2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1.4生活中的優(yōu)化問題舉例學(xué)案含解析新人教A版選修2-2

PAGE1.4生活中的優(yōu)化問題舉例內(nèi)容標準學(xué)科素養(yǎng)1.通過實例體會導(dǎo)數(shù)在解決實際問題中的應(yīng)用；2.能夠利用導(dǎo)數(shù)解決簡潔的實際生活中的優(yōu)化問題.培育數(shù)學(xué)建模實踐化歸轉(zhuǎn)化提升數(shù)學(xué)運算授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第19頁[基礎(chǔ)相識]學(xué)問點生活中的優(yōu)化問題學(xué)問梳理(1)生活中常常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題通常稱為優(yōu)化問題．(2)利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問題的實質(zhì)是求函數(shù)最值．(3)解決優(yōu)化問題的基本思路：上述解決優(yōu)化問題的過程是一個典型的數(shù)學(xué)建模過程．思索：解決生活中優(yōu)化問題應(yīng)當留意哪些問題？提示：(1)在求實際問題的最大(小)值時，肯定要考慮實際問題的意義，不符合實際意義的值應(yīng)舍去．(2)在實際問題中，有時會遇到函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個點使f′(x)＝0的情形，假如函數(shù)在這點有極大(小)值，那么不將該點處的函數(shù)值與區(qū)間端點處的函數(shù)值比較，也可以知道函數(shù)在該點處取得最大(小)值．(3)在解決優(yōu)化問題時，不僅要留意將問題中涉及的變量關(guān)系用函數(shù)關(guān)系表示出來，還應(yīng)確定出函數(shù)關(guān)系中自變量的定義區(qū)間．[自我檢測]1．已知某生產(chǎn)廠家的年利潤y(單位：萬元)與年產(chǎn)量x(單位：萬件)的函數(shù)解析式為y＝－eq\f(1,3)x3＋81x－234，則使該生產(chǎn)廠家獲得最大年利潤的年產(chǎn)量為()A．13萬件 B．11萬件C．9萬件 D．7萬件解析：y′＝－x2＋81，所以當x＞9時，y′＜0；當x∈(0,9)時，y′＞0，所以函數(shù)y＝－eq\f(1,3)x3＋81x－234在(0,9)上單調(diào)遞增，在(9，＋∞)上單調(diào)遞減，所以x＝9是函數(shù)的極大值點，又因為函數(shù)在(0，＋∞)上只有一個極大值點，所以函數(shù)在x＝9處取得最大值．答案：C2．已知圓柱的表面積為定值S，當圓柱的體積V最大時，圓柱的高h的值為________．解析：設(shè)圓柱的底面半徑為r，底面面積為S1，側(cè)面面積為S2，則S1＝2πr2，S2＝2πrh，所以S＝2πr2＋2πrh，所以h＝eq\f(S－2πr2,2πr)，又圓柱的體積V＝πr2h＝eq\f(r,2)(S－2πr2)＝eq\f(rS－2πr3,2)，V′＝eq\f(S－6πr2,2)，令V′＝0得S＝6πr2，所以h＝2r，因為只有一個極值點，故當h＝2r時圓柱的體積最大．又r＝eq\r(\f(S,6π))，所以h＝2r＝2eq\r(\f(S,6π))＝eq\f(\r(6πS),3π).即當圓柱的體積V最大時，圓柱的高h為eq\f(\r(6πS),3π).答案：eq\f(\r(6πS),3π)授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第19頁探究一面積、容積的最值問題[例1]請你設(shè)計一個包裝盒，如圖，ABCD是邊長為60cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得A，B，C，D四個點重合于圖中的點P，正好形成一個正四棱柱形態(tài)的包裝盒，E，F(xiàn)在AB上，是被切去的一個等腰直角三角形斜邊的兩個端點，設(shè)AE＝FB＝x(cm)．(1)某廣告商要求包裝盒的側(cè)面積S(cm2)最大，試問x應(yīng)取何值？(2)某廠商要求包裝盒的容積V(cm3)最大，試問x應(yīng)取何值？并求出此時包裝盒的高與底面邊長的比值．[解析]設(shè)包裝盒的高為hcm，底面邊長為acm.由已知得a＝eq\r(2)x，h＝eq\f(60－2x,\r(2))＝eq\r(2)(30－x)，0＜x＜30.(1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1800，所以當x＝15時，S取得最大值．(2)V＝a2h＝2eq\r(2)(－x3＋30x2)，V′＝6eq\r(2)x(20－x)．由V′＝0，得x＝0(舍去)或x＝20.當x∈(0,20)時，V′＞0；當x∈(20,30)時，V′＜0.所以當x＝20時，V取得極大值，也是最大值．此時eq\f(h,a)＝eq\f(1,2)，即包裝盒的高與底面邊長的比值為eq\f(1,2).