專練05 三角形中的最值問題-2021年中考數(shù)學壓軸題專項高分突破訓練（教師版含解析）

專練05三角形中的最值問題

1.幾何探究題

(1)發(fā)現(xiàn)：在平面內(nèi)，若AB=a,BC=b，其中b>a.

當點A在線段8c上時，線段AC的長取得最小值，最小值為：

當點A在線段C8延長線上時，線段4c的長取得最大值，最大值為.

(2)應用：點A為線段8c外一動點，如圖2,分別以AB、AC為邊，作等邊△和等邊△ACE,連接

CD、BE.

①證明：CD=BE；

②若BC=5,AB=2,則線段BE長度的最大值為.

(3)拓展：如圖3,在平面直角坐標系中，點A的坐標為(2,0)，點8的坐標為(7,0)，點P為線AB外

一動點，且P4=2,PM=PB,々BPM=90。.請直接寫出線段AM長的最大值及此時點P的坐標.

【答案】(I)：?當點A在線段BC上時，線段AC的長取得最小值，最小值為BC-AB,

VBC=b,AB=a,

.*.BC-AB=b-a,

當點A在線段CB延長線上時，線段AC的長取得最大值，最大值為BC+AB,

VBC=b,AB=a,

/.BC+AB=b+a,

故答案為：b-a,b+a；

(2)解：①CD=BE,理由：;△ABD與△ACE是等邊三角形，AAD=AB,AC=AE,

ZBAD=ZCAE=60°,ZBAD+ZBAC=ZCAE+ZBAC,即NCAD=NEAB,CAD與^EAB中，

AD=AB

{LCAD=LEAB,**?ACAD=AEAB(SAS),/.CD=BE；7

AC=AE

②???線段BE長的最大值二線段CD的最大值，

工由(1)知，當線段CD的長取得最大值時，點D在CB的延長線上,

???最大值為BE=CD=BD+BC=AB+BC=5+2=7；

故答案為：7.

⑶解：最大值為5+2V2;

/.P(2-V2.V2).

圖1

?.?將△APM繞著點P順時針旋轉(zhuǎn)90。得到△PBN,連接AN,則△APN是等腰直角三角形,

；.PN=PA=2,BN=AM,

的坐標為(2,0),點B的坐標為(7,0),

/.AO=2,OB=7,

AB=5,

.?.線段AM長的最大值=線段BN長的最大值，

???當N在線段BA的延長線時，線段BN取得最大值，

最大值=AB+AN,

VAN=V2AP=2V2，

.,?最大值為5+2V2:

如圖2,過P作PEJ_x軸于E,

???△APN是等腰直角三角形,

.?.PE=AE=V2,

AOE=OA-AE=2-V2,

AP(2-&，V2).

2.閱讀下列材料，解決提出的問題:

09(3)

【最短路徑問題】

如圖(1),點A,B分別是直線1異側(cè)的兩個點，如何在直線1上找到一個點C,使得點C到點A,點B的距

離和最短？我們只需連接AB,與直線1相交于一點，可知這個交點即為所求.

如圖(2),如果點A,B分別是直線1同側(cè)的兩個點，如何在1上找到一個點C,使得這個點到點A、點B的

距離和最短？我們可以利用軸對稱的性質(zhì)，作出點B關(guān)于的對稱點B，，這時對于直線1上的任一點C,都

保持CB=CB"從而把問題(2)變?yōu)閱栴}(1).因此，線段AB，與直線1的交點C的位置即為所求.

為了說明點C的位置即為所求，我們不妨在直線上另外任取一點C，，連接AC,BC,B'C'.

因為AB'WAC'+C'B',.'.AC+CBWAC'+C'B,即AC+BC最小.

(1)【數(shù)學思考】

材料中劃線部分的依據(jù)是.

