數(shù)學示范教案：數(shù)乘向量

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精示范教案eq\o(\s\up7（），\s\do5（整體設計)）教學分析向量的數(shù)乘運算,其實是加法運算的推廣與簡化,與加法、減法統(tǒng)稱為向量的三大線性運算．教學時從加法入手,引入數(shù)乘運算，充分展現(xiàn)了數(shù)學知識之間的內在聯(lián)系．實數(shù)與向量的乘積,仍然是一個向量，既有大小，也有方向．特別是方向與已知向量是共線向量，進而引出共線向量定理．共線向量定理是本章節(jié)中重要的內容，應用相當廣泛，且容易出錯．尤其是定理的前提條件：向量a是非零向量．共線向量定理的應用主要用于證明點共線或平行等幾何性質，且與后續(xù)的知識有著密切的聯(lián)系．三維目標1．通過經歷探究數(shù)乘運算法則及幾何意義的過程；掌握實數(shù)與向量積的定義；理解實數(shù)與向量積的幾何意義；掌握實數(shù)與向量的積的運算律．2．通過探究，體會類比遷移的思想方法，滲透研究新問題的思想和方法,培養(yǎng)創(chuàng)新能力和積極進取精神;通過解決具體問題，體會數(shù)學在生活中的重要作用．重點難點教學重點:1。理解數(shù)乘向量所表達的幾何意義；2．理解并掌握向量的線性運算．教學難點：數(shù)乘向量分配律所表達的幾何意義．課時安排1課時eq\o(\s\up7（），\s\do5(教學過程)）導入新課思路1。(類比引入）我們知道,平面幾何中的全等與平行的問題,與向量加法及其運算律有著密切的聯(lián)系,在幾何中，一個重要問題是研討圖象的“放大"“縮小”和相似性質．我們是否也能用向量的某種運算去研究呢？由此展開新課．思路2.一物體做勻速直線運動，一秒鐘的位移對應的向量為a，那么在同一方向上3秒鐘的位移對應的向量怎樣表示?是3a嗎？怎樣用圖形表示？由此展開新課．推進新課eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(新知探究）)eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（提出問題))eq\a\vs4\al(1已知非零向量a,試一試你能作出a＋a＋a和－a＋－a＋－a嗎？，2你能對你的探究結果作出解釋，并說明它們的幾何意義嗎？,3引入向量數(shù)乘運算后，你能發(fā)現(xiàn)數(shù)乘向量與原向量之間的位置關系嗎？,4數(shù)乘向量滿足哪些運算律？）活動：教師引導學生回顧相關知識并猜想結果，對于運算律的驗證，點撥學生通過作圖來進行．通過學生的動手作圖，讓學生明確向量數(shù)乘運算的運算律及其幾何意義．教師要引導學生特別注意0·a＝0，而不是0·a＝0.這個零向量是一個特殊的向量，它似乎很不起眼，但又處處存在，稍不注意就會出錯,所以要引導學生正確理解和處理零向量與非零向量之間的關系．實數(shù)與向量可以求積,但是不能進行加、減運算，比如λ＋a，λ－a都無法進行．向量數(shù)乘運算的運算律與實數(shù)乘法的運算律很相似，只是數(shù)乘運算的分配律有兩種不同的形式：（λ＋μ)a＝λa＋μa和λ(a＋b)＝λa＋λb，數(shù)乘運算的關鍵是等式兩邊向量的模相等，方向相同．判斷兩個向量是否平行（共線),實際上就是看能否找出一個實數(shù)，使得這個實數(shù)乘以其中一個向量等于另一個向量．一定要切實理解兩向量共線的條件，它是證明幾何中的三點共線和兩直線平行等問題的有效手段．對問題(1),學生通過作圖1可發(fā)現(xiàn)，eq\o（OC,\s\up6（→)）＝eq\o（OA，\s\up6(→)）＋eq\o（AB,\s\up6（→）)＋eq\o(BC,\s\up6（→))＝a＋a＋a.