2025年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)：平面向量的基本定理及坐標表示

第二節(jié)平面向量的基本定理及坐標表示

考試要求：1.理解平面向量基本定理及其意義.

2.掌握平面向量的正交分解及坐標表示.

3.能用坐標表示平面向量的加、減運算與數(shù)乘運算.

4.理解用坐標表示的平面向量共線的條件.

必備知識落實“四基”

自查自測

知識點一平面向量基本定理

1.判斷下列說法的正誤，正確的畫“，錯誤的畫“X”.

(1)平面內(nèi)不共線的任意兩個向量都可作為一個基底.(V)

(2)基底中的向量可以是零向量.(X)

⑶平面內(nèi)的基底一旦確定，該平面內(nèi)的向量關(guān)于基底的線性分解形式也是唯一確定

的.(J)

(4)ei,e2是平面內(nèi)兩個不共線的向量，若存在實數(shù)九“使得Mi+"e2=0,則％=〃=0.(/)

2.在/ABC中，點N滿足祝=2就，麗=配.若麗=工方+＞就，貝！Jx=，y

解析：如圖.0^）MN=MC+CN=^AC+^CB=^AC+^（CA+AB）=^AB~^AC,所以

11

x=-,y=-

276

核心回扣

平面向量基本定理

條件ei,。2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量

結(jié)論對于這一平面內(nèi)的任一向量有且只有一對實數(shù)21，22，使。=力。1+/12?2

基底若ei,?2不共線，把｛ei,或｝叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個基底

基底｛ei，e2｝必須是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量.因為零向量平行于任意向量，所以不能

作為基底中的向量.

自查自測

知識點二平面向量的坐標運算

1.(教材改編題)設(shè)平面向量”=(-1,0),%=(0,2),則2a—35等于()

A.(6,3)B.(-2,-6)

C.(2,1)D.(7,2)

B解析：2a—3b=2(—1,0)—3(0,2)=(—2,—6).

2.(教材改編題)已知口ABC。的頂點A(—l,-2),8(3,-1),C(5,6),則頂點。的坐標為

45—x(x]

一,解得1,

｛1=6—y,(y=5.

核心回扣

1.向量加法、減法、數(shù)乘運算及向量的模

已知a—(xi，乃)，b=(X2,>2)，則有

(1)。+6=。1+&，yi+j2)；

(2)a—b—(xi—X2,

(3必肛i);

(4)IM=Jx：+p.

2.向量坐標的求法

(1)若向量的起點是坐標原點，則終點坐標即為向量的坐標.

(2)設(shè)yi),3(X2，>2)，則荏=(尤2?尤1，?一%)，|行|=J(三一二

自查自測

知識點三平面向量共線的坐標表示

若。=(6,6),5=(5,7),c=(2,4),則下列結(jié)論成立的是()

A.a—c與》共線B.》+c與a共線

C.a與c共線D.a+8與c共線

C解析：a—c=(4,2),因為4X7—2X5=18W0,所以a—c與6不共線；

Z>+c=(7,11),因為7X6—11X6=—24W0,所以B+c與。不共線；

%—c=(3,3),因為3X6—3義6=0,所以。與Z>—c共線；

a+6=(ll,13),因為11X4—13X2=18W0,所以a+萬與c不共線.

核心回扣

1.設(shè)4=(X1，力)，Z>=(X2，J2)，a,&共線的充要條件是Xl>2—X2yi=0.

2.當彳2丫2/0時，a//b等價于土=

$%

【常用結(jié)論】

丸=〃

1.如果對于一個基底｛。1，&｝，有。=41。1+22。2="1?1+"2c2，那么可以得到，1即基

，2=〃2，

底給定，同一向量的分解形式唯一.特別地，若九《1+22%=0，則九=22=0.

2.已知P為線段A5的中點，若A(xi,yi),B(x2,yi),則點尸的坐標為(卓，?).

