上海期中解答題50題（壓軸版）-2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中期末考試滿分全攻略（滬教版2020）解析版

上海期中解答題精選50題(壓軸版)

能力提升

1.(2019?蒙城第一中學(xué)高一期中)已知函數(shù)/(x)=2、+k.2'g(x)=log?(/(x)-2Jj(?>0

且ax1),且/(O)=4.

(1)求1的值;

(2)求關(guān)于％的不等式g(x)>0的解集;

(3)若小)4+4對xeR恒成立，求f的取值范圍.

【答案】⑴k=3(2)(log23,+oo)(3)(-oo,-l]

【分析】(1)利用"0)=4,求得出的值.

(2)先求得g(x)的表達(dá)式，對。分成兩種情況，求得不等式的解集.

(3)將不等式/(x)2(+4分離常數(shù)r,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，求得f的取值范圍.

【詳解】(1)由/(。)=1+左=4,得k=3.

3

(2)由(1)知,g(x)=log?—.

當(dāng)。>1時，因為g(x)>0,所以—>1,

解得xvlog/,不等式g(x)>0的解集為(-1%3)；

當(dāng)0<a<l時,因為g(x)>0,所以0<得<1,

解得x>logz3,不等式g(x)>0的解集為(1(^3,”).

⑶/⑺4+2,即2*+$5+4,

所以Y(2')2_4X2'+3.

因為(2,『-4x2、3=(272)2-1,

所以當(dāng)x=l時，(2-2)2-1取得最小值—1.

所以Y-1,即f的取值范圍為(-?>,-H.

【點睛】本小題主要考查函數(shù)解析式的求法，考查指數(shù)不等式的解法，考查不等式恒成立

問題的求解策略，屬于中檔題.

2.(2019?天津市靜海區(qū)瀛海學(xué)校高一期中)已知函數(shù)/*)=機-4

5+1

(1)若Ax)是R上的奇函數(shù)，求加的值

(2)用定義證明在R上單調(diào)遞增

(3)若，㈤值域為。，且［-3,1］,求，"的取值范圍

【答案】(1)〃?=，(2)詳見解析；(3)we［-2,1］.

【分析】(1)由奇函數(shù)的定義可得/(*)+/(-幻=0恒成立，由此可求得冽值；

(2)設(shè)占且I，x2eR,利用作差證明/(%)</(工2)即可；

(3)先根據(jù)反比例函數(shù)的單調(diào)性求出值域。，然后由。工［-3,1］可得關(guān)于用的不等式組，

解出即可；

【詳解】解：(1)因為/(X)為奇函數(shù)，所以/(0)=機-±=,w-g=O,經(jīng)檢驗滿足奇函數(shù)

定義，

???m一=—1；

2

(2)任取大，々《R，令％<W，

則/(電)一/3)=卜一±卜卜一*)=+_七=6；］)(；；+］)>0,

所以/(外為增函數(shù)；

(3)由O<得加一1</(冗)<加，設(shè)/(x)值域為。，且。8-3,1］,

5+1

|A?Z-1>-3

［加<1

二機的取值范圍是

【點睛】本題主要考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的應(yīng)用及單調(diào)性的證明，屬于中檔題.

3.(2020?江蘇蘇州?星海實驗中學(xué)高一期中)定義在。上的函數(shù)/(力，如果滿足：對

任意xe￡>,存在常數(shù)M2O,都有|/(x)歸仞成立，則稱f(x)是。上的有界函數(shù)，其中M

稱為函數(shù)f(x)的一個上界，已知函數(shù)/(X)=-3+〃&J+G),g(x)=bg］霆)

(1)在求函數(shù)g(x)在區(qū)間(，3上的所有上界構(gòu)成的集合；

(2)若函數(shù)/(x)在[0,”)上是以3為上界的有界函數(shù)，求實數(shù)。的取值范圍.

【答案】(1)[2,+co);(2)[0,5].

【分析】(1)根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，結(jié)合題中所給的定義進行求解即可；

(2)根據(jù)題中的定義，根據(jù)絕對值的性質(zhì)，結(jié)合換元法、構(gòu)造函數(shù)法，利用函數(shù)的單調(diào)性

進行求解即可.

【詳解】(1)g(x)=log,^^^==log,^l+-^-j-^,

因為函數(shù)”"作在區(qū)間1,3上單調(diào)遞減，所以函數(shù)g(x)=iog：(E)在區(qū)間1,3上單調(diào)遞

1+-

增，因此當(dāng)xe|,3時，=s<3>=1<叼（言）=T，g（x）m=g（/=l°gg_3

E；

因此當(dāng)xw|,3時，-2<g(x)<-l,即141g(x)|42,根據(jù)定義可知：當(dāng)時，

|g(x)歸例成立，所以函數(shù)g(x)在區(qū)間|,3上的所有上界構(gòu)成的集合是⑵+8)；

(2)因為函數(shù)〃x)在[0,物)上是以3為上界的有界函數(shù)，

所以xe[0,y)時，不等式|〃x)歸3恒成立，即

_3+咽+({|卜3=-3S-3+咽+("卜3,令出'=,(0<川)，

所以有-3<-3+w/+r2<3=>at+t2NO曰.at+r<6,

因為所以由3+/N0=a2T,因為0<f4l,所以-IVtvO,因此有〃之0;

因為0</41,所以由"+/V6na1-r,設(shè)/")=--，，因為當(dāng)0</41時，

所以函數(shù)/“)=2單調(diào)遞減，因此小一⑴，I,所以有心5,

綜上所述：實數(shù)。的取值范圍是[0,5].