方法技巧(1)解決面積、容積的最值問題，要正確引入變量，將面積或容積表示為變量的函數(shù)，結(jié)合實際問題的定義域，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值．(2)一般地，通過函數(shù)的極值來求得函數(shù)的最值．假如函數(shù)f(x)在給定區(qū)間內(nèi)只有一個極值點或函數(shù)f(x)在開區(qū)間上只有一個點使f′(x)＝0，則只須要依據(jù)實際意義推斷該值是最大值還是最小值即可，不必再與端點處的函數(shù)值進行比較．跟蹤探究1.三棱錐O-ABC中，OA，OB，OC兩兩垂直，OC＝2x，OA＝x，OB＝y(tǒng)，且x＋y＝3，則三棱錐O-ABC體積的最大值為()A．4 B．8C.eq\f(4,3) D.eq\f(8,3)解析：V＝eq\f(1,3)×eq\f(2x2,2)·y＝eq\f(x2y,3)＝eq\f(x23－x,3)＝eq\f(3x2－x3,3)(0＜x＜3)，V′＝eq\f(6x－3x2,3)＝2x－x2＝x(2－x)．令V′＝0，得x＝2或x＝0(舍去)．所以x＝2時，V最大為eq\f(4,3).答案：C2．在半徑為r的圓內(nèi)，作內(nèi)接等腰三角形，當?shù)走吷系母邽開_______時它的面積最大．解析：如圖，設(shè)∠OBC＝θ，則0＜θ＜eq\f(π,2)，OD＝rsinθ，BD＝rcosθ.所以S△ABC＝rcosθ(r＋rsinθ)＝r2cosθ＋r2sinθ·cosθ.令S′＝－r2sinθ＋r2(cos2θ－sin2θ)＝0，所以cos2θ＝sinθ，所以1－2sin2θ＝sinθ，解得sinθ＝eq\f(1,2)，又0＜θ＜eq\f(π,2)，所以θ＝eq\f(π,6).即當θ＝eq\f(π,6)時，△ABC的面積最大，即高為OA＋OD＝eq\f(3r,2)時面積最大．答案：eq\f(3r,2)探究二費用(用料)最省問題[例2]為了在夏季降溫柔冬季供暖時削減能源損耗，房屋的屋頂和外墻須要建立隔熱層．某幢建筑物要建立可運用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建立成本為6萬元．該建筑每年的能源消耗費用C(單位：萬元)與隔熱層厚度x(單位：cm)滿意關(guān)系：C(x)＝eq\f(k,3x＋5)(0≤x≤10)，若不建隔熱層，每年能源消耗費用為8萬元．設(shè)f(x)為隔熱層建立費用與20年的能源消耗費用之和．(1)求k的值及f(x)的表達式；(2)隔熱層修建多厚時，總費用f(x)達到最小，并求最小值．[解析](1)由題設(shè)，每年能源消耗費用為C(x)＝eq\f(k,3x＋5)，再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝eq\f(40,3x＋5).又建立費用為C1(x)＝6x，故隔熱層建立費用與20年的能源消耗費用之和為f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×eq\f(40,3x＋5)＋6x＝eq\f(800,3x＋5)＋6x(0≤x≤10)．(2)f′(x)＝6－eq\f(2400,3x＋52)，令f′(x)＝0，即eq\f(2400,3x＋52)＝6，解得x＝5或x＝－eq\f(25,3)(舍去)．當0≤x＜5時，f′(x)＜0；當5＜x≤10時，f′(x)＞0，故x＝5是f(x)的最小值點，對應(yīng)的最小值為f(5)＝6×5＋eq\f(800,15＋5)＝70.故當隔熱層修建5cm厚時，總費用達到最小，為70萬元．方法技巧(1)用料最省、成本最低問題是日常生活中常見的問題之一，解決這類問題要明確自變量的意義以及最值問題所探討的對象．正確書寫函數(shù)表達式，精確求導(dǎo)，結(jié)合實際作答．(2)利用導(dǎo)數(shù)的方法解決實際問題，當在定義區(qū)間內(nèi)只有一個點使f′(x)＝0時，假如函數(shù)在這點有極大(小)值，那么不與端點值比較，也可以知道在這個點取得最大(小)值．跟蹤探究3.某地建一座橋，兩端的橋墩已建好，這兩墩相距m米，余下工程只需建兩端橋墩之間的橋面和橋墩．經(jīng)測算，一個橋墩的工程費用為256萬元；距離為x米的相鄰兩墩之間的橋面工程費用為(2＋eq\r(x))x萬元．假設(shè)橋墩等距離分布，全部橋墩都視為點，且不考慮其他因素，記余下工程的費用為y萬元．(1)試寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)當m＝640米時，需新建多少個橋墩才能使y最?。拷馕觯?1)設(shè)需新建n個橋墩，則(n＋1)x＝m，即n＝eq\f(m,x)－1.所以y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋eq\r(x))x＝256eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,x)－1))＋eq\f(m,x)(2＋eq\r(x))x＝eq\f(256m,x)＋meq\r(x)＋2m－256.(2)由(1)知，f′(x)＝－eq\f(256m,x2)＋eq\f(1,2)mx－eq\f(1,2)＝eq\f(m,2x2)(xeq\f(3,2)－512)．