課程學(xué)習(xí)情境.本題以抽象函數(shù)為載體,考查函數(shù)
的奇偶性與周期性.
[必備知識(shí)]本題考查的知識(shí)是函數(shù)奇偶性和周期性的綜合應(yīng)用.
[能力素養(yǎng)]本題考查運(yùn)算求解能力和邏輯思維能力,考查的學(xué)科
素養(yǎng)是理性思維和數(shù)學(xué)探索.本題解題的關(guān)鍵一是求解解析式中的參
數(shù),由f(x+l)為奇函數(shù),可得f(1)=0,結(jié)合f(0)+f(3)=6,可得a,b的
值,從而得到xW[1,2]時(shí),f(x)的解析式;關(guān)鍵二是求解函數(shù)的周期性,
由f(x+l)為奇函數(shù),f(x+2)為偶函數(shù),求得f(x)的周期為4,最后將
自變量I進(jìn)行轉(zhuǎn)化,嗚=麋)=一嗚,即可解決?
[解題思路];f(x+i)是奇函數(shù),.?.f(-x+D=-f(x+D.
f(x+2)=f(x+l+l)=-f(-x).
f(2-x)=f(l-x+l)=-f(x).
*/f(x+2)是偶函數(shù),f(x+2)=f(2-x),
...-f(-x)=-f(x),即.f(-x)=f(x)f(x)是偶函數(shù).
*.*f(x+4)=f[(x+2)+2]=f[-(x+2)+2]=f(-x)=f(x),
函數(shù)f(x)的周期為4,f(3)=f⑴=0.
f(0)=f(-l+l)=-f(l+l)=-f(2),,f(0)=-f(2).
?.?當(dāng)xG[1,2]時(shí),f(x)=ax2+b,.?.由f⑴=0得a+b=0.
f(0)+f(3)=6,/.f(0)=6,,f(2)=-6.
即4a+b=-6,a=-2,b=2,:./Q)=/Q)=-f(|)=
——2X(I)2+2=3?故選D?
[答案]D
2.(2021全國(guó)甲,文4)下列函數(shù)中是增函數(shù)的為()
A.f(x)=-x=(I)
C.f(x)=x2D.f(x)=Vx
[試題情境]本題屬于課程學(xué)習(xí)情境.本題以基本初等函數(shù)為載
體,考查函數(shù)的單調(diào)性.[必備知識(shí)]本題考查的知識(shí)是基本初
等函數(shù)單調(diào)性的判斷.
[能力素養(yǎng)]本題考查邏輯思維能力,考查的學(xué)科素養(yǎng)是理性思維.本題
結(jié)合基本初等函數(shù)在定義域上的單調(diào)性分別檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷.
[解題思路]借助函數(shù)的圖像可知,對(duì)于A,函數(shù)單調(diào)遞減,不合題意;
對(duì)于B,根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)單調(diào)遞減,不合題意;對(duì)于C,
函數(shù)在定義域內(nèi)不單調(diào),不合題意;對(duì)于D,根據(jù)福函數(shù)的性質(zhì)可知,
函數(shù)在其定義域內(nèi)為增函數(shù),符合題意.故選D.
[答案]D
3.(2021全國(guó)甲,文12)設(shè)f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù),且f(l+x)=f(-x).
若CH,則喧)=。
A-_lB--ic-iD-i
[試題情境]本題屬于課程學(xué)習(xí)情境.本題以抽象函數(shù)為載體,考查函數(shù)
的奇偶性、對(duì)稱性以及周期性的綜合應(yīng)用.
[必備知識(shí)]本題考查的知識(shí)是函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性和周期性的靈活
處理和求解函數(shù)值.
[能力素養(yǎng)]本題考查運(yùn)算求解能力和邏輯思維能力,考查的學(xué)科素養(yǎng)
是理性思維和數(shù)學(xué)探索.本題解題的關(guān)鍵是進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化,思路1.由
已知條件f(-x)=-f(X)及f(l+x)=-f(x)進(jìn)行轉(zhuǎn)化得f(2+x)=f(x),再結(jié)合
(一3=]進(jìn)行求解;思路2.由f(l+x)=f(-x)得f(x)的對(duì)稱軸x=|,結(jié)
合f(x)為奇函數(shù),易知函數(shù)f(x)的周期為2,再結(jié)合f(—3=]進(jìn)行求
解.
[解題思路]思路L..丫㈤是奇函數(shù),.?.f(-x)=-f(x).
f(x+l)=f(-x),,f(x+l)=-f(x),則f(x+2)=-f(x+l)=f(x),
...函數(shù)f(x)的周期為2,則f(§=f(2-|)=故選C.
思路2.(l+x)=f(-x),則x=|為函數(shù)f(x)的對(duì)稱軸,
又f(x)為奇函數(shù),則f(x)的周期為2,則f(|)==
故選C.
[答案]C
[失分剖析]考生不能快速正確地對(duì)函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性以及周期性
進(jìn)行轉(zhuǎn)化.
4.(2021全國(guó)乙,理4、文9)設(shè)函數(shù)能=導(dǎo)則下列函數(shù)中為奇函數(shù)
的是()
A.f(x-l)-lB.f(x-l)+l
C.f(x+D-lD.f(x+D+l
[試題情境]本題屬于課程學(xué)習(xí)情境.本題以反比例函數(shù)為載體,考查函
數(shù)奇偶性和函數(shù)的圖像變換.
[必備知識(shí)]本題考查的知識(shí)是分式的處理以及函數(shù)奇偶性和圖像變換
的應(yīng)用.
[能力素養(yǎng)]本題考查運(yùn)算求解能力和邏輯思維能力,考查的學(xué)科素養(yǎng)
是理性思維和數(shù)學(xué)探索.本題解題的關(guān)鍵是確定函數(shù)f(x)的對(duì)稱中心,
先根據(jù)函數(shù)f(x)的解析式,得到f(x)=
212=_1+心_,進(jìn)而得到f(x)的對(duì)稱中心為(-1,-1),然后通過(guò)
1+x1+X
圖像變換,使得變換后的函數(shù)圖像的對(duì)稱中心為(0,0),從而得到答
案.當(dāng)然考生也可以把f(x)=W的解析式代入每個(gè)選項(xiàng)逐個(gè)進(jìn)
行判斷.
