2023屆四川省眉山市高三第一次診斷性考試數(shù)學(文)試題（解析版）

高三模擬試題PAGEPAGE1眉山市高中2023屆第一次診斷性考試數(shù)學（文史類）注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題〖答案〗后，用鉛筆把答題卡上對應題目的〖答案〗標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它〖答案〗標號.回答非選擇題時，將〖答案〗寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1已知集合，，則=（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗根據(jù)一元二次不等式的解法先求出集合，再利用集合的交集運算即可求解.〖詳析〗因為，又因為，所以，故選：2.已知為虛數(shù)單位，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗利用復數(shù)的四則運算即可求解.〖詳析〗因，故選：.3.采購經(jīng)理指數(shù)（PMI），是通過對企業(yè)采購經(jīng)理的月度調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計匯總、編制而成的指數(shù)，它涵蓋了企業(yè)采購、生產(chǎn)、流通等各個環(huán)節(jié)，包括制造業(yè)和非制造業(yè)領(lǐng)域，是國際上通用的檢測宏觀經(jīng)濟走勢的先行指數(shù)之一，具有較強的預測、預警作用．制造業(yè)PMI高于時，反映制造業(yè)較上月擴張；低于，則反映制造業(yè)較上月收縮．下圖為我國2021年1月—2022年6月制造業(yè)采購經(jīng)理指數(shù)（PMI）統(tǒng)計圖．根據(jù)統(tǒng)計圖分析，下列結(jié)論最恰當?shù)囊豁棡椋ǎ〢.2021年第二、三季度的各月制造業(yè)在逐月收縮B.2021年第四季度各月制造業(yè)在逐月擴張C.2022年1月至4月制造業(yè)逐月收縮D.2022年6月PMI重回臨界點以上，制造業(yè)景氣水平呈恢復性擴張〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗根據(jù)題意，將各個月的制造業(yè)指數(shù)與比較，即可得到〖答案〗.〖詳析〗對于A項，由統(tǒng)計圖可以得到，只有9月份的制造業(yè)指數(shù)低于，故A項錯誤；對于B項，由統(tǒng)計圖可以得到，10月份的制造業(yè)指數(shù)低于，故B項錯誤；對于C項，由統(tǒng)計圖可以得到，1、2月份的制造業(yè)指數(shù)高于，故C項錯誤；對于D項，由統(tǒng)計圖可以得到，從4月份的制造業(yè)指數(shù)呈現(xiàn)上升趨勢，且在2022年6月PMI超過，故D項正確.故選：D.4.已知函數(shù)，則的圖象（）A.關(guān)于直線對稱 B.關(guān)于點對稱 C.關(guān)于直線對稱 D.關(guān)于原點對稱〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗求出以及的表達式，根據(jù)函數(shù)的對稱性，即可判斷各項，得到結(jié)果.〖詳析〗對于A項，由已知可得，，所以的圖象關(guān)于直線對稱，故A項正確；對于B項，因為，則，故B項錯誤；對于C項，，則，故C錯誤；對于D項，因為，則，故D錯誤.故選:A.〖『點石成金』〗設(shè)的定義域為.對于，若恒成立，則的圖象關(guān)于直線對稱；對于，若恒成立，則的圖象關(guān)于點對稱.5.如圖，網(wǎng)格紙上繪制的是一個多面體的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長為1，則構(gòu)成該多面體的面中最大的面積為（）A. B.9 C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗根據(jù)三視圖可得多面體為三棱錐，結(jié)合條件及正方體的性質(zhì)即得.〖詳析〗由三視圖可得該多面體為三棱錐，借助棱長為3的正方體畫出三棱錐，如圖，則，所以，，，，所以構(gòu)成該多面體的面中最大的面積為.故選：D.6.已知命題p：，，命題q：，使得，則下列命題是真命題的為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗首先判斷命題與命題的真假，然后逐一判斷四個選項復合命題的真假.〖詳析〗對于命題，當時，，故命題為假命題；對于命題，當時，，故命題為真命題.因此為假命題；為假命題，為真命題，為真命題；為真命題，為假命題，為假命題；為假命題.