高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)訓(xùn)練：基本不等式的應(yīng)用（兩分層練）

第12講基本不等式的應(yīng)用

【蘇教版2019必修一】

目錄

題型歸納................................................................................

題型01利用基本不等式的變形求最值.....................................................................2

角度1積(和)為定值求最值.............................................................................2

角度2常數(shù)代換法.......................................................................................5

題型02基本不等式的實(shí)際應(yīng)用............................................................................7

分層練習(xí)................................................................................................10

夯實(shí)基礎(chǔ)...............................................................................................10

能力提升................................................................................................17

創(chuàng)新拓展................................................................................................24

知識梳理

一、利用基本不等式的變形求最值

用基本不等式求最值

已知都是正數(shù)，如果和等于定值那

兩個(gè)正數(shù)的和為常數(shù)時(shí)，它們的積X,yx+yS,

么當(dāng)時(shí),積孫有最大值扣

有最大值x=y

兩個(gè)正數(shù)的積為常數(shù)時(shí)，它們的和已知羽y都是正數(shù)，如果積犯等于定值P,那么

有最小值當(dāng)x=y時(shí),和x+y有最小值2y[P

注意點(diǎn):

(1)口訣：和定積最大，積定和最小.

(2)應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)，應(yīng)把握不等式成立的條件：一正、二定、三相等

題型歸納

題型01利用基本不等式的變形求最值

【解題策略】

常數(shù)代換(“1”的代換)法求最值的步驟

(1)根據(jù)已知條件或其變形確定定值(常數(shù)).

(2)把確定的定值(常數(shù))變形為1.

(3)把“1”的表達(dá)式與所求最值的表達(dá)式相乘或相除，進(jìn)而構(gòu)造和或積的形式.

(4)利用基本不等式求解最值

角度1：積(和)為定值求最值

【典例分析】

【例1】例1⑴若a>0,6>0,a+2b=5,則仍的最大值為()

25

A.25B.T

謂

⑵若0<x<g,則y=2x?(l—3%)的最大值是

4

(3)設(shè)實(shí)數(shù)%滿足x>—1,則函數(shù)尸工+百萬的最小值為()

A.3B.4

C.5D.6

答案(1)D(2)|(3)A

解析(1>>0,歷>0,a+2b=5,

則"=%皿只義(%24〉=米

當(dāng)且僅當(dāng)4=24即4=|,Q訝，等號成立.

故"的最大值為年25.

O

⑵：0<x<；,

.*.1—3x>0,

；?y=2x.(1—3%)=,X3?(1—3%)

、3、|_2J~69

當(dāng)且僅當(dāng)3x=l—3x,即尤=/時(shí)，等號成立.

???所求最大值是去

(3)Vx>-l,

?*.x+1>0,

44

?.?函數(shù)y=x+干=(x+l)+干一1

^2^(x+l)X-^-1=4-1=3,

4

當(dāng)且僅當(dāng)x+l=七，即％=1時(shí)取等號.

X十1

4

因此函數(shù)丁=%+本的最小值為3.

【變式演練】

3Vx

【變式1](2324高一下?浙江?期中)若實(shí)數(shù)x>2y>0,則一丁+一的最小值為()

龍一2yy

A.2A/3B.2A/3-1C.273+1D.2A/3+2

【答案】D

【分析】首先變形W-+±=W-+2立+2,再利用基本不等式求最小值.

x-2yyx-2yy

…蝴、3yJC3yx-2y+2y3y,x-2y

x-2yyx-2yyx-2yy

22m三+=?+,

\x-2yy

當(dāng)且僅當(dāng)(x-2y)2=3y2,即x=(2+6)y時(shí)，等號成立.

故選：D

【變式2］已知?jiǎng)tx(3—3x)取最大值時(shí)x的值為()

1123

AqB.2CqD./

答案B

解析

1—x>0,

x(3—3x)=3x(1—x)W~=,,

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號.

31

.??x(3—3x)取最大值時(shí)，x的值為］

【變式3］(2324高一上?浙江杭州?階段練習(xí))若正數(shù)。乃滿足a+2b=4.

⑴求"的最大值；

⑵求工+；的最小值.

【答案】(1)2

7+2所

【分析】(1)直接運(yùn)用基本不等式進(jìn)行求解即可；

(2)根據(jù)已知等式，進(jìn)行常值代換、結(jié)合基本不等式進(jìn)行求解即可.

