一元二次方程（原卷版）-2023年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練

專題10一元二次方程

一、解一元二次方程

【高頻考點(diǎn)精講】

1.用“配方法”解一元二次方程

(1)把原方程化為。/+云+0=0(°#0)的形式；

(2)方程兩邊同時(shí)除以二次項(xiàng)系數(shù)，使二次項(xiàng)系數(shù)為1,并把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊；

(3)方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；

(4)把左邊配成一個(gè)完全平方式，右邊化為一個(gè)常數(shù)；

(5)如果右邊是非負(fù)數(shù)，可以通過(guò)直接開(kāi)平方法求解；如果右邊是負(fù)數(shù)，則判定此方程無(wú)實(shí)數(shù)解。

2.用“因式分解法”解一元二次方程

(1)移項(xiàng)，使方程的右邊化為零；

(2)將方程的左邊分解為兩個(gè)一次因式的乘積；

(3)令每個(gè)因式分別為零，得到兩個(gè)一元一次方程；

(4)解這兩個(gè)一元一次方程，它們的解就是原方程的解。

3.用“換元法”解一元二次方程

(1)把方程中某個(gè)含有未知數(shù)的式子看成一個(gè)整體，用另一個(gè)未知數(shù)去替換它，從而將原方程轉(zhuǎn)化成關(guān)于新未知

數(shù)的方程，這種方法叫做“換元法”。

(2)“換元法”關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，目的是變換研究對(duì)象，將問(wèn)題轉(zhuǎn)移至新對(duì)象的知識(shí)背景中去研究，從而使復(fù)

雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化。

【熱點(diǎn)題型精練】

1.(2022?甘肅中考)用配方法解方程尤2-2x=2時(shí)，配方后正確的是()

A.(x+1)2=3B.(x+1)2=6C.(x-1)2=3D.(x-1)2—6

2.(2022?聊城中考)用配方法解一元二次方程3/+6x-1=0時(shí)，將它化為(尤+a*=b的形式，則a+b的值為()

3.（2022?天津中考）方程/+4x+3=0的兩個(gè)根為（）

A.xi=l,X2=3B.XI=-1,X2=3

C.xi=l,X2=-3D.-1,X2=-3

4.(2022?包頭中考)若xi,X2是方程/-2x-3=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則尤1?無(wú)22的值為()

A.3或-9B.-3或9C.3或-6D.-3或6

5.(2022?天津模擬)已知(/+/)2,8(辦.)_48=0,則/+廿的值為()

A.12B.4C.-4D.12或-4

6.(2022?荊州中考)一元二次方程/-4x+3=0配方為(%-2)2=k,則左的值是.

7.（2022?梧州中考）一元二次方程（%-2）（x+7）=0的根是.

8.（2022?齊齊哈爾中考）解方程：（2x+3）°=（3尤+2）2.

9.（2022?涼山州中考）解方程：x2-2x-3=0.

10.（2021?浙江中考）小敏與小霞兩位同學(xué)解方程3（x-3）=（尤-3）2的過(guò)程如下框:

小霞:

小敏:

移項(xiàng)，得3(x-3)-(x-3)=0,

兩邊同除以（x-3）,得

提取公因式，得（%-3）（3-X-3）=0.

3—x-3,

則x-3=0或3-x-3=0,

則x=6.

解得xi=3,X2—Q.

你認(rèn)為他們的解法是否正確？若正確請(qǐng)?jiān)诳騼?nèi)打“J”；若錯(cuò)誤請(qǐng)?jiān)诳騼?nèi)打“X”，并寫出你的解答過(guò)程.

