數(shù)學(xué)示范教案：已知三角函數(shù)值求角

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精示范教案eq\o(\s\up7（)，\s\do5（整體設(shè)計(jì)))教學(xué)分析在課程標(biāo)準(zhǔn)中，沒(méi)有已知三角函數(shù)值求角的內(nèi)容，但相當(dāng)多的內(nèi)容涉及到這個(gè)問(wèn)題(如立體幾何中求兩條異面直線的夾角、直線與平面所成的角、解析幾何中直線的傾斜角)，所以教材專門列出一小節(jié)講解，因此應(yīng)該讓學(xué)生了解它們的意義，并學(xué)會(huì)正確使用反三角函數(shù)符號(hào)arcsinx、arccosx、arctanx.但一定要控制本小節(jié)的難度，只能根據(jù)單角的正弦、余弦、正切值求單角或單角的集合，不要補(bǔ)充一些較復(fù)雜的題目,只要使學(xué)生會(huì)由已知三角函數(shù)值求角就可以了．已知角x的一個(gè)三角函數(shù)值求角x時(shí)，實(shí)際上就是解最簡(jiǎn)單的三角方程．由于三角函數(shù)不是從定義域R→值域[－1，1]上的一一映射,所以已知角x的一個(gè)三角函數(shù)值求角x時(shí)，所得的角不一定只有一個(gè)，角的個(gè)數(shù)要根據(jù)角的取值范圍來(lái)確定,這個(gè)范圍應(yīng)該在題目中給定．如果在這個(gè)范圍內(nèi)已知三角函數(shù)值對(duì)應(yīng)的角不止一個(gè),可以分為以下幾個(gè)步驟：第一步,確定角x可能是第幾象限角；第二步，如果函數(shù)值為正數(shù)，則先求出對(duì)應(yīng)的銳角x1，如果函數(shù)值為負(fù)數(shù)，則先求出與其絕對(duì)值對(duì)應(yīng)的銳角x1;第三步,如果函數(shù)值為負(fù)數(shù)，則根據(jù)角x可能是第幾象限角,得出［0，2π］內(nèi)對(duì)應(yīng)的角;第四步，如果要求出［0,2π］以外的角,則可利用終邊相同的角有相同的三角函數(shù)值這一規(guī)律寫出結(jié)果．如果求得的角是特殊角，最好用弧度表示,就不存在反三角符號(hào)了．本節(jié)的難點(diǎn)有三個(gè)，簡(jiǎn)單地說(shuō)就是確定角的個(gè)數(shù)，認(rèn)識(shí)符號(hào)，寫出所求角的集合．克服難點(diǎn)的關(guān)鍵是拾級(jí)而上，分層次理解，弄清各層次的意義．但要注意表示形式上的不唯一．三維目標(biāo)1．理解反正弦、反余弦、反正切的意義,并會(huì)用符號(hào)表示．2．會(huì)由已知角的正弦值、余弦值、正切值求出［0,2π］范圍內(nèi)的角,并能用反正弦、反余弦、反正切符號(hào)表示角或角的集合．3．能運(yùn)用已知三角函數(shù)值求角，解決與其相關(guān)的一些簡(jiǎn)單問(wèn)題．重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：已知正弦、余弦、正切值求角．教學(xué)難點(diǎn)：對(duì)反正弦、反余弦、反正切的概念及其符號(hào)的正確認(rèn)識(shí)．課時(shí)安排1課時(shí)eq\o(\s\up7(）,\s\do5(教學(xué)過(guò)程））導(dǎo)入新課思路1。（直接引入)我們知道，任意給定一個(gè)角,只要這個(gè)角的三角函數(shù)值存在,就可以求出這個(gè)三角函數(shù)值；反過(guò)來(lái)，已知一個(gè)三角函數(shù)值，也可以求出與它對(duì)應(yīng)的角．由此導(dǎo)入新課．思路2.（類比引入)前面我們學(xué)習(xí)函數(shù)時(shí)知道,給定一個(gè)函數(shù)值必有一個(gè)或多個(gè)自變量的值與之對(duì)應(yīng)．那么三角函數(shù)作為一類特殊的函數(shù)，是不是也這樣呢？比如sinx＝eq\f(1,2)，你怎樣求出適合這個(gè)式子的x的值呢？在學(xué)生探究中引入新課．推進(jìn)新課eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(新知探究)）已知正弦值,求角．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（提出問(wèn)題））eq\a\vs4\al（1在函數(shù)y＝sinx的非單調(diào)區(qū)間上，對(duì)于已知的一個(gè)正弦值，有多少個(gè)角和它對(duì)應(yīng)？