3.已知WABC的頂點A(xi，yi),Bg,㈤，C(x3,券)，則AABC的重心G的坐標為(紀頭

應(yīng)用1在WABC中,M為AC的中點，若刀=瀛以~能Q,“eR),則下列結(jié)論正確的是()

A.2+〃=1B.A—〃=3

C.2+2〃=0D.22—〃=0

C解析：因為〃為AC的中點，所以麗瓦?+：品，所以荏=—2麗?+反?.

又方=4引方+〃灰%I,〃GR),所以；1=-2,〃=1,所以%+2〃=0.

應(yīng)用2已知向量｛〃，5｝是一個基底，實數(shù)x,y滿足(3x—4y)a+(2x—3y)》=6a+34則x

-y=?

3解析：因為｛〃，5｝是一個基底，所以a與萬不共線.

由平面向量基本定理得［'解得］所以x—y=3.

—3y=3,(y=3,

核心考點提升“四能”

考點一平面向量的坐標運算

1.已知而=(1,-1),C(0,1),若而=2方，則點。的坐標為()

A.(-2,3)B.(2,-3)

C.(-2,1)D.(2,-1)

D解析：設(shè)。(x,y),則而=(x,y—1),2行=(2,—2).

根據(jù)麗=2方，得(x,1)=(2,-2),

(x=2,(x=2,f

即解得

lv—1=-2,ly=-1.

所以點。的坐標為(2,-1).

2.(2024.溫州模擬)在平行四邊形ABC。中，而=(3,7),刀=(一2,3),對角線AC與BZ)

交于點。，則力的坐標為()

A.(-；,5)B.(；,5)

C.(-p-5)D.9-5)

C解析：因為在平行四邊形ABCD中，方+而=就=2而=2反，

所以—而=一施+刀)=一；(1,10)=(-；,—5).

3.已知向量a,b,c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，用基底｛a,6｝表示c,貝！1()

D解析：建立如圖所示平面直角坐標系，設(shè)正方形網(wǎng)格的邊長為1,

則A(l,0),BQ,1),C(0,4),D(7,1),

所以。=(1,1),b=(—2,3),c=(7,-3).

設(shè)向量c=ma+ftb.

則c=ma-\-nb=(m—2n,m+3n)=(7,-3),

m—2n=7m=3,

則f解得

“+3〃=-3,、n=-2

所以c=3a~2b.

A反思感悟

平面向量坐標運算的技巧

(1)向量的坐標運算主要是利用向量加、減、數(shù)乘運算的法則來進行求解的.若已知有向線

段兩端點的坐標，則應(yīng)先求向量的坐標.

(2)解題過程中，常利用向量相等其坐標相同這一原則，通過列方程(組)來進行求解.

考點二平面向量共線的坐標表示

【例11(1)(2024?臨沂模擬)已知向量。=(3,1)"=(1,1),C=Q+比.若。〃c,則左等于()

A.-1B.0

C.1D.2

B解析：因為C=Q+H>=(3,1)+(左，左)=(%+3,Z+1),而a//c,所以3X(fe+1)—1X(%

+3)=0,解得攵=0.

(2)在△ABC中，角A,5,C的對邊分別為a,b,c,。=多若加=(c—述，a~b),n=

[a-b,c+V6),且相〃小則△A3C的面積為()

A.3B.—

2

C.等D.3V3

C解析：因為根=(c—V6,a—6),n={a—b,c+V6),且機〃小

所以(〃一方產(chǎn)二小一直乂0+灰)，化為a*2+b2—c2=2ab—6,

22

?.、，7Ta2+b-c2ab—61々“FT/

所以cos；=――=――=解得ab=6,

32ab2ab2

c17?-1/V33V3

所以S/\ABC=-absinC=-x6xy=—.

＞反思感悟

平面向量共線的坐標表示問題的解題策略

(I)利用兩向量共線求參數(shù).如果已知兩向量共線，求某些參數(shù)的取值，則利用"若a=(xi，

力)，b=(X2,72)＞則a〃5的充要條件是尤一尤2yl=0"解題.