(2)材料中解決圖(2)所示問題體現(xiàn)的數(shù)學思想是.(填字母代號即可)

A.轉(zhuǎn)化思想B.分類討論思想C.整體思想

(3)【遷移應用】

如圖3,在RtAABC中，NC=90。，NBAC=15。，點P為C邊上的動點，點D為AB邊上的動點，若AB

=6cm,求BP+DP的最小值.

【答案】(1)兩點之間線段最短或者三角形任何兩邊的和大于第三邊

⑵A

(3)解：如圖，作點B關(guān)于點C的對稱點B，，連接ABI作BH_LAB，于H.

作點D關(guān)于AC的對稱點D，，則PD=PDl

:.PB+PD=PB+PD',

根據(jù)垂線段最短可知，當點D，與H重合，B,P,D共線時，PB+PD的最小值=線段BH的長,

VBC=CB\AC1BB\

AAB=AB\

AZBAC=ZCAB/=15°,

AZBAH=30°,

在RQABH中，VAB=3cm,ZBAH=30°,

，BH=-AB=3cm,

2

；.PB+PD的最小值為3cm

3.如圖

(1)性質(zhì)：角平分線上的點到角兩邊的距離相等，如圖1：OP平分NMON,PC_LOM于C,PB_LON于B,

則PBPC（填“><”或“="）；

(2)探索：如圖2,小明發(fā)現(xiàn)，在△ABC中，AD是NBAC的平分線，則①=出，請幫小明說明原因.

S^ADCAC

(3)應用：如圖3,在小區(qū)三條交叉的道路AB,BC,CA上各建一個菜鳥驛站D,P,E,工作人員每天來回

的路徑為P-D-E-P,

①問點P應選在BC的何處時，才能使PD+DE+PE最??？

②若NBAC=30。，SAABC=10,BC=5,則PD+DE+PE的最小值是多少？

【答案】(D：OP平分NMON,PC_LOM于C,PB_LON于B,

；.PB=PC

(2)解：理由：過點D作DELAB于E,DFLAC于F

VAD是NBAC的平分線，

，DE=DF

?SAABD_|DEAB_AR

??一1—;

SAADC2DFACAC

(3)解：①過點A作APLBC于P,分別作點P關(guān)于AB、AC的對稱點Pl、P2,連接P1P2分別交AB、

AC于D、E,連接PD、PE、API、AP2,

由對稱的性質(zhì)可得AP1=AP=AP2,DP1=DP,EP2=EP,

.,.PD+DE+PE=DP1+DE+EP2=P1P2,根據(jù)兩點之間，線段最短和題線段最短，即可得出此時

PD+DE+PE最小,即P1P2的長

即當AP_LBC于P時，PD+DE+PE最小；

(2)VSAABC=10,BC=5,

:.-BCAP=10

2

解得：AP=4

由對稱的性質(zhì)可得AP1=AP=AP2=4,DP1=DP,EP2=EP,NDAP1=NDAP,ZEAP2=ZEAP

???ZDAP1+ZEAP2=ZDAP+ZEAP=ZDAE=30°

AZP1AP2=6O°

AAP1AP2是等邊三角形

.??P1P2=AP1=4

即PD+DE+PE的最小值是4.

4.如圖

⑴探索1：如圖1,點A是線段BC外一動點，若AB=2,BC=4,填空：當點A位于線段

AC長取得最大值，且最大值為；

(2)探索2：如圖2,點A是線段BC外一動點，且AB=1,BC=3,分別以AB、BC為直角邊作等腰

直角三角形ABD和等腰直角三角形CBE,連接AC、DE.

①請找出圖中與AC相等的線段，并說明理由；

②直接寫出線段DE長的最大值；

(3)如圖3,在平面直角坐標系中，已知點A(2,0)、B(5,0),點P、M是線段AB外的兩個動點，且PA

=2,PM=PB,ZBPM=90°,求線段AM長的最大值及此時點P的坐標.