二、高次方程和無(wú)理方程

【高頻考點(diǎn)精講】

1.高次方程

（1）一般地，最高次項(xiàng)的次數(shù)高于2次的方程，叫做高次方程。

（2）高次方程的解法

通過(guò)適當(dāng)方法把高次方程轉(zhuǎn)化為次數(shù)較低的方程求解。所以，解高次方程一般要降次，將高次方程轉(zhuǎn)化成二次方程

或一次方程。

2.無(wú)理方程

（1）方程中含有根式，且開(kāi)方數(shù)是含有未知數(shù)的代數(shù)式，這樣的方程叫做無(wú)理方程。

（2）解無(wú)理方程關(guān)鍵是去根號(hào)，將其轉(zhuǎn)化為整式方程。

（3）常用方法：乘方法，配方法，因式分解法，設(shè)輔助元素法。注意：用乘方法解無(wú)理方程，通常會(huì)產(chǎn)生增根，

應(yīng)當(dāng)注意驗(yàn)根。

【熱點(diǎn)題型精練】

H.（2022?隨州模擬）對(duì)于1一（層+1）廿九=0這類特殊的三次方程可以這樣來(lái)解.先將方程的左邊分解因式：x3

-（n2+l）x+n=jc>-Y?X-x+n=x（x2-n2）-（x-n）=（x-H）（x2+nx-1）,這樣原方程就可變?yōu)椋▁-〃）（/+〃%

-1）=0,即有x-〃=0或f+加一i=o,因此，方程1=0和/+九式-i=o的所有解就是原方程的解.據(jù)此，

顯然/-5了+2=0有一個(gè)解為工1=2,設(shè)它的另兩個(gè)解為12,X3,則式子X(jué)2X3-X2-X3的值為（）

A.-1B.1C.-3D.7

12.（2022?揚(yáng)州模擬）已知月、%2、％3為方程丁+3了-9x-4=0的三個(gè)實(shí)數(shù)根，則下列結(jié)論一定正確的是（）

A.XlX2X3<0B.X1+X2-X3>0C.Xl-X2-X3>0D.Xl+X2+X3<0

13.（2022?金華模擬）用換元法解方程（%2-%）—7x2一％=6時(shí),設(shè)—x=）,那么原方程可化為（）

A.y+>-6=0B.『+>+6=0C.y2-y~6=0D.y2-y+6=0

14.(2022?臨沂模擬)將關(guān)于x的一元二次方程，-px+q=O變形為/=px-q,就可以將一表示為關(guān)于龍的一次

多項(xiàng)式，從而達(dá)到“降次”的目的，又如丁二六^二無(wú)(px-q)=…，我們將這種方法稱為“降次法”，通過(guò)這

種方法可以化簡(jiǎn)次數(shù)較高的代數(shù)式.根據(jù)“降次法”.已知：/+尤-1=0,且x>0.則/-2X3+3X的值為.

15.(2022?鄭州模擬)解方程：VXT7-V%T2=Vx^l,x=.

16.(2022?成都模擬)先閱讀理解下面的例題，再解答問(wèn)題：

例：解一元三次方程x3-x=0

''x(x2-1)=0即尤(x+1)(x-1)=0

由“幾個(gè)數(shù)相乘，有一個(gè)因數(shù)為零，積就為零”，得

x=0或x+l=0或x-1=0

；.xi=0x2=-1尤3=1

根據(jù)以上解答過(guò)程，請(qǐng)你完成下列兩個(gè)一元三次方程的解答：

(1)解一元三次方程%3-2x2-x+2=0；

(2)解一元三次方程x3-6/+llx-6=0.

17.(2022?衢州模擬)解方程：V2%2-9%+5=%-3.

三、根的判別式及根與次數(shù)關(guān)系

【高頻考點(diǎn)精講】

1.根的判別式

一元二次方程a^+bx+cuOQWO)的根與根的判別式(△=戶-4℃)有如下關(guān)系：

(1)當(dāng)^>。時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；反過(guò)來(lái)，當(dāng)方程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根時(shí)，^〉。。

(2)當(dāng)△=()時(shí)，方程有兩個(gè)相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；反過(guò)來(lái)，當(dāng)方程有兩個(gè)相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根時(shí)，△二。。

(3)當(dāng)△<()時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根；反過(guò)來(lái)，當(dāng)方程無(wú)實(shí)數(shù)根時(shí)，△<0。