類似數(shù)的乘法,可把a＋a＋a記作3a，即eq\o（OC,\s\up6（→））＝3a.顯然3a的方向與a的方向相同，3a的長度是a的長度的3倍，即｜3a|＝3|a|。同樣，由圖1可知，圖1eq\o（PN，\s\up6(→)）＝eq\o（PQ，\s\up6（→）)＋eq\o（QM，\s\up6（→)）＋eq\o（MN，\s\up6(→））＝（－a)＋（－a)＋（－a），即（－a)＋（－a)＋(－a)＝3（－a）．顯然3(－a）的方向與a的方向相反，3(－a)的長度是a的長度的3倍,這樣,3（－a）＝－3a。已知eq\o(AB,\s\up6(→))（圖2),把線段AB三等分，分點為P，Q，則圖2eq\o(AP,\s\up6(→））＝eq\f（1,3)eq\o(AB，\s\up6（→)）,AQ＝eq\f（2，3)eq\o（AB,\s\up6(→)），eq\o（BP,\s\up6（→））＝－eq\f(2，3）eq\o(AB，\s\up6(→))。由上述分析，我們引出數(shù)乘向量的一般定義:定義實數(shù)λ和向量a的乘積是一個向量,記作λa,且λa的長度|λa｜＝｜λ||a｜.λa(a≠0）的方向eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（當λ>0時，與a同方向；,當λ〈0時,與a反方向.））當λ＝0或a＝0時，0a＝0或λ0＝0(圖3)．圖3λa中的實數(shù)λ，叫做向量a的系數(shù)．數(shù)乘向量的幾何意義就是把向量a沿著a的方向或a的反方向放大或縮?。鶕?jù)實數(shù)與向量的積的定義，我們可以驗證數(shù)乘向量運算滿足下面的運算律．設λ、μ為實數(shù)，那么①λ（μa）＝(λμ）a；②（λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ（a＋b)＝λa＋λb（分配律)．特別地，我們有（－λ）a＝－（λa)＝λ（－a），λ（a－b)＝λa－λb。對問題（3)，向量共線的等價條件是：如果a(a≠0）與b共線,那么有且只有一個實數(shù)λ,使b＝λa.推證過程教師可引導學生自己完成，推證過程如下:對于向量a（a≠0)、b，如果有一個實數(shù)λ，使b＝λa，那么由向量數(shù)乘的定義，知a與b共線．反過來，已知向量a與b共線，a≠0，且向量b的長度是向量a的長度的μ倍，即|b|＝μ|a｜，那么當a與b同方向時，有b＝μa；當a與b反方向時，有b＝－μa。關于向量共線的條件,教師要點撥學生做進一步深層探究，讓學生思考,若去掉a≠0這一條件，上述條件成立嗎?其目的是通過0與任意向量的平行來加深對向量共線的等價條件的認識．在判斷兩個非零向量是否共線時,只需看這兩個向量的方向是否相同或相反即可，與這兩個向量的長度無關．在沒有指明非零向量的情況下，共線向量可能有以下幾種情況：(1）有一個為零向量；（2）兩個都為零向量；(3)同向且模相等；(4)同向且模不等;（5）反向且模相等；（6）反向且模不等．討論結果：（1)數(shù)與向量的積仍是一個向量，向量的方向由實數(shù)的正負及原向量的方向確定，大小由|λ|·|a|確定．（2）它的幾何意義是把向量a沿a的方向或a的反方向放大或縮?。?)略．(4）略．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(應用示例）)例1設a，b為向量，計算下列各式：（1）－eq\f(1,3)×3a；（2）2（a－b)－（a＋eq\f（1,2)b）;（3)（2m－n)a－mb－(m－n)（a－b）（m，n為實數(shù))．活動：本例是數(shù)乘運算的簡單應用，可讓學生自己完成，要求學生熟練運用向量數(shù)乘運算的運算律．教學中，點撥學生不能將本題看作字母的代數(shù)運算,可以讓他們在代數(shù)運算的同時說出其幾何意義，使學生明確向量數(shù)乘運算的特點．