第1章均勻傳輸線理論

1.1均勻傳輸線方程及其解1.2傳輸參量與工作狀態(tài)1.3史密斯圓圖及其應(yīng)用1.4阻抗匹配習題第1章均勻傳輸線理論一般將截面尺寸、形狀、媒質(zhì)分布、材料及邊界條件均不變的導波系統(tǒng)。均勻傳輸線：又稱為規(guī)則導波系統(tǒng)，(a)均勻平行雙導線系統(tǒng);(b)均勻平行雙導線的等效電路;(c)有耗傳輸線的等效電路;(d)無耗傳輸線的等效電路

1.1均勻傳輸線方程及其解1.均勻傳輸線方程，也稱電報方程：

=Ri(z,t)=Gu(z,t)(1-1-3)式中,Z=R+jωL,Y=G+jωC,分別稱為傳輸線單位長串聯(lián)阻抗和單位長并聯(lián)導納。(1-1-5)對于時諧場，傳輸線方程為：2.均勻傳輸線方程的解

將式（1-1-5）第1式兩邊微分并將第2式代入,得傳輸線波動方程：其中，γ2=ZY=(R+jωL)(G+jωC)其中，電壓的通解為：

U(z)=U+(z)+U-(z)=A1e+γz+A2e–γz

(1-1-7a)式中,A1,A2為待定系數(shù),由邊界條件確定。

電壓、電流通解(1-1-7b）由電報方程可得，電流的通解為：其中，令γ=α+jβ,瞬時值表達式為

(1-1-8)

邊界條件：當z=0時，U(0)=Ul、I(0)=Il

可得:Ul=A1+A2

I

l=(A1-A2)(1-1-9)由此解得

A1=(Ul+IlZ0)

A2=(Ul-IlZ0)(1-1-10)傳輸線方程特解（一）①已知終端電壓Ul和終端電流Ilz0UlIl

可見,只要已知終端負載電壓Ul、電流Il及傳輸線特性參數(shù)γ

、Z0,則傳輸線上任意一點的電壓和電流就可由式（1-1-12）求得。將上式代入式（1-1-7），則有

U(z)=Ulchγz+I1Z0

shγz

I(z)=I1

chγz+shγz寫成矩陣形式為U(z)I(z)=chγzZ0shγz

shγzchγzU1

I1

(1-1-11)(1-1-12)

邊界條件：當z=L時，U(L)=Ui、I(L)=Ii

可得:傳輸線方程特解（二）②已知始端電壓Ui和始端電流Iiz0L3傳輸線的工作特性參數(shù)

1)特性阻抗Z0

將傳輸線上導行波的電壓與電流之比定義為傳輸線的特性阻抗,用Z0來表示,其倒數(shù)稱為特性導納,用Y0來表示。由定義得

由式（1-1-6）及（1-1-7）得特性阻抗的一般表達式為(1-1-13)與頻率有關(guān)R=G=0,傳輸線的特性阻抗為

特性阻抗Z0為實數(shù),且與頻率無關(guān)。(1-1-14)(1-1-15)

即滿足R<<ωL、G<<ωC時，有均勻無耗傳輸線小損耗傳輸線特性阻抗近似為實數(shù)直徑為d、間距為D,其特性阻抗為

式中,εr為導線周圍填充介質(zhì)的相對介電常數(shù)。常用的平行雙導線傳輸線的特性阻抗有250Ω,400Ω和600Ω三種。(1-1-16)平行雙導線傳輸線內(nèi)、外導體半徑分別為a、b,其特性阻抗為(1-1-17)式中,εr為同軸線內(nèi)、外導體間填充介質(zhì)的相對介電常數(shù)。常用的同軸線的特性阻抗有50Ω和75Ω兩種。無耗同軸線2)傳播常數(shù)

γ

傳播常數(shù)γ是描述傳輸線上導行波沿導波系統(tǒng)傳播過程中衰減和相移的參數(shù)(1-1-18)α為衰減常數(shù),單位：dB/m(或Np/m,1Np/m=8.86dB/m，奈培);β為相移常數(shù),單位：rad/m。無耗傳輸線：R=G=0,則α=0,此時γ=jβ,β=ω

。小損耗傳輸線,即滿足R<<ωL、G<<ωC時,有

于是小損耗傳輸線的衰減常數(shù)α和相移常數(shù)β分別為(1-1-19)

