《機器人技術-建模、仿真及應用》課件 第三章速度與靜力學

ROBOT機器人技術——建模、仿真及應用速度與靜力學第三章目錄機器人連桿速度PART.1

雅可比矩陣PART.2靜力學PART.3機器人連桿速度PART.1機器人連桿速度操作臂是一個鏈式結構，每一個連桿的運動都與它的相鄰桿有關。由基坐標系依次計算各連桿的速度，連桿

的速度就是連桿

的速度加上那些附加到關節(jié)

上的新的速度分量。連桿角速度就等于連桿

的角速度加上一個由于連桿

的角速度引起的分量，參照坐標系

描述關系可寫成：注意：通過旋轉矩陣繞關節(jié)

的旋轉軸進旋轉變換，變換為在坐標系

中的描述后，將兩個角速度分量相加。在上式兩邊同時左乘

得到連桿

的角速度相對于

坐標的表達式:機器人連桿速度坐標系

原點的線速度等于坐標系

原點線速度加上一個由于連桿

的角速度引起的新的分量。由于

在坐標系

中是常數(shù)，因此有：同時左乘對于關節(jié)

為移動關節(jié)的情況，相應的關系為：如圖a）所示是具有兩個轉動關節(jié)的操作臂。計算出操作臂末端的速度，將它表達成關節(jié)速度的函數(shù)。給出兩種形式的解答，一種是用坐標系{3}表示的，另一種是用坐標系{0}表示的。例解：運用式

和式

從基坐標系{0}開始依次計算出每個坐標系原點的速度，其中基坐標系的速度為0，由于式

和式

將應用到連桿變換，因此先將它們計算如下：注意上式關節(jié)3的轉角恒為0°。坐標系{2}與坐標系{3}之間的變換不必轉化成標準的連桿變換形式。對各連桿使用連桿速度公式，計算如下：機器人連桿速度如圖b）所示坐標系{3}固連于操作臂末端，求用坐標系{3}表示的該坐標系原點的速度。對于這個問題的第二部分，求用坐標系{0}表示的這些速度。同以前一樣，首先將坐標系固連在連桿上（如圖b）。例b）解：式

即為坐標系{3}表示的該坐標系原點的速度。同時，坐標系{3}的角速度由式

給出。為了得到這些速度相對于固定基坐標系的表達，用旋轉矩陣對它們作旋轉變換，即：通過這個變換可以得到：機器人連桿速度雅可比矩陣PART.2雅可比矩陣雅克比矩陣可將單個關節(jié)的微分運動或速度轉換為感興趣點的微分運動或速度，也可將單個關節(jié)的運動與整個機構的運動聯(lián)系起來。意義：二自由度平面關節(jié)型機器人(2R機器人)，端點位置X、Y與關節(jié)θ1、θ2的關系:例即：雅可比是一個把關節(jié)速度向量變換為手爪相對基坐標的廣義速度向量v的變換矩陣。雅可比矩陣將其微分得寫成矩陣形式令式中d=Jdθ雅可比矩陣對于n自由度機器人，關節(jié)變量可用廣義關節(jié)變量q表示，q=[q1，q2，…qn]。轉動關節(jié)：qi=θi，移動關節(jié)：qi=didq=[dq1，dq2，…dqn]，反映關節(jié)空間的微小運動。機器人末端在操作空間的位置和方位用末端手爪位姿X表示，是關節(jié)變量的函數(shù)，X=X(q)，為6維列矢量。dX=[dX，dY，dZ，△φX，△φY，△φZ]反映操作空間微小運動，由機器人末端微小線位移和微小角位移(微小轉動)組成。雅可比矩陣因此，J(q)—為n自由度機器人速度雅可比，是6xn維偏導數(shù)矩陣，可表示為J(q)雅可比矩陣利用機器人速度雅可比可對機器人進行速度分析，左、右兩邊同時除以dt得：或表示為：v—機器人末端在操作空間中的廣義速度—機器人關節(jié)在關節(jié)空間中的關節(jié)速度J(q)—確定關節(jié)空間速度與操作空間速度v之間關系的雅可比矩陣。雅可比矩陣2R機器人的J(q)是2x2矩陣，若令J1，J2分別為雅可比的第1列矢量和第2列矢量，則原式可寫為：總的端點速度v為這兩個速度矢量的合成。因此，機器人速度雅可比的每一列表示其他關節(jié)不動而某一關節(jié)運動產生的端點速度。

——僅由第一個關節(jié)運動引起的端點速度;

——僅由第二個關節(jié)運動引起的端點速度;雅可比矩陣二自由度機器人手部的速度為：反之，若給定機器人手部速度，相應的關節(jié)速度為：假如已知的及是時間的函數(shù)，即，，則機器手部瞬時速度為：——機器人逆速度雅可比。如圖二自由度機械手，手部沿固定坐標系X0軸正向以1.0m/s速度移動，桿長為l1=l2=0.5m。設在某瞬時θ1=30o，θ2=-60o

，求相應瞬時的關節(jié)速度。例二自由度機器人速度雅可比為：逆雅可比為：雅可比矩陣雅可比矩陣如圖二自由度機械手，手部沿固定坐標系X0軸正向以1.0m/s速度移動，桿長為l1=l2=0.5m。設在某瞬時θ1=30o，θ2=-60o

，求相應瞬時的關節(jié)速度。例由于，可得且，即vX=1m/s，vY=0，因此對于平面運動的機器人，矩陣J的行數(shù)恒為3，列數(shù)為機械手的關節(jié)數(shù)目，手的廣義位置向量[X，Y，φ]T均容易確定，且方位φ與角運動的形成順序無關，可采用直接微分法求φ，非常方便。三維空間作業(yè)的六自由度機器人的雅可比矩陣J