(提示：在圖4中作PN1PA,PN=PA,連接BN后，利用探索1和探索2中的結(jié)論，可以解決這個問

題)

【答案】((,??點A為線段BC外一動點，且AB=2,BC=4,

二當點A位于CB的延長線上時，線段AC的長取最大值，最大值為2+4=6,

故答案是：CB的延長線上，6；

(2)解：①：△ABD和ACBE是等腰直角三角形，

二AB=DB,CB=EC,ZABD=ZCBE=90°,

Z.ABD-ZABE=ZCBE-zABE,即ZDBE=zABC,

在△BAC和△BDE中，

BA=BD

{ZABC=ZDBE，

BC=BE

二△BAC=△BDE(SAS),

，AC=DE；

②由(1)知AC的最大值是AB+BC=4,

?:DE=AC,

，DE長的最大值是4；

類比應用：

⑶解：如圖，過點P作PN±PA,PN=PA,連接BN,

根據(jù)(2)中的方法，同理可以證明AAMPWANBP,

.?.AM=BN,

當點N在線段BA的延長線上時，線段BN取最大值，也就是線段AM取最大值，最大值是AB+AN,

,:A(2,0),B(5,0),

；.AB=3,

AAPN是等腰直角三角形，

二AN=V2AP=2V2，

???最大值是2四+3,

如圖，過點P作PElx軸于點E,

PE-AE-V2?

二OE=BO-AB-AE=5-3-V2=2-V2,

二P(2-V2.V2)，

如圖，點P也有可能在x軸下方，與剛剛的點P關(guān)于x軸對稱,

P(2-V2,-V2)，

y.

綜上：點P的坐標是(2-V2.V2)或(2-V2,-V2).

5.在等腰RSABC中，ZBAC=90°,AB=AC=6或，D是射線CB上的動點，過點A作AF_LAD(AF始終

在AD上方)，且AF=AD,連接BF

(1)如圖1,當點D在線段BC上時，BF與DC的關(guān)系是.

(2)如圖2,若D、E為線段BC上的兩個動點，且/DAE=45。，連接EF,DC=3,求ED的長.

⑶若在點D的運動過程中，BD=3,則AF=.

(4)如圖3,若M為AB中點，連接MF,在點D的運動過程中，當BD=時，MF的長最?。孔钚?/p>

值是.

【答案】(1)當點D在線段BC上時,

vAF=AD,NBAF=90°-zBAD=zDAC,AB=AC

???△FAB=△DAC(SAS)

BF=DC

(2)解：???AE=AE,ZEAF=90°-ZDAE=45°=ZEAD,AF=AD,

FAE=△DAE(SAS)

???ED=EF=3

(3)BD=3,設(shè)AG為BC邊上的高，G為垂足,

在等腰RSABC中，G為BC的中點,

AF=AD=7AG2+DG2=762+(6-3)2=3V5

(4)點F的軌跡是過點B,且垂直于BC的射線，根據(jù)垂線段最短的性質(zhì)，當MF1BF時，線段MF最短,

又因為BC1BF,zABC=45°,zFBD=90°

??.ABFM為等腰直角三角形，

V2aAB近L

MF=BF=—BM=—x—=—x6v2=3

2224

BD=BC-DC=12-3=9

此時MF=3.

(1)發(fā)現(xiàn)

如圖①所示，點A為線段BC外的一個動點,且BC=a,AB=b.填空：當點A位于時，線段AC

的長取得最大值，且最大值為(用含a、b的式子表示).

(2)應用

點A為線段BC外一個動點，且BC=4,AB=1.如圖②所示，分別以AB,AC為邊，作等邊三角形ABD和

等邊三角形ACE,連接CD,BE.

①找出圖中與BE相等的線段，并說明理由;

②直接寫出線段BE長的最大值_▲.

(3)拓展

如圖③所示，在平面直角坐標系中，點A的坐標為(2,0),點B的坐標為(6,0),點P為線段AB外一個動

點，且PA=2,PM=PB,NBPM=90。.請直接寫出線段AM的最大值_______及此時點P的坐標.