【點睛】關(guān)鍵點睛：解決本題的關(guān)鍵一是對題中所給的定義的理解，二是對換元法的應(yīng)用、

熟練掌握常見函數(shù)的單調(diào)性.

4.(2021?河南鄭州市?鄭州十一中高一期中)定義：對于函數(shù)f(x),若在定義域內(nèi)存

在實數(shù)X,滿足〃T)=-〃x),則稱為“局部奇函數(shù)".若"x)=2'+機是定義在區(qū)

間［7』上的"局部奇函數(shù)”，求實數(shù)，”的取值范圍.

【答案】［-p-1

【分析】根據(jù)“局部奇函數(shù)”的定義，把問題轉(zhuǎn)化為方程2"+2T+2%=0在［-1』上有解,

令f=2*e1,2,設(shè)g(f)=/+；,

【詳解】當(dāng)““=2、+加時，/(-*)=—“X)可化為2、2-,+2根=0,

???”X)的定義域為［-川，

方程2*+T'+2%=。在［-1,1］上有解，

令f=2"e2,則-2m=r+；,

設(shè)g(r)=r+l，根據(jù)對勾函數(shù)的圖像

OLI2t

2

可以判斷出g(。在(0,1)上為減函數(shù)，在(1，-)上為增函數(shù),

所以g(l)=l+:2,g⑵=2+；=g,^^=^+2=|

二?，wJ,2時，g(/)w2,；,

-2ms2,—,即TW￡—-,-1,

綜上所述，，"的取值范圍是.

【點睛】數(shù)學(xué)中的新定義題目解題策略：

(1)仔細(xì)閱讀，理解新定義的內(nèi)涵；

(2)根據(jù)新定義，對對應(yīng)知識進行再遷移.

5.(2020?桂林市臨桂區(qū)五通中學(xué))已知二次函數(shù)y=/(x)的圖象經(jīng)過原點，函數(shù)/(x+1)是

偶函數(shù)，方程/(力+1=0有兩相等實根.

(1)求y=的解析式；

(2)若對任意xe；,8,2/(log2X)+mN0恒成立，求實數(shù)加的取值范圍；

(3)若函數(shù)8")=史上]與"("=夕3'-1“-2的圖像有且只有一個公共點，求實數(shù)。的取

3r,

值范圍.

2

【答案】(1)/(X)=X-2X:(2)m>2-.(3){—3}U(1,E).

試題分析：(1)運用待定系數(shù)法，結(jié)合題目條件計算得。=1乃=-2,c=O

2

⑵分離參量"7*-2(k>g2xy+41og2x,itB-2(log2x)+41082》在[218]匕的最大值

⑶轉(zhuǎn)化為GF々?3"+1=aJ、_2有且只有一個實數(shù)根,換元r=3，，關(guān)于f的方程只

3,3

有一個正實根，轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題

解析：(1)設(shè)/(無)=依2+法+c(awO).由題意，得/(O)=c=O.

f^x)=ax2+bx,f^x+i)=cvC+(2a+b)x+b+a

；/(x+l)是偶函數(shù)，^^=0即2a+6=0.①

/(Jv)+1=0?^011.A=/>2—4a=00

由①②，解得a=l/=-2,Af(x)=x2-2x.

(2)若對任意xe[2T,8],2〃1%力+加20恒成立,

2

只須zn2-2(log2x)+41(物》在xe[27,8]恒成立.

2-

4-^(x)=-2(log2x)+41og2x,xe[2',8],則。(項廣。⑵=2.

若對任意XW[2T,8],2〃1嗎%)+加川恒成立,

只須滿足加2S(x)111ax=2.

m>2.

(3)函數(shù)g(x)=￡iH與Mx)=a3'-ga-2的圖像有且只有一個公共點，

即（3，）-2守+1=qJ,_2有且只有一個實數(shù)根，

3"3

即（a-l>（3'）2-%/-3，-l=0有且只有個實數(shù)根.

令”3、>0,則關(guān)于f的方程（記為*式）只有一個正實根.

3

若a=l,則f=一］不符合題意，舍去.

4

若awl,則方程（*）的兩根異號，，二7Vo即〃>1.

。一1

或者方程（*）有兩相等正根.

A=0,

a=』或a=-3,

4

—a4

\>0,解得，a<0,

a-\

a<\.

—>0.

、〃一1

a=-3.

綜上，實數(shù)。的取值范圍是{-3}=（1,鈣）.

點睛：本題是道綜合題目，在求函數(shù)解析式時，當(dāng)遇到“二次函數(shù)”時可以采用待定系數(shù)法

求解；含有參量的題目時可以分類參量，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題求解；在解答指數(shù)形式的題

目時方法可以采用換元，轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)，利用函數(shù)性質(zhì)求解.

6.（2019?四川高一期中）已知函數(shù)/（x）=log,“士（>>0且加#四

（1）當(dāng)爐2時，解不等式/*）>1；

（2）若OVZL是否存在/>a>0,使/（處在［a,￡］的值域為［log?,用伊T）,10gMm（a-1）］?

