2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章函數(shù)的應(yīng)用3.2.2函數(shù)模型的應(yīng)用舉例學(xué)案含解析新人教A版必修1

PAGE3．2.2函數(shù)模型的應(yīng)用舉例內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)學(xué)科素養(yǎng)1.會利用給定的函數(shù)模型解決實(shí)際問題．2.能夠建立確定性函數(shù)模型解決問題及建立擬合函數(shù)模型解決實(shí)際問題.提升數(shù)學(xué)運(yùn)算培育數(shù)學(xué)建模授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第64頁[基礎(chǔ)相識]學(xué)問點(diǎn)函數(shù)模型的應(yīng)用eq\a\vs4\al(預(yù)習(xí)教材P101－106，思索并完成以下問題)(1)某商場銷售一批優(yōu)質(zhì)襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，為了擴(kuò)大銷售，增加盈利，盡快削減庫存，商場確定實(shí)行適當(dāng)降價(jià)措施．經(jīng)調(diào)查發(fā)覺，假如每件襯衫每降價(jià)1元，商場平均每天多售出2件．于是商場經(jīng)理確定每件襯衫降價(jià)15元．那么經(jīng)理的確定正確嗎？提示：正確．(2)我們已學(xué)過的函數(shù)有哪些？提示：一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)．學(xué)問梳理幾種常用的函數(shù)模型：一次函數(shù)模型：y＝kx＋b(k，b為常數(shù)，k≠0)；反比例函數(shù)模型：y＝eq\f(k,x)＋b，(k，b為常數(shù)，k≠0)；二次函數(shù)模型：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)；指數(shù)型函數(shù)模型：y＝a·bx＋c(a，b，c為常數(shù)，b>0且b≠1，a≠0)；對數(shù)型函數(shù)模型：y＝alogbx＋c(a，b，c為常數(shù)，b>0且b≠1，a≠0)；冪函數(shù)模型：y＝a·xα＋c(a，α，c為常數(shù)，a≠0)．[自我檢測]某地為了抑制一種有害昆蟲的繁殖，引入了一種以該昆蟲為食物的特別動(dòng)物，已知該動(dòng)物的繁殖數(shù)量y(只)與引入時(shí)間x(年)的關(guān)系為y＝alog2(x＋1)，若該動(dòng)物在引入一年后的數(shù)量為100只，則第7年它們發(fā)展到()A．300只 B．400只C．600只 D．700只解析：將x＝1，y＝100代入y＝alog2(x＋1)得，100＝alog2(1＋1)，解得a＝100.所以x＝7時(shí)，y＝100log2(7＋1)＝300.答案：A授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第65頁探究一二次函數(shù)模型[例1]在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，函數(shù)f(x)的邊際函數(shù)定義為M(x)＝f(x＋1)－f(x)，利潤函數(shù)P(x)的邊際利潤函數(shù)定義為M1(x)＝P(x＋1)－P(x)，某公司最多生產(chǎn)100臺報(bào)警系統(tǒng)裝置，生產(chǎn)x臺的收入函數(shù)為R(x)＝3000x－20x2(單位：元)其成本函數(shù)為C(x)＝500x＋4000(單位：元)，利潤是收入與成本之差．(1)求利潤函數(shù)P(x)及邊際利潤函數(shù)M1(x)．(2)利潤函數(shù)P(x)與邊際利潤函數(shù)M1(x)是否具有相等的最大值？(3)你認(rèn)為本題中邊際利潤函數(shù)M1(x)取最大值的實(shí)際意義是什么？[解析](1)P(x)＝R(x)－C(x)＝(3000x－20x2)－(500x＋4000)＝－20x2＋2500x－4000(1≤x≤100，x∈N)．M1(x)＝P(x＋1)－P(x)＝2480－40x，(1≤x≤100，x∈N)(2)∵P(x)＝－20eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(125,2)))2＋74125∴當(dāng)x＝62或63時(shí)，P(x)min＝74120又∵M(jìn)1(x)是減函數(shù)，∴當(dāng)x＝1時(shí)M1(x)max＝2440故P(x)與M1(x)不具有相等的最大值．(3)邊際利潤函數(shù)M1(x)當(dāng)x＝1時(shí)取最大值，說明生產(chǎn)第2臺與生產(chǎn)第1臺的總利潤差最大，即第2臺報(bào)警系統(tǒng)利潤最大，M1(x)是減函數(shù)，說明隨著產(chǎn)量的增加，每臺利潤與前一臺利潤相比較，利潤在削減．