，2對(duì)于正弦函數(shù)y＝sinx,如果已知函數(shù)值yy∈［－1，1］，那么，在[－\f(π，2)，\f(π,2）］上怎樣表示x？)活動(dòng):教師引導(dǎo)學(xué)生先復(fù)習(xí)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，或用課件演示,引導(dǎo)學(xué)生得出：在函數(shù)y＝sinx的非單調(diào)區(qū)間上，對(duì)于已知的一個(gè)正弦值,有多個(gè)角和它對(duì)應(yīng)，如在［0，2π]上有兩個(gè)角eq\f(π,4）和eq\f(3π，4)的正弦值都為eq\f（\r(2），2），在R上有無(wú)窮多個(gè)角的正弦值為eq\f（\r（2），2)。但是,在y＝sinx的單調(diào)區(qū)間上，只有一個(gè)角和已知正弦值對(duì)應(yīng)，比如在單調(diào)區(qū)間[－eq\f（π，2），eq\f(π,2)］上,只有eq\f(π，4)的正弦值等于eq\f（\r（2）,2）.也就是說(shuō)，正弦函數(shù)在區(qū)間［0,2π]上不具有單調(diào)性．但在[－eq\f(π，2），eq\f(π，2）]上單調(diào)遞增．所以在區(qū)間［－eq\f(π,2)，eq\f（π，2）］上，滿足條件sinx＝a(－1≤a≤1)的x有且只有一個(gè)，而在［0,2π］上滿足條件sinx＝a(－1≤a≤1）的x一般有兩個(gè)．一般地，對(duì)于正弦函數(shù)y＝sinx，如果已知函數(shù)值y(y∈［－1,1])，那么在［－eq\f（π，2），eq\f（π,2）]上有唯一的x值和它對(duì)應(yīng)．記為x＝arcsiny（其中－1≤y≤1，－eq\f(π,2)≤x≤eq\f(π,2）),即arcsiny（|y｜≤1)表示［－eq\f（π,2），eq\f（π,2)]上正弦等于y的那個(gè)角．這個(gè)角叫做y的反正弦．討論結(jié)果：（1）有無(wú)窮多個(gè);(2)表示為x＝arcsiny（其中－1≤y≤1,－eq\f（π,2）≤x≤eq\f(π，2))．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(應(yīng)用示例））例1（1）已知sinx＝eq\f(\r（2)，2)，且x∈[－eq\f(π，2)，eq\f（π，2)]，求x；（2）已知sinx＝eq\f（\r(2），2），且x∈[0,2π]，求x的取值集合；（3）已知sinx＝eq\f(\r（2),2)，且x∈R，求x的取值集合．解：由sinx＝eq\f（\r(2)，2）知x的正弦值是個(gè)正值，所以x是第一象限或第二象限的角，如圖1，由sineq\f（π,4)＝eq\f(\r（2),2)，sineq\f（3π，4)＝eq\f(\r(2）,2）可知：圖1(1)在［－eq\f(π,2）,eq\f（π，2）]上，x＝eq\f(π,4）；(2）在［0,2π］上，x＝eq\f(π,4）或x＝eq\f（3π，4）；(3)在R上符合條件的角是所有與eq\f（π，4)終邊相同的角和所有與eq\f(3π，4)終邊相同的角．因此x的取值集合為{x｜x＝2kπ＋eq\f(π，4）(k∈Z)｝∪{x｜x＝2kπ＋eq\f（3π,4)(k∈Z)｝．點(diǎn)評(píng)：本例解法沒(méi)涉及到反正弦概念，那么學(xué)習(xí)反正弦還有什么用呢？教師可就此點(diǎn)明,在本例(1)中，eq\f(π,4)＝arcsineq\f(\r（2）,2)，eq\f（3π,4）＝π－arcsineq\f(\r(2)，2).那么本例（2）中的答案也可寫成｛arcsineq\f（\r（2),2），π－arcsineq\f(\r（2)，2)｝．進(jìn)一步體會(huì)－eq\f（\r(2)，2）≤arcsina≤eq\f(\r(2),2)（其中－1≤a≤1）．同時(shí)強(qiáng)調(diào),如果求得的角是特殊角，則最好用特殊角的弧度表示,如果不是特殊角，則用反正弦表示，為書寫方便，一般地把x作為自變量，y是x的函數(shù)，記為y＝arcsinx.例如:如果sinx＝eq\f(1，2),x∈[－eq\f（π,2），eq\f(π，2）］,則x＝arcsineq\f(1，2)＝eq\f（π，6）；如果sinx＝－eq\f（\r(3），2)，x∈［－eq\f（π,2），eq\f(π,2）］,則x＝arcsin（－eq\f（\r(3),2）)＝－eq\f（π，3);如果sinx＝0，x∈［－eq\f（π，2)，eq\f(π,2)]，則x＝arcsin0＝0；如果sinx＝0.3458,x∈［－eq\f(π，2)，eq\f(π，2)］，在不要求求出具體的x值時(shí)，其中的x可記作arcsin0.3458，即x＝arcsin0.3458。