匚解題思路]思路1.函數(shù)f(x)=A=—1+二-,故該函數(shù)圖像的對(duì)稱
1+xX+1
中心的坐標(biāo)為(-1,-1).
將該函數(shù)圖像向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度后得到
的圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為g(x)=f(x-D+l,其圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱,
即為奇函數(shù).故選B.
思路2.將f(x)=蕓代入A選項(xiàng)得f(x—1)一1=:-2,對(duì)稱中心為(0,-
2).類比A選項(xiàng)對(duì)每個(gè)選項(xiàng)逐個(gè)進(jìn)行判斷即可.
[答案]B
[失分剖析]①考生不會(huì)分式處理.②考生不會(huì)判斷對(duì)稱中心.
5.(2021新高考全國(guó)II,8)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,且f(x+2)是偶函
數(shù),f(2x+l)是奇函數(shù),則下列選項(xiàng)中值一定為0的是()
A.f(-0B.f(-l)C.f(2)
D.f(4)
[試題情境]本題屬于課程學(xué)習(xí)情境.本題以抽象函數(shù)為載體,考查了函
數(shù)奇偶性、周期性的綜合應(yīng)用.
[必備知識(shí)]本題考查的知識(shí)是函數(shù)奇偶性的定義的應(yīng)用以及賦值法的
靈活應(yīng)用.
[能力素養(yǎng)]本題考查邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力,考查的學(xué)科素養(yǎng)
是理性思維和數(shù)學(xué)探索.思路L常規(guī)推導(dǎo),要求考生能夠利用函數(shù)的奇
偶性的定義對(duì)條件f(x+2)為偶函數(shù),f(2x+l)為奇函數(shù)進(jìn)行處理,得到
f(-x+2)=f(x+2),f(-2x+1)=-f(2x+1),然后借助賦值法即可求解.思路2.
特殊函數(shù)法,要求考生能夠?qū)W(xué)過(guò)的基本初等函數(shù)進(jìn)行靈活性地創(chuàng)造,
構(gòu)造出滿足要求的新函數(shù)f(x)=cos[](x—2)],之后進(jìn)行驗(yàn)證即可.
[解題思路]思路1f(x+2)是偶函數(shù),則f(-x+2)=f(x+2),
又f(2x+l)是奇函數(shù),則f(-2x+l)=-f(2x+l),
且由F(x)=f(2x+l)是奇函數(shù),可得F(0)=f(1)=0.
.?.f(T)=-f(3)=-f(l)=0,其他選項(xiàng)不一定為0.
故B選項(xiàng)正確.
思路2.由f(x+2)是偶函數(shù),f(2x+l)是奇函數(shù),
可構(gòu)造函數(shù)f(x)=cos[|(x-2)]符合題意,故選B.
[答案]B
[失分剖析]考生對(duì)抽象函數(shù)性質(zhì)的處理不到位.
6.(2020全國(guó)H,理9)設(shè)函數(shù)f(x)=ln|2x+lTn2xT|,則f(x)()
A.是偶函數(shù),且在G,+8)單調(diào)遞增B.是奇函數(shù),且在
(―單調(diào)遞減
C.是偶函數(shù),且在(一8,—3單調(diào)遞增D.是奇函數(shù),且在
(_8,一3單調(diào)遞減
[試題情境]本題屬于課程學(xué)習(xí)情境.本題以函數(shù)f(x)=ln|2x+l|-Ln|2x-
lI為載體,考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性.
[必備知識(shí)]本題考查的知識(shí)是利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)奇偶
性的概念.
[能力素養(yǎng)]本題考查邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力,考查的學(xué)科素養(yǎng)
是理性思維和數(shù)學(xué)探索,考生先根據(jù)函數(shù)f(x)奇偶性的概念,利用f(x)
與f(-x)的關(guān)系解決問(wèn)題,再借助導(dǎo)函數(shù)f'(X)在給定區(qū)間內(nèi)的正負(fù)來(lái)
判斷函數(shù)的單調(diào)性.本題需要考生理解函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的意義,并
通過(guò)數(shù)學(xué)運(yùn)算求解.
[解題思路]運(yùn)用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的概念進(jìn)行判斷.
由題意可知,函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椴坊??!?,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.
Vf(x)=ln|2x+l|-In2x-l|,
f(-x)=ln|-2x+l|-ln|-2x-lI=ln12x-l|-Ini2x+l|=-f(x),
???f(x)為奇函數(shù).
當(dāng)xW(—時(shí),.f(x)=ln(2x+l)-In(l-2x),
u,/、2—24、c
??(X)-2x+l-l-2x-(2x+l)(l-2x)>'
...f(x)在區(qū)間(一;,£)內(nèi)單調(diào)遞增.
同理,f(x)在區(qū)間(一8,_鄉(xiāng)和Q,+8)上單調(diào)遞減.故選D.
[答案]D
[失分剖析]考生對(duì)于函數(shù)解析式中的絕對(duì)值化簡(jiǎn)處理不到位.
7.(2020全國(guó)II,文10)設(shè)函數(shù)f(x)=x3—9jaUf(x)()
A.是奇函數(shù),且在(0,+8)單調(diào)遞增B.是奇函數(shù),且在(0,+8)單
調(diào)遞減
C.是偶函數(shù),且在(0,+8)單調(diào)遞增D.是偶函數(shù),且在(0,+8)
單調(diào)遞減
[試題情境]本題屬于課程學(xué)習(xí)情境.本題以函數(shù)f(x)=x3-妥為載體,
考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性.
[必備知識(shí)]本題考查的知識(shí)是函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的簡(jiǎn)單應(yīng)用.
[能力素養(yǎng)]本題考查邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力,考查的學(xué)科素養(yǎng)
是理性思維和數(shù)學(xué)探索.考生首先以奇偶性的概念為出發(fā)點(diǎn),利用f(x)
與f(-x)的關(guān)系解決問(wèn)題,再通過(guò)單調(diào)性的性質(zhì),縝密地運(yùn)算解決問(wèn)題.