方法技巧利用二次函數(shù)模型解決問題的方法：在函數(shù)模型中，二次函數(shù)模型占有重要的地位．依據(jù)實(shí)際問題建立二次函數(shù)解析式后，可以利用配方法、判別式法、換元法、函數(shù)的單調(diào)性等方法來求函數(shù)的最值，從而解決實(shí)際問題中的利潤最大、用料最省等問題．跟蹤探究1.某工廠生產(chǎn)一種機(jī)器的固定成本為5000元，且每生產(chǎn)100部，須要增加投入2500元，對銷售市場進(jìn)行調(diào)查后得知，市場對此產(chǎn)品的需求量為每年500部，已知銷售收入的函數(shù)為H(x)＝500x－eq\f(1,2)x2，其中x是產(chǎn)品銷售出的數(shù)量(0≤x≤500)．(1)若x為年產(chǎn)量，y表示利潤，求y＝f(x)的解析式；(2)當(dāng)年產(chǎn)量為何值時(shí)，工廠的年利潤最大？其最大值是多少？(3)當(dāng)年產(chǎn)量為何值時(shí)，工廠有盈利？(已知eq\r(21.5626)＝4.65)解析：(1)當(dāng)0≤x≤500時(shí)，產(chǎn)品全部售出，∴f(x)＝500x－eq\f(1,2)x2－(5000＋25x)，即f(x)＝－eq\f(1,2)x2＋475x－5000，當(dāng)x>500時(shí)，產(chǎn)品只能售出500臺，∴f(x)＝500×500－eq\f(1,2)×5002－(5000＋25x)，即，f(x)＝－25x＋120000.(2)當(dāng)0≤x≤500時(shí)，f(x)＝－eq\f(1,2)(x－475)2＋107812.5，當(dāng)x>500時(shí)，f(x)＝120000－25x<120000－25×500＝107500.故當(dāng)年產(chǎn)量為475臺時(shí)取得最大利潤，且最大利潤為107812.5元，最佳生產(chǎn)支配475臺．(3)若工廠有利潤，則應(yīng)用f(x)>5000，∴475x－eq\f(1,2)x2>5000，整理得x2－950x＋10000<0，解得10<x<940，∵市場需求量為每年500部，∴10<x≤500，故當(dāng)年產(chǎn)量超過10部后，工廠有盈利．探究二分段函數(shù)模型的應(yīng)用[例2]國慶期間，某旅行社組團(tuán)去風(fēng)景區(qū)旅游，若旅行團(tuán)人數(shù)在30人或30人以下，飛機(jī)票價(jià)格為900元；若旅行團(tuán)人數(shù)多于30人，則賜予實(shí)惠：每多1人，飛機(jī)票價(jià)格就削減10元，直到達(dá)到規(guī)定人數(shù)75人為止．旅行團(tuán)乘飛機(jī)，旅行社需付給航空公司包機(jī)費(fèi)15000元．(1)寫出飛機(jī)票的價(jià)格關(guān)于人數(shù)的函數(shù)；(2)旅行團(tuán)人數(shù)為多少時(shí)，旅行社可獲得最大利潤？[解析](1)設(shè)旅行團(tuán)人數(shù)為x，飛機(jī)票價(jià)格為y元，則y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(900，0＜x≤30，,900－10x－30，30＜x≤75，))即y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(900，0＜x≤30，,1200－10x，30＜x≤75.))(2)設(shè)旅行社獲利S元，則S＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(900x－15000，0＜x≤30，,x1200－10x－15000，30＜x≤75.))即S＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(900x－15000，0＜x≤30，,－10x－602＋21000，30＜x≤75.))因?yàn)镾＝900x－15000在區(qū)間(0,30]上，當(dāng)x＝30時(shí)，S取最大值12000.又S＝－10(x－60)2＋21000在區(qū)間(30,75]上，當(dāng)x＝60時(shí)，S取最大值21000.故當(dāng)x＝60時(shí)，旅行社可獲得最大利潤．方法技巧1.分段函數(shù)模型的應(yīng)用分段函數(shù)模型應(yīng)用的關(guān)鍵是確定分段的各分界點(diǎn)，即明確自變量的取值區(qū)間．對每一個(gè)區(qū)間進(jìn)行分類探討，從而寫出函數(shù)的解析式．需留意分段函數(shù)的最值是各區(qū)間上所得最值的最大者或最小者．2．應(yīng)用分段函數(shù)時(shí)的三個(gè)留意點(diǎn)(1)分段函數(shù)的“段”肯定要分得合理，不重不漏．