變式訓(xùn)練函數(shù)y＝sinx，x∈［eq\f(π，2），eq\f（3π，2)]的反函數(shù)為()A．y＝arcsinx，x∈[－1,1]B．y＝－arcsinx，x∈[－1,1]C．y＝π＋arcsinx，x∈［－1,1］D.y＝π－arcsinx，x∈［－1，1]解析：因?yàn)閤∈［eq\f(π,2），eq\f(3π,2)]，所以π－x∈[－eq\f（π，2)，eq\f(π，2)]，且sin(π－x）＝sinx,所以y＝sinx＝sin(π－x)的反函數(shù)是π－y＝arcsinx，即y＝π－arcsinx(x∈［－1，1]）．故選D.已知余弦值和正切值,求角．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(提出問(wèn)題)）eq\a\vs4\al(1你能類比反正弦函數(shù)的概念，給出反余弦、反正切函數(shù)的概念嗎?，2arccosa－1≤a≤1、arctana的范圍是多少？)活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)，得出函數(shù)y＝cosx在區(qū)間[0,2π）上,對(duì)y∈(－1,1)的任意一個(gè)值，有兩個(gè)角x與之對(duì)應(yīng)．如果考察自變量x在整個(gè)定義域(－∞，∞)上取值，那么對(duì)區(qū)間[－1,1］上的任意一個(gè)值y，有無(wú)窮多個(gè)x值與之對(duì)應(yīng)，為了使符合條件cosx＝a(－1≤a≤1)的角x有且只有一個(gè)，我們選擇閉區(qū)間［0，π］作為基本范圍．在這個(gè)閉區(qū)間上,符合條件cosx＝a(－1≤a≤1)的角x,叫做實(shí)數(shù)a的反余弦，記作arccosa，即x＝arccosa，其中x∈［0，π］且a＝cosx.同樣，根據(jù)正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)，為了使符合條件tanx＝a(a為任意實(shí)數(shù))的角x有且只有一個(gè),我們選擇開區(qū)間（－eq\f（π，2），eq\f（π,2））作為基本的范圍．在這個(gè)開區(qū)間內(nèi),符合條件tanx＝a(a∈R）的角x，叫做實(shí)數(shù)a的反正切，記作arctana,即x＝arctana,其中x∈(－eq\f(π，2），eq\f（π，2)）,且a＝tanx。討論結(jié)果:（1)略．（2)0≤arccosa≤π，－eq\f(π，2)<arctana〈eq\f(π，2).eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（應(yīng)用示例）)例2已知cosx＝－eq\f(\r(2）,2)，且x∈［0，2π），求x的取值集合．解:因?yàn)橛嘞液瘮?shù)值是負(fù)值,所以x是第二或第三象限的角（圖2）．由coseq\f（3π,4）＝－coseq\f(π,4）＝－eq\f(\r（2)，2）圖2可知，所求符合條件的第二象限的角x＝eq\f(3π,4）。又由cos（eq\f（π，4)＋π）＝－coseq\f（π，4)＝－eq\f(\r(2)，2）可知，在區(qū)間［0，2π)內(nèi)符合條件的第三象限的角x＝eq\f(π,4)＋π＝eq\f(5π,4）。因此,所求角x的取值集合為{eq\f(3π,4),eq\f(5π，4）｝．點(diǎn)評(píng)：與例1一樣，本解法仍沒(méi)用到反余弦符號(hào),其道理同例1.因此本例中答案可寫成｛arccos（－eq\f（\r（2)，2）)，π＋arccoseq\f(\r(2)，2)｝或?qū)懗蓒π－arccoseq\f（\r(2）,2),π＋arccoseq\f(\r(2），2）｝或｛arccos（－eq\f（\r(2），2)），2π－arccos(－eq\f(\r(2),2))｝．因?yàn)槭翘厥饨牵詫懀鹐q\f(3π,4)，eq\f（5π，4）}最簡(jiǎn)潔明了．如：arccoseq\f（1,2）＝eq\f（π,3），arccoseq\f(\r(2）,2）＝eq\f（π，4)，arccos（－eq\f(1，2））＝eq\f(2π，3）。由此也看出，在用反三角符號(hào)表示角或角的集合時(shí),形式上不唯一.變式訓(xùn)練(1）已知cosx＝－0。7660，且x∈[0，π］,求x。(2)已知cosx＝－0.7660，且x∈[0，2π]，求x的集合．解：(1）由余弦函數(shù)在閉區(qū)間[0，π］上是減函數(shù)及已知條件知，符合條件的角有且只有一個(gè),這個(gè)角為鈍角．