同時向學生點出,向量的加、減、數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的線性運算．對于任意向量a、b,以及任意實數(shù)λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a±μ2b）＝λμ1a±λμ2b。解:（1)原式＝（－eq\f（1,3）×3）a＝－a.（2)原式＝2a－2b－a－eq\f（1，2)b＝(2a－a）－（2b＋eq\f（1,2)b)＝a－eq\f(5,2）b。（3）原式＝2ma－na－mb－m(a－b)＋n（a－b)＝2ma－na－mb－ma＋mb＋na－nb＝ma－nb.點評：運用向量運算的運算律,解決向量的數(shù)乘．其運算過程可以仿照多項式運算中的“合并同類項"。變式訓練計算下列各式:（1)(－2)×eq\f（1，2)a;(2)2(a＋b)－3（a－b)；(3)（λ＋μ）（a－b)－（λ－μ)（a＋b)．解：(1)(－2)×eq\f（1,2）a＝(－2×eq\f(1，2））a＝（－1）a＝－a.（2）2（a＋b）－3(a－b）＝2a＋2b－3a＋3b＝（2a－3a）＋（2b＋3b）＝－a＋5b.(3)（λ＋μ)(a－b)－(λ－μ)(a＋b)＝λ(a－b)＋μ（a－b)－λ（a＋b）＋μ（a＋b)＝λa－λb＋μa－μb－λa－λb＋μa＋μb＝2μa－2λb.2如圖4所示，已知eq\o（OA′，\s\up6(→))＝3eq\o(OA,\s\up6(→)），eq\o(A′B′，\s\up6（→））＝3eq\o（AB,\s\up6(→))，說明向量eq\o（OB，\s\up6（→)）與eq\o(OB′，\s\up6(→）)的關系．圖4解：因為eq\o（OB′,\s\up6(→））＝eq\o（OA′,\s\up6（→)）＋eq\o(A′B′，\s\up6(→))＝3eq\o（OA,\s\up6(→）)＋3eq\o（AB，\s\up6（→))＝3(eq\o（OA，\s\up6(→)）＋eq\o(AB，\s\up6（→)))＝3eq\o（OB,\s\up6(→）），所以eq\o(OB′,\s\up6(→)）與eq\o（OB,\s\up6(→）)共線且同方向，長度是eq\o(OB，\s\up6(→)）的3倍．3如圖5,ABCD的兩條對角線相交于點M，且eq\o(AB,\s\up6（→）)＝a,eq\o(AD，\s\up6（→))＝b，你能用a、b表示eq\o（MA,\s\up6(→））、eq\o（MB,\s\up6（→）)、eq\o（MC,\s\up6（→))和eq\o（MD,\s\up6(→）)嗎？圖5活動：本例的解答要用到平行四邊形的性質．另外,用向量表示幾何元素(點、線段等)是用向量方法證明幾何問題的重要步驟，教學中可以給學生明確指出這一點．解:在ABCD中，∵eq\o（AC,\s\up6（→））＝eq\o（AB，\s\up6（→））＋eq\o（AD，\s\up6(→）)＝a＋b，eq\o（DB，\s\up6（→）)＝eq\o（AB,\s\up6(→））－eq\o(AD,\s\up6(→))＝a－b，又∵平行四邊形的兩條對角線互相平分，∴eq\o（MA,\s\up6(→）)＝－eq\f（1,2）eq\o(AC,\s\up6(→））＝－eq\f（1,2)（a＋b）＝－eq\f（1，2）a－eq\f(1，2)b,eq\o(MB，\s\up6(→)）＝eq\f(1,2）eq\o（DB，\s\up6（→）)＝eq\f(1，2)(a－b)＝eq\f（1，2)a－eq\f(1，2）b，eq\o（MC，\s\up6(→)）＝eq\f(1，2)eq\o(AC，\s\up6（→））＝eq\f(1,2)a＋eq\f（1,2）b,eq\o(MD,\s\up6(→))＝－eq\o（MB，\s\up6（→））＝－eq\f(1,2）eq\o(DB，\s\up6（→)）＝－eq\f(1,2）a＋eq\f(1,2)b。