【詳解】(1)因?yàn)檎龜?shù)滿足。+26=4,

所以有4=a+2b之位>W2,當(dāng)且僅當(dāng)々=26時(shí)取等號，

即當(dāng)a=2]=1時(shí)，而有最大值

(2)因?yàn)檎龜?shù)。/滿足a+2〃=4,

所以有a+l+%=5,

當(dāng)且僅當(dāng)筌二學(xué)時(shí)取等號,

22-5M,5710-10517+2加

(2=-------------o二-----------------1-------------------

即當(dāng)且僅當(dāng)36時(shí)，a+16有最小值5

角度2常數(shù)代換法

【典例分析】

Q1

【例2】已知x>0,y>0,且滿足；+1=1.求x+2y的最小值.

xy

Q1

解因?yàn)閤>0,y>0,-+-=1,

xy

210+2匹=18,

當(dāng)且僅當(dāng)乎=*即x=12,y=3時(shí)，等號成立,

xy

所以尤+2y的最小值為18.

【變式演練】

2

【變式1］（2324高一下?遼寧葫蘆島?開學(xué)考試）已知%>0/>0,且4尤+y=l,則上上土的最小值為（）

孫

A.5B.4近C.4D.2A/2

【答案】A

【分析】由基本不等式中“1”的妙用代入計(jì)算即可得出最小值.

【詳解】=24"+G2^^+1=4+1=5,

孫％yxyxy\xy

當(dāng)且僅當(dāng)2=竺即x==：時(shí)等號成立，所以匚二的最小值為5.

xy63孫

故選：A

41

【變式2］（2324高一上?湖南邵陽?階段練習(xí)）若工〉0,〉〉0,且x+y=6,則—+一的最小值為______.

xy

3

【答案】j

【分析】根據(jù)基本不等式的乘“1”法即可求解.

［詳解］由于x>0,y>0,所以4++=+"+土］?；卜+2=；

xyy)61xyj6(\xyJ2

當(dāng)且僅當(dāng)把=土，即x=4,y=2時(shí)等號成立，

xy

2

故答案為：2

【變式3］（2324高一上?青海海東?期中）已知尤>0,y>0,且無+y=2.

19

（1）求一+一的最小值；

xy

（2）若4元+1-根92°恒成立，求加的最大值.

【答案】⑴8

⑵4

【分析】（1）（2）利用基本不等式中的“1”的妙用求解小問1,分離參數(shù)并且使用基本不等式中的“1”的妙用求解即可.

【詳解】⑴由x+y=2,得畀%|'又no,y>。,

mr、i19(xyV19^|_y9x_l~y9x

所以—+—=〔5+5―+―I=5+^~+丁25+2j丁?廠=8o,

xy2八%y)2x2y2x2y

v9犬ia

當(dāng)且僅當(dāng)*=丁，即％=：,y=：時(shí)等號成立，

2x2y22

19

所以一+一的最小值為8；

%y

4x+1

(2)由4x+l—吟20恒成立，得mW-----恒成立，

孫

乂x+y=2,所以4x+]=4x+2(-+「)=9.+、=]]]?9

xyxy2xy21%y

19所以y工1+9

由(1)可知一十一28,>4,

xy%y

_2_9x_j_3^±1>4

==

當(dāng)且僅當(dāng)%2y,即元一5y一

2時(shí)等號成立,即孫，故加的最大值是4

題型02基本不等式的實(shí)際應(yīng)用

【解題策略】

利用基本不等式解決實(shí)際問題的步驟

(D先理解題意，設(shè)變量.設(shè)變量時(shí)一般把要求最大值或最小值的變量定為函數(shù).

(2)建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式.把實(shí)際問題抽象為函數(shù)的最大值或最小值問題.

(3)在定義域內(nèi)求出函數(shù)的最大值或最小值.

(4)正確寫出答案

【典例分析】

【例3】甲工廠承擔(dān)了某種材料的生產(chǎn)，并以x千克/時(shí)的速度勻速生產(chǎn)(為保證質(zhì)量要求IWXWIO),每小時(shí)可消耗A

材料(收+9)千克，已知每小時(shí)生產(chǎn)1千克該產(chǎn)品時(shí)，消耗A材料10千克.

⑴設(shè)生產(chǎn)加千克該產(chǎn)品，消耗A材料y千克，試把y表示為尤的函數(shù)；

(2)要使生產(chǎn)1000千克該產(chǎn)品消耗的A材料最少，工廠應(yīng)選取何種生產(chǎn)速度？并求消耗的A材料最少為多少？

解(1)由題意，得左+9=10,即左=1,

生產(chǎn)加千克該產(chǎn)品需要的時(shí)間是?小時(shí)，

所以y=?（近2+9）=加Q+￡）,IWXWIO.

（2）由（1）知，生產(chǎn)1OOO千克該產(chǎn)品消耗的A材料為y=lOOO（x+?Nl000X29=6000（千克），

9

當(dāng)且僅當(dāng)即x=3時(shí)，等號成立，

故工廠應(yīng)選取3千克/時(shí)的生產(chǎn)速度，此時(shí)消耗的A材料最少，最少為6000千克.

