專(zhuān)題3-18 函數(shù)中的折疊問(wèn)題（鞏固篇）-【挑戰(zhàn)滿(mǎn)分】2023年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)精練

專(zhuān)題3.18函數(shù)中的折疊問(wèn)題(鞏固篇)

一、單選題

1.如圖，把矩形紙片OABC放入平面直角坐標(biāo)系中，使OA、0C分別落在x軸，y軸

上，連0B,將紙片OABC沿0B折疊，使點(diǎn)A落在A，的位置，若0B=逐，tanZBOC-y,

則點(diǎn)A，的坐標(biāo)()

2.如圖，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-3,9),過(guò)點(diǎn)A作x軸的垂線交x軸于點(diǎn)B,連接A。，現(xiàn)

將AABO沿A。折疊，點(diǎn)8落在第一象限的8，處，則直線與x軸的交點(diǎn)。的坐標(biāo)為()

A.(5,0)B.C0亞。)D.

3.在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-^x+5與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)

C(0,a)(0<a<5)是y軸上一點(diǎn).把坐標(biāo)平面沿直線AC折疊，使點(diǎn)B剛好落在x軸上，則a

值為().

12r5-13-5

A.—B.—C.—D.—

512513

4.如圖菱形。4BC,在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(8,0),ZC=60°,點(diǎn)P為。4上的一

點(diǎn)，且點(diǎn)尸(3,0),。是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將四邊形OPQC沿直線P。折疊，0的對(duì)應(yīng)

點(diǎn)。'，當(dāng)80'的長(zhǎng)度最小時(shí)，則點(diǎn)0的坐標(biāo)為()

A.(-1,46)B.(-2,4+)C.(-3,4用D.(0,44)

5.如圖，在Rt_ABC中，ZABC=90°,AB=2BC=4,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1

個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿線段A8勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)8時(shí)，停止運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)尸作

交AC于點(diǎn)。，將△APQ沿直線P2折疊得到aA/Q,設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為1秒，4尸。與

43c重疊部分的面積為S,則下列圖象能大致反映S與f之間函數(shù)關(guān)系的是（）

6.將拋物線y=x2-2x-3沿x軸折疊得到的新拋物線的解析式為()

A.y=-x2+2x+3B.y=-x2-2x-3C.y=x2+2x-3D.y=x2-2x+3

7.如圖，矩形ABC。中，AB=3,8C=5,點(diǎn)尸是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)8,

C重合），現(xiàn)將△PC。沿直線PO折疊，使點(diǎn)C落下點(diǎn)。處；作N8PG的平分線交AB于點(diǎn)

E.設(shè)8P=x,BE=y,那么y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致應(yīng)為（）

8.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，正方形0ABe的邊OC、Q4分別在x軸和y軸上,

。4=5,點(diǎn)。是邊A8上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，將△OAD沿直線。。折疊后得到△047）,

9.如圖，以矩形OABC的長(zhǎng)0C作x軸，以寬。4作y軸建立平面直角坐標(biāo)系，

OA=4,OC=8,現(xiàn)作反比例函數(shù)y=A(ZwO)交BC于點(diǎn)E,交4?于點(diǎn)F,沿EF折疊，點(diǎn)

X

B落在OC的點(diǎn)G處，OG=3GC,則上的值是()

A.8B.12C.15D.16

10.如圖，矩形AOBC的兩條邊OA,。8分別落在x軸、y軸上，A點(diǎn)坐標(biāo)為(-8,0),

B點(diǎn)坐標(biāo)為(0,10),點(diǎn)。在線段3c上，沿直線AZ)將矩形折疊，使點(diǎn)C與》軸上的點(diǎn)E重

合，則點(diǎn)。的坐標(biāo)為()

V

A.(-3,10)B.(TIO)C.(-5,10)D.(3,10)

二、填空題

12

II,如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-《X+12,與y、X軸分別相交于A、8兩點(diǎn),

將.AOB沿過(guò)點(diǎn)B的直線折疊，使點(diǎn)A落在X軸負(fù)半軸上的點(diǎn)4處，，折痕所在直線交y軸

正半軸于點(diǎn)C.把直線AB向左平移，使之經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,則平移后直線的函數(shù)關(guān)系式是

12.如圖，在直角坐標(biāo)系中有一矩形A8C￡>,A8在y軸上，且A8=4,AO平行于x軸,

且A￡>=5,將矩形ABC。沿。。折疊，使得點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)E處，P是x軸上一動(dòng)點(diǎn),

則PA+PD的最小值為.

13.如圖，拋物線y=-x?+x+6交x軸于A、B兩點(diǎn)(A在B的左側(cè))，交N軸于點(diǎn)C,點(diǎn)

。是線段AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是線段A8上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，沿OP折疊得△APQ,則線段A'B

的最小值是.

