數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識-數(shù)列

數(shù)列

I教學(xué)要求

1.了解數(shù)列的概念，理解數(shù)列的通項公式，了解數(shù)列的遞歸公式.

2.理解等差數(shù)列的概念，掌握等差數(shù)列的通項公式，了解等差中項的概念.

3.掌握等差數(shù)列的前〃項和的公式.

4.會用等差數(shù)列的前〃項和的公式或通項公式解決有關(guān)實際訶題.

5.理解等比數(shù)列的概念；掌握等比數(shù)列的通項公式，了解等比中項的概念.

6.掌握等比數(shù)列的前〃項和的公式.

7.會用等比數(shù)列的前〃項和的公式或通項公式解決有關(guān)實際句題.

II教材分析

本章內(nèi)容介紹

數(shù)列在整個初等數(shù)學(xué)中占有很重要的地位，數(shù)、式、方程、函數(shù)等很多數(shù)學(xué)知識都與

數(shù)列有著非常密切的聯(lián)系.特別是等差數(shù)列與等比數(shù)列，在實際生活中，有著較為廣泛的

應(yīng)用.學(xué)習(xí)數(shù)列，可以培養(yǎng)和提高學(xué)生綜合運用知識分析、解決問題的能力.

研究一個數(shù)列中的各個數(shù)之間有什么內(nèi)在規(guī)律,就可以把握這個數(shù)列（不必列出其中的

每一個數(shù)）.這在實際問題中是很有用的.對于一個數(shù)列，特別是無窮數(shù)列，通項公式或遞

歸公式對于把握這個數(shù)列的結(jié)構(gòu)是關(guān)鍵的.

本章共分4節(jié).

第1節(jié)是數(shù)列的概念.

教材首先通過“情景導(dǎo)入”創(chuàng)設(shè)情景，接著通過幾個實例給出了數(shù)列的概念以及與數(shù)

列有關(guān)的一些概念，如：項、首項、項的序號、有窮數(shù)列、無窮數(shù)列、通項、通項公式、

遞增數(shù)列、遞減數(shù)列等.

-1-

數(shù)學(xué)（基礎(chǔ)模塊）下冊教學(xué)參考書

第2節(jié)是等差數(shù)列.

教材首先通過幾個實例給出等差數(shù)列的概念，并由等差數(shù)列的定義得出了等差數(shù)列的

通項公式.然后又由在兩數(shù)之間插入一個數(shù)使這三個數(shù)成等差數(shù)列，引出等差中項概念和

等差中項公式.最后由求前100個正偶數(shù)的和引出如何求一般的等差數(shù)列的前〃項和的問

題，并利用逆序相加的方法推出了等差數(shù)列的前〃項和公式.

第3節(jié)是等比數(shù)列.

教材首先通過三個具體例子給出等比數(shù)列的概念，并由等比數(shù)列的定義利用迭代法，

歸納推導(dǎo)出了等比數(shù)列的通項公式.然后又與等差中項相類比，給出了等比中項的概念和

等比中項公式.最后由解決“情景導(dǎo)入”提出的簽合同問題引出等比數(shù)列的前〃項和的問

題，并利用錯位相減法推出了等比數(shù)列的前〃項和公式.

第4節(jié)是數(shù)列的實際應(yīng)用舉例.教材通過4道例題來講授相關(guān)知識，目的是讓學(xué)生把

所學(xué)的數(shù)列知識應(yīng)用到實際生活中去，增強學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)科重要性的認識和理解，提高學(xué)

生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和運用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力.

理解數(shù)列、等差數(shù)列和等比數(shù)列的概念，特別是理解數(shù)列的通項和前〃項和之間的關(guān)

系，是學(xué)好本章的關(guān)鍵.

本章教學(xué)重點

1.等差數(shù)列的通項公式、前〃項和公式.

2.等比數(shù)列的通項公式、前〃項和公式.

本章教學(xué)難點

1.根據(jù)數(shù)列的前幾項寫出數(shù)列的一個通項公式.