若存在，求出此時加的取值范圍；若不存在，請說明理由.

【答案】（1）（-9,-3）；（2）0<〃?（三叵

【分析】（1）根據(jù)對數(shù)的運算解不等式即可.

（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性，得，需二：轉(zhuǎn)化為三―）在。收）上有兩個

不等的根，分離參數(shù)求值域即可

【詳解】（1）當(dāng)獷2時?，log,二>1,則七（>2,得絲<0則不等式解集為（-9,-3）

~x+3x+3x+3

（2）/3=1股“=|=1啕/1-3],/=1-二單調(diào)遞增，

x+3Ix+3Jx+3

故當(dāng)10<加<1,/（x）=log,,,==logjl—單調(diào)遞減，

x+3Vx+3）

若/⑺在回0的值域為[log/（夕-1）,log,/（a-1）],則36lu（3,y）且J段二:d：

即f（x）=log,,,在（3,??）上有兩個不等的根，即:^|=機（x-1）在（3,??）上有兩個不等

的根，又令f3（。收）二52—+2）=〃+%

mx-3〃〃

又〃+2+8246+8,當(dāng)且僅當(dāng)〃=26,冗=3+20等號成立，因為y=L與y=〃+U+8有

〃mA

兩個不同交點，則—>8+473/.0<m<2一"

m4

故存在0<m<-~—

4

【點睛】本題考查了對數(shù)的性質(zhì)及其運算以及不等式恒成立的問題，考查函數(shù)與方程的應(yīng)

用，熟練利用基本不等式求最值是關(guān)鍵，是中檔題.

7.（2019?浙江省寧波市鄲州中學(xué)高一期中）已知函數(shù)〃x）=a'T*"（a>0,axl）.

（1）若a=2,求函數(shù)〃x）在xe[0,2）上的值域；

（2）若a=2,解關(guān)于加的不等式/（，”）-/（l-2m）V0；

（3）若函數(shù)/（x）在區(qū)間（2,3）上單調(diào)遞增，求實數(shù)。的取值范圍.

【答案】⑴2；8）⑵（F,0]U/引（3）（0gU（l,田）

【分析】（1）當(dāng)a=2時，〃x）=2*J,先求/“-x+l在xe[0,2）值域，再求/（，）=2,的值

域即可；

（2）結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進行求解即可；

（3）對底數(shù)。進行分類討論，確定的增減性，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)同增異減，結(jié)合二次

函數(shù)r=V-4+i進一步判斷。的取值范圍即可

【詳解】(1)當(dāng)4=2時，”x)=2*j,令f=d-x+l,r的對稱軸為當(dāng)xw[o,2),

Gn=+l=：,r=2,Z(2)=22-2+1=3,故，e,,3),f(t)=2'e24,8^：

(2)當(dāng)a=2時,〃x)=2，j1/(,”)-〃l-2m)V0等價于/("?)Vf(l-2m)

22

即<2。-2“甘-2m)+1,即tn--m+1<(1-2w)-(1-2m)+1,化簡得3m-w>0,

即相e(f0]U1,+ocj;

(3)當(dāng)“€(0』)時/(，)="為減函數(shù)，又r=x2-%+l,f的對稱軸為*要使函數(shù)〃x)在區(qū)

間(2,3)上單調(diào)遞增，則需滿足93,解a4，則”(0,；；

當(dāng)時，〃「)="為增函數(shù)，要使函數(shù)“X)在區(qū)間(2,3)上單調(diào)遞增，則需滿足：V2,

解得a2；,貝l]ae(l,+8)；

綜上所述，U(l,+a))

【點睛】本題考查指數(shù)型復(fù)合函數(shù)值域的求法，根據(jù)函數(shù)增減性解不等式，由函數(shù)的增減

性求參數(shù)范圍，屬于中檔題

8.(2019?福建省連城縣第一中學(xué)高一期中)已知函數(shù)/(x)=e，+x.

(1)求f(x)在區(qū)間I。,1]的值域；

(2)函數(shù)g(x)=-x-2a,若對于任意修I。J，總存在王€[-1,2],使得

8(電)”(%)-%+2eF恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

【答案】(1)[1,e+1]；(2)°wJ-；*.

【分析】(1)確定函數(shù)，(幻的單調(diào)性，得值域；

(2)記K(x)=/(x)-x+2er,題意等價『g。).士以0向，換元，設(shè)r=e、，由對勾函數(shù)得

K(x)=Mf)的單調(diào)性及最小值，g(x)是一次函數(shù)，最小值易求，從而可得。的取值范圍。

【詳解】(1)易知在[0,1]上單調(diào)遞增，，以*(x)=〃l)=e+l,源(x)=/(0)=l

值域為[1，e+1].

⑵設(shè)K(x)=/(x)-x+2H*=e、+2二(-14x42),

g(x)=-x-2a(0<x<l),易知g1nhi(x)=g(X)=-l-2a.

令f=e",則，eL/

e

?.?”(r)=f+3在fe^,5/2上遞減，在re[0,e[上遞增.

,弘品(0=以夜)=2忘.即(x)=2y/2,

]

由題意知，gminW>Kmin(x),即_1一2。42&,:.a<-.