∴x＝arccos(－0.7660）．(2）∵cosx＝－0。7660〈0，∴x是第二或第三象限角．若x為第二象限角，則x＝arccos(－0.7660);若x為第三象限角，則x＝2π－arccos（－0。7660）．∴符合條件的角的集合為{arccos（－0.7660）,2π－arccos(－0。7660)｝。例3已知tanx＝－eq\f(\r（3)，3），且x∈（－eq\f（π,2)，eq\f（π，2)），求x的值．解：∵tanx＝－eq\f(\r(3)，3）〈0,∴x為第二或第四象限角．又∵－eq\f(π，2)≤x≤eq\f(π,2）,∴符合條件的角只有一個(gè),x＝arctan（－eq\f(\r(3），3））＝－eq\f(π，6)。變式訓(xùn)練(1）已知tanx＝－eq\f（\r（2)，2)，且x∈（－eq\f（π，2)，eq\f（π，2)），求x。（2)已知tanx＝－eq\f(\r（2），2）,且x∈[0，2π]，求x的取值集合．解：（1)∵tanx＝－eq\f（\r（2）,2）〈0，且x∈（－eq\f（π,2),eq\f（π，2))，∴符合條件的角有且只有一個(gè)，x＝arctan(－eq\f（\r（2)，2））．(2)∵tanx＝－eq\f（\r（2)，2）<0，且x∈[0,2π]，可知符合條件的角有兩個(gè)：在第二象限或第四象限．∴所求角的集合為{π＋arctan（－eq\f（\r(2),2）)，2π＋arctan（－eq\f(\r（2),2））｝。eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(課堂小結(jié)))先讓學(xué)生回顧本節(jié)課所學(xué)過(guò)的知識(shí)，涉及到的數(shù)學(xué)思想方法．在此基礎(chǔ)上教師進(jìn)行畫龍點(diǎn)睛：在學(xué)完反正弦后，我們用類比的思想學(xué)習(xí)了反余弦、反正切．要求熟練掌握已知角α的三角函數(shù)值求α角的一般步驟．本教材只要求同學(xué)們會(huì)用arcsinx，arccosx，arctanx這三個(gè)符號(hào)表示角，對(duì)于這三個(gè)符號(hào)的其他知識(shí)不作進(jìn)一步探討．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（作業(yè)））課本本節(jié)練習(xí)A組1，3.eq\o(\s\up7(）,\s\do5(設(shè)計(jì)感想））本節(jié)教案設(shè)計(jì)主線是：始終抓住類比思想,數(shù)形結(jié)合思想，讓學(xué)生在鞏固原有知識(shí)的基礎(chǔ)上，通過(guò)類比，結(jié)合圖形，由學(xué)生自己來(lái)對(duì)新知識(shí)進(jìn)行分析、猜想、驗(yàn)證、應(yīng)用，使新舊知識(shí)點(diǎn)有機(jī)地結(jié)合在一起；同時(shí)通過(guò)多媒體教學(xué),使學(xué)生通過(guò)對(duì)圖象的觀察，對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解更加直觀、形象，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，教學(xué)過(guò)程流暢，符合高中課程標(biāo)準(zhǔn)理念．本節(jié)教案設(shè)計(jì)理念是:堅(jiān)持以學(xué)生為本,以學(xué)生的實(shí)際情況為教學(xué)出發(fā)點(diǎn)，通過(guò)各種數(shù)學(xué)思想的滲透，合理運(yùn)用各種教學(xué)課件，讓學(xué)生學(xué)會(huì)通過(guò)對(duì)圖象的觀察來(lái)整理相應(yīng)的知識(shí)點(diǎn)，學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)思想解決實(shí)際問(wèn)題的能力．這樣既加強(qiáng)了類比、數(shù)形結(jié)合等重要數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)，也有利于學(xué)生綜合運(yùn)用能力的提高，有利于學(xué)生把新舊知識(shí)前后聯(lián)系，融會(huì)貫通，提高教學(xué)效果．eq\o（\s\up7（）,\s\do5（備課資料））備用習(xí)題1．滿足cosx＝eq\f(1，3)（－eq\f（π，2)〈x<0）的x的值是()A．π－arccoseq\f（1,3)B.eq\f（π,2）－arccoseq\f(1，3）C．a(chǎn)rccoseq\