14.在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=a(x-2)jg經(jīng)過(guò)原點(diǎn)0,與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A.將

拋物線在x軸下方的部分沿x軸折疊到x軸上方，將這部分圖象與原拋物線剩余部分的圖象

組成的新圖象記為G,過(guò)點(diǎn)B(0,l)作直線1平行于x軸，當(dāng)圖象G在直線1上方的部分對(duì)應(yīng)的

函數(shù)y隨x增大而增大時(shí)，x的取值范圍是—.

15.將拋物線y=-x2-4x(-4WxS0)沿y軸折疊后得另一條拋物線，若直線y=x+b

與這兩條拋物線共有3個(gè)公共點(diǎn)，則b的取值范圍為.

16.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形A8CO,點(diǎn)3(10,8),點(diǎn)。在8c邊上，連接A。，

把△ABO沿AD折疊，使點(diǎn)8恰好落在OC邊上點(diǎn)E處，反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)。，則k

17.如圖，把面積為1的正方形紙片ABCD放在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B、C在x軸

上，A、D和B、C關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)將C點(diǎn)折疊到y(tǒng)軸上的C處，折痕為BP,現(xiàn)有一反比例

函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)P點(diǎn)，則該反比例函數(shù)的解析式為.

18.如圖，矩形OABC的頂點(diǎn)A、C分別在x、y軸的正半軸上，OA=8,點(diǎn)D為對(duì)角

線OB的中點(diǎn)，若反比例函數(shù)y=2在第一象限內(nèi)的圖象與矩形的邊BC交于點(diǎn)F,與矩形

X

邊AB交于點(diǎn)E,反比例函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)D,且tan/BOA=g,設(shè)直線EF的表達(dá)式為

y=k2X+b.將矩形折疊，使點(diǎn)O與點(diǎn)F重合，折痕與x軸正半軸交于點(diǎn)H,與y軸正半軸交

于點(diǎn)G,直接寫(xiě)出線段OG的長(zhǎng).

三、解答題

19.如圖，在直角坐標(biāo)系中，長(zhǎng)方形紙片A8CO的邊AB〃CO,點(diǎn)3坐標(biāo)為(9,3),若

把圖形按如圖所示折疊，使8、。兩點(diǎn)重合，折痕為EF.

(1)求證：。瓦■為等腰三角形；

(2)求EF的函數(shù)表達(dá)式

(3)求折痕EF的長(zhǎng).

20.如圖，矩形4JCO中，點(diǎn)C在x軸上，點(diǎn)A在y軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)是(-12,16),矩

形A8CO沿直線8。折疊，使得點(diǎn)A落在對(duì)角線OB上的點(diǎn)E處，折痕與Q4、x軸分別交于

點(diǎn)D、F.

(1)直接寫(xiě)出線段。8的長(zhǎng)；

(2)求直線8。解析式；

(3)若點(diǎn)N在直線BO上，在x軸上是否存在點(diǎn)M,使以M、N、E、。為頂點(diǎn)的四邊形

是平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出一個(gè)滿(mǎn)足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

21.已知：如圖，拋物線y=-x2+foc+c經(jīng)過(guò)原點(diǎn)。，它的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=2,動(dòng)點(diǎn)P

從拋物線的頂點(diǎn)A出發(fā)，在對(duì)稱(chēng)軸上以每秒1個(gè)單位的速度向下運(yùn)動(dòng)，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間

為/秒，連接0P并延長(zhǎng)交拋物線于點(diǎn)8,連接。4,AB.

(1)求拋物線解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)當(dāng)三點(diǎn)A,O,B構(gòu)成以為0B為斜邊的直角三角形時(shí)，求f的值；

(3)將，沿直線P8折疊后，那么點(diǎn)A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A能否恰好落在坐標(biāo)軸上？若能，

22.矩形0A8C的頂點(diǎn)A,C分別在x,y軸的正半軸上，點(diǎn)尸是邊8C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不

與點(diǎn)、B,C重合)，過(guò)點(diǎn)F的反比例函數(shù)y=、(x>0)的圖象與邊AB交于點(diǎn)E(8M),A8=4.

(1)如圖1,若BE=34E.

①求反比例函數(shù)的表達(dá)式；

②將矩形0ABe折疊，使。點(diǎn)與F點(diǎn)重合，折痕分別與x,y軸交于點(diǎn)H,G,求線段

0G的長(zhǎng)度.

(2)如圖2,連接。凡EF,請(qǐng)用含機(jī)的關(guān)系式表示0AE尸的面積，并求。的面積

的最大值.

23.如圖，二次函數(shù)yugd+bx+c與x軸交于。(0,0),A(4,0)兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為C,連接

0C、AC,若點(diǎn)B是線段上一動(dòng)點(diǎn)，連接BC,將，A5C沿BC折疊后，點(diǎn)A落在點(diǎn)A的

位置，線段A'C與x軸交于點(diǎn)。，且點(diǎn)。與0、A點(diǎn)不重合.

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)①求證：.；

②求”的最小值；

24.矩形A03C中，0B=4,0A=3.分別以05、04所在直線為x軸、y軸，建立如

圖1所示的平面直角坐標(biāo)系.尸是8C邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與8、C重合).過(guò)點(diǎn)尸的反比例函

數(shù)(左＞0)的圖象與邊AC交于點(diǎn)E.