(2)利用兩向量共線的條件求向量坐標.一般地，求與一個已知向量a共線的向量時，可設(shè)

所求向量為〃QWR),然后結(jié)合其他條件列出關(guān)于九的方程(組)，求出力的值后代入加即可

得到所求的向量.

多維訓(xùn)練

????

1.已知向量。=(1,2),b=Q,-2),c=(m,-1),若。〃(2〃+5)，則機等于()

A.l2B.—1

C.--D.-

22

A解析：因為Q=(1,2),b=Q,—2),所以2a+Z＞=(4,2).

又c=(m,—1),c〃(2a+5),所以2加+4=0,解得機=—2.

2.已知向量C?=(晨12),岳=(4,5),OC^(~k,10),且A,2,C三點共線，則k=.

-j解析：由題意，得方=歷一次=(4一%,-7),AC=OC-OA^(~2k,-2).

因為A,B,C三點共線，所以方，就共線，

所以一2X(4T)=_7X(_2?,解得k=-2

考點三平面向量基本定理的應(yīng)用

考向1用已知基底表示向量

【例2】如圖，已知在梯形ABC。中，AB//CD,AB=2CD,E,E分別是DC,A8的中點.設(shè)

AD—a,AB=b,試用｛a,6｝為基底表示萬S,EF.

解：因為。C〃A8,AB=2DC,E,尸分別是。C,AB的中點，

----->----->1----->1

所以DC=4F=-AB=-b,

22

EF=ED+DA+AF=--DC-AD+-AB=--x-b-a+-b=-b-a.

222224

［變式］本例中，若設(shè)BC的中點為G,則而=.

^a+-^b解析：BC=BA+AD+DC=—b+a+；b=a—",

所以就=刀+數(shù)=刀+1元=方+，一)=，+26.

22424

＞反思感悟

平面向量基本定理的作用以及注意點

(1)根據(jù)平面向量基本定理可知，同一平面內(nèi)的任何一個基底都可以表示該平面內(nèi)的任意向

量.用基底表示向量，實質(zhì)上是利用三甬形法則或平行四邊形法則，進行向量的線性運算.

(2)基底的選取要靈活，必要時可以建立方程或方程組，通過方程或方程組求出要表示的向

量.

考向2解析法(坐標法)在向量中的應(yīng)用

【例3】如圖，在直角梯形A8C。中，AB//DC,AD1DC,AD=DC=2AB,E為的中

點.若?3=2廢+海瓦九〃GR),貝IU+〃的值為()

匚

A-IB.g

o

c-2D-i

B解析：建立如圖所示的平面直角坐標系，則。(0,0).

匚

不妨設(shè)AB=1,則CD=AD=2,

所以C(2,0),A(0,2),B(l,2),E(0,1),

所以C?=(—2,2),CE=(-2,1),DB=(1,2).

因為B=/l赤+〃麗，所以(一2,2)="—2,1)+〃(1,2),

所以「,29=-2,解得產(chǎn)_6；

I2+2〃=2,//=-.

\5

故％+〃=*

＞反思感悟

應(yīng)用平面向量基本定理解題的兩種思路

(1)基向量法.(2)坐標法.

能用坐標法解決的問題，一般不用基向量法.

考向3利用平面向量基本定理求參數(shù)的值（或范圍）

【例4】在△ABC中，點尸是AB上一點，且喬=g忑3+（赤，。是BC的中點，A。與CP

的交點為M.又說=在，則t的值為.

；解析：如圖所示.

4

因為A,M,。三點共線，

所以設(shè)加=北交+（1-x）G4=^CB+（1-x）G4.

又因為守=三互?+：而，CM^tCP,

（X1

----t,*

所以423解得f=2.