行數(shù)恒為6(沿/繞基坐標系的變量共6個)。前三行代表手部線速度與關節(jié)速度的傳遞比后三行代表手部角速度與關節(jié)速度的傳遞比每列代表相應關節(jié)速度對手部線速度和角速度的傳遞比雅可比矩陣如果希望工業(yè)機器人手部在空間按規(guī)定的速度進行作業(yè)，則應計算出沿路徑每一瞬時相應的關節(jié)速度。當雅可比的秩非滿秩時，求解逆速度雅可比J

–1較困難，甚至可能出現(xiàn)奇異解，相應操作空間的點為奇異點，無法解出關節(jié)速度，機器人處于退化位置。雅可比矩陣內部奇異形位

兩個或兩個以上關節(jié)軸線重合時，機器人各關節(jié)運動相互抵消，不產生操作運動。這時相應的機器人形位稱為內部奇異形位。機器人的奇異形位分為兩類：邊界奇異形位當機器人臂全部伸展開或全部折回時，使手部處于機器人工作空間的邊界上或邊界附近出現(xiàn)逆雅可比奇異，機器人運動受到物理結構的約束。這時相應的機器人形位稱為邊界奇異形位。機器人處在奇異形位時會產生退化現(xiàn)象，喪失一個或更多自由度。意味著在工作空間的某個方向上，不管怎樣選擇機器人關節(jié)速度，手部也無法實現(xiàn)移動。雅可比矩陣上例中當l1l2s2＝0時無解。例由于l1≠0，l2≠0，則在θ2＝0或θ2＝180°時，二自由度工業(yè)機器人逆速度雅可比J-1奇異。此時機器人二臂完全伸直，或完全折回，即兩桿重合，工業(yè)機器人處于奇異形位。此奇異形位下，手部處與工作域的邊界上，該瞬時手部僅能沿著一個方向(即與臂垂直的方向)運動，不能沿其它方向運動，退化一個自由度。雅可比矩陣如圖所示的平面三連桿機械臂，求其雅可比矩陣。例解：平面三連桿機械臂的雅可比矩陣表示為：轉動關節(jié)軸的單位矢量在坐標系{0}的投影為。不同連桿的位置矢量在坐標系{0}的投影分別計算如下：根據如上位置矢量關系可計算出雅可比矩陣，由于只有3個非零矢量是相關的，故平面三連桿機械臂的雅可比矩陣如下：雅可比矩陣如圖所示的二自由度機械手，底座與地板固定。該機械手桿長、都為0.5，關節(jié)角

1°、1111

°，機械手沿固定坐標系1以速度1恒定移動，輸出相應關節(jié)角速率，對其進行仿真計算。解：按所給條件進行仿真計算如下：L1=0.5；L2=0.5；vx=1；vy=0theta1(1)=30theta2(1)=-60fori=1:6t=0ift<6J=[-L1*sind(theta1(i))-L2*sind(theta1(i)+theta2(i)),-L2*sind(theta1(i)+theta2(i));L1*cosd(theta1(i))+L2*cosd(theta1(i)+theta2(i)),L2*cosd(theta1(i)+theta2(i))]p=inv(J)*[vx;vy]w1(i)=p(1,1)*180/piw2(i)=p(2,1)*180/pii=i+1t=t+1theta1(i)=p(1,1)*180/pitheta2(i)=p(2,1)*180/piendendt=[0,1,2,3,4,5]plot(t,w1,'r',t,w2,'b')gridon;title('關節(jié)角速率');例關節(jié)角速率輸出圖雅可比矩陣靜力學PART.3機器人工作狀態(tài)下與環(huán)境之間產生相互作用的力和力矩。機器人各關節(jié)的驅動裝置為關節(jié)提供力和力矩，通過連桿傳遞至末端執(zhí)行器，克服外界作用力和力矩。關節(jié)驅動力和力矩與末端執(zhí)行器施加的力和力矩之間的關系是機器人操作臂力控制的基礎。靜力學靜力學為相鄰桿件所施加的力和力矩定義以下特殊的符號：為連桿

施加在連桿

上的力。為連桿

施加在連桿

上的力矩。如圖所示為施加在連桿上的靜力和靜力矩（除了重力以外）。將這些力相加并令其和為0，有：將坐標系{}原點的力矩相加，有：靜力學從末端連桿到基座進行計算就可以計算出作用于每一根連桿上的力和力矩，從高序號連桿向低序號連桿進行迭代求解，結果如下：用坐標系

相對于坐標系

描述的旋轉矩陣進行變換，就得到了最重要的連桿之間的靜力“傳遞”公式：為了求出保持系統(tǒng)靜平衡所需的關節(jié)力矩，應計算關節(jié)軸矢量和施加在連桿上的力矩矢量的點積：是移動關節(jié)的情況，可以計算出關節(jié)驅動力為：靜力學例L1=0.5；L2=0.5Fx=4；Fy=3theta1(1)=30theta2(1)=-60fori=1:6t=0ift<6J=[-L1*sind(theta1(i))-L2*sind(theta1(i)+theta2(i)),-L2*sind(theta1(i)+theta2(i));L1*cosd(theta1(i))+L2*cosd(theta1(i)+theta2(i)),L2*cosd(theta1(i)+theta2(i))]q1(i)=J(1,1)*Fx+J(2,1)*Fy如圖所示的二自由度機械手，底座與地板固定。該機械手桿長、都為0.5，關節(jié)角111°、1111°，機械手端點力為11111，11輸出相應的關節(jié)力矩，對其進行仿真計算。q2(i)=J(1,2)*Fx+J(2,2)*Fyp=J.'*[Fx;Fy]i=i+1t=t+1theta1(i)=p(1,1)*180/pitheta2(i)=p(2,1)*180/piendendt=[0,