X

(1)當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)到邊BC的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為；

(2)連接EF求NFEC的正切值；

(3)如圖2,將ACEF沿EF折疊，點(diǎn)C恰好落在邊08上的點(diǎn)G處，求BG的長(zhǎng)度.

參考答案

1.C

【分析】即求4點(diǎn)關(guān)于。8的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo).通過(guò)解方程組求解.

解：：tan/80C=；,：.OC=2BC.

VOC2+BC2^OB2=5,，8C=1,0C=2.

所以4(I,0),B(1,2).

直線08方程：y-2=2(x-1),4和A關(guān)于08對(duì)稱(chēng)，假設(shè)4(初，yo),AA'中點(diǎn)為M

(x,y),則后1,y=等.

22

VM(x,y)在直線OB：y-2=2(x-1)上，二/-2=2(-1),即y(f=2(^1).

22222

xo+yo=OA'=OA=lf/.A7?+4(XO+1)=1,5xcr+Sxo^3=O.

A.3

解得：xo--1或者xcr--,

當(dāng)xo=-1時(shí)，yo=O,不合題意，舍去；

當(dāng)xo=-1時(shí)，yo=y?

所以人('美3),4

故選C.

【點(diǎn)撥】主要考查了坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)和翻折變換，三角函數(shù)的運(yùn)用以及

一次函數(shù)的應(yīng)用.要熟練掌握才會(huì)靈活運(yùn)用.

2.D

【分析】根據(jù)對(duì)稱(chēng)性得至IJNBAONCAO,由A8〃y軸得/COA=/8A。,可推出CA=CO,

再根據(jù)勾股定理即可求得0C,進(jìn)而求出直線解析式即可得結(jié)論.

解：根據(jù)翻折可知：

O

ZBAO=ZCAO9ZABO=ZAB'O=90,AB=AB=9,OB'=OB=3.

???A3J_x軸，

???A8〃y軸，

：.ZBAO=ZCOA,

：.ZCAO=ZCOAf

:?CA=CO,

設(shè)C4=x,則C。=x,C8=9-尤，

在RS0C8中，根據(jù)勾股定理，得

2

O^OB'^B'C,即/=32+(9-X)2,

解得：x=5,

：.OC=5,

AC(O,5),

設(shè)直線AO解析式為產(chǎn)奴+4

將A(-3,9),C(0,5)代入，得

b=5,-3k+5=9,

解得：k=~1，

直線AO解析式為y=-gx+5,

當(dāng)-0時(shí),x=—,

二力點(diǎn)的坐標(biāo)為(二，0).

故選：D.

【點(diǎn)撥】本題考查了等腰三角形的判定、翻折變換、勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)

勾股定理求得OC的長(zhǎng).

3.A

【分析】過(guò)C作COJ_48于。，先求出A,8的坐標(biāo)，分別為(12,0),(0,5),得至"

A8的長(zhǎng),再根據(jù)折疊的性質(zhì)得到4c平分/0A8,得到CD=CO=a,0A=04=12,則DB=13-12=1,

BC=5-a,在必△BCD中，利用勾股定理得到。的方程，解方程求出〃即可.

解：過(guò)C作CD_LA8于。，如圖，

對(duì)于直線'=一亮x+5,

當(dāng).v=0,得產(chǎn)5,

當(dāng)y=0,x=12,

.'.A(12,0),B(0,5),即0A=12,0B=5,

."8=doA+OB?=,122+5?=13?

又???坐標(biāo)平面沿直線AC折疊，使點(diǎn)3剛好落在x軸上，

???AC平分NO4B,

：.CD=CO=a.則8。=5-〃，

.\DA=OA=\2,

/.DB=13-12=1,

在放aBCO中，DC2+BD2=BC2,

/.n2+l2=(5-6()2,

解得斫?12，

故選:A.

【點(diǎn)撥】本題考查了求直線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)的方法：分別令戶(hù)0或)=0,求對(duì)應(yīng)的

y或x的值；也考查了折疊的性質(zhì)和勾股定理.

4.C

【分析】連接BP,設(shè)BC交)，軸于T,首先求出P8的長(zhǎng)，由題意，當(dāng)點(diǎn)0,落在8尸上

時(shí)，8。'的值最小，此時(shí)/OPQ=ZQPB,證明8。=8P=7,可得結(jié)論；

解：如圖，連接8P,設(shè)8c交y軸于T.