42,4

1一X=-ty

I3

A反思感悟

用平面向量基本定理解決問題的一般思路

（1）先選擇一個基底，并運用該基底將條件和結(jié)論表示為向量的形式，再通過向量的運算來

解決.

（2）在基底未給出的情況下，合理地選取基底會給解題帶來方便.另外，要熟練運用平面幾

何的一些性質(zhì)定理.

多維訓(xùn)練.

1.（2024?青島質(zhì)檢）在AABC中，亦=^NC,若P是直線BN上的一點,且滿足9=加荏+：就,

則實數(shù)根的值為（）

A.-4B.-1

C.1D.4

B解析：根據(jù)題意，設(shè)麗=〃W〃GR）,

則/=方+方=方+力麗=方+〃（訴一方）=而+〃Q就一方）=（1—w）費+E就.

5LAP=mAB+-AC,所以〃解得《

57=72，（m=-1.

55

2.如圖，在正方形中，E為。。的中點，若而=2就+〃近，則2—〃的值為（）

cE「

D\--------7----71C

AR

A.3B.2

C.1D.-3

D解析：以A3,AZ)所在直線分別為入軸、y軸，建立平面直角坐標系，如圖所示.

設(shè)正方形的邊長為1,則A(0,0),C(l,1),0(0,1),E(p1),

所以B=(；,1),就=(1,1),而=(0,1).

因為赤〃毋=,丸+〃)=(。，1),

,Q=一1,

所以12解得]所以丸一〃=一3.

2+〃=1,I4=2.

課時質(zhì)量評價(二十九)

愛考點鞏固

1.如果ei，e2是平面內(nèi)一組不共線的向量，那么下列四組向量中，不能作為平面內(nèi)所有向

量的一個基底的是()

A.e\與ei+c2

B.e\-2^2與ei+2c2

C.0+?2與e\—C2

D.ei—2c2與—ei+2?2

D解析：對于A,設(shè)ei+e2=Mi,貝心'無解，故幻與d+。2不共線，可以作為平面

11=0,

內(nèi)所有向量的一個基底；

對于B,設(shè)。1-262=2(《1+2。2)，貝葉無解，故ei-2及與01+2改不共線，可以作

1—2=2九

為平面內(nèi)所有向量的一個基底；

(丸=]

對于C,設(shè)ei+e2=2(ei—?2),則|無解，故《1+?2與ei—?2不共線，可以作為平面

11=一九

內(nèi)所有向量的一^個基底；

對于D,d一2?2=—(—ei+2c2),所以約一2改與一次+2?2為共線向量，不能作為平面內(nèi)所

有向量的一■個基底.

2.(2024?南京模擬)設(shè)平面向量。=(1,2),6=(-2,y),若a〃b,則|3〃+"等于()

A.V5B.V6

C.V17D.V26

A解析：由于?！ㄈ怂詌Xy=2X(—2),解得了=-4,所以》=(-2,-4).

因為3a+Z?=(3,6)+(-2,—4)=(1,2),所以|3。+臼=，1近=石.

3.已知點尸是△ABC所在平面內(nèi)一點，且月J+而+定=0,貝!]()

A.R4^--BA+-BC

33

B.R4=-BA+-BC

33

C.PA^--BA--BC

33

D.PA^-BA--BC

33

D解析：由題意知無+而+京=0,所以向十(萬一萬)+(就一N)=o.

所以無+(萬一+(BC-BA-AP)=0.

整理得3PA+BC-2BA=Q,即3PA=2BA-BC.所以百=^BA~^BC.

4.已知E為△ABC所在平面內(nèi)的點，且瓦J+:配=2赤.若赤=加石+"就，則2=()

2m

A.-3B.3

C.-D.--

33

A解析：因為麗=品+而，

所以羽+；元=2礪=2(BC+CE).

所以2赤=_京一：就=-AB-|(AC-AB)=^AB-^AC.

所以屋=1萬一2就.