2.根與系數(shù)的關(guān)系

bc

(1)如果XI,X2是一元二次方程以2+fcv+c=0(aWO)的兩根，那么Xl+X2=——，XIX2=—

aa

(2)根與系數(shù)的關(guān)系可以解決以下問(wèn)題

①已知方程及方程的一個(gè)根，求另一個(gè)根及未知數(shù)。

②求關(guān)于根的式子的值，例如求X：+/。

③判斷兩根的符號(hào)；

④由兩根滿足的條件，確定字母的取值。

【熱點(diǎn)題型精練】

18.(2022?郴州中考)一元二次方程2?+尤-1=0的根的情況是()

A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

C.只有一個(gè)實(shí)數(shù)根D.沒(méi)有實(shí)數(shù)根

19.（2022?淮安中考）若關(guān)于x的一元二次方程7-2x-Z=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根，則％的值可以是（）

A.-2B.-1C.0D.1

20.（2022?營(yíng)口中考）關(guān)于尤的一元二次方程/+?-機(jī)=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為（)

A.m<4B.m>-4C.m^4D,加2-4

21.（2022?樂(lè)山中考）關(guān)于x的一元二次方程3/-2x+根=0有兩根，其中一根為工=1,則這兩根之積為（)

12I

A.-B.-C.1D.-4

333

22.（2022?呼和浩特中考）已知％1,12是方程7-x-2022=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,則代數(shù)式--2022x1+—的值是（)

A.4045B.4044C.2022D.1

23.（2022?揚(yáng)州中考）請(qǐng)?zhí)顚懸粋€(gè)常數(shù)，使得關(guān)于x的方程？-2元+=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

24.（2022?上海中考）已知--2信+加=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則根的取值范圍是.

25.（2022?日照中考）關(guān)于x的一元二次方程2/+4mx+m=0有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根xi,X2,且XI2+X22=急則m

26.（2022?內(nèi)江中考）已知xi、尤2是關(guān)于龍的方程7-2無(wú)+%-1=0的兩實(shí)數(shù)根，且二■+二=xj+2x2-1,則左的

Xi%2

值為.

27.（2022?十堰中考）已知關(guān)于尤的一元二次方程f-2x-3“P=o.

（1）求證：方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;

（2）若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為a,p,且a+20=5,求機(jī)的值.

28.（2022?南充中考）己知關(guān)于尤的一元二次方程,+3x+k-2=0有實(shí)數(shù)根.

（1）求實(shí)數(shù)上的取值范圍.

（2）設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為XI,XI,若（尤1+1）（X2+1）=-1,求左的值.

四、由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程

【高頻考點(diǎn)精講】

在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，要明確已知和未知，找出相等關(guān)系，設(shè)出未知數(shù)，用方程表示已知量與未知量之間的等量關(guān)系,

即列出一元二次方程。

【熱點(diǎn)題型精練】

29.（2022?重慶中考）學(xué)校連續(xù)三年組織學(xué)生參加義務(wù)植樹(shù)，第一年共植樹(shù)400棵，第三年共植樹(shù)625棵.設(shè)該校

植樹(shù)棵數(shù)的年平均增長(zhǎng)率為x,根據(jù)題意，下列方程正確的是（）

A.625（1-%）2=400B.400（1+無(wú)）2=625

C.625/=400D.400.?=625

30.（2022?泉州模擬）小張的書法作品榮獲學(xué)校書法比賽一等獎(jiǎng).作品尺寸如圖所示：書法作品長(zhǎng)5尺，寬3尺;

將書法作品貼在一張矩形裝裱紙的正中央，書法作品四周外露裝裱紙的寬度相同；矩形裝裱紙的面積為書法作品

面積的2倍.設(shè)書法作品四周外露裝裱紙的寬度為x尺，下面所列方程正確的是（）

A.（5+2x）（3+2x）=2X5X3B.（5+尤）（3+x）=2X5X3

C.2（5+2x）（3+2x）=5X3D.（5+2x）（3+2x）=5X3

31.（2022?泰安中考）我國(guó)古代著作《四元玉鑒》記載“買椽多少”問(wèn)題：“六貫二百一十錢，遣人去買幾株椽.每

株腳錢三文足，無(wú)錢準(zhǔn)與一株椽.”其大意為：現(xiàn)請(qǐng)人代買一批椽，這批椽的價(jià)錢為6210文.如果每株椽的運(yùn)費(fèi)