：.OA=OC=BC=S,

VZC=60°,ZOTC=90°,

.?.CT=；OC=4,OT=[OC2_CT2=7^^=48，

：.B（4,4百），

?:P（3,0）,

:?PB=Ji?+（4A^）=7,

,:OP=PO'=3,

.??當(dāng)點(diǎn)O'落在3P上時(shí)，30'的值最小，此時(shí)NOPQ=NQP"

■:BC//OA,

:?/BQP=/OPQ,

:.NBPQ=/BQP,

:,BQ=BP=7,

：.CQ=BC-BQ=8-1=\,

：.Q(-3,4回；

故選：C.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形對(duì)稱(chēng)變化，翻折變換，等邊三角形的

判定與性質(zhì)，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

5.D

【分析】由題意易得—anNA=g,則有PQ=?,進(jìn)而可分當(dāng)點(diǎn)尸在A8中點(diǎn)

的左側(cè)時(shí)和在AB中點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，然后分類(lèi)求解即可.

解：VZABC=90°,AB=2BC=4,

tanZA=—,

2

由題意知：AP=f,

PQ=AP.tanNA=5,

由折疊的性質(zhì)可得：A'P=AP,ZAPQ=ZA'PQ=90°,

當(dāng)點(diǎn)。與43中點(diǎn)重合時(shí)，則有1=2,

當(dāng)點(diǎn)P在AB中點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，即0Wf<2,

.?.“A'PQ與ABC重疊部分的面積為S4P/0=；入；1=(?；

當(dāng)點(diǎn)尸在A8中點(diǎn)的右側(cè)時(shí)、即2WY4,如圖所示：

由折疊性質(zhì)可得：=AP=t,ZAPQ=^A!PQ=90°,tan乙4=tanNA=；,

???BP=4-r,

A'3=2r-4,

，8￡>=A0tanZA'=f-2,

二A'P。與一4?C重疊部分的面積為

S）?“，2=；（BO+PQ）.M=；（5+f-2）（4T）=-$2+4r-4；

綜上所述：能反映.A'PQ與重疊部分的面積S與1之間函數(shù)關(guān)系的圖象只有D選

項(xiàng)；

故選D.

【點(diǎn)撥】本題主要考查二次函數(shù)的圖象及三角函數(shù)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及三角函

數(shù)是解題的關(guān)鍵.

6.A

【分析】利用原拋物線上的關(guān)于X軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的特點(diǎn)：橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)

就可以解答.

解：拋物線y=x2-2x-3關(guān)于X軸對(duì)稱(chēng)的拋物線的解析式為：-y=x2-2x-3,

HPy=-x2+2x+3,

故選A.

【點(diǎn)撥】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，解決本題的關(guān)鍵是抓住關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的

坐標(biāo)特點(diǎn).

7.C

解：由翻折的性質(zhì)得，/CPD=/CPD,

〈PE平分NBPCi,

：./BPE=/CiPE,

.??NBPE+NCPD=9。。,

VZC=90°,

,ZCPD+ZPDC=90°,

:.NBPE=NPDC,

又???/8=NC=90。，

：?4PCDs/\EBP,

.BEPB

**PC-CD*

即“

：.y=-x(5-x)=--(x--)2+竺,

-33212

???函數(shù)圖象為C選項(xiàng)圖象.

故選C.

【點(diǎn)撥】考點(diǎn)：動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象、翻折變換的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)

8.B

【分析】過(guò)/V作EF_LOC「R交設(shè)則。尸=加,4尸=〃，通過(guò)證

m_n_o

明4Ao/S.DYE,得到。=—5=3,解方程組求得加、〃的值，即可得到A，的坐標(biāo),

m—

3

代入y工0）即可求得k的值.

解：過(guò)今作EFJLOC于凡交AB于E,

：.ZOA,F-hZDA,E=90°.

NOA/+Z/VO/=90。，

.??ZDAE=ZAOF,

,：ZAFO=ZDEA;f

：...AOFsD4，E,

.OFA'FOA'

"^E~~DE~7JD

設(shè)4(見(jiàn)〃),

OF=肛A'F=n,

由折疊得：OA=OA,AD=AD,

:0A=5，點(diǎn)。是邊AB上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn),

OA:OAAB個(gè)

：.OA=BC=AB=5AD=--;—--=3,

f3A'DADAD

DE=tn—,

3

易得四邊形。心是矩形,

???EF=OA=5,

f

???AE=5-nf

mA-

--5-n

tn——

3

解得：m=3,n=4,

：.N(3,4),

?反比例函數(shù)y=：(/HO)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)”,

.?.々=3x4=12,

故選：B.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，相似三角形

的判定和性質(zhì)等知識(shí)，求得4的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.

9.B

【分析】根據(jù)0G=3GC且0C=8可求得GC的長(zhǎng)，根據(jù)折疊的性質(zhì)得BE=EG,CE=x,

貝ijBE=EG=4-x,在RfAECG中根據(jù)勾股定理可求得CE的長(zhǎng)，從而求得點(diǎn)E的坐標(biāo)，即可求

得答案.

解：'：0G=3GC,0C=8,

：.GC=2,

根據(jù)折疊的性質(zhì)得BE=EG,

設(shè)CE=x,則詆EG=4-x,

?.?四邊形0A8C是矩形，

???NOCB=90。,

在即AECG中，EG2=GC2+CE\即(4—X)2=2?+/,

3

解得：x=],

3

???點(diǎn)七的坐標(biāo)為(8,y),

3k

將(8,；)代入y=2,

2x

3

攵=8x—=12,

2

故選：B.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，還考查了矩形的性質(zhì)，折

疊的性質(zhì)，勾股定理，利用勾股定理求得點(diǎn)E的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.