本題需要考生理解函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的意義,并通過(guò)數(shù)學(xué)運(yùn)算進(jìn)行
求解.
[解題思路]運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)和奇偶性的概念進(jìn)行判斷.
由題意可知,f(x)的定義域?yàn)?-8,0)u(0,+8),關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.
??f(x)=x3f(-x)=(-x)3-品=-(x3-^)=-f(x),
.?.f(x)為奇函數(shù).
易知f(x)=x3—白在區(qū)間(0,+8)內(nèi)單調(diào)遞增.
故選A.
[答案]A
[失分剖析]考生對(duì)于區(qū)間單調(diào)性證明中的判斷求解易出錯(cuò).
8.(2020新高考全國(guó)I,8;2020新高考全國(guó)II,8)若定義在R的奇函數(shù)f(x)
在(一8,0)上單調(diào)遞減,且f(2)=0,則滿足xf(x-l)NO的x的取值范圍是
()
A.[-1,1]U[3,+8)B.[-3,-1]U[0,1]
C.[-1,0]U[1,+°°)D.[-1,0]U[1,3]
[試題情境]本題屬于課程學(xué)習(xí)情境.本題以抽象函數(shù)f(x)的奇偶性和單
調(diào)性為載體,考查不等式問(wèn)題.
[必備知識(shí)]本題考查的知識(shí)是抽象函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的綜合應(yīng)用.
[能力素養(yǎng)]本題考查邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力,考查的學(xué)科素養(yǎng)
是理性思維和數(shù)學(xué)
探索.考生理解題干,借助函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性刻畫(huà)出函數(shù)圖像的對(duì)
稱性和變化趨勢(shì),再抽
(x>0
象概括出不等式一'解r<0'等信息,建立條件與結(jié)論之間的聯(lián)系,并在此基礎(chǔ)
x-1>0,]x-1<0,
,X-1<2,x—1>—2
上歸納形成數(shù)學(xué)命題.本題解題的關(guān)鍵是通過(guò)分析將函數(shù)擴(kuò)充到整個(gè)定
義域,即能夠?qū)⒑瘮?shù)
的各種性質(zhì)和不等關(guān)系等綜合抽象為一個(gè)整體,并圍繞著這一個(gè)具體
模型(抽象函數(shù))展開(kāi)研
究,最終解決具體問(wèn)題.
[解題思路]利用函數(shù)的基本性質(zhì)以及結(jié)合函數(shù)的圖像進(jìn)行求解.
不等式xf(XT)與??苫癁閁-l)°>0或{f(x-n°<0,
Vf(2)=0,Af(-2)=0.
:f(x)是R上的奇函數(shù),,f(0)=0.
又f(x)在(-8,0)上單調(diào)遞減,...f(x)在(0,+8)上也單調(diào)遞減.
[X>0,X<0,
Ax-1>0,x-1<0,解得lWx<3或TWxWO,
lx—1<2,x—1>—2,
滿足xf(x-L)20的x的取值范圍是U[1,3].故選D.
[答案]D
[失分剖析]考生對(duì)于函數(shù)解析式分類討論處理不到位.
9.(2019全國(guó)I,理5、文5)函數(shù)f(x)=WR在[-n,n]的圖像大致
cosx+x2
為()
[試題情境]本題屬于課程學(xué)習(xí)情境.本題以三角函數(shù)為載體,考查函數(shù)
圖像的判斷.
[必備知識(shí)]本題考查的知識(shí)是利用函數(shù)的定義域、奇偶性、特殊點(diǎn)處
的函數(shù)值以及函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)的簡(jiǎn)圖.
[能力素養(yǎng)]本題考查空間想象能力、邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力,
考查的學(xué)科素養(yǎng)是理性思維和數(shù)學(xué)探索.本題定義域無(wú)法進(jìn)行判斷,所
以考生應(yīng)利用函數(shù)奇偶性的概念或性質(zhì)判斷出函數(shù)的奇偶性,排除部
分選項(xiàng),再借助?p,n等處的函數(shù)值確定最終的函數(shù)圖像.本
題要求考生通過(guò)函數(shù)的奇偶性以及特殊點(diǎn)處的函數(shù)值大體描繪函數(shù)的
圖像,考查考生對(duì)函數(shù)性質(zhì)與圖像的數(shù)形結(jié)合思想的理解與應(yīng)用.
[解題思路]常用的識(shí)圖方法主要有三種,一是定性分析法,即通過(guò)對(duì)
問(wèn)題進(jìn)行定性分析,從而根據(jù)圖像的上升或者下降的趨勢(shì)來(lái)分析;二
是定量計(jì)算法,通過(guò)定量計(jì)算進(jìn)行分析;三是函數(shù)模型法,由所提供
的圖像特征,聯(lián)想相關(guān)函數(shù)模型,利用函數(shù)模型來(lái)分析.
思路1.由f(-x)=-f(x),得f(x)是奇函數(shù),其圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,排除A選
項(xiàng).
/(2)=裔==>1,八兀)=E>。,又
一一三<0,故排除A選項(xiàng)和C選項(xiàng).
—)=5^0JT4—1
?7T1K
sm--r—
44
又>1,故排除祗選項(xiàng),故選Q皿
[答案]D
[失分剖析]①考生對(duì)于基本初等函數(shù)的性質(zhì)理解不到位.②考生對(duì)于特
殊點(diǎn)的應(yīng)用技不熟練。
10.(2019全國(guó)II,理12)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,滿足f(x+l)=2f(x),且
當(dāng)xe(0,1時(shí),f(x)=x(x-1).若對(duì)任意xe(-8,m],都有f(x)>一,則m
的取值范圍是()
A.(_8用B.(-8'3。(-8臼
[試題情境]本題屬于探索創(chuàng)新情境.本題以抽象函數(shù)的性質(zhì)和圖像為載
體,考查不等問(wèn)題.
[必備知識(shí)]本題考查的知識(shí)是函數(shù)的圖像的變換和函數(shù)的性質(zhì).
