2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第1章數(shù)列3.2第1課時(shí)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和講義教案北師大版必修5

PAGE1-3．2等比數(shù)列的前n項(xiàng)和第1課時(shí)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1．駕馭等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及其應(yīng)用．(重點(diǎn)、易混點(diǎn))2．會(huì)用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和．(重點(diǎn)、難點(diǎn))3．能運(yùn)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式解決一些簡潔的實(shí)際問題．(重點(diǎn))1．通過等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)，培育邏輯推理的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．2．通過等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．1．等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式閱讀教材P26～P27例5以上部分，完成下列問題．等比數(shù)列前n項(xiàng)和公比已知量適用公式q＝1首項(xiàng)Sn＝na1q≠1首項(xiàng)，公比，項(xiàng)數(shù)Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)首項(xiàng)，公比，末項(xiàng)Sn＝eq\f(a1－anq,1－q)思索：(1)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式中涉及哪些量？[提示]Sn，a1，q，n，an，共五個(gè)量．(2)當(dāng)?shù)缺葦?shù)列的公比q≠1時(shí)，其前n項(xiàng)和公式可化為Sn＝－Aqn＋A的形式，其中的A是什么？[提示]A＝eq\f(a1,1－q)．2．等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)該等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn．公比為q，則Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1①，qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＋a1qn②，①－②得(1－q)Sn＝a1－a1qn．當(dāng)q≠1時(shí)，Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)(q≠1)．又因?yàn)閍n＝a1qn－1，所以上式還可以寫成Sn＝eq\f(a1－anq,1－q)．當(dāng)q＝1時(shí)，Sn＝na1．1．等比數(shù)列{an}中，an＝2n，則它的前n項(xiàng)和Sn＝()A．2n－1 B．2n－2C．2n＋1－1 D．2n＋1－2D[等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為2，公比為2．所以Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)＝eq\f(21－2n,1－2)＝2n＋1－2，故選D．]2．等比數(shù)列1，x，x2，x3，…(x≠0)的前n項(xiàng)和Sn為()A．eq\f(1－xn,1－x) B．eq\f(1－xn－1,1－x)C．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1－xn,1－x)x≠1,nx＝1)) D．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1－xn－1,1－x)x≠1,nx＝1))C[當(dāng)x＝1時(shí)，數(shù)列為常數(shù)列，又a1＝1，所以Sn＝n．當(dāng)x≠1時(shí)，q＝x，Sn＝eq\f(a11－xn,1－x)＝eq\f(1－xn,1－x)．]3．等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝k·3n＋1，則k的值為()A．全體實(shí)數(shù) B．－1C．1 D．3B[當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝3k＋1；當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝k·3n－k·3n－1＝2k·3n－1．令3k＋1＝2k得k＝－1．]4．在等比數(shù)列{an}中，若a1＝1，a4＝eq\f(1,8)，則該數(shù)列的前10項(xiàng)和為________．2－eq\f(1,29)[設(shè)其公比為q，因?yàn)閍1＝1，a4＝a1q3＝eq\f(1,8)．所以q＝eq\f(1,2)．所以S10＝eq\f(1×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,210))),1－\f(1,2))＝2－eq\f(1,29)．]等比數(shù)列前n項(xiàng)和的基本計(jì)算【例1】(1)等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)，其前n項(xiàng)和為Sn，已知S3＝eq\f(7,4)，S6＝eq\f(63,4)，則a8＝________．(2)已知數(shù)列{an}是遞增的等比數(shù)列，a1＋a4＝9，a2a3＝8，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn(3)在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn為{an}的前n項(xiàng)和．若Sn＝126，則n＝________．(1)32(2)2n－1(3)6[(1)設(shè){an}的首項(xiàng)為a1，公比為q，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a11－q3,1－q)＝\f(7,4)，,\f(a11－q6,1－q)＝\f(63,4)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝\f(1,4),q＝2))，所以a8＝eq\f(1,4)×27＝25＝32．