10.A

【分析】設(shè)。。=再確定33=8?羽再求解3E=4,再利用勾股定理列方程求解即可.

解：矩形AO3C,A點(diǎn)坐標(biāo)為(—8,0),5點(diǎn)坐標(biāo)為(0,10),

\OA=BC=8,AC=OB=lO,

設(shè)CO=x,

結(jié)合對(duì)折可得：

CD=DE=x,AC=AE=lO,

\OE=J102-82=6,BE=4,而B(niǎo)D=8-x,

由勾股定理可得：X2=(8-x)2+42,

解得：x=5,

\80=3,0(-3,10).

故選A

【點(diǎn)撥】本題考查的是坐標(biāo)與圖形，軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，矩形的性質(zhì)，熟

練的利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)確定相等的邊是解本題的關(guān)鍵.

1210

11.y=--x+—

53

【分析】先求得48的坐標(biāo)，然后由勾股定理求出A3,再由折疊的性質(zhì)得出

AB=AB=13,求得4(一8,0),在RtZXA'OC中，根據(jù)勾股定理HC?=OC?+A'O),列出方

程，解方程即可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，即可求得平移后的解析式.

12

解：?.?直線y=-1x+12,與八x軸分別相交于A、B兩點(diǎn)，

令x=0,解得y=12,令y=0,解得x=5,

.-.4(0,12),8(5,0),

ACM=12,08=5,

；ZAOB=ZAOC=90°,

■■AB=^O^+OB1=V122+52=13-

A'B=AB=]3,

4(-8,0),

設(shè)OC=x,

A'C=AC=12-x,

在RlA/TOC中，

A'C2=OC2+A'O2,

BP(12-X)2-X2+82,

解得x=?，

.??平移后的直線的解析式為y=-日龍+號(hào).

故答案為：'=_￡彳+與

【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理與折疊的性質(zhì)，一次函數(shù)的平移，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交

點(diǎn)，求得點(diǎn)c的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.

12.572

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得到BC=4O=5,CD=AB=4,ZBAD—ZC—ZAA?C=90°,

根據(jù)折疊的性質(zhì)得到DE=AD^5,/￡>EO=/BAO=9(T,OE=AO,根據(jù)勾股定理得到CE,

求得BE=2,根據(jù)勾股定理得到0A,作點(diǎn)4關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)4,連接DY交x軸于尸，

則布+尸。的值最小，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論.

解：；四邊形4BCO是矩形，

：.BC^AD=-5,CO=4B=4,NC=NA8C=90°,

???將矩形ABCD沿0D折疊，使得點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)E處，

：.DE=AD=5,NDEO=NBAD=90°,OE=AO,

???CEVDP-CD2=6_42=3,

BE=2,

,/OE2=OB2+BE2,

二OH=（4-OA）2+22,

/.0A=—,

2

作點(diǎn)4關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)4,連接04交x軸于P,則以+尸力的值最小,

則04=04=2.5,

.?.A4'=5,

二川+的最小值=A'D=752+52=50,

故答案為：572.

【點(diǎn)撥】本題考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，勾股定理，正確地找到

點(diǎn)P的位置是解題的關(guān)鍵.

13.5-Vio##->/io+5

【分析】先根據(jù)拋物線解析式求出點(diǎn)A,B,C坐標(biāo)，從而得出。4=2,OB=3,OC=6,

再根據(jù)勾股定理求出AC的長(zhǎng)度，然后根據(jù)翻折的性質(zhì)得出A，在以。為圓心，A4為半徑的

圓弧上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)D,4,B在同一直線上時(shí)，碗最??；過(guò)點(diǎn)。作垂足為E,由

中位線定理得出DE,0E的長(zhǎng)，然后由勾股定理求出80,從而得出結(jié)論.

解：令y=o,則一%2+%+6=0,

解得者=-2,x2=3,

A（-2,0）,8（3,0）,

OA—2,OB—3,

令兀=0,則y=6,

.?.C（6,0）,

OC=6,

AC=拒+62=2而,

。為AC中點(diǎn)，

￡>A=DC=VlO>

^APD由△APD沿。尸折疊所得，

:.DA=DA',

A'在以。為圓心，DA為半徑的圓弧上運(yùn)動(dòng),

二當(dāng)。，4,5在同-一直線上時(shí)，碗最小，

/.AE=OE=1,DE=3,

1.BE=4,

.-.BD=y/32+42=5-

又DA=DA'=y/lQ,

3A'的最小值為5-710,

故答案為：5->/10.

【點(diǎn)撥】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，翻折變換、勾股定理以及求線段最小值等知

識(shí)，關(guān)鍵是根據(jù)拋物線的性質(zhì)求出A,B,C的坐標(biāo).