2.等差數(shù)列的前〃項和公式.

3.等比數(shù)列的前〃項和公式.

4.等差數(shù)列與等比數(shù)列在實際中的應(yīng)用.

本章學(xué)時安排如下（僅供參考）

6.1數(shù)列的概念約2學(xué)時

6.2等差數(shù)列約3學(xué)時

6.3等比數(shù)列約3學(xué)時

-2-

6.4數(shù)列的實際應(yīng)用舉例約1學(xué)時

本章小結(jié)與復(fù)習(xí)約1學(xué)時

III教學(xué)建議和習(xí)題答案

6.1數(shù)列的概念

1.教材中，通過設(shè)置情景，讓學(xué)生回答問題，為數(shù)列的學(xué)習(xí)做好鋪墊.

2.如果知道了一個數(shù)列的通項公式，那么可以求出這個數(shù)列的任意一項.

3.如果只知道一個數(shù)列的前幾項，那么無法確定這個數(shù)列后面的項是什么.也就是說,

僅僅憑前幾項是無法寫出通項公式的.因此我們在教材的例3中，是如下敘述題目的：“推

測通項公式即，觀察所求前5項的規(guī)律，推測數(shù)列的通項公式，使它的前5項是所求的

5個數(shù).但是也可能有其他數(shù)列的前5項是所求的5個數(shù)，我們只要求寫出一個數(shù)列就可

以了.

4.數(shù)列是按照一定次序排成的一列數(shù).學(xué)生往往不易理解什么是“一定次序”.實際

上，不論能否表述出來，只要寫出來，就等于給出了“次序”，比如我們隨便寫出兩列數(shù):

2,1,15,3,243,23與I,15,23,2,243,3就都是按照“一定次序”排成的一列數(shù),

因比它們都是數(shù)列，但它們的排列“次序”不一樣，因此是不同的數(shù)列.

5.數(shù)列與數(shù)集是兩個不同的概念，數(shù)列中的數(shù)是有次序的，而數(shù)集中的數(shù)是無序的；

數(shù)列中的數(shù)可以重復(fù)出現(xiàn)，而數(shù)集中的數(shù)卻是互異的.

6.當(dāng)給定通項公式時，數(shù)列就被唯一確定了，但對于一個給定的數(shù)列，其通項公式可能

不唯一，比如數(shù)列：1,-1,1,1,-1,1,…，4〃=COS〃兀也是它的一個通項公式.

7.(T)”可以表示項的符號，這一點很重要，教材中根據(jù)例1提出的“思考時刻”意

在引起學(xué)生對這一點的注意.

8.把給出的幾個數(shù)作為數(shù)列的前幾項，寫出數(shù)列的一個通項公式是個難點，教師應(yīng)引

導(dǎo)學(xué)生注意觀察和分析已給項的特點和規(guī)律，這有助于培養(yǎng)學(xué)生的觀察思考和分析歸納等

能力.

課堂練習(xí)答案

1.⑴4=5,=10,%=15,q=20,=25;

數(shù)學(xué)（基礎(chǔ)模塊）下冊數(shù)學(xué)參考書

(2)%=2,a2=6,Oy=12,a4=20,=30;

(3)q=1,a2=4,a3=9,4=16,a5=25;

(4)a,=—1,4=1,4=—1,a4=l,a5=—1.

2.(1)8,64,an=T;

(2)U4,=(T)〃-

37〃

習(xí)題6.1答案

1.(1)q=2,%=°，/=-2,a4=-4;

(2)4=4,/=3,q=2,ci4=1;

⑶4=5,4=25,4=125,a4=625;

(4)a]=6,出=12,Oj=24,a4=48;

1

(5)q生=—4

,625,

(6)ax=1,=16,6^=81,4=256.

2.(1)a,=—,a=—;

“490100

(2)%=63,a?=120;

e_11

⑶%=-，^io=一而；

(4)%=-125,aI0=-1021.