故選：B7.某班有包括甲、乙在內(nèi)的4名學生到2個農(nóng)場參加勞動實踐活動，且每個學生只能到一個農(nóng)場，每個農(nóng)場2名學生.則甲、乙兩名學生被安排在不同農(nóng)場的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗根據(jù)已知條件，結(jié)合列舉法和古典概型的概率公式，即可求解．〖詳析〗解：記四名學生為甲、乙為，，另外2名學生為，，兩個農(nóng)場為，，則分配方案為：農(nóng)場，農(nóng)場；農(nóng)場，農(nóng)場；農(nóng)場，農(nóng)場；農(nóng)場，農(nóng)場；農(nóng)場，農(nóng)場；農(nóng)場，農(nóng)場，共6種，甲、乙兩名學生被安排在不同農(nóng)場的分配方案為：農(nóng)場，農(nóng)場；農(nóng)場，農(nóng)場；農(nóng)場，農(nóng)場；農(nóng)場，農(nóng)場，共4種，故甲、乙兩名學生被安排在不同農(nóng)場的概率為.故選：C.8.如圖所示的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學家楊輝所著的《詳析九章算法》中，后人稱為“三角垛”．“三角垛”最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，…．如圖所示的程序框圖，輸出的S即為小球總數(shù)，則（）A.35 B.56 C.84 D.120〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗設(shè)第層小球個數(shù)為，根據(jù)程序框圖可知，輸出的，求出各個數(shù)即可得到.〖詳析〗設(shè)第層小球個數(shù)為，由題意可知，.根據(jù)程序框圖可知，輸出的，又，，，，，，所以.故選：B.9.過拋物線的焦點F且傾斜角為銳角的直線與C交于兩點A，B（橫坐標分別為，，點A在第一象限），為C的準線，過點A與垂直的直線與相交于點M．若，則（）A.3 B.6 C.9 D.12〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗由已知可求得直線的斜率為，則直線的方程為，聯(lián)立直線與拋物線的方程，可求出，，即可解得結(jié)果.〖詳析〗設(shè)直線的斜率為，傾斜角為，.由拋物線的定義知，，又，所以為等邊三角形，且軸，所以，則.，則直線的方程為，聯(lián)立直線的方程與拋物線的方程，可得，解得，，顯然，所以，，所以，.故選：C.10.已知，則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗以為整體，利用誘導公式和二倍角的余弦公式運算求解.〖詳析〗∵，故選：D.11.已知橢圓C：的左焦點為，直線與C交于點M，N.若，，則橢圓C的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗由橢圓的對稱性可知：四邊形為平行四邊形，結(jié)合橢圓的定義并在中利用余弦定理求出關(guān)于的值，進而可求出離心率.〖詳析〗設(shè)橢圓C的右焦點為，如圖，連接，因為為的中點，所以四邊形為平行四邊形，所以，，由橢圓的定義可得：，又因為，所以，又因為，所以，在中，由余弦定理可得：，也即，因為，所以，所以橢圓的離心率，故選：.12.設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗先比較，的大小，構(gòu)造函數(shù)，求，根據(jù)與0的符號關(guān)系來確定的增減性，進而求得，再把代入即可得到；比較，的大小，根據(jù)當時，有，再把代入即可得到，從而即可得解．〖詳析〗令，則，當，，此時單調(diào)遞增，當，，此時單調(diào)遞減，所以，所以，即，所以；又設(shè)，恒成立，∴當，單調(diào)遞減，當時，有，則，所以，綜上可得．故選：D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知向量，，若，則實數(shù)的值為______.〖答案〗〖解析〗〖祥解〗根據(jù)平面向量的數(shù)量積坐標運算，由，得數(shù)量積為0，即可求得實數(shù)的值.詳析〗解：已知向量，，若，則，解得：.故〖答案〗為：.14.若x，y滿足約束條件，則的最大值為______．〖答案〗8〖解析〗〖祥解〗作出可行域，通過平行確定的最大值.〖詳析〗如圖，作出不等式組所表示的平面區(qū)域，聯(lián)立方程，解得，即，由，即表示斜率，橫截距為的直線，通過平移可得當直線過點C時，橫截距最大，即最大，故.故〖答案〗為：8.15.若函數(shù)的一個零點為，則A=______；=______.