(2)因?yàn)閿?shù)列{an}是遞增的等比數(shù)列，a1＋a4＝9，a2·a3＝a1·a4＝8，解得a1＝1，a4＝8，所以q3＝8，q＝2，所以Sn＝eq\f(1－2n,1－2)＝2n－1．(3)∵a1＝2，an＋1＝2an，∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，又∵Sn＝126，∴eq\f(21－2n,1－2)＝126，∴n＝6．]等比數(shù)列前n項(xiàng)和的運(yùn)算技巧1在解決與前n項(xiàng)和有關(guān)的問題時(shí)，首先要對(duì)公比q＝1或q≠1進(jìn)行推斷，若兩種狀況都有可能，則要分類探討.2在等比數(shù)列{an}的五個(gè)量a1，q，an，n，Sn中，a1與q是基本量，在條件與結(jié)論間的聯(lián)系不明顯時(shí)，均可以用a1與q列方程組求解.eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．在等比數(shù)列中．(1)若a1＝1，a5＝16，且q＞0，求S7；(2)若a3＝eq\f(3,2)，S3＝eq\f(9,2)，求a1和公比q．[解](1)因?yàn)閧an}為等比數(shù)列且a1＝1，a5＝16，q＞0，∴a5＝a1q4＝16，∴q＝2(負(fù)值舍去)，∴S7＝eq\f(a11－q7,1－q)＝eq\f(1－27,1－2)＝127．(2)①當(dāng)q≠1時(shí)，S3＝eq\f(a11－q3,1－q)＝eq\f(9,2)，又a3＝a1q2＝eq\f(3,2)，∴a1(1＋q＋q2)＝eq\f(9,2)，即eq\f(\f(3,2),q2)(1＋q＋q2)＝eq\f(9,2)，解得q＝－eq\f(1,2)(q＝1舍去)，∴a1＝6．②當(dāng)q＝1時(shí)，S3＝3a1∴a1＝eq\f(3,2)．綜上得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝6，,q＝－\f(1,2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝\f(3,2)，,q＝1.))等比數(shù)列前n項(xiàng)和的實(shí)際應(yīng)用【例2】新型冠狀病毒擴(kuò)散以來，世界各國都在研制疫苗，某專家認(rèn)為，某種抗病毒藥品對(duì)新型冠狀病毒具有抗病毒、抗炎作用，假如規(guī)定每天早上7：00和晚上7：00各服藥一次，每次服用該藥藥量700毫克具有抗病毒功效，若人的腎臟每12小時(shí)從體內(nèi)濾出這種藥的70%，該藥在人體內(nèi)含量超過1000毫克，就將產(chǎn)生副作用，若人長期服用這種藥，則這種藥會(huì)不會(huì)對(duì)人體產(chǎn)生副作用？[解]由題意第一次服藥后，經(jīng)過12小時(shí)后，體內(nèi)藥物含量700×(1－70%)＝700×30%，經(jīng)過24小時(shí)后，體內(nèi)藥物含量700×(30%)2，以此類推，一次服藥后體內(nèi)藥物含量構(gòu)成以a1＝700，q＝30%為公比的等比數(shù)列，即an＝700×(30%)n－1，所以第n次服藥后，體內(nèi)藥物的含量為：700＋700×0.3＋700×0.32＋…＋700×0.3n－1＝eq\f(700×\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－0.3n)),1－0.3)＝1000×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－0.3n))，當(dāng)n→＋∞時(shí)，藥在體內(nèi)的含量無限接近1000，該藥在人體內(nèi)含量不超過1000毫克，不會(huì)產(chǎn)生副作用．解答數(shù)列應(yīng)用題的步驟,對(duì)于一個(gè)實(shí)際問題，首先要弄清題目中所含的數(shù)量關(guān)系，考察是否可通過建立數(shù)列模型來解決，是否可以轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列的問題，基本思路清楚后再著手解題.要留意：1仔細(xì)審題，弄清題意，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型.2合理設(shè)元，建立等比數(shù)列模型，依據(jù)其性質(zhì)及方程思想求出未知元素，并依據(jù)結(jié)論作出合理說明.3實(shí)際問題解答完成后肯定要有結(jié)論.eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])2．我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈()A．1盞 B．3盞C．5盞 D．9盞B[每層塔所掛的燈數(shù)從上到下構(gòu)成等比數(shù)列，記為{an}，則前7項(xiàng)的和S7＝381，公比q＝2，依題意，得eq\f(a11－27,1－2)＝381，解得a1＝3，選擇B．]等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)[探究問題]1．在等差數(shù)列{an}中，Sm是其前m項(xiàng)和，則Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等差數(shù)列．類比這種性質(zhì)，若{an}是等比數(shù)列，前m項(xiàng)和為Sm(Sm≠0)，則Sm，S2m－Sm，S3m－[提示]設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則Sm＝a1＋a2＋…＋am，S2m－Sm＝am＋1＋am＋2＋…＋a2m＝qm(a1＋a2＋…＋am)＝qmSS3m－S2m＝a2m＋1＋a2m＋2＋…＋a3m＝qm(am＋1＋am＋2＋…＋a2m)＝qm(…所以數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比數(shù)列，公比為2．把等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)(q≠1)化為Sn＝－eq\f(a1,1－q)qn＋eq\f(a1,1－q)，視察qn的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)有何關(guān)系？若一個(gè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和滿意上述關(guān)系，那么數(shù)列{an}是等比數(shù)列嗎？