α=(RY0+GZ0)

β=ω

(1-1-20)3)相速υp與波長λ

相速定義為電壓、電流入射波（或反射波）等相位面沿傳輸方向的傳播速度,用υp來表示。等相位面的運動方程為

ωt±βz=const（常數(shù)）兩邊對t微分，有(1-1-21)波長λ：與自由空間的波長λ0有以下關(guān)系:

無色散波:對于均勻無耗傳輸線來說,由于β與ω成線性關(guān)系,故導行波的相速與頻率無關(guān)。色散特性:當傳輸線有損耗時,β不再與ω成線性關(guān)系,使相速υp與頻率ω有關(guān)。

在微波技術(shù)中,?？砂褌鬏斁€看作是無損耗的,因此,下面著重介紹均勻無耗傳輸線。(1-1-22)傳輸參量

反射系數(shù)、輸入阻抗工作狀態(tài)

行波、駐波、行駐波1.2傳輸參量與工作狀態(tài)傳輸參量

1.反射系數(shù)

某點反射系數(shù)定義：傳輸線上該點的反射波電壓與入射波電壓之比。無耗時傳輸線上電壓電流為：當z=0時Z0oz令為終端反射系數(shù)傳輸參量2.輸入阻抗

其中歸一化輸入阻抗無耗傳輸線上相距λ/2處的兩點阻抗相同。無耗線的輸入阻抗特性：1、λ/2重復(fù)性2、λ/4變換性任意相距為λ/4的兩點的輸入阻抗乘積為常數(shù)。

［例1-1］一根特性阻抗為50Ω、長度為0.1875m的無耗均勻傳輸線,其工作頻率為200MHz,終端接有負載Zl=40+j30(Ω),試求其輸入阻抗。解:由工作頻率f=200MHz，得波長λ=c/f=1.5m

相移常數(shù)β=2πf/c=4π/3。將Zl=40+j30(Ω),Z0=50,z=l=0.1875及β值代入式輸入阻抗，有3.沿線電壓電流的反射系數(shù)表示

U(z)=U+(z)+U-(z)=A1ejβz［1+Γ(z)］

I(z)=I+(z)+I-(z)=e

jβz［1-Γ(z)］+定義為：傳輸線上波腹點電壓振幅與波節(jié)點電壓振幅之比為電壓駐波比,用ρ表示：(1-2-11)

4.駐波比ρ——描述傳輸線上駐波的大小|U|max=|U+|+|U-||U|min=|U+|-|U-|其中，電壓最大值位于入射波和反射波相位相同處,而最小值位于入射波和反射波相位相反處

駐波比與反射系數(shù)關(guān)系(1-2-14)(1-2-15)工作狀態(tài)反射系數(shù)|Γl|駐波比ρ行波01駐波1∞行駐波(0~1)(1~∞)

[例1-2］一根75Ω均勻無耗傳輸線,終端接有負載Zl=Rl+jXl,欲使線上電壓駐波比為3,則負載的實部Rl和虛部Xl應(yīng)滿足什么關(guān)系？

解:由駐波比ρ=3,可得終端反射系數(shù)的模值應(yīng)為于是由式（1-2-10）得

將Zl=Rl+jXl,Z0=75代入上式,整理得負載的實部Rl和虛部Xl應(yīng)滿足的關(guān)系式為(Rl-125)2+X21=1002即負載的實部Rl和虛部Xl應(yīng)在圓心為（125,0）、半徑為100的圓上,上半圓對應(yīng)負載為感抗,而下半圓對應(yīng)負載為容抗。傳輸線工作狀態(tài)傳輸線工作狀態(tài)取決于線路終端所接的負載1、行波狀態(tài)——無反射——阻抗匹配2、駐波狀態(tài)——全反射——開路、短路、純電抗3、行駐波狀態(tài)——else行波動態(tài)圖駐波示意圖行駐波示意圖行波狀態(tài)條件：無耗線特點：z2.駐波狀態(tài)條件：終端反射系數(shù)|ΓL|=1，具體情形：3.純電抗（ZL=jX）|ΓL|=11.短路（ZL=0