〖答案〗①.②.〖解析〗〖祥解〗根據(jù)是函數(shù)的零點，代入即可求出的值，然后再將代入即可求解.〖詳析〗因為是函數(shù)的一個零點，所以，解得：，所以函數(shù)，則有，故〖答案〗為：；.16.如圖，在長方體中，底面為正方形，E，F(xiàn)分別為，CD的中點，點G是棱上靠近的三等分點，直線BE與平面所成角為.給出以下4個結(jié)論：①平面；②；③平面平面；④B，E，F(xiàn)，G四點共面.其中，所有正確結(jié)論的序號為______.〖答案〗①②③〖解析〗〖祥解〗設(shè)，由題可得，然后根據(jù)線面平行的判定定理可判斷①，根據(jù)長方體的性質(zhì)結(jié)合條件可得，進而可判斷②，根據(jù)線面角的概念可得，進而可得，然后根據(jù)線面垂直及面面垂直的判定定理可判斷③，根據(jù)條件可作出過的平面，進而可判斷④.〖詳析〗設(shè)，連接，則，又，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，故①正確；連接，因為底面為正方形，所以，所以，又，，所以，故②正確；由題可知平面，所以為直線BE與平面所成角，即，則，，所以，又平面，平面，所以，又平面，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，故③正確；延長交的延長線于，連接交于，連接，則B，E，F(xiàn)確定平面，由，可得，又點是棱上靠近的三等分點，所以平面，故④錯誤，所以所有正確結(jié)論的序號為①②③.故〖答案〗為：①②③.三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.某企業(yè)為改進生產(chǎn)，現(xiàn)某產(chǎn)品及成本相關(guān)數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計．現(xiàn)收集了該產(chǎn)品的成本費y（單位：萬元/噸）及同批次產(chǎn)品生產(chǎn)數(shù)量x（單位：噸）的20組數(shù)據(jù)．現(xiàn)分別用兩種模型①，②進行擬合，據(jù)收集到的數(shù)據(jù)，計算得到如下值：14.50.086650.04-4504表中，．若用刻畫回歸效果，得到模型①、②的值分別為，．（1）利用和比較模型①、②的擬合效果，應選擇哪個模型？并說明理由；（2）根據(jù)（1）中所選擇的模型，求y關(guān)于x的回歸方程；并求同批次產(chǎn)品生產(chǎn)數(shù)量為25（噸）時y的預報值．附：對于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計分別為，．〖答案〗（1）選擇模型②，理由見〖解析〗；（2）6.〖解析〗〖祥解〗（1）根據(jù)已知，根據(jù)的意義，即可得出模型②的擬合效果好，選擇模型②；（2）與可用線性回歸來擬合，有，求出系數(shù)，得到回歸方程，即可得到成本費與同批次產(chǎn)品生產(chǎn)數(shù)量的回歸方程為，代入，即可求出結(jié)果.〖小問1詳析〗應該選擇模型②.由題意可知，，則模型②中樣本數(shù)據(jù)的殘差平方和比模型①中樣本數(shù)據(jù)的殘差平方和小，即模型②擬合效果好.〖小問2詳析〗由已知，成本費與可用線性回歸來擬合，有.由已知可得，，所以，則關(guān)于的線性回歸方程為.成本費與同批次產(chǎn)品生產(chǎn)數(shù)量的回歸方程為，當（噸）時，（萬元/噸）.所以，同批次產(chǎn)品生產(chǎn)數(shù)量為25（噸）時y的預報值為6萬元/噸.18.已知為等差數(shù)列，且，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列滿足：，的前n項和為，求成立的n的最大值.〖答案〗（1）（2）7〖解析〗〖祥解〗（1）代入公式求出公差即可求通項公式；（2）代入等比數(shù)列的前項和公式即可.〖小問1詳析〗設(shè)數(shù)列的公差為：，，，.，即.〖小問2詳析〗，，，數(shù)列為等比數(shù)列，所以由，即，化簡得：，解得，，所以，要使成立的n的最大值為：7.19.已知的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且.（1）求角A的大?。唬?）若，且的面積為，求的周長.〖答案〗（1）（2）〖解析〗〖祥解〗（1）由已知等式可得，結(jié)合正弦定理與三角形內(nèi)角關(guān)系可求得，即可得角A的大?。?）由三角形得面積公式可得，又結(jié)合余弦定理得，從而得的周長.〖小問1詳析〗解：由題意有，即有，由正弦定理得：，又，所以，則，所以；〖小問2詳析〗解：由（1）知，因為，且的面積為，由得：，所以，由余弦定理得：，所以，所以的周長為.20.