令f′(x)＝0，得xeq\f(3,2)＝512，所以x＝64.當0＜x＜64時，f′(x)＜0，f(x)在區(qū)間(0,64)內(nèi)為減函數(shù)；當64＜x＜640時，f′(x)＞0，f(x)在區(qū)間(64,640)內(nèi)為增函數(shù)，所以f(x)在x＝64處取得最小值．此時n＝eq\f(m,x)－1＝eq\f(640,64)－1＝9.故需新建9個橋墩才能使y最?。骄咳麧欁畲髥栴}[例3]某商場銷售某種商品的閱歷表明，該商品每日的銷售量y(單位：千克)與銷售價格x(單位：元/千克)滿意關(guān)系式y(tǒng)＝eq\f(a,x－3)＋10(x－6)2，其中3＜x＜6，a為常數(shù)．已知銷售價格為5元/千克時，每日可售出該商品11千克．(1)求a的值；(2)若該商品的成本為3元/千克，試確定銷售價格x的值，使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大．[解析](1)因為x＝5時，y＝11，所以eq\f(a,2)＋10＝11，a＝2.(2)由(1)可知，該商品每日的銷售量y＝eq\f(2,x－3)＋10(x－6)2，所以商場每日銷售該商品所獲得的利潤f(x)＝(x－3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,x－3)＋10x－62))＝2＋10(x－3)(x－6)2,3＜x＜6.從而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6)．于是，當x改變時，f′(x)，f(x)的改變狀況如表x(3,4)4(4,6)f′(x)＋0－f(x)單調(diào)遞增極大值42單調(diào)遞減由表可得，x＝4是函數(shù)f(x)在區(qū)間(3,6)內(nèi)的極大值點，也是最大值點．所以，當x＝4時，函數(shù)f(x)取得最大值，且最大值等于42，即當銷售價格為4元/千克時，商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大．方法技巧解決此類有關(guān)利潤的實際應(yīng)用題，應(yīng)敏捷運用題設(shè)條件，建立利潤的函數(shù)關(guān)系，常見的基本等量關(guān)系有(1)利潤＝收入－成本；(2)利潤＝每件產(chǎn)品的利潤×銷售件數(shù)．跟蹤探究4.某工廠利用輻射對食品進行滅菌消毒，再打算在該廠旁邊建一職工宿舍，并對宿舍進行防輻射處理，建房防輻射材料的選用與宿舍到工廠距離有關(guān)．若建立宿舍的全部費用p(萬元)和宿舍與工廠的距離x(km)的關(guān)系為：p＝eq\f(1000,x＋5)(2≤x≤8)．為了交通便利，工廠與宿舍之間還要修一條簡易便道，已知修路每公里成本為5萬元，工廠一次性補貼職工交通費eq\f(1,2)(x2＋25)萬元．設(shè)f(x)為建立宿舍、修路費用與給職工的補貼之和．(1)求f(x)的表達式．(2)宿舍應(yīng)建在離工廠多遠處，可使總費用f(x)最小，并求最小值．解析：(1)f(x)＝eq\f(1000,x＋5)＋5x＋eq\f(1,2)(x2＋25)整理得f(x)＝eq\f(1,2)(x＋5)2＋eq\f(1000,x＋5)(2≤x≤8)．(2)f′(x)＝(x＋5)－eq\f(1000,x＋52)＝eq\f(x＋53－1000,x＋52)由f′(x)≥0得x≥5；所以f(x)在[2,5]上單調(diào)遞減，在[5,8]上單調(diào)遞增；故當x＝5時，f(x)取得最小值150.綜上所述，宿舍應(yīng)建在離工廠5km處，可使總費用f(x)最小，最小值為150萬元.授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第20頁[課后小結(jié)](1)利用導(dǎo)數(shù)解決生活中優(yōu)化問題的一般步驟：①分析實際問題中各量之間的關(guān)系，列出實際問題的數(shù)學(xué)模型，寫出實際問題中變量之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝f(x)；②求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′(x)，解方程f′(x)＝0；③比較函數(shù)在區(qū)間端點和極值點處的函數(shù)值的大小，最大(小)者為最大(小)值．(2)正確理解題意，建立數(shù)學(xué)模型，利用導(dǎo)數(shù)求解是解答應(yīng)用題的主要思路，另外須要特殊留意：①合理選擇變量，正確寫出函數(shù)解析式，給出函數(shù)定義域；②與實際問題相聯(lián)系；③必要時留意分類探討思想的應(yīng)用．[素養(yǎng)培優(yōu)]解決實際優(yōu)化問題時忽視定義域致誤易錯案例：甲、乙兩地相距s千米，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過c千米/時，已知汽車每小時的運輸成本(以元為單位)由可變部分和固定部分組成．可變部分與速度v(千米/時)的平方成正比，比例系數(shù)為b(b＞0)，固定部分為a元．(1)把全程運輸成本y(元)表示為速度v(千米/時)的函數(shù)，并指出這個函數(shù)