2024-2025學(xué)年湖南省長(zhǎng)沙市高三（上）段考數(shù)學(xué)試卷（10月份）（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年湖南省長(zhǎng)沙市高三（上）段考數(shù)學(xué)試卷（10月份）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知A={x||x|≤1}，B={x|x<5,x∈N}，則A∩B=(

)A.{0,1} B.{1} C.[0,1] D.(0,1]2.已知2z=1?i，則z2A.2i B.2+2i C.2+3i D.3i3.已知|a|=23|b|，且滿足?aA.3b B.?3b 4.已知cos(π4+α)=A.?56 B.?23 C.5.已知(ax?1)(1+x)6展開式各項(xiàng)系數(shù)之和為64，則展開式中xA.31 B.30 C.29 D.286.若函數(shù)f(x)在[2,+∞)上單調(diào)遞減且對(duì)任意x∈R滿足f(1+x)=f(3?x)，則不等式f(3x?2)>f(4)的解集是(

)A.(?∞,23)∪(2,+∞) B.(?∞,23)7.已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分圖象如圖所示，將函數(shù)f(x)的圖象先向右平移π4個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的12(縱坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)g(x)的圖象，若關(guān)于x的方程g(x)?m=0在x∈[?πA.(?2,2]

B.(?2,?3]

C.[8.已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，M(?4,0)，N(?1,0)，點(diǎn)P滿足|PM|=2|PN|.設(shè)點(diǎn)P的軌跡為曲線W，直線l：x+y?k=0(k>0)若直線l與曲線W交于不同的兩點(diǎn)A，B，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，且有|OB?OA|≤3A.(3,6) B.[二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知數(shù)列{an}滿足a1+3a2+??+(2n?1)an=2n，其中A.a1=2 B.數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為：an=22n+1

C.數(shù)列{10.設(shè)函數(shù)f(x)=ax3?2xA.當(dāng)a<0時(shí)，x=0是f(x)的極大值點(diǎn)

B.當(dāng)a>2時(shí)，f(x)有三個(gè)零點(diǎn)

C.若f(x)滿足f(x)+f(2?x)=?23，則a=23

D.當(dāng)a=1時(shí)，若f(x)11.如圖所示，四面體ABCD的底面是以BD為斜邊的直角三角形，ABCD體積為V1，AB⊥平面BCD，AB=BD，P為線段AC上一動(dòng)點(diǎn)，O1為AD中點(diǎn)，則下列說法正確的是(

)

A.三棱錐P?BO1D的體積和三棱錐P?BO1A的體積相等

B.當(dāng)PO1⊥BC時(shí)，PO1⊥AB

C.當(dāng)BP⊥PD時(shí)，BP⊥DA三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知點(diǎn)P是橢圓x25+y24=1上的一點(diǎn)，且以點(diǎn)P及焦點(diǎn)F1，13.已知函數(shù)f(x)=ln(2x+1)?mx，若曲線y=f(x)在x=1處的切線的斜率為?5，則實(shí)數(shù)m的值為______．14.在甲、乙、丙、丁四人踢毽子游戲中，第一次由甲踢出，并且每次踢出都等可能踢給另外三人中的任何一人，若第二次踢出后恰好踢給丙，則此毽子是由乙踢出的概率為______；第n次踢出后，毽子恰好踢給乙的概率為______．四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)

在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知2acosA=ccosB+bcosC．

(1)求A；

(2)若a=6，b=2，設(shè)D為CA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且BD⊥BC，求線段AD的長(zhǎng)．16.(本小題12分)

如圖，在直角梯形ABCD中，AD//BC，AD⊥CD，四邊形CDEF為菱形且∠FCD=60°，對(duì)角線CE和DF相交于點(diǎn)H，平面CDEF⊥平面ABCD，BC=2AD，點(diǎn)G為線段BE的中點(diǎn)．

(1)求證：AG//平面CDEF；

(2)若AD=1，CD=2，求二面角E?DG?F的正弦值．17.(本小題12分)

設(shè)動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)F(3,0)的距離與它到定直線l：x=43的距離之比為32．

(1)求點(diǎn)M的軌跡E的方程；

(2)過F的直線與曲線E交右支于P、Q兩點(diǎn)(P在x軸上方)，曲線E與x軸左、右交點(diǎn)分別為A、B，設(shè)直線AP的斜率為k1，直線BQ的斜率為k218.(本小題12分)

