2024春新教材高中數(shù)學(xué)第八章立體幾何初步8.3.2圓柱圓錐圓臺球的表面積和體積分層演練含解析新人教A版必修第二冊

PAGE圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積A級基礎(chǔ)鞏固1.若一飛行昆蟲被長為12cm的細繩綁在房間兩垂直墻面與天花板形成的交點處,則飛行昆蟲活動范圍的體積為 ()A.144πcm3 B.288πcm3C.576πcm3 D.864πcm3解析:飛行昆蟲活動的范圍是以墻角為球心,半徑為12cm的球在房間內(nèi)的部分,即整個球的18,所以飛蟲活動范圍的體積為18×43288π(cm3).答案:B2.假如軸截面為正方形的圓柱的側(cè)面積是4π,那么圓柱的體積等于()A.π B.2π C.4π D.8π解析:設(shè)圓柱的底面半徑為r,則圓柱的母線長為2r,由題意得S圓柱側(cè)=2πr×2r=4πr2=4π,所以r=1,所以V圓柱=πr2×2r=2πr3=2π.答案:B3.若表面積為Q的多面體的每一個面都與表面積為64π的球相切,則這個多面體的體積為 ()A.13Q B.Q C.43Q解析:由4πR2=64π,得R=4,所以V=13QR=4答案:C4.如圖所示,在圓柱O1O2內(nèi)有一個球O,該球與圓柱的上、下底面及母線均相切.記圓柱O1O2的體積為V1,球O的體積為V2,則V1V2解析:設(shè)球的半徑為r,則V1V2=π5.已知圓臺的上、下底面半徑分別是10cm和20cm,它的側(cè)面綻開圖的扇環(huán)的圓心角是180°,求圓臺的表面積.解:如圖所示,設(shè)圓臺的上底面周長為ccm,由于扇環(huán)的圓心角是180°,則c=π·SA=2π×10,所以SA=20cm.同理可得SB=40cm.所以AB=SB-SA=20cm.所以S表=S側(cè)+S上+S下=π×(10+20)×20+π×102+π×202=1100π(cm2).B級實力提升6.將若干毫升水倒入底面半徑為2cm的圓柱形器皿中,量得水面高度為6cm,若將這些水倒入軸截面是正三角形的倒圓錐形器皿中,則水面高度為()A.63cm B.6cmC.2318cm D.33解析:設(shè)圓錐中水的底面半徑為rcm,由題意知13πr2×3r=π×22×6,得r=23,所以水面的高度是3×23=6(cm)答案:B7.正四棱錐的頂點都在同一球面上,若該棱錐的高為4,底面邊長為2,則該球的表面積為81π4解析:如圖所示,設(shè)球半徑為R,底面中心為O'且球心為O.因為在正四棱錐P-ABCD中,AB=2,所以AO'=2.因為PO'=4,所以在Rt△AOO'中,AO2=AO'2+OO'2,所以R2=(2)2+(4-R)2,解得R=94所以該球的表面積為4πR2=4π×(94)2=81π8.如圖所示,一個圓錐的底面半徑為2cm,高為6cm,其中有一個高為xcm的內(nèi)接圓柱.(1)試用x表示圓柱的側(cè)面積.(2)當x為何值時,圓柱的側(cè)面積最大?最大是多少?解:(1)依據(jù)題意畫出軸截面圖,如圖所示,設(shè)圓柱的半徑為r,則依據(jù)三角形相像可得,r2=6-x6,則rS圓柱側(cè)=2πrx=2π（2-x3）x=4πx-2π3x2,x∈(2)由(1)知,當x=-4π2(-2π3)所以當圓柱的高為3cm時,它的側(cè)面積最大為6πcm2.9.若一個底面邊長為62,側(cè)棱長為6的正六棱柱的全部頂點都在一個球面上,求該球的體積和表面積解:如圖所示,連接BE,BE1.可知BE=2DE,所以BE=6.在Rt△BEE1中,BE1=BE2+所以2R=23,則R=3,所以球的體積V球=43πR3=43球的表面積S球=4πR2=12π.C級挑戰(zhàn)創(chuàng)新10.多空題如圖所示,該幾何體是一棱長為4cm的正方體,若在其中一個面的中心位置上,挖一個直徑為2cm、深為1cm的圓柱形洞,則挖洞后幾何體的體積是60.86cm3,表面積是102.28cm2.(π取3.14)解析:挖洞后幾何體的體積V=43-3.14×12×1=60.86(cm3).正方體的表面積為S=4×4×6=96(cm2),圓柱的側(cè)面積為2π×1×1=2