3.(1)an=2n;

⑵勺=3;

c、1

⑶an=-

n(n+I)

八11

(4)?！?---------7?

nn+1

4.(1)q=1,%=4,q=7,4=10,a5=13;

(2)q=2,4=4,Oj=8,a4=16,%=32;

(3)q=3,a2=6,4=3,%=-3,a5=-6;

-4-

29941

(4)%=1,%=2,%

—10，q5=—290

6.2等差數(shù)列

1.等差數(shù)列是一類重要的數(shù)列.我們在教材中讓學(xué)生觀察三個數(shù)列（都是實際例子）的

各項之間有什么關(guān)系，由此引出等差數(shù)列的的概念.

2.等差數(shù)列的通項公式的推導(dǎo)，我們在教材中寫出的推導(dǎo)過程是既嚴謹又簡明的.有

的教材用歸納推理得出等差數(shù)列的通項公式，那只能得出猜想，還需經(jīng)過證明.如果把猜想

當(dāng)作結(jié)論，這在思維方式上是不對的.

3.等差數(shù)列的通項公式表示首項如、公差小項的序號〃與第〃項〃〃之間的關(guān)系.要

想求等差數(shù)列的第〃項如，關(guān)鍵是先求出首項m和公差比此時通項公式便被確定.

4.要讓學(xué)生學(xué)會靈活運用等差數(shù)列的通項公式解題.

5.讓學(xué)生了解等差中項的概念，并且知道a與b的等差中項就是。與人的算術(shù)平均數(shù).

6.教材從計算前100個正偶數(shù)和的方法引出等差數(shù)列前〃項和的計算方法，推導(dǎo)出前

〃項和的公式.

7.等差數(shù)列前〃項和的公式有兩種形式.如果知道首項、末項和項數(shù)，則用

S二〃（。；凡）計算如果知道首項可和公差辦項數(shù)〃，則用來計算.

后者表明對于一個給定的等差數(shù)列，前〃項和與項數(shù)〃遵從二次函數(shù)的關(guān)系.即

cd，，d、

Sn=~n+（6一萬）幾

反之，如果數(shù)列｛明｝的前〃項和S”的公式形如

S〃=an2+bn,

那么這個數(shù)列是等差數(shù)列.證明方法類似于教材中例11的解法.

8.要讓學(xué)生會靈活運用等差數(shù)列的前〃項和的公式解題關(guān)健是要會分析.

9.在解題的時候，若三個數(shù)成等差數(shù)列，則常將這三個數(shù)設(shè)成是a-d,a,a+d,從例

4可以看到，這樣設(shè)的好處是這三個數(shù)的和正好等于3a,很容易將。求出.若將這三個數(shù)

數(shù)學(xué)(基礎(chǔ)模塊)下冊數(shù)學(xué)參考書

設(shè)成凡a+d,〃+2/計算起來就不如上面那樣設(shè)簡單了.

10.在一個等差數(shù)列中，若m,〃，k,I均為正整數(shù)，且有加+〃=%+/,那么就一定有

4+a,a現(xiàn)證明如下：由等差數(shù)列的通項公式可得

ain+an=q+(m-Y)d+q+[n-\)d

=2q+(/n+n-2)d=2ax+(&+/-2)d

=4+(k_V)d+q+(/-V)d=ak+a,.

等差數(shù)列的這條性質(zhì)，可以讓學(xué)生了解，不必要求學(xué)生掌握.

課堂練習(xí)6.2.1答案

1.⑴。4=15,q=27,%=39;

⑵%)=-28.

2.

⑴?！?-3，

7+43〃

(2)4=

7.

3.(1)60;(2)18.

課堂練習(xí)6.2.2答案

1.1125750

35

2.(1)510=500;⑵$50=2450;⑶兒=-二；⑷§26=6045

6

習(xí)題6.2答案

L&｝是等差數(shù)列.由公式+|可知/=|,即從它的第2項起，每一項與它

的前一項的差都等于同一常數(shù).