44

所以m=1,n=--,故2=-3.

44m

5.已知向量。=(；,；),力=(—2,m),若。與方共線，貝！)|臼=.

V5解析：因為向量〃=(；，與b=(—2,m)共線，所以;X冽=：X(—2),解得m=-1.

所以6=(-2,-1),故依=](_2了+(_1了=右.

6.已知向量m=(2+1,1),〃=(2+2,2).若(2根+〃)〃(帆一2〃)，則丸=.

0解析：由題意得，2次+打=(32+4,4),m—2n=(—A—3,—3).

因為(2/w+〃)〃(加一2〃)，所以一3(32+4)—4(—A—3)=0,解得丸=0.

7.在△AO8中，AC=^AB,。為08的中點，若虎=九次+〃礪，則〃的值為.

一(解析：因為就=；花，所以就=：(歷一ZH).

因為。為。8的中點，所以歷=：麗，

所以虎=加+標=-^OB+(04+25)=-^0B+O4+-(0B-a4)=^O4-^OB,

所以/L=j〃=一5，則加的值為一卷.

8.已知A(—2,4),8(3,-1),C(-3,-4).設(shè)方=用BC=b,CA=c,且0?=3c,CN=

⑴求3a+b~3c；

(2)求滿足a=mb+nc的實數(shù)m,〃；

(3)求M,N的坐標及向量而^的坐標.

解：由已知得Q=(5,-5),8=(—6,-3),c=(l,8).

(1)3〃+)-3c=3(5,—5)+(—6,—3)—3(1,8)=(15—6—3,—15—3—24)=(6,—42).

(2)(方法一^因為mb-\-nc={—6m+n,—3m+8n),

”,(—6m+n=5,_=—

所以《解得《

1―3m+8n=-5,(n=~\.

(方法二)因為a+>+c=O,所以a=—b—c.

又。=根)+〃c,所以根方+〃c=一8一。，

所2以,1~

(n=~\.

(3)設(shè)O為坐標原點，因為心而=而一碇=3c,

所以而=3c+0?=(3,24)+(-3,-4)=(0,20),所以M(0,20),

因為網(wǎng)=后貫一友=—2b,所以麗=一2方+灰=(12,6)+(—3,-4)=(9,2),

所以N(9,2),所以麗=(9,-18).

*高考培優(yōu)

9.(多選題)已知向量3?=(1,—3),礪=(一2,1),OC=(r+3,f—8),若點A,B,C能

構(gòu)成三角形，則實數(shù)f可以為()

A.-2B.-

2

C.1D.-1

ABD解析：點A,B,C能構(gòu)成三角形，故A,B,C三點不共線，則向量方，就不共線.由

于向量方=(1,-3),OB={-2,1),OC=(r+3,t-8),故方=無一方=(一3,4),BC=

OC~OB=(t+5,t-9).若A,B,C三點不共線，則一3?—9)-4?+5)/0,所以tWl.

10.(2024?大理模擬)在△ABC中，。是直線A3上的點.若2麗=赤+八刀，記△AC2的面

積為N,的面積為S2,貝嶺等于()

D解析：依題意作圖，如圖所示.

A

B,C

設(shè)麗=商=〃@—同=~pjCB+/JCA.

由條件麗=；而+（心力

得〃=一；，g="=一；，BD=-1BA^

所以點。在AB的延長線上，并且A￡）=：A8,

匕八、出AB2

所以」=—=一.

S2AD?>

11.（多選題）在△ABC中，。為AC上一點且滿足而=；虎，若P為BD上一點,且滿足N

=L4B+MC（L〃為正實數(shù)），則下列結(jié)論正確的是（）

A.加的最小值為16

B.〃的最大值為5

C.1+；的最大值為16

24〃

D.；+；的最小值為4

A4〃

BD解析：因為。為AC上一點且滿足同=g皮，所以就=4近.

因為萬=4方+〃就，所以方=尤而+4〃