如圖，在三棱柱中，側(cè)面為正方形，平面ABC，，，E，F(xiàn)分別為棱AB和的中點.（1）在棱上是否存在一點D，使得平面EFC？若存在，確定點D的位置，并給出證明；若不存在，試說明理由；（2）求三棱錐的體積.〖答案〗（1）〖答案〗見〖解析〗；（2）.〖解析〗〖祥解〗（1）的中點D，的中點M，可證明，，根據(jù)面面平行的判定定理可得平面平面，即可證明平面；（2）點到的距離為，根據(jù)等面積法可求，由面面垂直的性質(zhì)可得點到的距離即為點到平面的距離，利用可求解.〖小問1詳析〗存在點D，使得平面EFC.取的中點D，的中點M，連接,則.因為E，F(xiàn)分別為棱AB和的中點，所以,所以.連接,則.因為平面，平面，所以平面平面.因為平面,所以平面.所以存在D(D為中點)，使得平面EFC.〖小問2詳析〗求三棱錐的體積相當于求三棱錐的體積.因為平面ABC，平面，所以平面平面ABC.設(shè)點到的距離為，則有，其中，解得.因為平面平面ABC，平面平面ABC,所以點到的距離即為點到平面的距離,為.在正方形中，，則，,.取的中點，連接,則，所以.所以,所以.所以三棱錐的體積為.21.已知函數(shù).（1）若，求的極值；（2）若，，求a取值范圍.〖答案〗（1）的極小值為，無極大值.（2）〖解析〗〖祥解〗（1）由得，，求導函數(shù)得，根據(jù)，判斷函數(shù)單調(diào)性即可得的極值；（2）求導函數(shù)可得，分別討論當時，當時，函數(shù)的單調(diào)性，確定是否滿足，恒成立，從而可得a的取值范圍.〖小問1詳析〗解：若，則，所以，則當時，，所以在上單調(diào)遞減；當時，，所以在上單調(diào)遞增；所以，當時，取得極小值為，無極大值.〖小問2詳析〗解：由題得，，由于，則當時，可知，函數(shù)單調(diào)遞增，故時，，所以滿足條件；當時，，得，則可得時，，單調(diào)遞減；時，，單調(diào)遞增.所以在區(qū)間上，當時，取得極小值，也即為最小值.由于，恒成立。則，即有，又，所以可得，解得，綜上，a的取值范圍是.〖『點石成金』〗本題考查了函數(shù)與不等式的綜合應用，涉及了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值、利用導數(shù)研究函數(shù)的最值，對于不等式恒成立問題，常見的解法有：參變量分離法、數(shù)形結(jié)合法、最值法等，屬于中檔題．（二）選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.〖選修4-4：坐標系與參數(shù)方程〗22.在直角坐標系中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）．以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立坐標系，曲線C的極坐標方程為，直線l與曲線C相交于A，B兩點，．（1）求曲線C的直角坐標方程；（2）若，求直線l的斜率．〖答案〗（1）（2）〖解析〗〖祥解〗（1）根據(jù)極坐標與直角坐標直角的轉(zhuǎn)化，運算求解；（2）聯(lián)立直線l的參數(shù)方程和曲線C的直角坐標方程，根據(jù)參數(shù)的幾何意義結(jié)合韋達定理運算求解.〖小問1詳析〗∵，則，∴，即，故曲線C的直角坐標方程為.〖小問2詳析〗將直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）代入曲線C的直角坐標方程為，得，整理得，設(shè)A，B兩點所對應的參數(shù)為，則，∵，則，聯(lián)立，解得，將代入得，解得，故直線l的斜率為.〖選修4-5：不等式選講〗23.已知，，且．（1）證明：；（2）若不等式對任意恒成立，求m的取值范圍．〖答案〗（1）證明見詳析（2）〖解析〗〖祥解〗（1）根據(jù)題意可得，代入運算整理，結(jié)合二次函數(shù)的對稱性求最值；（2）根據(jù)題意分析可得，結(jié)合和運算求解.〖小問1詳析〗∵，則，可得，∴，又∵開口向上，對稱軸為，∴當時，，當時，，故.〖小問2詳析〗∵，當且僅當，即時等號成立；∴，又∵，當且僅當時等號成立，∴，解得或，故m的取值范圍為.高三模擬試題PAGEPAGE1眉山市高中2023屆第一次診斷性考試數(shù)學（文史類）注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題〖答案〗后，用鉛筆把答題卡上對應題目的〖答案〗標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它〖答案〗標號.