2

【點睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性與值域，考查不等式恒成立問題，對含有存在量詞和全稱

量詞的不等式成立問題需根據(jù)題意進行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值。到底是求最大值還是

求最小值與量詞是全稱量詞還是存在量詞有關(guān)，也與不等式號方向有關(guān)。象本題就是

gmh,(X)WKmin(X)，

若本題(2)改為“若存在%對任意的占€[-1,2],使得g(w)2K5)恒成立”則等

價于g(x)皿2K(x)皿。若改為“若存在％W[0,1],存在名€[-1,2],使得g(叩—K?)成立”

則等價于g(x)gxNK(x)皿。

9.(2019?浙江杭州市?杭州外國語學(xué)校高一期中)已知函數(shù)

/(幻=4-*+p?2T+1,g(x)=產(chǎn)1-/7彳.2”.

(1)當(dāng)〃=1時，求函數(shù)/(幻在XW(YO,0)上的值域；

(2)若4彳0,手],函數(shù)g(x)在xe[0J上的最大值是"(q),求H(q)的取值范圍；

(3)若不等式在xeO+oo)上恒成立，求實數(shù)P的取值范圍.

【答案】(1)3+8)(2)9-2點,1)(3)(-0,1]

【分析】(1)用換元法，設(shè)f=2-3將轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)，然后利用二次函數(shù)的性

質(zhì)得出結(jié)論。(2)將8(幻整理成8。)=:嶺=空^=1-:；7學(xué)一，根據(jù)x的范圍可得g(x)

在定義域上的最大值”(夕)，再山4的范圍，可得。(3)設(shè)/=2-3在x￡[0,y)上

恒成立等價于/+PJ-2Mo在fw(O,l]上恒成立，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解不等式，即得。

【詳解】(1)當(dāng)P=1時,/(x)=4*x+2--t+l,設(shè)/=2，則有解)=1+/+1,xe(-oo,0),

那么小(1,+8),函數(shù)的)=Q+,12+(3的對稱軸為/=-]1,故函數(shù)h(t)在定義域上單調(diào)遞增，

值域為⑶+8)?⑵由題意得，g(機器LU

.1-2-'e[i1],則當(dāng)2T=1時，g(x)取到最大值，即H(q)=l-言，又

“⑷=1-鬲=7+高’且"⑼=1，H吟)=1金=3-2&,故H(q)

取值范圍是[3-2形,1).(3)設(shè)"2-，，所以/。)43在xe[O,+<?)上恒成立等價于

r+pt-2<0^.(e(0,l]上恒成①,；力。)=/+p.r—2這個二次函數(shù)開口朝上，二在區(qū)間上

的最大值在端點處取到，即只需〃(0)<0,〃(1)?0即可，代入得-2<0,。-1〈0,解得故

實數(shù)P的取值范圍是(—1].

【點睛】本題考查求函數(shù)的值域，以及由恒成立求參數(shù)，利用了換元法，有一定的綜合性。

10.(2020?福建仙游一中)已知“為正數(shù)，函數(shù)/(x)=ox2-gx-：,g(x)=log；x-k>g2x2+；.

(I)解不等式g(x)<-；;

(II)若對任意的實數(shù)f，總存在占中-1"+1],使得|/(%)-八三)|"("對任意x?2,4]

恒成立，求實數(shù)。的最小值.

【答案】(1)xw[應(yīng),2應(yīng)];(II)

111Q

【分析】(1)對log；x-log?化簡，因式分解可得出gviog/W；,解對數(shù)不等

式即可.

(II)先求函數(shù)g(x),在xw[2,4]上的最大值g/xA：則題目轉(zhuǎn)化為vr,xe[/-l,/+l].

1131

篇式彳)一篇,*)2/亙成立，求a得的最小值，/(力=以2-5工-1可知對稱軸為光=而，只需

討論Y二<，+1和;*/+1,分別求出九x(x)，2“(x),化簡不等式，求范圍即可，最后得

4〃4。

出和。之由于f的任意性，取交集即可.

416

【詳解】

113

(I)log921-"logzX9+wKlog7；x-21og,x+]W0

=>^log2x-^Jlog2x-1^<0=>^<log2x<1.解得2建xl即3五2同

22

(II)gJ^^(A-)=log2X-log2x+^=(log2x-l)-1,XG[2,4],log2xe[l,2]

31

故gn?(x)=(2T>-4="

即Vr,Xe上一1,f+1］,X,ax(x)-fmin(X”;恒成立.

又〃力二/-氐-；對稱軸彳=白.又區(qū)間［f-lJ+1］關(guān)于x=￡對稱,

故只需考慮的情況即可.

①當(dāng)+即L-lVfW-5-時,

4a4。4〃

I3,31A1

故Zrm(X)_、/min(X)=〃Q—1)2--(/-l)-^-~~7~TT~~T

24t416?)4

BPa(/-l)2--(/-l)+—>-,X-!</<-=>-2</-l<-1.

216。44a4。4。4。

故—I)2—1)+72~~,解得〃之」.

4a24a16。44

②當(dāng)」-2f+l,即時，

4〃4a

易得&(x)=/(I)，篇(x)=f(f+l)，

3o131

BPZnaxM-fminM=a(t-1)--(r-l)---[6z(z-l)---(/-l)--]>-.