點評:結合向量加法和減法的平行四邊形法則和三角形法則，將兩個向量的和或差表示出來，這是解決這類幾何題的關鍵．4凸四邊形ABCD的邊AD、BC的中點分別為E、F，求證：eq\o(EF,\s\up6（→))＝eq\f(1,2）（eq\o（AB，\s\up6(→)）＋eq\o(DC，\s\up6(→))）．活動:教師引導學生探究,能否構造三角形,使EF作為三角形中位線，借助于三角形中位線定理解決，或創(chuàng)造相同起點，以建立向量間關系．鼓勵學生多角度觀察思考問題．解：方法一：過點C在平面內作eq\o(CG，\s\up6(→））＝eq\o(AB,\s\up6(→）），則四邊形ABGC是平行四邊形，故F為AG中點．（如圖6)圖6∴EF是△ADG的中位線．∴EFeq\f(1,2)DG.∴eq\o（EF，\s\up6(→))＝eq\f（1,2)eq\o(DG，\s\up6（→））。而eq\o(DG,\s\up6(→)）＝eq\o（DC,\s\up6（→)）＋eq\o(CG，\s\up6（→）)＝eq\o(DC,\s\up6(→））＋eq\o(AB，\s\up6(→)），∴eq\o（EF,\s\up6(→)）＝eq\f(1，2）（eq\o（AB，\s\up6(→)）＋eq\o（DC，\s\up6（→）)）．方法二：如圖7，連接EB、EC,則有eq\o（EB，\s\up6（→)）＝eq\o(EA，\s\up6（→）)＋eq\o（AB,\s\up6（→))，eq\o(EC，\s\up6(→））＝eq\o(ED，\s\up6（→））＋eq\o(DC，\s\up6（→）),圖7又∵E是AD的中點，∴有eq\o（EA,\s\up6（→））＋eq\o（ED，\s\up6（→))＝0,即有eq\o(EB,\s\up6(→））＋eq\o（EC，\s\up6（→))＝eq\o（AB,\s\up6（→))＋eq\o(DC，\s\up6(→））.以eq\o(EB,\s\up6(→）)與eq\o(EC，\s\up6（→）)為鄰邊作EBGC,則由F是BC之中點，可得F也是EG之中點．∴eq\o（EF,\s\up6(→))＝eq\f(1，2）eq\o(EG,\s\up6（→）)＝eq\f（1，2)(eq\o(EB,\s\up6（→))＋eq\o(EC，\s\up6(→)）)＝eq\f(1，2)(eq\o（AB,\s\up6（→）)＋eq\o（DC,\s\up6（→）))．點評：向量的運算主要從以下幾個方面加強練習：(1)加強數(shù)形結合思想的訓練，畫出草圖幫助解決問題；（2)加強三角形法則和平行四邊形法則的運用練習，做到準確熟練運用。變式訓練若非零向量a、b滿足|a＋b｜＝|b|,則(）A．｜2a|〉|2a＋b|B．|2a|<｜2a＋b|C．|2b｜>｜a＋2b｜D．|2b|〈｜a＋2b|答案：Ceq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（課堂小結））1．讓學生回顧本節(jié)學習的數(shù)學知識：向量的數(shù)乘運算法則，向量的數(shù)乘運算律,體會本節(jié)學習中用到的思想方法:特殊到一般，歸納、猜想、類比，分類討論，等價轉化．2．向量及其運算與數(shù)及其運算可以類比，這種類比是我們提高思想性的有效手段，在今后的學習中應予以充分的重視，類比是我們學習中偉大的引路人．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（作業(yè))）課本本節(jié)練習A2，3。eq\o（\s\up7(），\s\do5(設計感想）)1．本教案的設計流程符合新課程理念，充分抓住本節(jié)教學中的學生探究、猜想、推證等活動,引導學生畫出草圖幫助理解題意和解決問題．先由學生探究向量數(shù)乘的結果還是向量（特別地，0·a＝0)，它的幾何意義是把向量a沿a的方向或a的反方向放大或縮小,當λ〉0時,λa與a方向相同，當λ〈0時，λa與a方向相反．