回答非選擇題時，將〖答案〗寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1已知集合，，則=（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗根據(jù)一元二次不等式的解法先求出集合，再利用集合的交集運算即可求解.〖詳析〗因為，又因為，所以，故選：2.已知為虛數(shù)單位，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗利用復數(shù)的四則運算即可求解.〖詳析〗因，故選：.3.采購經(jīng)理指數(shù)（PMI），是通過對企業(yè)采購經(jīng)理的月度調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計匯總、編制而成的指數(shù)，它涵蓋了企業(yè)采購、生產(chǎn)、流通等各個環(huán)節(jié)，包括制造業(yè)和非制造業(yè)領(lǐng)域，是國際上通用的檢測宏觀經(jīng)濟走勢的先行指數(shù)之一，具有較強的預測、預警作用．制造業(yè)PMI高于時，反映制造業(yè)較上月擴張；低于，則反映制造業(yè)較上月收縮．下圖為我國2021年1月—2022年6月制造業(yè)采購經(jīng)理指數(shù)（PMI）統(tǒng)計圖．根據(jù)統(tǒng)計圖分析，下列結(jié)論最恰當?shù)囊豁棡椋ǎ〢.2021年第二、三季度的各月制造業(yè)在逐月收縮B.2021年第四季度各月制造業(yè)在逐月擴張C.2022年1月至4月制造業(yè)逐月收縮D.2022年6月PMI重回臨界點以上，制造業(yè)景氣水平呈恢復性擴張〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗根據(jù)題意，將各個月的制造業(yè)指數(shù)與比較，即可得到〖答案〗.〖詳析〗對于A項，由統(tǒng)計圖可以得到，只有9月份的制造業(yè)指數(shù)低于，故A項錯誤；對于B項，由統(tǒng)計圖可以得到，10月份的制造業(yè)指數(shù)低于，故B項錯誤；對于C項，由統(tǒng)計圖可以得到，1、2月份的制造業(yè)指數(shù)高于，故C項錯誤；對于D項，由統(tǒng)計圖可以得到，從4月份的制造業(yè)指數(shù)呈現(xiàn)上升趨勢，且在2022年6月PMI超過，故D項正確.故選：D.4.已知函數(shù)，則的圖象（）A.關(guān)于直線對稱 B.關(guān)于點對稱 C.關(guān)于直線對稱 D.關(guān)于原點對稱〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗求出以及的表達式，根據(jù)函數(shù)的對稱性，即可判斷各項，得到結(jié)果.〖詳析〗對于A項，由已知可得，，所以的圖象關(guān)于直線對稱，故A項正確；對于B項，因為，則，故B項錯誤；對于C項，，則，故C錯誤；對于D項，因為，則，故D錯誤.故選:A.〖『點石成金』〗設(shè)的定義域為.對于，若恒成立，則的圖象關(guān)于直線對稱；對于，若恒成立，則的圖象關(guān)于點對稱.5.如圖，網(wǎng)格紙上繪制的是一個多面體的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長為1，則構(gòu)成該多面體的面中最大的面積為（）A. B.9 C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗根據(jù)三視圖可得多面體為三棱錐，結(jié)合條件及正方體的性質(zhì)即得.〖詳析〗由三視圖可得該多面體為三棱錐，借助棱長為3的正方體畫出三棱錐，如圖，則，所以，，，，所以構(gòu)成該多面體的面中最大的面積為.故選：D.6.已知命題p：，，命題q：，使得，則下列命題是真命題的為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗首先判斷命題與命題的真假，然后逐一判斷四個選項復合命題的真假.〖詳析〗對于命題，當時，，故命題為假命題；對于命題，當時，，故命題為真命題.因此為假命題；為假命題，為真命題，為真命題；為真命題，為假命題，為假命題；為假命題.故選：B7.某班有包括甲、乙在內(nèi)的4名學生到2個農(nóng)場參加勞動實踐活動，且每個學生只能到一個農(nóng)場，每個農(nóng)場2名學生.則甲、乙兩名學生被安排在不同農(nóng)場的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗根據(jù)已知條件，結(jié)合列舉法和古典概型的概率公式，即可求解．