【答案】(1)：點A為線段BC外一動點，且BC=a,AB=b,

/.當點A位于CB的延長線上時，線段AC的長取得最大值，且最大值為BC+AB=a+b,

故答案為：CB的延長線上；a+b；

⑵解：①CD=BE；

理由：；△ABD與△ACE是等邊三角形，

；.AD=AB,AC=AE,ZBAD=ZCAE=60°,

二ZBAD+ZBAC=ZCAE+ZBAC,

即NCAD=NEAB,

在△CAD與△EAB中，

AD=AB

UCAD=zEAB，

AC=AE

.,.△CAD^AEAB,

②?.?線段BE長的最大值=線段CD的最大值，

由(1)知，當線段CD的長取得最大值時，點D在CB的延長線上，

,最大值為BD+BC=AB+BC=5

故答案為:5；

(3)；將AAPM繞著點P順時針旋轉(zhuǎn)90。得到△PBN,連接AN,

則△APN是等腰直角三角形，

APN=PA=2,BN=AM,

TA的坐標為(2,0),點B的坐標為(6,0),

AOA=2,OB=6,

JAB=4,

線段AM長的最大值=線段BN長的最大值，

...當N在線段BA的延長線時，線段BN取得最大值，最大值=AB+AN,

：AN=V2AP=2V2,

...AM長的最大值為2V2+4；

如圖2,當點P在第一象限時，過P作PE_Lx軸于E,

△APN是等腰直角三角形,

；.PE=AE=V2,

/.OE=OA-AE=2-V2,

???P(2-V2.V2):

圖3

根據(jù)對稱性可知，P(2-V21-V2)也符合題意

綜上：點P的坐標為(2-V2，V2)或(2-V2,-V2)

故答案為：2V2+4；(2-V2?V2)或(2-V2,-V2).

7.在等腰RMABC中，NB4C=90。，AB=AC=6y[2,0是射線CB上的動點，過點A作

AFLAD(AF始終在AD上方)，且4F=4。，連接BF.

(1)如圖1,當點D在線段BC上時，BF與DC的關(guān)系是；

(2)如圖2,若點D,E為線段BC上的兩個動點，且^DAE=45°,連接EF,DC=3,求ED

的長；

(3)若在點D的運動過程中，BD=3,則AF=；

(4)如圖3,若M為4B中點，連接MF,在點D的運動過程中，當BD=時，MF的長最

?。孔钚≈凳?

【答案】(1)長度相等

(2)5

(3)3>/5

(4)9：3

【解析】(1)：AFIAD

ZDAF=90°

■:ZBAC=90°

，/CAD=/BAC-/BAD=/DAF-/BAD=/BAF

apZCAD=ZBAF

'：AB=AC,AF=AD

.?.△ADC^ZXAFB,

:.BF=DC

故答案為：長度相等：

(2)由(1)可知△ADC<△AFB,

ZDAE=45°,ZBAC=90°

ZCAD+ZBAE=45°

VZCAD=ZBAF

/.ZBAF+ZBAE=45°

二NFAE=45o=ZDAE

；AD=AF,AE=AE

/.△AED^AAEF,得至ljEF=DE,設(shè)DE=x,

■:ZBAC=90°,AB=AC=6A/2,

，BC=VAB2+AC2=12,ZC=ZABC=45°,

，ZABF=ZC=45°

ZFBE=90°

...△BEF是直角三角形，

?.,EF=DE=x,CD=3

BE=9-x,BF=CD=3

在RtABEF中，EF2=BF2+BE2,

即x2=32+(9-x)2,

解得x=5

即DE的長為5；

(3)如圖，過A點作AHLBC于H點，

VAABC為的等腰直角三角形

AAH是4ABC的中線，

，

AH=-2BC=6

VBD=3,

/.DH=BH-BD=3

AAD=VAH24-DH2=3V5

AAF=3V5

故答案為：3的;

(4)如圖，取AC中點M，，故BM=CM，

VZFBM=ZC,BF=CD

...△FBMdDCM'

.?.MF=M'D,

故當M，D最短時，則MF最短，

作M'DLBC于D，點，

則4CD，M，是等腰直角三角形，M?C=?C=3A/2

設(shè)CD'=D'M'=a

a2+a2=(3V2)2

解得a=3(負值舍去)

.?.CD'=3

故此時BD=12-3=9,MF=D,M,=3

故答案為：9；3.