[能力素養(yǎng)]本題考查邏輯思維能力、空間想象能力和運(yùn)算求解能力,
考查的學(xué)科素養(yǎng)是理性思維和數(shù)學(xué)探索.考生獲取分段函數(shù)中一段函數(shù)
的解析式并畫(huà)出一段函數(shù)圖像,關(guān)鍵理解好條件f(x+l)=2f(x),通過(guò)變
形得到f(x)=2f(xT).本題考查了利用圖像的平圖變換與伸縮變換相結(jié)
合,要求考生把(0,1]上的圖像擴(kuò)展到R上,其實(shí)質(zhì)是分析好f(x)的圖
像,再求出(2,3]上的解析式,從而解決問(wèn)題.
[解題思路]利用函數(shù)的基本性質(zhì)以及結(jié)合函數(shù)的圖像進(jìn)行求解.
,/f(x+l)=2f(x),,f(x)=2f(x-1).
又當(dāng)x£(―8,m]時(shí),f(x)2—g恒成立,m<|,故me
(—故選B.
[答案]B
[失分剖析]①考生對(duì)于函數(shù)中的性質(zhì)整合應(yīng)用時(shí)前后不能照應(yīng).②考生
不能準(zhǔn)確作出函數(shù)圖像.
11.(2019全國(guó)II,文6)設(shè)f(x)為奇函數(shù),且當(dāng)x20時(shí),.f(x)=ez-1,
則當(dāng)x<0時(shí),
f(H)=()
A.ex-1B.ez+1
C.-ea-1D.-ez+1
[試題情境]本題屬于課程學(xué)習(xí)情境.本題以分段函數(shù)為載體,利用奇偶
性考查求函數(shù)的解析式.
[必備知識(shí)]本題考查的知識(shí)是函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用.
[能力素養(yǎng)]本題考查邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力,考查的學(xué)科素養(yǎng)
是理性思維和數(shù)學(xué)探索.思路1.考生理解獲取函數(shù)的部分解析式(當(dāng)X》
0時(shí),f(x)=ex-1),此處考生易犯以偏概全的錯(cuò)誤,需要考生理解奇
偶性的概念和幾何意義,利用奇函數(shù)的定義f(x)=-f(-x)把已知區(qū)間[0,
+8)上的函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化成未知區(qū)間(-8,0)上的函數(shù)解析式.思路2.
利用特殊點(diǎn)處的函數(shù)值進(jìn)行排除也可?考生需綜合應(yīng)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)、
思想和方法解決問(wèn)題.
[解題思路]思路L采取代換法,利用轉(zhuǎn)化與化歸的思想解題.
f(X)是奇函數(shù),...f(-X)=-f(x).
當(dāng)x<0時(shí),-x>0,f(-x)=e“-l=-f(x),即f(x)=-e~+1.故選
D.
思路2.排除法.
Vf(2)=e2-1,則f(-2)=-f(2)=l-e2,排除A,B,C.故選D.
[答案]D
12.(2019全國(guó)III,理7)函數(shù)丫=^^在[-6,6]的圖像大致為()
2x+2x
[試題情境]本題屬于課程學(xué)習(xí)情境.本題以函數(shù)為載體,考查函數(shù)圖像
和性質(zhì).
[必備知識(shí)]本題考查的知識(shí)是利用函數(shù)的定義域、奇偶性、特殊點(diǎn)處
的函數(shù)值以及函數(shù)一1
的單調(diào)性判斷函數(shù)的簡(jiǎn)圖.
[能力素養(yǎng)]本題考查空間想象能力、邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力,
考查的學(xué)科素養(yǎng)是理性思維和數(shù)學(xué)探索.本題定義域無(wú)法進(jìn)行判斷,所
以考生應(yīng)利用函數(shù)奇偶性的概念或性質(zhì)判斷出函數(shù)的奇偶性,排除部
分選項(xiàng),再借助4,6處的函數(shù)值確定最終的函數(shù)圖像.本題要求考生通
過(guò)函數(shù)的奇偶性以及特殊點(diǎn)處的函數(shù)值粗略描繪函數(shù)的圖像,考查考
生對(duì)函數(shù)性質(zhì)與圖像的數(shù)形結(jié)合的理解.
[解題思路]設(shè)y=f(x)=£f與,則f(—乂)=4=
—Wfv=—f(x),故f(x)是奇函數(shù),圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,排除選項(xiàng)
Cf(4)=表三>0,排除選項(xiàng)D.f(6)=舞。7,排除選項(xiàng)A.故
選B.
[答案]B
[失分剖析]考生對(duì)于圖像中的對(duì)稱性、單調(diào)性、特殊點(diǎn)的理解不到位.
13.(2019全國(guó)HI,理11、文12)設(shè)f(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù),且在(0,+
8)上單調(diào)遞減,則()
A.f(log3;)>f(24)>f(2-t)B.f(log3i)>
-
>f(log3j)D.f(2t)>
f(24)>f(log3i)
[試題情境]本題屬于課程學(xué)習(xí)情境.本題以抽象函數(shù)f(x)為載體,考查
函數(shù)單調(diào)性、奇偶性及比較指數(shù)、對(duì)數(shù)值大小問(wèn)題.
[必備知識(shí)]本題考查的知識(shí)是抽象函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的綜合應(yīng)用
以及指數(shù)、對(duì)數(shù)值大小比較.
[能力素養(yǎng)]本題考查邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力,考查的學(xué)科素養(yǎng)
是理性思維和數(shù)學(xué)索.思路1.考生利用函數(shù)的奇偶性把所比較的三個(gè)函
數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)內(nèi),再比較自變量的大小,根據(jù)函
數(shù)的單調(diào)性即可解決.思路2.抽象問(wèn)題具體化.借助滿足目條件的基本
初等函數(shù)f(x)=-x2進(jìn)行解決.
[解題思路]思路L;f(x)是R上的偶函數(shù),???f(log3》=f(—log34)=
f(log34).
2
又y=2x在定義域R上單調(diào)遞增,log34>1=2°>2->
3
2~2.
又f(x)在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞減,
-
???f(log34)<f(23)<O.f(2-i)>>f(log3i)故選
C.
思路2.設(shè)f(x)=-x2,則f(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù),且
在(0,+8)上單調(diào)遞減,滿題設(shè)條件.則f(24)=-l,-l<
f(2-t)=-24<=—(log34)2<1,所以>
f(24)>f(log3i).故選C.