）,ΓL=-1,Zin(z)=jZ0tanβz2.開路（ZL→∞

）,ΓL=1,特點終端負載短路時,即ZL=0,Γl=-1,ρ→∞,傳輸線上任意點z處的反射系數(shù)為:Γ(z)=-ej2βz(1-3-4)瞬時表達式為:Zin(z)=jZ0tanβz傳輸線上任意一點z處的輸入阻抗為:圖1-3終端短路線中的純駐波狀態(tài)沿線各點電壓和電流振幅按余弦變化,電壓和電流相位差90°,功率為無功功率,即無能量傳輸;電壓波節(jié)點:在z=nλ/2(n=0,1,2,…),電流的振幅值最大且等于2|A1|/Z0,

電壓波腹點:在z=(2n+1)λ/4(n=0,1,2,…)處電壓的振幅值最大且等于2|A1|,而電流為零。傳輸線上各點阻抗為純電抗,在電壓波節(jié)點處Zin=0,相當于串聯(lián)諧振,在電壓波腹點處|Zin|→∞,相當于并聯(lián)諧振,在0＜z＜λ/4內(nèi),Zin=jX相當于一個純電感,在λ/4＜z＜λ/2內(nèi),Zin=-jX相當于一個純電容，從終端起每隔λ/4阻抗性質(zhì)就變換一次。12圖1-4無耗終端開路線的駐波特性圖1-5終端接電抗時駐波分布

設(shè)終端負載為Zl=Rl±jXl,則終端反射系數(shù)為

式中:|Γl|=傳輸線上各點電壓、電流的時諧表達式為：

U(z)=A1e

jβz

[1+Γle

-j2βz]

I(z)=ejβz[1-Γle-j2βz](1-3-9)(1-3-10)

——3.行駐波狀態(tài)圖1-6給出了行駐波條件下傳輸線上電壓、電流的分布。則傳輸線上電壓、電流的模值為

|U(z)|=|A1|[1+|Γl|2+2|Γl|cos(φl-2βz)]1/2

|I(z)|=[1+|Γl|2-2|Γl|cos(φl-2βz)]1/2

傳輸線上任意點輸入阻抗為復(fù)數(shù),其表達式為(1-3-11)(1-3-12)圖1-6行駐波條件下傳輸線上電壓、電流的分布

(n=0,1,2,…)相應(yīng)該處的電壓、電流分別為

|U|max=|A1|［1+|Γl|］

|I|min=［1-|Γl|］則電壓波腹點阻抗為純電阻,其值為

Rmax=Z0(1-3-14)(1-3-13)討論:①電壓的波腹點：當cos(φl-2βz)=1時,電壓幅度最大,而電流幅度最小,對應(yīng)位置為相應(yīng)的電壓、電流分別為

|U|min=|A1|［1-|Γl|］

|I|max=［1+|Γl|］

波節(jié)點的阻抗也為純電阻,其值為

Rmin=(1-3-16)(1-3-15)②電壓的波節(jié)點:當cos(φl-2βz)=-1時,電壓幅度最小,而電流幅度最大,對應(yīng)位置為(n=0,1,2,…)

［例1-3］設(shè)有一無耗傳輸線,終端接有負載Zl=40-j30(Ω):①要使傳輸線上駐波比最小,則該傳輸線的特性阻抗應(yīng)取多少？②此時最小的反射系數(shù)及駐波比各為多少？③離終端最近的波節(jié)點位置在何處？④畫出特性阻抗與駐波比的關(guān)系曲線。解:①要使線上駐波比最小,實質(zhì)上只要使終端反射系數(shù)的模值最小,即而由式（1-2-10）得

將上式對Z0求導,并令其為零,經(jīng)整理可得

402+302-Z02=0

即Z0=50Ω。這就是說,當特性阻抗Z0=50Ω時終端反射系數(shù)最小,從而駐波比也為最小。③由于終端為容性負載,故離終端的第一個電壓波節(jié)點位置為④終端負載一定時,傳輸線特性阻抗與駐波系數(shù)的關(guān)系曲線如圖1-7所示。其中負載阻抗Zl=40-j30(Ω)。由圖可見，當Z0=50Ω時駐波比最小,與前面的計算相吻合。②此時終端反射系數(shù)及駐波比分別為圖1-7特性阻抗與駐波系數(shù)的關(guān)系曲線應(yīng)用1、沿線電壓分布規(guī)律與各參數(shù)關(guān)系1）電壓波腹（節(jié)）點位置——2）電壓最大值和最小值——駐波比3）求反射系數(shù)例，如圖所示傳輸線電壓分布，傳輸線特性阻抗為400歐，求系統(tǒng)的工作頻率和終端負載。Z0oz10.55cm102.5應(yīng)用2.多級傳輸線相連時各點處的輸入阻抗計算解題思路：（1）輸入阻抗，從負載處開始計算一級一級往源端等效