14.l<x<2或x>2+近.

【分析】先寫(xiě)出沿x軸折疊后所得拋物線的解析式，根據(jù)圖象計(jì)算可得對(duì)應(yīng)取值范圍.

解：由題意可得拋物線：y=；(x-2)T，

對(duì)稱(chēng)軸是：直線x=2,由對(duì)稱(chēng)性得：A(4,0),

沿x軸折疊后所得拋物線為：y=-；(x-2)?+：；

如圖，由題意得：

14

當(dāng)y=l時(shí)，-(x-2)2-=l,

解得：X\=2+S,X2=2-幣,

/.C(2-V7,l),F(2+>/7,1),

14

當(dāng)y=i時(shí),-3(x-2)2+fi,

解得：XI=3,X2=1,

.,.D(1,1),E(3,1),

由圖象得：圖象G在直線1上方的部分，當(dāng)l<x<2或x>2+近時(shí)，函數(shù)y隨x增大而增

大；

故答案為l<x<2或x>2+不.

【點(diǎn)撥】此題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象與幾何變換，拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，

解題關(guān)鍵在于結(jié)合函數(shù)圖象進(jìn)行解答.

9

15.0<b<-

4

【分析】畫(huà)出圖象，利用圖象法解決即可.

解:將拋物線y=-x2-4x(-4WxW0)沿y軸折疊后得另一條拋物線為y=-x2+4x(0<x<4)

畫(huà)出函數(shù)如圖，

由圖象可知，

當(dāng)直線y=x+b經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)有兩個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)b=0,

[y=x+b

解廠，，，整理得x2-3x+b=0,

[y=-*-+4X

若直線y=x+b與這兩條拋物線共有3個(gè)公共點(diǎn)，

則A=9-4b>0,

解得匕<：9

4

所以，當(dāng)0<bV92時(shí)，直線y=x+b與這兩條拋物線共有3個(gè)公共點(diǎn)，

9

故答案為0<6<J.

【點(diǎn)撥】本題考查了二次函數(shù)圖像的折疊問(wèn)題，解決本題的關(guān)鍵是能夠根據(jù)題意畫(huà)出二

次函數(shù)折疊后的圖像，掌握二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系.

16.30

【分析】首先根據(jù)翻折變換的性質(zhì)，可得AE=AB=10,OA=BC=8,DE=B。；然后設(shè)點(diǎn)

。的坐標(biāo)是(10,b),在RACDE中，根據(jù)勾股定理，求出的長(zhǎng)度，進(jìn)而求出左的值.

解：???△48。沿AO折疊，使點(diǎn)8恰好落在0c邊上點(diǎn)E處，點(diǎn)3(10,8),

：.AE^AB=\Q,OA=BC=8,DE=BD,

OE=yjAE2-O^=6,CE=]0_6=4,

設(shè)點(diǎn)。的坐標(biāo)是(10,b),則CD=b,DE=BD=8-b,

CD2+CE2=DE2,

.?"2+4?=(8-6)2,

解得：。=3,

.??點(diǎn)。的坐標(biāo)是(1(),3),

k

?反比例函數(shù)y='的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)。，

X

...々=3x10=30.

故答案為：30.

【點(diǎn)撥】本題考查的是矩形的性質(zhì)，軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，反比例函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，

掌握利用待定系數(shù)法求解反比例函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵.

17.y=—.

6x

解：依題意知BC=BC=1,OB=1,

??.C'的縱坐標(biāo)為巫，/OBC=60。，

2

.,.△CBC為等邊三角形，

所以ZPBC=30。

.?.PC=BCtan300=且

3

AP(；,旦

23

k

設(shè)該反比例函數(shù)的解析式為y=±,

X

則k=xy=立~

6

??.y=@.

6x

考點(diǎn)：待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式.

18.-

2

【分析】利用正切的定義計(jì)算出AB得到B點(diǎn)坐標(biāo)為(8,4),則可得到D(4,2),然

后利用待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)表達(dá)式；利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征確定F(2,

4),連接GF,如圖，設(shè)OG=t,則CG=4-t,利用折疊的性質(zhì)得到GF=OG=t,則利用勾

股定理得到2?+(4-t)2=t2,然后解方程求出t得到OG的長(zhǎng).

1

解：在R3AOB中，VtanZBOA=——=—,

OA2

.,.AB=；OA=gx8=4,

，B點(diǎn)坐標(biāo)為(8,4),

?.?點(diǎn)D為對(duì)角線OB的中點(diǎn)，

.?.D(4,2),

把D(4,2)代入得ki=4x2=8,

X

Q

???反比例函數(shù)表達(dá)式為y=—；

x

8

當(dāng)y=4時(shí)，一=4,解得x=2,則F(2,4),

x

ACF=2,

???GF=OG=t,

在RtACGF中，22+(4-t)2=t2,解得t=g,

即0G的長(zhǎng)為g.