8.如圖1,已知直線1的同側(cè)有兩個點A,B,在直線1上找一點P,使P點到A,B兩點的距離之和最短的

問題，可以通過軸對稱來確定，即作出其中一點關(guān)于直線1的對稱點，對稱點與另一點的連線與直線1的交

的最小值;

(2)如圖3,在銳角三角形ABC中，AB=8,ZBAC=45°,NBAC的角平分線交BC于點D,M、N分別是

AD和AB上的動點，則BM+MN的最小值為

⑶如圖4,NAOB=30。，0C=4,OD=10,點E,F分別是射線OA,OB上的動點，則CF+EF+DE的最小值

為。

【答案】(1)解：如圖2：作點A關(guān)于x軸的對稱點A'(l,-1)，連A'B交x軸于點P,

；.PA+PB的最小值就是A，B的長，

V點B的坐標為(5,4),

A;B=7(1-5)2+(-1-4)2=V41,，

??.PA+PB的最小值為同；

(2)；AD平分/BAC,

.\ZCAD=ZBAD,

直線AB與直線AC關(guān)于直線AD對稱，

如圖3,作點N關(guān)于直線AD的對稱點N',連接MNZ,

二MN=MN',

,BM+MN=BM+MN',

二當點B,點M,點N'三點共線，且BM垂直AC時，BM+MN的值最小,

,此時，BN'IAC,

vZCAB=45°,

，ZABN'=45°,

AN'=BN',

AB=8,

由NZA2+NZB2=AB2=64,

???NZB2=32,

BN'=4^2(負根舍去)

所以此時：BM+MN=BN，=4痘，

.?.BM+MN的最小值為4V2，

故答案為4V2;

(3)如圖4,過作點C關(guān)于0B的對稱點C',作點D關(guān)于OA的對稱點D',連接C'D，交0A于點E,

交0B于點F,

...CF+EF+DE=C'F+EF+D'E,

由兩點之間，線段最短，可得CF+EF+DE的最小值為C'D',

連接CC'交0B于點G,連接DD'交OA于點N,

過點D'作D'PIOB于P,作D'HICU于點H,

■:ZAOB=30°,OC=4,OD=10,CC'1OB,DD,1OA,

CG=-OC=2=CZG,OG=V42_22=2V3,

DN=DZN=10D=5,NODN=60。，

二DD'=10,/PD'D=30。，

PD=|DD，=5=OP,DT=V102-52=5低

DZH=PG=OP-OG=5-2V3,

UH=UG+GH=UG+PD，=2+5心

CD，=J(5V3+2)2+(5-2V3)2=2V29.

所以CF+EF+DE的最小值為2g.

故答案為：2格.

9.發(fā)現(xiàn)規(guī)律：

⑴如圖①，&ABC與AADE都是等邊三角形，直線BD.CE交于點F.直線BD,AC交于點H.求

乙BFC的度數(shù)

⑵已知：AABC與4ADE的位置如圖②所示，直線BD.CE交于點F.直線BD,AC交于點H.若

N4BC=AADE=a,AACB=AAED=0,求乙BFC的度數(shù)

（3）如圖③，在平面直角坐標系中，點O的坐標為（0,0），點M的坐標為（3,0）,N為y軸上一動點，連

接MN.將線段MN繞點M逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到線段MK,連接NK,OK,求線段OK長度的