（2）沿線電壓電流分布情況：從源端開始一級一級向負載分析1.3史密斯圓圖及其應(yīng)用

1.阻抗圓圖由公式(1-2-8)傳輸線上任意一點的反射函數(shù)Γ(z)可表達為

（1-6-1）

其中， 為歸一化輸入阻抗。對于無耗線，有

（1-6-2）

當將Γ(z)表示成直角坐標形式時，有

傳輸線上任意一點歸一化阻抗為：

其中由上述阻抗圓圖的構(gòu)成可以知道：①上半圓內(nèi)電抗x＞0呈感性，下半圓內(nèi)電抗x＜0呈容性。②實軸為純電阻點，左半軸上的點為電壓波節(jié)點，右半軸上的點為電壓波腹點，③

圓圖旋轉(zhuǎn)一周為λ/2。

④|Γ|=1的圓周上的點代表純電抗點。實軸左端點為短路點，右端點為開路點，⑤中心點處，是匹配點。⑥在傳輸線上由負載向電源方向移動時，在圓圖上應(yīng)順時針旋轉(zhuǎn)；反之，由電源向負載方向移動時，應(yīng)逆時針旋轉(zhuǎn)。

圖

1-20阻抗圓圖上的重要點、線、面

圖1-17反射系數(shù)圓圖

圖1-16反射系數(shù)極坐標表示

——圓圖應(yīng)用B?D

2．導納圓圖根據(jù)歸一化導納與反射系數(shù)之間的關(guān)系可以畫出另一張圓圖，稱作導納圓圖。實際上，由無耗傳輸線的的阻抗變換特性，將整個阻抗圓圖旋轉(zhuǎn)即得到導納圓圖。因此，一張圓圖理解為阻抗圓圖還是理解為導納圓圖，視具體解決問題方便而定。比如，處理并聯(lián)情況時用導納圓圖較為方便，而處理沿線變化的阻抗問題時使用阻抗圓圖較為方便。現(xiàn)在來說明阻抗圓圖如何變?yōu)閷Ъ{圓圖。

由歸一化阻抗和導納的表達式

(1-6-6)(1-6-7)式（1-6-7）中，g是歸一化電導，b是歸一化電納。將歸一化阻抗表示式中的，則

，也就是，阻抗圓圖變?yōu)閷Ъ{圓圖。由于，所以讓反射系數(shù)圓在圓圖上旋轉(zhuǎn)180

，本來在阻抗圓圖上位于A點的歸一化阻抗，經(jīng)過變換，則A點移到B點，B點代表歸一化導納在導納圓圖上的位置如圖1-19所示。

由于，即當x=0時g=1/r，當r=0時b=1/x，阻抗圓圖與導納圓圖的關(guān)系：當實施Γ→-Γ變換后，匹配點不變，r=1的電阻圓變?yōu)間=1的電導圓，純電阻線變?yōu)榧冸妼Ь€；x=±1的電抗圓弧變?yōu)閎=±1的電納圓弧，開路點變?yōu)槎搪伏c，短路點變?yōu)殚_路點；上半圓內(nèi)的電納b＞0呈容性；下半圓內(nèi)的電納b＜0呈感性。

阻抗圓圖上阻抗點對應(yīng)為關(guān)于圓心180度對稱的導納點??！圖

1-21導納圓圖上的重要點、

線、

面

1.4阻抗匹配1、2、3、方法一：串接傳輸線與阻抗變換器方法二：負載并接短路線方法一例例：雷達使用的天線初級饋源，負載為，同軸饋線特性阻抗為50歐，用阻抗變換器進行調(diào)配，如圖所示。求阻抗變換器的特性阻抗

與離終端的距離L。解：1.負載歸一化：位于圓圖P點2.畫等反射系數(shù)圓；3.找純電阻點：A點（電壓波節(jié)點）

與B點（電壓波腹點）4.讀出阻抗值和旋轉(zhuǎn)過的距離PAB短路點開路單支節(jié)并聯(lián)短路線，實現(xiàn)步驟：［例1-8］設(shè)負載阻抗為Zl=100+j50Ω接入特性阻抗為Z0=50Ω的