故答案為：

【點(diǎn)撥】本題考查/反比例函數(shù)的綜合題：熟練掌握反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、

折疊的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)；會(huì)運(yùn)用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式；會(huì)運(yùn)用三角函數(shù)的定義

和勾股定理進(jìn)行幾何計(jì)算.

19.(1)見(jiàn)分析⑵y=-3x+\5(3)回

【分析】(1)利用折疊的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)推出皿尸="FE即可；

(2)由矩形的性質(zhì)得到AD=BD=3,CD=AB=9設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(x,3),在RtAAOE中,

勾股定理得4戌+4。2=0￡2,即V+32=（9-X）2,求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，再同理得到點(diǎn)F的坐

標(biāo)，設(shè)直線EF的解析式為y=+利用待定系數(shù)法求出解析式;

（3）過(guò)點(diǎn)E作EH_LOC于點(diǎn)H,利用勾股定理求出折痕E尸的長(zhǎng).

解：（1）證明：由折疊得N￡>￡F=N8￡F,

?；AB//CO,

ZBEF=ZDFE，

/.ZDEF=ZDFE，

.QEE為等腰三角形;

（2）點(diǎn)8的坐標(biāo)為（9,3）,四邊形ABC。為矩形,

:.AD=BC=3,CD=AB=9

設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x,3）,

,:DE=BE,

AE=x,BE=9-x,

在RtAAOE中，AE2+AO2=0E2,

?,.X2+32=（9-X）2,

解得x=4,

二￡（4,3）；

同理可得F（5,0）,

設(shè)直線EF的解析式為

4k+b=3k=-3

弘+人。’解得

h=\5

???直線EF的解析式為y=-3x+\5

（3）過(guò)點(diǎn)E作EHLO。于點(diǎn)”，

-、B

-cl

V￡(4,3),尸(5,0),

EH=3,FH=OF-OH=5-4=1,

EF=>JEH2+FH2=>/32+l2=Vio-

【點(diǎn)撥】此題考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，

熟練掌握矩形的性質(zhì)與折疊問(wèn)題是解題的關(guān)鍵.

20.(1)20(2)y=-1.r+10(3)存在，M(8,0)

【分析】(1)由點(diǎn)的坐標(biāo)的特點(diǎn)可得。。=12,5。=16,由矩形的性質(zhì)可得/3。0=90。，

再利用勾股定理即可求出。3的長(zhǎng)：

(2)設(shè)OD=x,由矩形的性質(zhì)得出AO=16-x,由折疊的性質(zhì)得出?4三?E，根

據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出AB=EB=12,4D=DE=16-X,/BAD=90。=ZBED,再結(jié)合勾

股定理求出。點(diǎn)坐標(biāo)，最后利用待定系數(shù)法求解即可；

(3)過(guò)點(diǎn)E作EG，x軸與點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)后作&W〃8D,交工軸于點(diǎn)過(guò)點(diǎn)M作MN〃￡?,

交直線于點(diǎn)M此時(shí)，四邊形MNDE是平行四邊形，而〃小，通過(guò)證明￡(笫BOC,

利用相似三角形的性質(zhì)可求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出直線解析式即可求解.

解：(1);在矩形A3CO中，點(diǎn)8的坐標(biāo)是(-12,16),

ACO=12,BC=16,ZBC<9=90°,

：.OB=4CO1+BC1=20：

(2)；四邊形ABC。是矩形，

AB=OC=\2,AO=BC=\6,440=90°,

設(shè)O￡)=x,

/.A￡)=16-x,

??,矩形ABCO沿直線3。折疊，使得點(diǎn)A落在對(duì)角線08匕的點(diǎn)E處,

:.BDA三BDE，

:.AB=EB=12,AD=DE=16-x,ZBAD=90。=/BED,

NDEO=90。,

/.DE2+OE2=OD2,

03=20,

?.OE=OB—EB=8,

/.(16-X)2+82=X2,

解得x=10，

0(0,10),

設(shè)直線BO解析式為丁=履+3

、、[}6=—\2k+b

把8(z-12,16),0(z0,10)代入，得]0q，

k=--

解得2,

b=lO

/.直線B￡＞解析式為y=-gx+10；

(3)過(guò)點(diǎn)E作EG_Lx軸與點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)后作EM〃班)，交x軸于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)M作MN//ED,

交直線8。于點(diǎn)M

ZEOG=ZBOC

EOGBOC

.EOEGOG

~BO~~BC~~OC

EO=8,BO=20,BC=16,OC=12

8EGOG

20~~16~~12

3224

/.EG==,OG=—

55

田，

???直線B￡＞解析式為y=-gx+10,

設(shè)直線EM解析式為y=-gx+r，

把點(diǎn)44'高代入'

解得r=4,

，直線EM解析式為y=-gx+4,

當(dāng)y=0時(shí)，x=8,

【點(diǎn)撥】本題主要考查了四邊形綜合問(wèn)題，求一次函數(shù)的解析式，相似三角形的判定和

性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟知矩形的性質(zhì)，折疊的

問(wèn)題利用勾股定理構(gòu)造直角三角形進(jìn)行求解，分情況討論平行四邊形的邊及時(shí)角線的情況.