化簡得-4，"+121,即4m43,所以—1|.

4414〃)416

綜上所述，J故實數(shù)。的最小值為J

44

【點睛】本題主要考查了與二次函數(shù)的復(fù)合函數(shù)有關(guān)的問題，需要理解題意明確求最值,

同時注意分析對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系，再分情況進行討論求最值即可.屬于難題.

11.（2019?黑龍江高一期中）已知函數(shù)/（x）=2'（xeR）.

（1）解不等式/（x）-/（2x）>16-9x2'；

（2）若函數(shù)尸（6=〃》）-〃2》）-加在區(qū)間［-1,1］上存在零點，求實數(shù)機的取值范圍；

（3）若函數(shù)〃x）=g（x）+〃（x）,其中g(shù)（x）為奇函數(shù)，〃（可為偶函數(shù)，若不等式

2ag（x）+〃（2x）20對任意xe［l,2］恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

117

【答案】（1）（1,3）（2）［-2,-］（3）?>-—

412

【分析】（1）利用換元法，將原不等式轉(zhuǎn)化為一元二次不等式來求解.（2）將問題分離常

數(shù)，轉(zhuǎn)化為加=/（力-/（2”在［-1』有解的問題來解決.求得/（x）-〃2x）在『1』上的值域,

來求得所的取值范圍.（3）先根據(jù)函數(shù)的奇偶性的概念，求得g（x）,/（x）的解析式，化簡

所求不等式為《2、2T）+（"-2-"）+->0'利用換元法及分離參數(shù)法分離出。，利用恒成

立問題解決方法求得。的取值范圍.

【詳解】⑴原不等式即為2-22*>16-9x23設(shè)t=2”,則不等式化為t-t>16-9t,

即t?-10t+I6<0,解得2<f<8,即2<2工<8,；.1VXV3,原不等式的解集為（1,3）.

（2）函數(shù)&x）在卜川上有零點，.?.F（x）=0在［川］上有解，即%=〃x）-〃2x）在［-1,1］有

解.

設(shè)夕（》）=/（同一/（2苫）=（2*-3）+；,：*4-1,1］,；.342*42,

.?.-2Ws（x）W：.???m=/（x）-/（2x）在［-1,1］有解，.?.一24機4；,故實數(shù)，〃的取值范圍為

2*-2一，

g(x)=

/(x)=g(x)+/7(x)=2*2

（3）由題意得解得，

f(-X)=g(-X)+〃(-x)=2一、2r+2-r

〃(x)=

2

由題意得2ag。）+人（2力20,

、22t-2-2xz\⑵-2-*『+2

即a2-')+-——=a(2*-------1——>0

22

ais

對任意xe[l，4恒成立，令k=2，一2，xe[l,2],貝咤4k吟.

則得ak+處電20對任意的ke值恒成立，

2124」

；?〃之一:八+/]對任意的％￡1，；恒成立，

2\KJ|_24_

???G（%）=-如+￡|在《用上單調(diào)遞減，.一（火…僧卜-青

?..實數(shù)”的取值范圍卜1，+8）.

【點睛】本小題主要考查一元二次不等式的解法，考查存在性問題和恒成立問題的解決策

略.屬于中檔題.對于不等式中含有一元二次不等式類似的結(jié)構(gòu)的時候，可以考慮利用換元

法，將問題轉(zhuǎn)化為一元二次不等式來求解.存在性問題和恒成立問題的主要解法是分離常數(shù)

法.

12.（2019?遼寧朝陽市?高一期中）設(shè)函數(shù)/。）=（6嗎"，其中a為常數(shù)，且/⑶=《.

（1）求”的值；

（2）若〃D.4,求x的取值范圍.

【答案】（1）?=2；（2）x..6.

【分析】（1）根據(jù)/（3）=上，求出。的值即可；（2）根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出x的范

圍即可.

【詳解】（1）函數(shù)“X）=（；尸”，

由f（3）=±,得：4產(chǎn)“=上，

lo216

得：3a—10=-4,解得a=2；

（2）由（1）f（x）=22^0,

由f⑸.4,得:22X-,0..22,

故2x-10..2,解得：x..6.

【點睛】本題主要考查指數(shù)與指數(shù)函數(shù).

13.（2020?浙江高一期中）已知函數(shù)/*）=2'-"為奇函數(shù),其中&為實數(shù).

々?2+1

(1)求實數(shù)a的值；

(2)若。>0時，不等式/(/(尤))+/?2')<()在工€[-1,1]上恒成立，求實數(shù)t的取值范圍.

【答案】(1)±1;(2)1°0,J]

【分析】(1)由函數(shù)/(x)=2^幺為奇函數(shù)，可得/(-x)=-/(x),代入整理可得:

/一⑵)2=>/(2尤)2,所以/=],即可得解；

(2)若。>0,由(1)知。=1,所以—1=1一一一,根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性所以f(x)

為增函數(shù)，又因為〃刈為奇函數(shù)，山題意可得：f(x)+/2<<0,構(gòu)造函數(shù)進行分類討論即

可得解.