2．向量具有的幾何形式和代數(shù)形式的雙重身份在本節(jié)中得以充分體現(xiàn)，因而成為中學數(shù)學知識網絡的一個交匯點,由此可看出在中學數(shù)學教材中的地位的重要,也成為近幾年各地高考命題的重點和熱點,教師要引導學生對平面向量中有關知識要點進行歸納整理．eq\o（\s\up7（)，\s\do5(備課資料））一、向量的數(shù)乘運算律的證明設a、b為任意向量，λ、μ為任意實數(shù)，則有(1）λ(μa)＝（λμ)a;①(2)（λ＋μ）a＝λa＋μa；②（3)λ（a＋b）＝λa＋λb.③證明：(1)如果λ＝0或μ＝0或a＝0,則①式顯然成立．如果λ≠0，μ≠0，且a≠0，則根據(jù)向量數(shù)乘的定義,有|λ（μa）|＝|λ||μa|＝|λ｜|μ||a｜，|(λμ)a|＝|λμ||a|＝｜λ||μ｜｜a｜.所以｜λ(μa）｜＝|（λμ)a｜.如果λ、μ同號，則①式兩邊向量的方向都與a同向；如果λ、μ異號,則①式兩邊向量的方向都與a反向．因此,向量λ(μa）與(λμ)a有相等的模和相同的方向，所以這兩個向量相等．（2)如果λ＝0或μ＝0或a＝0，則②顯然成立．如果λ≠0,μ≠0且a≠0,可分如下兩種情況：當λ、μ同號時,則λa和μa同向，所以|(λ＋μ）a｜＝｜λ＋μ|｜a|＝(｜λ｜＋｜μ|)｜a|,|λa＋μa|＝|λa｜＋｜μa｜＝|λ|｜a|＋｜μ||a｜＝(｜λ｜＋｜μ|）|a｜,即有｜(λ＋μ）a｜＝｜λa＋μa|.由λ、μ同號,知②式兩邊向量的方向或都與a同向，或都與a反向,即②式兩邊向量的方向相同．綜上所述，②式成立．如果λ、μ異號，當λ〉μ時,②式兩邊向量的方向都與λa的方向相同；當λ<μ時，②式兩邊向量的方向都與μa的方向相同．還可證|（λ＋μ)a｜＝|λa＋μa｜.因此②式也成立．(3）當a＝0，b＝0中至少有一個成立,或λ＝0,λ＝1時,③式顯然成立.當a≠0,b≠0且λ≠0,λ≠1時，可分如下兩種情況：當λ>0且λ≠1時如圖8,在平面內任取一點O作eq\o（OA,\s\up6（→)）＝a,eq\o(AB，\s\up6（→))＝b，eq\o（OA1，\s\up6（→））＝λa，eq\o（A1B1,\s\up6(→）)＝λb，則eq\o（OB,\s\up6（→))＝a＋b，eq\o(OB1,\s\up6（→))＝λa＋λb.圖8由作法知eq\o（AB,\s\up6(→）)∥eq\o(A1B1,\s\up6（→）)，有∠OAB＝∠OA1B1，|eq\o（A1B1，\s\up6（→）)｜＝λ｜eq\o(AB,\s\up6(→））|.所以eq\f（|\o(OA1，\s\up6（→)）|，｜\o（OA，\s\up6(→））|)＝eq\f(｜\o（A1B1，\s\up6(→))｜,｜\o(AB,\s\up6（→)）｜）＝λ。所以△AOB∽△A1OB1。所以eq\f(｜\o(OB1,\s\up6（→）)｜,｜\o（OB,\s\up6(→))｜)＝λ,∠AOB＝∠A1OB1.因此O、B、B1在同一條直線上，|eq\o（OB1，\s\up6(→））|＝｜λeq\o(OB，\s\up6(→))|，eq\o(OB1,\s\up6(→))與λeq\o(OB，\s\up6（→））的方向也相同．所以λ（a＋b)＝λa＋λb.當λ〈0時，由圖9可類似證明λ(a＋b)＝λa＋λb。圖9所以③式也成立．二、備用習題1。eq\f（1，3）[eq\f（1,2）(2a＋8b）－（4a－2b)]等于（）A．2a－bB．2b－aC．b－aD．a－b2．若向量方程2x－3(x－2a）＝0，則向量x等于(）A.eq\f(6,5)aB．－6aC．6aD．－eq\f（6,5）a3．在△ABC中，eq\o(AE，\s\up6(→))＝eq\f（1,5）eq\o（AB,\s\up6(→）），EF∥BC,E