(2)分段函數(shù)的定義域?yàn)閷?yīng)每一段自變量取值范圍的并集．(3)分段函數(shù)的值域求法為：先求各段函數(shù)值的范圍，再求各段函數(shù)值范圍的并集.跟蹤探究2.某醫(yī)療探討所開發(fā)一種新藥，假如成人按規(guī)定的劑量服用，據(jù)監(jiān)測：服藥后每毫升血液中的含藥量y(μg)與時(shí)間t(h)之間近似滿意如圖所示的曲線．(1)寫出服藥后y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)據(jù)測定：每毫升血液中含藥量不少于4μg時(shí)治療疾病有效，假如某病人一天中第一次服藥為上午7：00，問一天中怎樣支配服藥時(shí)間(共4次)效果最佳？解析：(1)依題意得y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(6t，0≤t≤1，,－\f(2,3)t＋\f(20,3)，1＜t≤10.))(2)設(shè)其次次服藥在第一次服藥后t1小時(shí)，則－eq\f(2,3)t1＋eq\f(20,3)＝4，解得t1＝4，因而其次次服藥應(yīng)在11：00.設(shè)第三次服藥在第一次服藥后t2小時(shí)，則此時(shí)血液中含藥量應(yīng)為前兩次服藥后的含藥量的和，即有－eq\f(2,3)t2＋eq\f(20,3)－eq\f(2,3)(t2－4)＋eq\f(20,3)＝4，解得t2＝9小時(shí)，故第三次服藥應(yīng)在16：00.設(shè)第四次服藥在第一次服藥后t3小時(shí)(t3＞10)，則此時(shí)第一次服進(jìn)的藥已汲取完，血液中含藥量應(yīng)為其次、第三次的和－eq\f(2,3)(t3－4)＋eq\f(20,3)－eq\f(2,3)(t3－9)＋eq\f(20,3)＝4，解得t3＝13.5小時(shí)，故第四次服藥應(yīng)在20：30.探究三指數(shù)、對數(shù)型函數(shù)模型[例3]聲強(qiáng)級Y(單位：分貝)由公式Y(jié)＝10lgeq\f(I,10－12)給出，其中I為聲強(qiáng)(單位：W/m2)．(1)平常常人交談時(shí)的聲強(qiáng)約為10－6W/m2，求其聲強(qiáng)級．(2)一般常人能聽到的最低聲強(qiáng)級是0分貝，能聽到的最低聲強(qiáng)為多少？(3)比較志向的睡眠環(huán)境要求聲強(qiáng)級Y≤50分貝，已知熄燈后兩個(gè)學(xué)生在宿舍說話的聲強(qiáng)為5×10－7W/m2，這兩位同學(xué)是否會影響其他同學(xué)休息？[解析](1)當(dāng)I＝10－6W/m2時(shí)，代入得Y＝10lgeq\f(10－6,10－12)＝10lg106＝60，即聲強(qiáng)級為60分貝．(2)當(dāng)Y＝0時(shí)，即為10lgeq\f(I,10－12)＝0，所以eq\f(I,10－12)＝1，I＝10－12W/m2，則能聽到的最低聲強(qiáng)為10－12W/m2.(3)當(dāng)聲強(qiáng)I＝5×10－7W/m2時(shí)，聲強(qiáng)級Y＝10lgeq\f(5×10－7,10－12)＝10lg(5×105)＝50＋10lg5＞50，所以這兩位同學(xué)會影響其他同學(xué)休息．方法技巧指數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用在實(shí)際問題中，有關(guān)人口增長、銀行利率、細(xì)胞分裂等增長率問題?？梢杂弥笖?shù)函數(shù)模型表示．通?？梢员硎緸閥＝N(1＋p)x(其中N為基礎(chǔ)數(shù)，p為增長率，x為時(shí)間)的形式．跟蹤探究3.某化工廠生產(chǎn)一種溶液，按市場要求，雜質(zhì)含量不能超過0.1%，若初時(shí)含雜質(zhì)2%，每過濾一次可使雜質(zhì)含量削減eq\f(1,3)，至少應(yīng)過濾幾次才能使產(chǎn)品達(dá)到市場要求？(已知：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)解析：設(shè)過濾n次能使產(chǎn)品達(dá)到市場要求，依題意，得eq\f(2,100)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))n≤eq\f(1,1000)，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))n≤eq\f(1,20).則n(lg2－lg3)≤－(1＋lg2)，故n≥eq\f(1＋lg2,lg3－lg2)≈7.4，考慮到n∈N，故n≥8，即至少要過濾8次才能達(dá)到市場要求．授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第66頁[課后小結(jié)]1．解應(yīng)用題要弄清題意，從實(shí)際動(dòng)身，引進(jìn)數(shù)學(xué)符