[答案]C
[失分剖析]考生對(duì)于指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)理解不到位.14.(2021
新高考全國(guó)I,13)已知函數(shù)f(x)=x3(a-2X-2-x)是偶函數(shù),則
a=.
[試題情境]本題屬于課程學(xué)習(xí)情境.本題以指數(shù)函數(shù)和得函數(shù)為載體,
考查函數(shù)奇偶性的基本知識(shí).
[必備知識(shí)]本題考查的知識(shí)是函數(shù)的奇偶性的基本知識(shí)和根據(jù)奇偶性
及特殊點(diǎn)的函數(shù)值確定函數(shù)表達(dá)式中參數(shù)的基本方法.
[解題思路]思路1.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=x3(a-2X-2-2);是
偶函數(shù),
所以f(x)=f(-x),即x3(a,2a-2x)=(-x尸[a,2-x-
2'(-x)L
整理得,a-2X-2-x=-(a-2-x-2X),即(a-
1)?2X+(a-l)-2x=o.
a
(a-1)(2+2c)=0
所以a=L
思路2.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=x3(a2-2-x)是偶函數(shù),由特值
法f(l)=f(T),解得a=l.
[答案]1
15.(2021新高考全國(guó)I,15)函數(shù)f(x)=|2x-l-21nx的最小值
為.
[試題情境]本題屬于課程學(xué)習(xí)情境.本題以對(duì)數(shù)函數(shù)與絕對(duì)值函數(shù)為載
體,考查函數(shù)的單調(diào)性和最值.
[必備知識(shí)]本題考查的知識(shí)是絕對(duì)值函數(shù)的處理以及函數(shù)單調(diào)性的分
析與應(yīng)用.
[能力素養(yǎng)]本題考查邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力,考查的學(xué)科素養(yǎng)
是理性思維和數(shù)學(xué)探索.本題要求考生能夠轉(zhuǎn)化問(wèn)題,把絕對(duì)值問(wèn)題
f(x)=|2x-l|-21nx轉(zhuǎn)化為一個(gè)分段函數(shù)f(x)=
2x—1—21nx,x>
2i的問(wèn)題.思路1.考生在每一段函數(shù)中借助導(dǎo)
1—2x—21nx,0<x<-
數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性,進(jìn)而求解最小值;思路2.由對(duì)數(shù)不等式InxWx-
l(x=l時(shí)等號(hào)成立)知-21nxe2-2x,然后在每一段中計(jì)算求解即可.
(1
2x—1—21nx,x>一,
[解題思路]思路f(x)=<2
1—2x—21nx,0<x<-.
I2
當(dāng)x>;時(shí),f'(x)=2—三=絲且,令f'(x)=0,則x=l,
2XX
所以當(dāng)xe&l])時(shí),f'(x)<0,f(x);單調(diào)遞減,當(dāng)XG(1,+8)
時(shí),f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,
所以函數(shù)f(x)在區(qū)間G,+8)內(nèi)的最小值為f(1)=1;
當(dāng)0<xW^時(shí),f'(x)=-2-1<0,則函數(shù)f(x)在區(qū)間
(0山上單調(diào)遞減,則函數(shù)f(x)在區(qū)間(0臼上的最小值為
=21n2>1.
綜上,f(l)=1.
思路2.由對(duì)數(shù)不等式lnxWx-l(x=l時(shí)等號(hào)成立)知-21nx22-2x,
①當(dāng)xE+°°)時(shí),f(x)=2xT-21nx22xT+2-2x=l;
②當(dāng)x6(0>|]時(shí),f(x)=l-2x-21nx>l-2x=3-2x+2-4x2l.
所以函數(shù)f(x)的最小值為1.
[答案]1
[失分剖析]考生對(duì)絕對(duì)值函數(shù)處理不到位或處理以后不會(huì)分析函數(shù)的
單調(diào)性.
16.(2021新高考全國(guó)II,14)寫(xiě)出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)
f(x):.
①f(xix2)=f(X1)f(x2);②當(dāng)xW(0,+8)時(shí),f,(x)>0;③f'(x)是奇
函數(shù).
[試題情境]本題屬于探索創(chuàng)新情境.本題以函數(shù)的性質(zhì)為載體,考查函
數(shù)的構(gòu)造.
[必備知識(shí)]本題考查的知識(shí)是基本初等函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用.
[能力素養(yǎng)]本題考查創(chuàng)新能力和邏輯思維能力,考查的學(xué)科素養(yǎng)是理
性思維和數(shù)學(xué)探索.本題是開(kāi)放題,以函數(shù)的基本性質(zhì)為基礎(chǔ),考生可
以從簡(jiǎn)單的條件入手,如性質(zhì)②,借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義易知f(x)在(0,
+8)上是增函數(shù);性質(zhì)③比較直接;性質(zhì)①類比所學(xué)過(guò)的公式
(ab)"=a"b",結(jié)果就呼之欲出了.開(kāi)放題的核心是培養(yǎng)考生獨(dú)立思考和
創(chuàng)新的意識(shí).
[解題思路]當(dāng)f(X)=x2時(shí),f(X]X2)=(X]X2)2=X1X2=f(Xi)f(X2);
當(dāng)xe(0,+8)時(shí),f'(x)=2x>o,f'(x)=2x是奇函數(shù).符合題目要求.本題
屬于開(kāi)放性問(wèn)題,答案不唯一.
[答案]f(x)=x2(答案不唯一)
[失分剖析]考生對(duì)性質(zhì)①的處理有所欠缺,不能類比備考中出現(xiàn)過(guò)的
條件f(xi+x2)=f(X1)?f(X2)與f(xix2)=f(x
1)+f(x2)遷移到黑函數(shù)上.
17.(2019全國(guó)II,理14)已知f(x)是奇函數(shù),且當(dāng)x<0時(shí),f(x)=-e、
.若f(ln2)=8,則2=.
[試題情境]本題屬于課程學(xué)習(xí)情境.本題以抽象函數(shù)為載體,考查對(duì)數(shù)
運(yùn)算問(wèn)題.