已知函數(shù)f(x)=log2(x2?2x+2)．

(1)證明：曲線y=f(x)是軸對(duì)稱圖形；

(2)若函數(shù)g(x)=219.(本小題12分)

對(duì)于任意正整數(shù)n，進(jìn)行如下操作：若n為偶數(shù)，則對(duì)n不斷地除以2，直到得到一個(gè)奇數(shù)，記這個(gè)奇數(shù)為an；若n為奇數(shù)，則對(duì)3n+1不斷地除以2，直到得出一個(gè)奇數(shù)，記這個(gè)奇數(shù)為an.若an=1，則稱正整數(shù)n為“理想數(shù)”．

(1)求20以內(nèi)的質(zhì)數(shù)“理想數(shù)”；

(2)已知am=m?9.求m的值；

(3)將所有“理想數(shù)”從小至大依次排列，逐一取倒數(shù)后得到數(shù)列{bn}，記參考答案1.A

2.A

3.D

4.C

5.C

6.D

7.B

8.C

9.ACD

10.AC

11.ABD

12.(0,±2)

13.17314.12

115.解：(1)由2acosA=ccosB+bcosC，

結(jié)合正弦定理得2sinAcosA=sinCcosB+sinBcosC，即2sinAcosA=sin(C+B)=sinA，

因?yàn)锳∈(0,π)，所以sinA>0，可得cosA=12，即A=π3；

(2)在△ABC中，由正弦定理asin∠BAC=bsin∠ABC，得6sinπ3=2sin∠ABC

所以sin∠ABC=22，結(jié)合b<a，得∠ABC=π4，

所以16.解：證明：(1)因?yàn)樗倪呅蜟DEF為菱形，所以H是CE中點(diǎn)，

連接GH，如下圖所示：

又G為線段BE的中點(diǎn)，則GH/?/BC，且GH=12BC．

又AD//BC且AD=12BC，所以GH/?/AD，GH=AD，

所以四邊形ADHG是平行四邊形，所以AG/?/DH．

又AG?平面CDEF，DH?平面CDEF，

所以AG/?/平面CDEF．

(2)以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CB、CD所在直線分別為x、y軸，過點(diǎn)C垂直于平面ABCD的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：

則有D(0,2,0),B(2,0,0),E(0,3,3),F(0,1,3),A(1,2,0),H(0,32,32)，

G(1,32,32)，

則DG=(1,?12,32),DE=(0,1,3),DF=(0,?1,3)，

設(shè)平面EDG的一個(gè)法向量為m=(x1,17.解：(1)設(shè)M(x,y)，由題意可得|MF|d=32(d為M到定直線l的距離)，

即有(x?3)2+y2=32|x?43|，

兩邊平方，化簡(jiǎn)可得x24?y25=1，

即點(diǎn)M的軌跡E的方程為x24?y25=1；

(2)由雙曲線的方程可得A(?2,0)，B(2,0)，又F(3,0)，

設(shè)直線PQ的方程為x=my+3，

與雙曲線的方程518.(1)證明：由函數(shù)f(x)=log2(x2?2x+2)，定義域?yàn)镽，

則f(2?x)=log2[(2?x)2?2(2?x)+2]=log2(x2?2x+2)，

因此可得f(x)=f(2?x)，

故函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于x=1，即曲線y=f(x)是軸對(duì)稱圖形．

(2)解：由g(x)=2f(x)+23x3?2x+a=x2?2x+2+23x3?2x+a=23x3+x2?4x+2+a，

若函數(shù)g(x)=2f(x)+23x3?2x+a在[?3,3]上有三個(gè)零點(diǎn)，

則方程g(x)=23x3+x2?4x+2+a=0在[?3,3]上有三個(gè)實(shí)根，

即a=?23x3?x2+4x?2在[?3,3]上有三個(gè)實(shí)根，

令?(x)=?23x319.解：(1)易知a1=1，a2=1，a3=5，a4=1，a5=1，?(后續(xù)直到20都不滿足條件)，

∴2和5為兩個(gè)質(zhì)數(shù)“理想數(shù)”；

(2)由題設(shè)可知am=m?9必為奇數(shù)，∴m必為偶數(shù)，

∴存在正整數(shù)p，使得m2p=m?9，即m=92p?1+9：

∵92p?1∈Z，且2p?1≥1，

∴2p?1=1