最小值

【答案】⑴解：：AABC與AADE是等邊三角形

，AB=AC,AD=AE,zBAC=zDAE=zABC=ZACB=60°

/.ZBAD=ZCAE

，△BAD=△CAE(SAS)

，ZABD=ZACE

???4ABD+ZDBC=ZABC=60°

???ZACE4-ZDBC=60°

JZBFC=180°-zDBC-zACE-zACB=60°；

(2)解：Z.ABC=zADE=a,zACB=Z.AED=p

**?△ABC~&ADE

AB_AC

/.ZBAC=zDAE,

AD一AE

ABAD

???4BAD=zCAE,=----

ACAE

???△ABDACE

JZABD=ZACE

ZBHC=ZABD+ZBAC=zBFC+zACE

:.ZBFC=ZBAC

,:zBAC+乙ABC+zACB=180°

/.ZBFC+a+0=180°

JzBFC=180°-a-p；

應用結(jié)論：

(3)解：：將線段MN繞點M逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段MK

/.MN=MK,Z.NMK=60°

二△MNK是等邊三角形

MK=MN=NK,ZNMK=zNKM=zKNM=60°

如下圖，將AMOK繞點M順時針旋轉(zhuǎn)60°,得到AMQN連接OQ

，△MOK=△MQN,zOMQ=60°

AOK=NQ,MO=MQ

???AMOQ是等邊三角形

???ZQOM=60°

???ZNOQ=30°

VOK=NQ

???當NQ為最小值時，OK有最小值，由垂線段最短可得當QN，y軸時，NQ有最小值

,1點M的坐標為(3,0)

/.OM=OQ=3

*/QNJ_y軸，ZNOQ=30°

NQ=iOQ=1

線段OK長度的最小值為|.

10.如圖I,在等腰三角形ABC中，乙4=120*AB=4C,點。、E分別在邊48、AC上，AD=AE,

連接BE,點M,N、P分別為DE、BE、BC的中點.

(I)觀察猜想

圖1中，線段NM、NP的數(shù)量關(guān)系是,4MNP的大小為；

(2)探究證明

把△4CE繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置，連接MP,BD、CE,判斷△MNP的形狀，并說

明理由；

(3)拓展延伸

把△力CE繞點A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若AD=1,AB=3,請求出△MNP面積的最大值.

【答案】⑴由題意知：AB=AC,AD=AE,且點M、N、P分別為DE、BE、BC的中點，

，BD=CE,MNnBD,NP〃CE,MN=|BD,NP=1EC

.?.MN=NP

又〈MN〃BD,NP〃CE,ZA=120°,AB=AC,

AZMNE=ZDBE,ZNPB=ZC,ZABC=ZC=30°

根據(jù)三角形外角和定理，

得NENP=NNBP+NNPB

VNMNP=NMNE+NENP,ZENP=ZNBP+ZNPB,

ZNPB=ZC,ZMNE=ZDBE,

AZMNP=ZDBE+ZNBP+ZC

=ZABC+ZC=60°.

(2)解：aMNP是等邊三角形.

理由如下：

如圖，由旋轉(zhuǎn)可得NBAD=4CAE

在△ABD和△ACE中

AB=AC

{△BAD=ZCAE

AD=AE

ABDSAACE(SAS)

:.BD=CE,zABD=zACE.

???點M、N分別為DE、BE的中點，

MN是AEBD的中位線，

???MN=；BD且MN//BD

同理可證PN=1CE且PN//CE

???MN=PN,ZMNE=ZDBE,4NPB=zECB

VzMNE=zDBE=zABD+zABE=zACE+zABE

zENP=zEBP+zNPB=zEBP+zECB

:.4MNP=ZMNE+ZENP=zACE+zABE+zEBP+zECB

=ZABC+ZACB=60°.

在2\MNP中

VZMNP=60°,MN=PN

/.△MNP是等邊三角形.