[必備知識(shí)]本題考查的知識(shí)是借助函數(shù)奇偶性及特殊點(diǎn)的函數(shù)值來(lái)確
定函數(shù)的解析式中的參數(shù).
[能力素養(yǎng)]本題考查邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力,考查的學(xué)科素養(yǎng)
是理性思維和數(shù)學(xué)探索.考生借助條件f(In2)=8得到已知區(qū)間內(nèi)函數(shù)的
解析式,運(yùn)用奇偶性的概念和幾何意義,轉(zhuǎn)化出未知區(qū)間的函數(shù)解析
式.本題還整合了函數(shù)的基本性質(zhì)和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì).考生需綜合應(yīng)用
所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)、思想和方法解決問(wèn)題.
[解題思路]:In2G(0,1),f(In2)=8,f(x)是奇函數(shù),.?.f(Tn2)=-8.V
當(dāng)x<0時(shí),044f
(x)=—eM,/./(—In2)=—2=—8,e-,,ln2=8,—aln2=In8,—a=3,.**a=-
[答案]-3
[失分剖析]考生在函數(shù)解析式中的運(yùn)算求解環(huán)節(jié)易出錯(cuò).
考向(二)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)與原函
數(shù)
1.(2021全國(guó)甲,理4、文6)青少年視力是社會(huì)普遍關(guān)注的問(wèn)題,視力
情況可借助視力表測(cè)量.通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù),
五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)V滿足L=5+lgV.已知某同學(xué)視
力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9,則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)約為
(1V10?1.259)()
A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6
[試題情境]本題屬于生活實(shí)踐情境.本題以特殊函數(shù)模型為載體,考查
考生利用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際生活中問(wèn)題的能力.
[必備知識(shí)]本題考查的知識(shí)是了解數(shù)學(xué)建?;顒?dòng)與數(shù)學(xué)探究活動(dòng),要
求考生會(huì)結(jié)合社會(huì)普遍關(guān)注的問(wèn)題,借助學(xué)過(guò)的對(duì)數(shù)與指數(shù)的互化知
識(shí),運(yùn)用數(shù)學(xué)思想建立模型解決實(shí)際問(wèn)題.
[能力素養(yǎng)]本題考查運(yùn)算求解能力、邏輯思維能力和數(shù)學(xué)建模能力,
考查的學(xué)科素養(yǎng)是理性思維和數(shù)學(xué)應(yīng)用.本題以青少年的視力為背景,
貼合實(shí)際,更是社會(huì)普遍關(guān)注的熱點(diǎn)問(wèn)題.本題用對(duì)數(shù)模型L=5+lgV描
述了視力表中兩種不同記錄法之間的關(guān)系,要求考生運(yùn)用指對(duì)運(yùn)算的
知識(shí)解決生活實(shí)踐中遇到的問(wèn)題,理解題意,把L=4.9代入L=5+lgV中,
解出lgV=-0.1,再利用指對(duì)互化,直接求解即可.
[解題思路]由題意L=5+lgV,當(dāng)L=4.9時(shí),有4.9=5+lgV,lgV=-0.1,V=
1_11no
IO01一廠[10]10~1.259~'
[答案]c
2.(2021全國(guó)乙,理12)設(shè)a=21nl.01,b=lnl.02,c=1,則()
A.c>b>aB.a>c>bC.c>a>bD.b>a>c
[試題情境]本題屬于探索創(chuàng)新情境.本題以對(duì)數(shù)值、根式為載體,考查
比較大小的問(wèn)題.
[必備知識(shí)]本題考查的知識(shí)是函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性和最值的關(guān)系.
[能力素養(yǎng)]本題考查邏輯思維能力、數(shù)學(xué)建模能力和運(yùn)算求解能力,
考查的學(xué)科素養(yǎng)是理性思維和數(shù)學(xué)探索.本題首先要求考生根據(jù)函數(shù)
f(x)=lnx的單調(diào)性,得a>b,難點(diǎn)是與c的大小比較,需要考生選擇變
量,構(gòu)造函數(shù)f(x),g(x),通過(guò)求導(dǎo),借助導(dǎo)函數(shù)的幾何意義,判斷
函數(shù)的單調(diào)性,判斷出c與a,b的大小關(guān)系.
[解題思路]:a=ln1,Ol2=ln1,0201>ln1.02=b,.,.排除A,D.
令f(x)=ln(l4-x)—(“+2x—l),x>0,則f(0.02)=
lnl.02—(A/1.04-1)=b—c.
...F(x)=」2=
'IJ1+x2V1+2X(l+x)Vl+2x'
當(dāng)x20時(shí),1+x=J(1+x)2=V1+2x+x2>V1+2x,
.?.f'(x)W0,且f'(x)不恒為0.
?.f(x)在區(qū)間[0,+8)上單調(diào)遞減,二f(0.02)
b—c<Ob<c.
令g(x)=21n(l4-x)-(“+4x-l),x>0貝!]g(0.01)=
21nl.01-(7L04-1)=a-C.
...1(x)=-4=2[亞府-(l+x?
?2I,1+x2V1+4X(l+x)Vl+4x'
當(dāng)0Wx<2時(shí),.x2W2xol+2x+x2Wl+2x+2x,即(1+x)2Wl+4x,
/.g'(x)20在區(qū)間(0.2)內(nèi)成立,且g'(x)不恒為0.
,g(x)在區(qū)間[0,2)內(nèi)單調(diào)遞增,.?.g(0.01)>g(0)=0,即a-c>0,,a>c.
綜上可得,a>c>b..?.選B.
[答案]B
[失分剖析]考生不會(huì)構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行比較大小.
3.(2021新高考全國(guó)II,7)已知a=log52,b=log83,c=|,則下列判斷
正確的是()
A.a>b>cB.b>a>c
C.b>c>aD.c>b>a
[試題情境]本題屬于課程學(xué)習(xí)情境.本題以對(duì)數(shù)為載體,考查對(duì)數(shù)比較
大小的問(wèn)題.
[必備知識(shí)]本題考查的知識(shí)是對(duì)數(shù)的運(yùn)算和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性.
[能力素養(yǎng)]本題考查邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力,考查的學(xué)科素養(yǎng)
是理性思維和數(shù)學(xué)深索.考生以|為中間量對(duì)對(duì)數(shù)logs2和logs
3進(jìn)行正確處理,即可解決.