【詳解】

(1)由函數(shù)小)=葛玲為奇函數(shù),可得一小)，

rx-a_-2x+a

代入可得:

a-2-,+1-a-2x+\

整理可得:合理2，)2=1-1(2方2,所以可=1,

解得：a=±\；

(2)若a>0,由(1)知。=1,

所以/。)=二==1一與J,

2*+12V+1

由2,為增函數(shù)，〃=2*+1為增函數(shù)且“=2*+1>0,

又因為V2為減函數(shù)，7所以為增函數(shù)，

uu

所以/(X)為增函數(shù)，

又因為/(X)為奇函數(shù)，

由/(/。))+/“2')<0可得：

/(x)+r-2x<0,

即Wb"-U上恒成立，

若fNO,X=1時不成立，故r<0,

令2，=s,則se(g⑵,

整理可得：ts2+(r+l)5-l<0,

令g(s)="2+?+i)s-i,

若或-白2

2t22t

131

需g《)=jF。，g⑵=6/+1<0,

■44-11+1c/r+1、.

右5<一行<2’需g（一可）<。,

解得<t<,

綜上可得：實數(shù)t的取值范圍為

【點睛】本題考查了分式函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，考查了轉(zhuǎn)化思想和分類討論思想，計算

量較大，屬于較難題.

本題所用方法有：

（1）復(fù)合函數(shù)的同增異減原理的應(yīng)用；

（2）利用單調(diào)性解不等式，關(guān)鍵是求出函數(shù)單調(diào)性，誤區(qū)為直接代入；

（3）構(gòu)造：次函數(shù)求參數(shù)范圍，主要利用：次函數(shù)的性質(zhì)進行分類討論.

Ax~m（1、卜f"l

14.（2020?沙坪壩?重慶南開中學(xué)）已知函數(shù)〃月=苗幣，函數(shù)g（x）=5.

（1）若函數(shù)/（力的圖象過點卜,￡|,求加的值；

「14

（2）在⑴的條件下，求函數(shù)g）=/（x）+g（x）在區(qū)間y上的最小值；

（3）若對VX[€[O,1],都存在馬€口,+8）,使得/（w）=g&）,求力的取值范圍.

【答案】（1）機=1;（2）1；（3）m>l.

【分析】（1）根據(jù)“1=不求加的值；（2）由（1）可知/（力==—，化簡函數(shù)，并

利用函數(shù)單調(diào)性求f（x）的最小值，以及利用對稱性和單調(diào)性求g（x）=（；y"的最小值，再

求力（X）的最小值；（3）方法一，設(shè)函數(shù)“X）的值域是A,函數(shù)g（x）的值域是8,由條件

可知分情況討論，判斷是否滿足并求也的取值范圍；方法：,首先求得函

數(shù)/（力的值域A=[F7T，”j,轉(zhuǎn)化為g.a”黃不，求機的取值范圍.

【詳解】

⑴山川）裳得：堯=；’

令《=2~”>0,則一^-='=2?2-%-1=0

氏+12

所以％=1或攵=-g（舍）,則機=1

（2）由（1）知函數(shù)./"（》）=三*=2-+J7T-1

令r=2，i+l>l,y=r+；-2。>1）,貝仁

當(dāng)xeR時f=2*M+1遞增，函數(shù)y=r+；-2在te（l,+oo）上遞增，

所以函數(shù)/（x）在此上遞增，

則當(dāng)xepl時，端（司=/（￡|=1-￥；

另一方面，函數(shù)g（x）=（￡|尸|的圖象關(guān)于x=l時稱，且先增后減，

則當(dāng)XCg可時，gm/"（｝曰，

所以，當(dāng)且僅當(dāng)x=；時，網(wǎng)x）的最小值為+=l

（3）法1：與問題（2）同理，

xm

已知函數(shù)〃制=黃A~、=（25+1）+導(dǎo)1?-2在尼上單增，

「41',"'

故"X）在xw[l,+oo）上的值域為A=21-〃，+1，+00，

設(shè)g（x）的值域為8,則B±A,

①當(dāng)，"WO時，當(dāng)xe[0,l]時，

函數(shù)g（x）=（g］在x40,1］上遞減，

故8=［/■,/■,

設(shè)函數(shù)夕"六痣=儂一+川+看一？，

令〃=21+1＞1，y=〃+}—2（〃＞1）,貝IJ：

當(dāng)x￡REl寸，u=2,-x+1遞減，

函數(shù)y=〃+：—2在〃￡（l,+oo）上遞增，

所以函數(shù)0（力在尼上遞減，

故當(dāng)機W0時，^（m）＞^（0）,

即-^-29/士仕『，不滿足BqA；

2'-m+l32⑶

1（?、卜T

②當(dāng)0〈小,時，g（x）=（；的圖象關(guān)于=m對稱,

且在［0命）遞增，在加』上遞減，

故gmax（x）=g（祇）=1，又1-fnNm,

故gmina）=g6=，,8=［上，1］

由情況①知。（①）上/:］,

不滿足BaA；

③當(dāng)5＜小41時，g"）=；的圖象關(guān)于x切對稱,

且在［0命）遞增，在加川上遞減，

故gmax（x）=g（次）=1，又1一切＜加，

故gmin(x)=g(o)$,B=!,1,

1d.,_/M

由8=A有：————=>/H>1,所以此時加=1；

T2="+1

④當(dāng)機>1時，當(dāng)xw[O,l],函數(shù)g(x)=g)*在xe[O,l]上遞增,

14,-m

由8cA有：—>——=>m>l,所以此時，心1；

2'"2f+1

綜合①②③④有：m>l

法2：與問題(2)同理，

AX-/n1

易知函數(shù)/(同=下口=(2*5+1)+而節(jié)-2在夕上單增，

「4f、

故/(X)在xe[l,+00)上的值域為A=2[一,"+1，”，

設(shè)g(x)的值域為8,則B^A

函數(shù)g(x)=fit%(O,1],則840,1],

因此只需g(X)在Xe(0,1]上的最小值g而“(X)>擊]即可.