這個數(shù)列的前5項分別為4，1,2,3.

333

c2n-l21

2.=------.a,,=—

55

-6-

3.ai0=48

4.ai0=113

5.d=5,CI2Q=100

6.n=22,d=—

7

7.(1)900,495550(2)128,70336(3)-370

(2)它的前3項分別為8,18,28,通項公式為勺=10〃-2

6.3等比數(shù)列

1.等比數(shù)列的學(xué)習(xí)與等差數(shù)列的學(xué)習(xí)是相通的，教材也從三個實際例子引出等比數(shù)列

的概念.

2.教材中對于等比數(shù)列的通項公式的推導(dǎo)是嚴謹而且簡明的.

3.從等比數(shù)列的通項公式可以看出，只要知道首項⑶和公比外就可以求出等比數(shù)列

的任意一項.

4.要讓學(xué)生靈活運用等比數(shù)列的通項公式解題，關(guān)鍵在于分析.

5.讓學(xué)生了解等比中項的概念，并且知道兩個正數(shù)的等比中項等于這兩個正數(shù)的幾何

平均數(shù)或者幾何平均數(shù)的相反數(shù).

6.等比數(shù)列的前〃項和的公式是相當(dāng)有用的.

7.教材推導(dǎo)等比數(shù)列前〃項和的公式時，直接對一般的等比數(shù)列推導(dǎo)出前〃項和的公

式，推導(dǎo)過程是嚴謹而又簡明的.

8.等比數(shù)列前〃項和的公式有兩種形式.常用的是

其中g(shù)w1.

9.在解題時，若三個數(shù)成等比數(shù)列，則將這三個數(shù)設(shè)成是:兄aq比較好，從例5

可以看到，這樣設(shè)了以后，這三個數(shù)的積正好等于〃3,很容易將。求出.

數(shù)學(xué)（基礎(chǔ)模塊）下冊教學(xué)參考書

10.在等比數(shù)列｛凡｝中，若如〃，k,/均為自然數(shù)，且有加+〃=4+/,則有等式：

這是因為若設(shè)公比為g,則由等比數(shù)列的通項公式與機+〃=4+/有

4,4=（4尸）（4尸）=隔""2

=《qZ-2=）=4%.

這是等比數(shù)列的一條很重要的性質(zhì)，利用這條性質(zhì)會使計算非常簡便，比如，如果我

們知道了等比數(shù)列的第3項與第10項的乘積，那么也就相當(dāng)于知道了第1項與第12項的

乘積、第2項與第11項的乘積、第4項與第9項的乘積等等.這條性質(zhì)教師要理解，可向

學(xué)生做些簡單介紹，但是不要給學(xué)生增加過多的應(yīng)試內(nèi)容.

課堂練習(xí)6.3.1答案

1.⑴。$=405,al0=-98415(2)%=32,a］。=1024

c、276561411

⑶%=-?%o(4)%=丁，《0=77

IZo~131072416

2.(1)ax=-2916(2)6=5,%=4。

3.第5項是一包.

64

4.(1)±4⑵±8

課堂練習(xí)6.3.2答案

1.(1)5=189

6⑵s”暇

93

2.(1)1008(2)—

128

3.a5=162

習(xí)題6.3答案

1.｛2｝是等比數(shù)列.由勺可得2=3即從第2項起，以后每項與前一項的比都

2-2

等于同一常數(shù).

-8-

這個數(shù)列的前5項分別為L-f-f—f—.

524816

D.4=-

34

6.(1)±6

⑵±4痣

7.S8=-85

8.S8=17

811

n9.a,=—,q=一

?26,3

10.S”=/+2向-2

6.4數(shù)列的實際應(yīng)用舉例

1.等差數(shù)列的前〃項和的公式在計數(shù)中起著重要作用.

2.對于實際問題應(yīng)當(dāng)首先分析有關(guān)的數(shù)列是不是等差數(shù)列.

3.教材的例2可以不用等差數(shù)列