[解題思路]思路1
?Va=logs2<log42=-y=c,6=logs3>log93==c,Ab>c>a.,,、生
思路2.a=log52<log5V5=|,b=log83>log8V8=故b〉c>a.
故選C.
[答案]C
[失分剖析]考生不能正確快速地運(yùn)用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性處理對(duì)數(shù).
4.(2020全國(guó)II,理11、文12)若-2"<3'x-3'",則()
A.ln(y-x+l)>0B.ln(y-x+l)<0
C.In|x-y|>0D.Inx-y|<0.
[試題情境]本題屬于探索創(chuàng)新情境.本題以不等式為載體,考查函數(shù)值
與0比較大小問(wèn)題.
[必備知識(shí)]本題考查的知識(shí)是函數(shù)的單調(diào)性和不等式的綜合應(yīng)用.
[能力素養(yǎng)]本題考查邏輯思維能力、數(shù)學(xué)建模能力和運(yùn)算求解能力,
考查的學(xué)科素養(yǎng)是理性思維和數(shù)學(xué)探索.考生把-2n<3-x-3-
'變形為2X-3-x<29-3-9,從不等式中獲取構(gòu)造函數(shù)
f(t)=2'-3-4的信息,建立函數(shù)模型,并在此基礎(chǔ)上結(jié)合函數(shù)
f(t)=2<-)-3'(的單調(diào)性得到結(jié)論.
[解題思路]將不等式變形為-3-x<2y-39,根據(jù)
f(t)=2*-3-4的單調(diào)性知x以此去判斷各個(gè)選項(xiàng)中真數(shù)與1的大小關(guān)
系,進(jìn)而得到結(jié)果.
V2a-29<3'z-3'9,,2a-3-z<29-3-9.
又f(t)=2'-3-1在R上單調(diào)遞增,且f(x)
/.y-x+l>l,/.ln(y-x+l)>ln1=0.故選A.
[答案]A[失分剖析]考生對(duì)于構(gòu)建新函數(shù)的觀察力不夠.
5.(2020全國(guó)m,理4、文4)Logistic模型是常用數(shù)學(xué)模型之一,可應(yīng)
用于流行病學(xué)領(lǐng)域.有學(xué)者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計(jì)確
診病例數(shù)I(t)(t的單位:天)的Logistic模型:I。)=i+e石.黑W,
其中K為最大確診病例數(shù).當(dāng)I(t*)=0.95K時(shí),標(biāo)志著已初步
遏制疫情,則t"約為(In19合3)()
A.60B.63C.66D.69
[試題情境]本題屬于生活實(shí)踐情境.本題以特殊函數(shù)模型為載體,考查
數(shù)學(xué)模型在生活實(shí)際中的應(yīng)用.
[必備知識(shí)]本題考查的知識(shí)是了解數(shù)學(xué)建?;顒?dòng)與數(shù)學(xué)探究活動(dòng),要
求考生會(huì)結(jié)合現(xiàn)實(shí)社會(huì)問(wèn)題,運(yùn)用數(shù)學(xué)思想建立模型解決實(shí)際問(wèn)題.
[能力素養(yǎng)]本題考查運(yùn)算求解能力、邏輯思維能力和數(shù)學(xué)建模能力,
考查的學(xué)科素養(yǎng)是理性思維、數(shù)學(xué)文化和數(shù)學(xué)應(yīng)用.本題以某地區(qū)新冠
肺炎累計(jì)確診病例數(shù)為現(xiàn)實(shí)背景,與現(xiàn)實(shí)生活緊密相關(guān).本題要求考生
綜合學(xué)到的知識(shí)解決生活實(shí)踐中遇到的問(wèn)題,運(yùn)用題干提供的信息
I(t*)=0.95K借助函數(shù)模型I(t)=--荔e進(jìn)行計(jì)算求解.
?J.Au.4nliooy
[解題思路]由I(t*)=廣島』=0.95K,得e-023(t*-53)=9
兩邊取以e為底
對(duì)數(shù),得-0.23(t*-53)=-lnl9r-3/*。66.故選C
[失分剖析]考生對(duì)于數(shù)學(xué)中的近似解運(yùn)算理解不到位.
6.(2020全國(guó)III,理12)已55<84,134<85.設(shè)a=logD3,b=
loglZl5,c=login口8,則()
A.a<b<cB.b<a<c
C.b<c<aD.c<a<b
[試題情境]本題屬于課程學(xué)習(xí)情境.本題以指數(shù)和對(duì)數(shù)為載體,考查對(duì)
數(shù)比較大小問(wèn)
[必備知識(shí)]本題考查的知識(shí)是對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化.
[能力素養(yǎng)]本題考查邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力,考查的學(xué)科素養(yǎng)
是理性思維和探索.思路L要求考生能根據(jù)指數(shù)式轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)式,在正
確運(yùn)算、變形和處理后,利用對(duì)與1的大小進(jìn)行比較,得到結(jié)果;思路
2.由于a,b,c都是正數(shù),考生采用作商法并結(jié)合基等式得到a與b的大
小,再利用中間值(比較b與c的大小.
[解題思路]思路1.利用指數(shù)化對(duì)數(shù)與1比較大小.
44Q44
;Wa="rl°g53=log5334=log】2581Vl,;?aV7.〈a6=wlog85=log835'=logsi26:
004JJ
a654.
1,.,.6>4,V55<84,.?.%=+log85=log8<55<1,
444D
7134<85,:.%5=y5log8=log*85>1,.\c>4得..
TtTT1313D
思路2.由題意可得a,b,ce(0,1),利用作商法以及基本不等式可得
出a,b的大小再比較b,c與,的大小即可得到結(jié)果.
由題意可知a,b
C<
LU,-,6l0g85lg5lg5(iT5FI2)
b54
由b=log85,得8=5,由5<8,.得85b<84,,5b<4,
即b<i;
由c=log[JD8,得13°=8,由134<85,得134<135c,?.
5c>4,即c>g.綜上所述,a故選A.