(3)解：根據(jù)題意得：BD<AB+AD

即BD<4,從而MN<2

△MNP的面積M—MN=—MN2.

=12N-24

二△MNP面積的最大值為V3.

11.在平面直角坐標系xoy中，等腰直角△力BC的直角頂點C在y軸上，另兩個頂點A,8在x軸上,

(1)求拋物線所表示的二次函數(shù)表達式.

(2)過原點任作直線/交拋物線于M,N兩點，如圖2所示.

①求△CMN面積的最小值.

②已知Q(l,-|)是拋物線上一定點，問拋物線上是否存在點尸，使得點尸與點Q關(guān)于直線/對稱，若

存在，求出點尸的坐標及直線/的一次函數(shù)表達式；若不存在，請說明理由.

【答案】(1)解：設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c,

在等腰Rt△ABC中，0C垂直平分AB,且AB=4,

???0A=OB=0C=2.

???A(-2,0)B(2,0)C(0,-2)

4a+2b+c=0

{4a—2b+c=0,

c=-2

_1

解得：{:二

c=-2

拋物線的解析式為y=1x2-2

(2)解：①設(shè)直線1的解析式為y=kx,交點M(X“2),N(x2,y2)

12n

由｛y=ix2，

y=kx

可得]x2—kx-2=0,

/.Xi+X2=2k,Xi-x2=-4.

22

(Xi-x2)=(Xi+x2)—4X1X2=4k2+16,

2

**?|xi—x2|=2Vk+4.

2

??S^CMN=SAOCM+SAQCN=I-OC?|xx—x2|=2Vk+4.

???當k=0時，取最小值4.

*,*S&CMN的最小值是4.

②假設(shè)拋物線上存在點P(m*m2-2)，使得點P與點Q關(guān)于直線1對稱,

222

:.OP=OQ,即JM+(|)3=Jm+(|m-2),

解得：m[=百，m2=—V3,m3=1?m4=-1

;m3=1,m4=-1,(不合題意，舍去.)

當g=百時，點P(V3,-|),線段PQ的中點為(萼，一1).

?1+V3,1

??---k=-1,

2

k=一品=1-6.

?,?直線1的表達式為：y=(1-V3)x.

當mi=-V5時，點P(-V3,-i),線段PQ的中點為(1^,-1).

??---K=-1，

2

??k=-f=l+6.

，直線1的表達式為：y=(1+V3)x

綜上：點P(V3,—,y=(1—V3)x或點P(—\/3,—1),y=(1+V3)x.

12.如圖，在平面直角坐標系中，XAOB的頂點0是坐標原點，點A的坐標為(4,4),點B的坐標為

(6,0),動點P從O開始以每秒1個單位長度的速度沿y軸正方向運動，設(shè)運動的時間為1秒(0<t<4),

過點P作PN/X軸，分別交AO.AB于點M,N.

(1)填空：AO的長為,AB的長為

(2)當t=1時，求點N的坐標：

(3)請直接寫出MN的長為(用含t的代數(shù)式表示)；

(4)點E是線段MN上一動點(點E不與點M.N重合)，^AOE和△4BE的面積分別表示為S1和

S2,當t=g時，請直接寫出ST-S2(即S］與S2的積)的最大值為.

【答案】(1)..?點A的坐標為(4,4)，點B的坐標為(6,0)，

?*-AO=V42+42=4A/2，AB=-y42+(6—4)2=2V5>

故答案為：4V2，2V5;

(2)解：設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b(k*0),將A(4,4),B(6,0)代入得：

｛丁普考，解得仁二，

0=6k+bb=12

??y—2x+12,

由題意可知點N的縱坐標為1,

.,.令y=1得1=-2x+12,解得x=y,

，N號,1)；

(3?動點P從0開始以每秒1個單位長度的速度沿y軸正方向運動，運動的時間為t秒,

MN到OB的距離為t,

???△AMN的IWJ為4-t,

，AAMN與AAOB的高之比為—,