〖詳析〗解：記四名學生為甲、乙為，，另外2名學生為，，兩個農(nóng)場為，，則分配方案為：農(nóng)場，農(nóng)場；農(nóng)場，農(nóng)場；農(nóng)場，農(nóng)場；農(nóng)場，農(nóng)場；農(nóng)場，農(nóng)場；農(nóng)場，農(nóng)場，共6種，甲、乙兩名學生被安排在不同農(nóng)場的分配方案為：農(nóng)場，農(nóng)場；農(nóng)場，農(nóng)場；農(nóng)場，農(nóng)場；農(nóng)場，農(nóng)場，共4種，故甲、乙兩名學生被安排在不同農(nóng)場的概率為.故選：C.8.如圖所示的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學家楊輝所著的《詳析九章算法》中，后人稱為“三角垛”．“三角垛”最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，…．如圖所示的程序框圖，輸出的S即為小球總數(shù)，則（）A.35 B.56 C.84 D.120〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗設(shè)第層小球個數(shù)為，根據(jù)程序框圖可知，輸出的，求出各個數(shù)即可得到.〖詳析〗設(shè)第層小球個數(shù)為，由題意可知，.根據(jù)程序框圖可知，輸出的，又，，，，，，所以.故選：B.9.過拋物線的焦點F且傾斜角為銳角的直線與C交于兩點A，B（橫坐標分別為，，點A在第一象限），為C的準線，過點A與垂直的直線與相交于點M．若，則（）A.3 B.6 C.9 D.12〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗由已知可求得直線的斜率為，則直線的方程為，聯(lián)立直線與拋物線的方程，可求出，，即可解得結(jié)果.〖詳析〗設(shè)直線的斜率為，傾斜角為，.由拋物線的定義知，，又，所以為等邊三角形，且軸，所以，則.，則直線的方程為，聯(lián)立直線的方程與拋物線的方程，可得，解得，，顯然，所以，，所以，.故選：C.10.已知，則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗以為整體，利用誘導公式和二倍角的余弦公式運算求解.〖詳析〗∵，故選：D.11.已知橢圓C：的左焦點為，直線與C交于點M，N.若，，則橢圓C的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗由橢圓的對稱性可知：四邊形為平行四邊形，結(jié)合橢圓的定義并在中利用余弦定理求出關(guān)于的值，進而可求出離心率.〖詳析〗設(shè)橢圓C的右焦點為，如圖，連接，因為為的中點，所以四邊形為平行四邊形，所以，，由橢圓的定義可得：，又因為，所以，又因為，所以，在中，由余弦定理可得：，也即，因為，所以，所以橢圓的離心率，故選：.12.設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗先比較，的大小，構(gòu)造函數(shù)，求，根據(jù)與0的符號關(guān)系來確定的增減性，進而求得，再把代入即可得到；比較，的大小，根據(jù)當時，有，再把代入即可得到，從而即可得解．〖詳析〗令，則，當，，此時單調(diào)遞增，當，，此時單調(diào)遞減，所以，所以，即，所以；又設(shè)，恒成立，∴當，單調(diào)遞減，當時，有，則，所以，綜上可得．故選：D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知向量，，若，則實數(shù)的值為______.〖答案〗〖解析〗〖祥解〗根據(jù)平面向量的數(shù)量積坐標運算，由，得數(shù)量積為0，即可求得實數(shù)的值.詳析〗解：已知向量，，若，則，解得：.故〖答案〗為：.14.若x，y滿足約束條件，則的最大值為______．〖答案〗8〖解析〗〖祥解〗作出可行域，通過平行確定的最大值.〖詳析〗如圖，作出不等式組所表示的平面區(qū)域，聯(lián)立方程，解得，即，由，即表示斜率，橫截距為的直線，通過平移可得當直線過點C時，橫截距最大，即最大，故.故〖答案〗為：8.15.若函數(shù)的一個零點為，則A=______；=______.〖答案〗①.②.〖解析〗〖祥解〗根據(jù)是函數(shù)的零點，代入即可求出的值，然后再將代入即可求解.〖詳析〗因為是函數(shù)的一個零點，所以，解得：，所以函數(shù)，則有，故〖答案〗為：；.16.如圖，在長方體中，底面為正方形，E，F(xiàn)分別為，CD的中點，點G是棱上靠近的三等分點，直線BE與平面所成角為.給出以下4個結(jié)論：①平面；②；③平面平面；④B，E，F(xiàn)，G四點共面.其中，所有正確結(jié)論的序號為______.