是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的運(yùn)費(fèi)恰好等于一株椽的價(jià)錢，試問(wèn)6210文能買多少株椽？設(shè)這批椽的

數(shù)量為無(wú)株，則符合題意的方程是（）

A.3（x-1）x=6210B.3（x-1）=6210

C.（3x-l）尤=6210D.3尤=6210

32.（2022?青海中考）如圖，小明同學(xué)用一張長(zhǎng)11cm,寬7cm的矩形紙板制作一個(gè)底面積為21。層的無(wú)蓋長(zhǎng)方體

紙盒，他將紙板的四個(gè)角各剪去一個(gè)同樣大小的正方形，將四周向上折疊即可（損耗不計(jì)）.設(shè)剪去的正方形邊

33.（2022?通遼模擬）為增強(qiáng)學(xué)生身體素質(zhì)，提高學(xué)生足球運(yùn)動(dòng)競(jìng)技水平，我市開(kāi)展“市長(zhǎng)杯”足球比賽，賽制為

單循環(huán)形式（每?jī)申?duì)之間賽一場(chǎng)）.現(xiàn)計(jì)劃安排21場(chǎng)比賽，應(yīng)邀請(qǐng)多少個(gè)球隊(duì)參賽？設(shè)邀請(qǐng)x個(gè)球隊(duì)參賽，根據(jù)

題意，可列方程為.

34.（2022?株洲模擬）《算學(xué)寶鑒》中記載了我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝提出的一個(gè)問(wèn)題：“直田積八百六十四步，之云闊

不及長(zhǎng)一十二步，問(wèn)闊及長(zhǎng)各幾步？”譯文為：“一個(gè)矩形田地的面積等于864平方步，且它的寬比長(zhǎng)少12步，問(wèn)

長(zhǎng)與寬各是多少步？”若設(shè)矩形田地的寬是無(wú)步，則可列方程為.

五、一元二次方程的應(yīng)用

【高頻考點(diǎn)精講】

1.數(shù)字問(wèn)題：個(gè)位數(shù)為a,十位數(shù)是6,則這個(gè)兩位數(shù)表示為10%+。。

2.增長(zhǎng)率問(wèn)題：增長(zhǎng)率=e受X100%,若原總量為a,增長(zhǎng)率為尤，則第一次增長(zhǎng)后為。（1+尤）；第二次增

原總量

長(zhǎng)后為。（1+無(wú)）2,即原數(shù)X（1+增長(zhǎng)率）2=后來(lái)數(shù)；

3.形積問(wèn)題

（1）利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的邊長(zhǎng)。

（2）利用三角形、矩形、菱形、梯形和圓的面積，以及柱體體積公式建立等量關(guān)系列一元二次方程。

（3）利用相似三角形的對(duì)應(yīng)比例關(guān)系列比例式，通過(guò)兩內(nèi)項(xiàng)之積等于兩外項(xiàng)之積得到一元二次方程。

【熱點(diǎn)題型精練】

35.（2022?南通中考）李師傅家的超市今年1月盈利3000元，3月盈利3630元.若從1月到3月，每月盈利的平

均增長(zhǎng)率都相同，則這個(gè)平均增長(zhǎng)率是（）

A.10.5%B.10%C.20%D.21%

36.（2022?黑龍江中考）2022年北京冬奧會(huì)女子冰壺比賽有若干支隊(duì)伍參加了單循環(huán)比賽，單循環(huán)比賽共進(jìn)行了

45場(chǎng)，共有多少支隊(duì)伍參加比賽？（）

A.8B.10C.7D.9

37.（2022?天津模擬）如圖，將邊長(zhǎng)為40c機(jī)的正方形硬紙板的四個(gè)角各剪掉一個(gè)同樣大小的正方形，剩余部分折

成一個(gè)無(wú)蓋的盒子（紙板的厚度忽略不計(jì)）若該無(wú)蓋盒子的底面積為9