[答案]A
[失分剖析]①考生對(duì)于指數(shù)與對(duì)數(shù)的運(yùn)算不熟練.②考生不能利用1,
g等特殊值比較大小.
7.(2020全國(guó)HI,文10)設(shè)a=log32,b=log53,c=最則()
A.a<c<bB.a<b<c
C.b<c<aD.c<a<b
[試題情境]本題屬于課程學(xué)習(xí)情境.本題以對(duì)數(shù)為載體,考查對(duì)數(shù)比較
大小的問(wèn)題.
[必備知識(shí)]本題考查的知識(shí)是對(duì)數(shù)的運(yùn)算和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性.
[能力素養(yǎng)]本題考查邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力,考查的學(xué)科素養(yǎng)
是理性思維和數(shù)學(xué)探索.本題對(duì)考生對(duì)數(shù)運(yùn)算的掌握要求較高.思路L
對(duì)數(shù)|a,|b進(jìn)行正確運(yùn)算、變形和處理,即|a=
33
|log32=log32=log98,|b=|log53=logs23=log2527,再與數(shù)
字1進(jìn)行比較分析得到結(jié)果.思路2.直接對(duì)對(duì)數(shù)a,b運(yùn)用所學(xué)公式進(jìn)行
處理,再利用對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性即可比較大小.
3
[解題思路]思路1.|a=|log32=log32=
2
3>-又<C<
"|b=|log53=logs2=log2527>1,--.b3
b.故選A.
思路2
11911o
i.a=-z-log23<-z-log39=-z-=c,fe=—log33>—log25=—=c,Aa<Cc<6.
O03O0O5o5
選A.
[答案]A
[失分剖析]①考生對(duì)于對(duì)數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì)掌握不熟練.②考生不能通過(guò)
特殊值轉(zhuǎn)化比較大小.
8.(2020新高考全國(guó)I,6)基本再生數(shù)R。與世代間隔T是新冠肺炎的流
行病學(xué)基本參數(shù).基本再生數(shù)指一個(gè)感染者傳染的平均人數(shù),世代間隔
指相鄰兩代間傳染所需的平均時(shí)間.在新冠肺炎疫情初始階段,可以用
指數(shù)模型I(t)=e「'描述累計(jì)感染病例數(shù)I(t)隨時(shí)間t(單位:天)
的變化規(guī)律,指數(shù)增長(zhǎng)率r與R。,T近似滿足Ro=l+rT.有
學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計(jì)出Ro=3.28,T=6.據(jù)此,在新冠肺炎疫情初始
階段,累計(jì)感染病例數(shù)增加1倍需要的時(shí)間約為(ln2心669)()
A.1.2天B.1.8天C.2.5天D.3.5
天[試題情境]本題屬于生活實(shí)踐情境.本題以函數(shù)為載體,新冠肺炎疫
情為背景考查指對(duì)運(yùn)算.
[必備知識(shí)]本題考查的知識(shí)是數(shù)學(xué)建模,運(yùn)用數(shù)學(xué)思想建立模型解決
實(shí)際問(wèn)題.
[能力素養(yǎng)]本題考查運(yùn)算求解能力、邏輯思維能力和數(shù)學(xué)建模能力,
考查的學(xué)科素養(yǎng)是理性思維和數(shù)學(xué)應(yīng)用.本題以新冠肺炎疫情為背景,
貼合實(shí)際,引起思考.本題用指數(shù)模型I(t)=e"描述累計(jì)感染病例數(shù)的
實(shí)際問(wèn)題,要求考生綜合數(shù)學(xué)的知識(shí)解決生活實(shí)踐中遇到的問(wèn)題,運(yùn)
用題干提供的運(yùn)算公式Ro=l+rT求出參數(shù)r的值,得到確定
的函數(shù)模型進(jìn)行計(jì)算求解,考查考生的估算能力.
[解題思路]由Ro=3.28,T=6,Ro=l+rT得3.28=1+6r,Ar=—=
6
0.38,
...I(t)=e°38t=2,即0.38t=ln2,0.38t70.69,??.t?翳v1.8(天),
故選B.
[答案]B
[失分剖析]考生不能從生活情境中抽象概括出相關(guān)的數(shù)學(xué)模型.
0203
9.(2019全國(guó)I,理3、文3)已知a=log20.2,b=2,c=O.2,則
()
A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<
c<a[試題情境]本題屬于課程學(xué)習(xí)情境.本題以基本初等函數(shù)為載體,
考查比較數(shù)的大小.
[必備知識(shí)]本題考查的知識(shí)是指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì).
[能力素養(yǎng)]本題考查邏輯思維能力與運(yùn)算求解能力,考查的學(xué)科素養(yǎng)
是理性思維和數(shù)學(xué)探索.考生根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,借助
特殊的函數(shù)值0,1進(jìn)行比較分析,得到結(jié)果.
[解題思路]運(yùn)用基本初等函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷.???a=log20.2<0,b=
2。.2>2°=1,
又0<c=O.203<0,2°<1,,--a<c<b.故選B.
[答案]B
[失分剖析]考生想不到通過(guò)0,1等特殊值比較大小.
考向(三)函數(shù)與方程
1.(2020全國(guó)I,理12)若2a+log2a=4b+21og4b,貝M)
A.a>2bB.a<2b
C.a>b2D.a
[試題情境]本題屬于探索創(chuàng)新情境.本題以指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)為載體,
考查利用函數(shù)單調(diào)性比較大小的問(wèn)題.
[必備知識(shí)]本題考查的知識(shí)是利用指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合變形
運(yùn)算比較大小.
[能力素養(yǎng)]本題考查邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力,考查的學(xué)科素養(yǎng)
是理性思維和數(shù)學(xué)探索。本題題干中給出的是等式,但結(jié)果需要不等
b
式,這就要求考生把等式2a+log2a=4+21og4b處
a2
理成不等式2+log2a<2b+l0g22b,從而構(gòu)造新函數(shù)
x
f(x)=2+log2x,并判斷函數(shù)單調(diào)性,建立條件(函數(shù))與結(jié)論(不等關(guān)
系)間的聯(lián)系,并在此基礎(chǔ)上歸納得到結(jié)論.
[解題思路]通過(guò)觀察引入新f(
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