〖答案〗①②③〖解析〗〖祥解〗設(shè)，由題可得，然后根據(jù)線面平行的判定定理可判斷①，根據(jù)長方體的性質(zhì)結(jié)合條件可得，進而可判斷②，根據(jù)線面角的概念可得，進而可得，然后根據(jù)線面垂直及面面垂直的判定定理可判斷③，根據(jù)條件可作出過的平面，進而可判斷④.〖詳析〗設(shè)，連接，則，又，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，故①正確；連接，因為底面為正方形，所以，所以，又，，所以，故②正確；由題可知平面，所以為直線BE與平面所成角，即，則，，所以，又平面，平面，所以，又平面，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，故③正確；延長交的延長線于，連接交于，連接，則B，E，F(xiàn)確定平面，由，可得，又點是棱上靠近的三等分點，所以平面，故④錯誤，所以所有正確結(jié)論的序號為①②③.故〖答案〗為：①②③.三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.某企業(yè)為改進生產(chǎn)，現(xiàn)某產(chǎn)品及成本相關(guān)數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計．現(xiàn)收集了該產(chǎn)品的成本費y（單位：萬元/噸）及同批次產(chǎn)品生產(chǎn)數(shù)量x（單位：噸）的20組數(shù)據(jù)．現(xiàn)分別用兩種模型①，②進行擬合，據(jù)收集到的數(shù)據(jù)，計算得到如下值：14.50.086650.04-4504表中，．若用刻畫回歸效果，得到模型①、②的值分別為，．（1）利用和比較模型①、②的擬合效果，應選擇哪個模型？并說明理由；（2）根據(jù)（1）中所選擇的模型，求y關(guān)于x的回歸方程；并求同批次產(chǎn)品生產(chǎn)數(shù)量為25（噸）時y的預報值．附：對于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計分別為，．〖答案〗（1）選擇模型②，理由見〖解析〗；（2）6.〖解析〗〖祥解〗（1）根據(jù)已知，根據(jù)的意義，即可得出模型②的擬合效果好，選擇模型②；（2）與可用線性回歸來擬合，有，求出系數(shù)，得到回歸方程，即可得到成本費與同批次產(chǎn)品生產(chǎn)數(shù)量的回歸方程為，代入，即可求出結(jié)果.〖小問1詳析〗應該選擇模型②.由題意可知，，則模型②中樣本數(shù)據(jù)的殘差平方和比模型①中樣本數(shù)據(jù)的殘差平方和小，即模型②擬合效果好.〖小問2詳析〗由已知，成本費與可用線性回歸來擬合，有.由已知可得，，所以，則關(guān)于的線性回歸方程為.成本費與同批次產(chǎn)品生產(chǎn)數(shù)量的回歸方程為，當（噸）時，（萬元/噸）.所以，同批次產(chǎn)品生產(chǎn)數(shù)量為25（噸）時y的預報值為6萬元/噸.18.已知為等差數(shù)列，且，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列滿足：，的前n項和為，求成立的n的最大值.〖答案〗（1）（2）7〖解析〗〖祥解〗（1）代入公式求出公差即可求通項公式；（2）代入等比數(shù)列的前項和公式即可.〖小問1詳析〗設(shè)數(shù)列的公差為：，，，.，即.〖小問2詳析〗，，，數(shù)列為等比數(shù)列，所以由，即，化簡得：，解得，，所以，要使成立的n的最大值為：7.19.已知的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且.（1）求角A的大?。唬?）若，且的面積為，求的周長.〖答案〗（1）（2）〖解析〗〖祥解〗（1）由已知等式可得，結(jié)合正弦定理與三角形內(nèi)角關(guān)系可求得，即可得角A的大?。?）由三角形得面積公式可得，又結(jié)合余弦定理得，從而得的周長.〖小問1詳析〗解：由題意有，即有，由正弦定理得：，又，所以，則，所以；〖小問2詳析〗解：由（1）知，因為，且的面積為，由得：，所以，由余弦定理得：，所以，所以的周長為.20.如圖，在三棱柱中，側(cè)面為正方形，平面ABC，，，E，F(xiàn)分別為棱AB和的中點.（1）在棱上是否存在一點D，使得平面EFC？若存在，確定點D的位置，并給出證明；若不存在，試說明理由；（2）求三棱錐的體積.〖答案〗（1）〖答案〗見〖解析〗；（2）.〖解析〗〖祥解〗（1）的中點D，的中點M，可證明，，根據(jù)面面平行的判定定理可得平面平面，即可證明平面；（2）點到的距離為，根據(jù)等面積法可求，由面面垂直的性質(zhì)可得點到的距離即為點到平面的距離，利用可求解.〖小問1詳析〗存在點D，使得平面EFC.取的中點D，的中點M，連接,