21.(l)y=-x2+4x；(2,4)(2)1秒(3)能，(5-百)秒或2百秒或(5+t)秒

【分析】(1)根據(jù)拋物線過(guò)原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為直線*=2,待定系數(shù)求解析式即可求解；

(2)設(shè)8。,-丁+4月.三點(diǎn)A,0,8構(gòu)成以為。8為斜邊的直角?:角形，勾股定理

5153

得出。42+他2=0*,3(；，7).繼而得出直線03的解析式為3，=?,當(dāng)》=2時(shí)，y=3,

242

得出AP=4-3=1,進(jìn)而即可求解；

(3)分三種情況討論，①點(diǎn)A在*軸正半軸上；②點(diǎn)A在＞軸負(fù)半軸上，③點(diǎn)A在x軸

負(fù)半軸上，分別畫(huà)出圖形，根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，勾股定理即可求解.

c=0

(1)解；由題意得1—b「

,2x(-1)-

b=4

解得

c=0

???拋物線的解析式為y=-X?+4x；

y=-x2+4x=-(x-2)2+4,

?.?頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,4)；

設(shè)B(x,-x2+4x).

?.?三點(diǎn)A,O,B構(gòu)成以05為斜邊的直角三角形，

???OA2+AB2=OB2,

即22+42+(X-2)2+(-x2+4x-4)2=*2+(-X2+4x)2,

整理，得2f-9x+10=0,

解得占=g,超=2(舍去)，

?用5,15

/(丁了).

設(shè)直線0B的解析式為y="，則：%=，，

3

解得&=￡，

3

???尸二工.

2

當(dāng)x=2時(shí)，y=3,

.?.AP=4-3=1,

.,.￡=1+1=1(秒);

(3)分三種情況：

①若點(diǎn)4在X軸正半軸上，如圖2,

可得仍+4尸=&2,

即(4T)2+(26-2)2=*,

解得r=5-石；

②若點(diǎn)A在y軸負(fù)半軸上，如圖3,連接AA交08丁月

可得OA=OA=2石,

??.NOAA=N0AA1,

。4//AP,

.?.N0AA=NA|AP,

NOAA=ZA{AP,

AA.10P,

：.ZOEA=ZPEA=90°.

在,。4E與心RLE中,

ZOAE=ZPAE

?AE=AE

ZOEA=Z.PEA

OAE絲ME(ASA),

OA=PA-25/5,

：.t=2y/5；

③若點(diǎn)A在X軸負(fù)半軸上，如圖4.

可得9+4。=,

即（f-4）2+（2。+2）2=*,

解得f=5+亞；

綜上所述，所有滿(mǎn)足條件的t的值為（5-石）秒或2石秒或（5+石）秒.

【點(diǎn)撥】本題考查了二次函數(shù)綜合問(wèn)題，特殊三角形問(wèn)題，軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，勾股定理，

掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

o5

22.⑴①y=一②彳⑵20

x2

【分析】（1）①首先求出AE的長(zhǎng)，從而得出點(diǎn)E的坐標(biāo)，即可得出k的值；

②利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征求出Ck的長(zhǎng)，設(shè)OG=x,則CG=4-x,FG

=x，利用勾股定理列方程，從而解決問(wèn)題；

（2）利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征求出CF=2m,再利用矩形面積減去AOCF

和ABEF的面積，從而表示出四邊形OAEF的面積，再利用配方法求出最大值.

⑴解：①；BE=3AE,AB=4,

：.AE=l9BE=3,

???E(8,1),

.?.k=8xl=8,

Q

.,?反比例函數(shù)表達(dá)式為產(chǎn)一；

X

②當(dāng)y=4時(shí)，x=2,

.??尸(2,4),

:.CF=2,

設(shè)OG=JG則CG=4-x,FG=x,

由勾股定理得，

(4-x)2+22=X2,

解得X=g，

2

**?OG=—；

2

(2)解：??,點(diǎn)區(qū)/在反比例函數(shù)y=：(x>。)的圖象上，

/.CFx4=8m,

:?CF=2m,

/.四邊形O4E/7的面積為8x4-gx4x2〃?-；x(8-2〃2)x(4-7??)

--nr+4z??+16=-(//2-2)2+20,

V0</n<4,

???當(dāng)〃2=2時(shí)，四邊形OAEE的面積最大為20.

【點(diǎn)撥】本題考查待系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，矩形的性質(zhì)，勾股定理，坐標(biāo)與圖形，

二次函數(shù)的最值，熟練掌握用待系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式、勾股定理、二次函數(shù)的性質(zhì)是

解題的關(guān)鍵.

23.(1)y=^x2-2x(2)①證明見(jiàn)分析；②也

22

【分析】(1)利用待定系數(shù)法求解即可；

(2)①先證明OC=AC,得到NCQ4=NC4O,由折疊的性質(zhì)可知NC4'B=NC4B,

則=再由/ODC=NA'O8