山于函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于…對稱，且先增后減，

故當(dāng)xw[0,l]時，g*(x)=min{g(O),g⑴}2聲f，

又gggmin(X)

14f

則必有：8(0)之5轉(zhuǎn)產(chǎn)工=機21，

而當(dāng)〃亞1,x?0,l]時，

g⑺=6/=*在X目0,1]上遞增，此時g*(x)=g(0)=表，

故當(dāng)且僅當(dāng)〃后/時，滿足81

因此所求范圍為me[1,+oo).

【點睛】結(jié)論點睛：本題考查不等式的恒成立與有解問題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化:

一般地,已知函數(shù)y=f(x),xe[a,6],y=g(x),xe[c,d]

⑴若％w[a,句,在€卜,心，總有/(xJ<g(X2)成立，故"X)1mx<g(w)而n;

(2)若依平,句,Hx2G[c,rf],有f(xj<g(w)成立,故〃x)a<g(x2)gx；

(3)若辦電,可,Hr,e[c,<7],有/(不卜8卜)成立，故/1(力麗<g(w)114n；

(4)若若％w[a,b],玉2G匕勾,有/&)=8(々)，則f(x)的值域是g(x)值域的子集.

15.(2020?浙江杭州外國語學(xué)校高一期中)定義在〃上的函數(shù)f(x),如果滿足；VxeD,

存在常數(shù)">0,使得成立，則稱“X)是。上的有界函數(shù)，其中,麻為函數(shù)“X)的

一個上界，函數(shù)〃x)=l+dgj+(；j

(1)若〃=0,g(%)=/(%)-3,判斷函數(shù)g(x)在[-1,0]上是否為有界函數(shù)，說明理由；

(2)若函數(shù)“X)年[0,”)上是以7為一個上界的有界函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍.

【答案】(1)是有界函數(shù)，理由見解析；(2)[-9,5].

【分析】(1)求出g(x)=&J-2,利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求得|g(力|42,結(jié)合有界函數(shù)的

定義可得答案；

(2)問題轉(zhuǎn)化為|/(同歸7對任意xe[0,E)恒成立，-8-2'-^J<?<6-2'-fAY,對

xe[。,y0)恒成立，換元后利用函數(shù)的單調(diào)性求出不等式兩邊函數(shù)的最值即可得答案.

【詳解】(1)若a=OJ(x)=l+(；J,g(x)=/(x)-3=^J-2,

.-.g(x)e[-l,2],BP0<|g(x)|<2,

???存在常數(shù)M=2>0,使得|g(x)|42恒成立，

???函數(shù)g(x)在[TO]上為有界函數(shù)；

(2)由題意，|〃X)|W7對任意xe[O,”)恒成立，

.?--7</(x)<7,即一741+“出+(；)<7,對xe[0,4<?)恒成立，

.,.-8-[；)46-1()，對xW。，”)恒成'〉：，

一8.2V-出<a<6-2x-^

,對xe［O,m）恒成立,

令，=2*,f.'.-8r-y<a<6f--,對f€［,田）恒成立，

①心6一；對此［1,內(nèi)）恒成立，只需求y=6r-在［1,”）上的最小值，

又y=6/-；在［1,內(nèi)）上為增函數(shù)，.,.ymirl=6xl-l=5,.?.445；

②“士-即」時，fe［l,+8）恒成立，

只需求y=-8f—;在［1,+00）上的最大值,在［1,+8）任取f1，G，且，|<『2’

=-8/1-----F8f,H—

’I’2

=8&f）+寧

*1*2

=（「弓）-8+；］

\rr2）

,；h<t2,：.tx-r2<0,

??工名e［t+°o）,二他N1,O<；?1,

.,.-8+—<0,

升-%>o，即y>為，

二.函數(shù)丁=-沏-；在［l,+oo）上為減函數(shù)，

???%ax=-8x1-1=-9，

/.ciN—9.

綜上可得-94445,即實數(shù)a的取值范圍是［-9,5］,

【點睛】新定義題型的特點是：通過給出一個新概念，或約定一種新運算，或給出幾個新

模型來創(chuàng)設(shè)全新的問題情景，要求考生在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系

所學(xué)的知識和方法，實現(xiàn)信息的遷移，達(dá)到靈活解題的目的.遇到新定義問題，應(yīng)耐心談題,

分析新定義的特點，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、驗

證、運算，使問題得以解決.

16.(2020?湖南師大附中高一期中)已知函數(shù)〃x)=e2'+(f+l)e，+f.