[提示]qn的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)互為相反數(shù)，若一個(gè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和滿意上述關(guān)系，即Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠0且q≠1)，則數(shù)列{an}是等比數(shù)列．【例3】(1)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn＝2，S3n＝14，則S4n＝()A．80 B．30C．26 D．16(2)一個(gè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為1，項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)，其奇數(shù)項(xiàng)的和為85，偶數(shù)項(xiàng)的和為170，則此數(shù)列的公比為________，項(xiàng)數(shù)為________．(3)若{an}是等比數(shù)列，且前n項(xiàng)和為Sn＝3n－1＋t，則t＝________．思路探究：(1)應(yīng)用Sm，S2m－Sm，S3m－S2m(2)依據(jù)所給等式列方程組求解；(3)利用a1，a2，a3是等比數(shù)列求解．(1)B(2)28(3)－eq\f(1,3)[(1)由題意知：Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n成等比數(shù)列，設(shè)公比為q，則S3n＝Sn＋(S2n－Sn)＋(S3n－S2n)＝2×(1＋q＋q2)＝14，解得q＝2，所以S4n－S3n＝2q3＝2×8＝16，S4n＝S3n＋(S4n－S3n)＝14＋16＝30．(2)設(shè)數(shù)列為{an}，其公比為q，項(xiàng)數(shù)為2n，則奇數(shù)項(xiàng)，偶數(shù)項(xiàng)分別組成以q2為公比的等比數(shù)列，又a1＝1，a2＝q，q≠1，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1－q2n,1－q2)＝85，①,\f(q1－q2n,1－q2)＝170，②))由②÷①，得q＝2，所以eq\f(1－4n,1－4)＝85,4n＝256，故得n＝4，故項(xiàng)數(shù)為8．(3)由題目條件Sn＝3n－1＋t得a1＝S1＝1＋t，a2＝S2－S1＝2，a3＝S3－S2＝6，因?yàn)閧an}是等比數(shù)列，故aeq\o\al(2,2)＝a1a3，即4＝6(1＋t)，解得t＝－eq\f(1,3)，閱歷證，當(dāng)t＝－eq\f(1,3)時(shí)，{an}是等比數(shù)列．]1．(變條件)在例3(1)題中，若把條件換為“Sn＝2，S2n＝6”，求S4n[解]設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，首項(xiàng)為a1，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…，成等比數(shù)列，Sn＝2，S2n－Sn＝4，故qn＝2．所以Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)＝2，故得－eq\f(a1,1－q)＝2，即eq\f(a1,1－q)＝－2．S4n＝eq\f(a11－q4n,1－q)＝eq\f(a1[1－qn4],1－q)＝－2×(1－16)＝30．2．(變結(jié)論)例3(1)題的條件不變，求Sn2．[解]設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，首項(xiàng)為a1，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…，成等比數(shù)列，則S3n＝Sn＋(S2n－Sn)＋(S3n－S2n)＝2×(1＋qn＋q2n)＝14，解得qn＝2，由Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)＝2，得eq\f(a1,1－q)＝－2，所以Sn2＝eq\f(a11－qn2,1－q)＝eq\f(a1,1－q)[1－(qn)n]＝－2(1－2n)＝2n＋1－2．等比數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)的應(yīng)用技巧：1在涉及奇數(shù)項(xiàng)和S奇與偶數(shù)項(xiàng)和S偶時(shí)，常考慮其差或比進(jìn)行簡化運(yùn)算.若項(xiàng)數(shù)為2n，則＝qS奇≠0；若項(xiàng)數(shù)為2n＋1，則＝qS偶≠0.2等比數(shù)列前n項(xiàng)和為Sn且Sn≠0，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比數(shù)列，其公比為qnq≠－1.3等比數(shù)列{an}的公比為q，則Sn＋m＝Sn＋qnSm.4若Sn表示數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且Sn＝Aqn－AA≠0，q≠0且q≠1，則數(shù)列{an}是等比數(shù)列.1．等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式共涉及五個(gè)量：a1，q，n，an，Sn，其中a1和q為基本量，且五個(gè)量“知三可求二”；在解決等比數(shù)列問題中，要學(xué)會(huì)用函數(shù)與方程、整體代換的思想方法分析問題，養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣．2．在解等比數(shù)列問題時(shí)，要留意合理應(yīng)用等比數(shù)列的性質(zhì)．3．利用等比數(shù)列解決實(shí)際問題，關(guān)鍵是構(gòu)建等比數(shù)列模型．要確定a1與項(xiàng)數(shù)n的實(shí)際含義，同時(shí)要搞清是求an還是求Sn的問題．1．推斷正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)求數(shù)列a，a2，a3，…，an的和時(shí)可應(yīng)用公式Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)． ()(2)若等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝2n＋a，則a＝1． (