(1)當(dāng)時，求不等式，(x)zo的解集；

(2)若對任意xeR,不等式f(x)<e'(e'+l)+匕-4恒成立，求f的最大值；

(3)對于函數(shù)g(x),若V“,仇ceR,g(a),g?,g(c)為某一三角形的三邊長，則稱g(x)

為“可構(gòu)造三角形函數(shù)”，已知函數(shù)g(x)=#W是“可構(gòu)造三角形函數(shù)”，求實數(shù)，的

卜+1)

取值范圍.

【答案】(1)口,80)；(2)/=-3；(3)2.

【分析】(1)分解因式后轉(zhuǎn)化為指數(shù)不等式，利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求得解集：

(2)分離參數(shù)后，構(gòu)造函數(shù)，利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)求最小值，從而根據(jù)

不等式恒成立的意義得解；

(3)分離常數(shù)后，分析可得必有tZO才能保證g(x)>。；其次，必需g(x)2<2g(x)棚,然

后分04r<l,f=l,r>l,討論得解.

【詳解】(1)當(dāng)r=-e時，不等式/(x)20,即為(e，+l)(e，-e”0,

也就是e'Ne,解得壯1,所以，不等式/("RO的解集為［1,+8)；

（2）不等式/。）<，（，+1）+=1-4即為02，+?+1）蜻+/<靖（靖+1）+-7^-4,

14

化簡，即‘(正1y一任而對任意xeR恒成立，

14

記內(nèi)）=訴許5）-

?r1I2

由于當(dāng)xcR時，--€（0,1）,則〃（》）=------2-4e（-3,0）.

e+1\_e+\_

所以，4.=-3.

,、f(x)e'+tt—1

(3)由于函數(shù)86)=廠1/=/力=1+677是“可構(gòu)造三角形函數(shù)”，

首先，必有-0才能保證g(x)>。;其次，必需g(x)3<2g(x)皿

而當(dāng)0q<1時，g(x)==1=l+二二'是R上的增函數(shù)，則g(x)的值域為(G),

ex+\e+\

由1<2r=L</<i

2

當(dāng)Ul時，g(x)=l,符合題意；

而當(dāng)r>l時，g(x)==1=l+=L是R上的減函數(shù)，則g(x)的值域為(I"),

e+\.e+1

由f42=l<f42：

綜上，fe5,2.

【點睛】本題題關(guān)鍵要熟練靈活運用分離參數(shù)和分離常數(shù)方法，清楚理解不等式恒成立和

能成立的意義，熟練掌握指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，其中第(3)問中的分類

討論思想是常用的方法.

17.(2020?廣西高一期中)已知函數(shù)，(x)=ln(J?工+x)的圖象關(guān)于原點對稱.

(1)求“的值；

(2)若xe［O,l］,不等式/(2?(4'+4-，)-時+/(?(*-21))>0恒成立，求實數(shù)垃的取值

范圍.

【答案】⑴?=1;(2),*4).

【分析】(1)先根據(jù)對稱性判斷為奇函數(shù)，再利用/(x)+f(-x)=0即求得參數(shù)值；

(2)先利用已知條件判斷Ax)是在R上單調(diào)遞增的奇函數(shù)，再不等式轉(zhuǎn)化成

1,V

2.(4+4-')-/M>2W(2--2),再令f=2=27(04X41),即得

h(t)=2尸+2制-〃:+4>0(04fV恒成立，在討論對稱軸解不等式版'而>0即得結(jié)果.

【詳解】解：(1)因為“幻的圖象關(guān)于原點對稱，所以f(x)為奇函數(shù)，

所以7(x)+f(-x)=。，即In(Jx2+a+x)+ln(&+a-x)=lna=O,解得q=i；

(2)易知AM的定義域為R,令g(x)=G7?+x，易證得g(x)在［0,??)上單調(diào)遞增，根據(jù)

復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)知Ax)在［0,+?))上單調(diào)遞增.

又因為/(X)為奇函數(shù)，所以/(“)在R上單調(diào)遞增.

x

y(2(4*+4~)-,n)+f?(2山-))>0在［0,1］上恒成立,

等價于/(2(4,+4,)_.)>/(2,〃(2-*-2*))在［0,1］上恒成立，

即2-(4'+4-j-w>2m(2-t-2x)(*)在［0,1］上恒成立.

3

xx

^t=2-2(0<x<[)f顯然，=2*-27(0工尢工1)是增函數(shù)，則法0,-

4*+4-*=(2*—2-"1+2="+2,(*)式可化為2產(chǎn)+2制-機+4>0,

令h(t)=2-+2mt-m+4^0<t<,

其圖象對稱軸的方程為/=-名=-g.

，X乙乙

「3-

①當(dāng)一m即20時，〃⑴在/￡0,|上遞增，貝IJ〃⑴而"=〃(0)=4-團>0,解得m<4,

故04"Z<4；

②當(dāng)即一3<加<0時，h(t)min=h(-^］=-^--m+4>0,解得故

-3<m<0；

③當(dāng)一畀;，即屋一3時，〃⑴在rjo。]上遞減，則頊mi⑶=2根+9>0,解得

174，17,c

m>---,故----<m<-5.

44

綜上所述，，"的取值范圍為卜

【點睛】本題考查指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的綜合應(yīng)用，通過使用換元法轉(zhuǎn)化