【變式演練】

【變式1]（2223高一上?全國?期中）小王準(zhǔn)備用18m的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形菜園，墻長為18m,小王需要合

理安排矩形的長、寬才能使菜園的面積最大，則菜園面積的最大值為（）

8]

A.—B.40m2C.36m2D.32m2

2

【答案】A

【分析】由基本不等式的應(yīng)用即可求解.

【詳解】設(shè)矩形菜園中平行于墻的邊長度為皿，垂直于墻的邊長度為加1,菜園面積5=孫，

______O1

貝Ux+2y=18,;.x+2y22j尤-2y,..孫4萬,當(dāng)且僅當(dāng)無=2y=9時(shí)取等號.

故選：A

【變式2]（2324高一上?河北?階段練習(xí)）一家商店使用一架兩臂不等長的天平稱黃金.一位顧客到店里購買10g黃金,

售貨員先將5g的祛碼放在天平左盤中，取出一些黃金放在天平右盤中使天平平衡；再將5g的祛碼放在天平右盤中，

再取出一些黃金放在天平左盤中使天平平衡；最后將兩次稱得的黃金交給顧客.你認(rèn)為顧客購得的黃金______10g.（填

"大于""小于""等于不確定”）

附：依據(jù)力矩平衡原理，天平平衡時(shí)有叫/乙2,其中%，叫分別為左右盤中物體質(zhì)量，A分別為左右橫梁臂

長.

【答案】大于

【分析】根據(jù)力矩平衡原理，列出等量關(guān)系，即可由基本不等式求解.

【詳解】由于天平兩臂不等長，可設(shè)天平左臂長為。，右臂長為6,則疝b,

再設(shè)先稱得黃金為xg,后稱得黃金為箔，則法=5a,ay=5b,

.-.x+j=5(-+-)>5x2./---=10,

ba\ba

當(dāng)且僅當(dāng)f=2,即。=6時(shí)等號成立，

ba

但出b,等號不成立，即x+y>10.

因此，顧客購得的黃金大于10g.

故答案為：大于

【變式3](2324高一上?甘肅臨夏?期末)某單位建造一間地面面積為12平方米的背面靠墻的矩形小房，由于地理位

置的限制，房子側(cè)面的長度尤不得超過5米，房屋正面的造價(jià)為400元/平方米，房屋側(cè)面的造價(jià)為150元/平方米，屋

頂和地面的造價(jià)費(fèi)用合計(jì)為5800元，如果墻高為3米，且不計(jì)房屋背面的費(fèi)用，當(dāng)側(cè)面的長度為多少時(shí)，總造價(jià)最低？

最低總造價(jià)是多少元？

【答案】當(dāng)側(cè)面的長度為4米時(shí)，總造價(jià)最低.最低總造價(jià)是13000元

【分析】根據(jù)題意得到函數(shù)表達(dá)式>=90。[尤+/]+5800,利用基本不等式求出最小值即可.

【詳解】由題可知y=3(2xxl50+Ux400)+5800=900^+—^+5800(0<x<5)

因?yàn)閤+更之2、尸1=8,當(dāng)且僅當(dāng)無="，即工=4時(shí)取等號，

X\Xx

所以y=90。[尤+—]+580。在x=4時(shí)取最小值900x8+5800=13000,

于是當(dāng)側(cè)面的長度為4米時(shí)，總造價(jià)最低.最低總造價(jià)是13000元

分層練習(xí)

【夯實(shí)基礎(chǔ)】

一、單選題

1.（2324高一上.廣東潮州.期中）已知0<x<1則x（2-3x）的最大值是（）

A.-B.-C.-D.-

3496

【答案】A

【分析】利用基本不等式湊和為定值直接求解.

2

【詳解】已知

貝！J無（2-3無）=gx（3x）（2—3無）

當(dāng)且僅當(dāng)3x=2-3x,即尤=；等號成立.

故x（2-3x）的最大值是，

故選：A

2.（2324高一上.云南昆明.期末）如圖，為滿足居民健身需求，某小區(qū)計(jì)劃在一塊直角三角形空地中建一個(gè)內(nèi)接矩形

健身廣場（陰影部分），則健身廣場的最大面積為（）

A.32.5m2B.36m2C.37.5m2D.40m2

【答案】C

【分析】設(shè)出邊長，利用相似得到定值，再利用基本不等式求解即可.

【詳解】設(shè)矩形廣場的長為無，寬為兀且0<x<15,0<y<10,

由三角形相似性質(zhì)得'=令二化簡得2x+3y=30,

nU2x+3y>2y]6xy,當(dāng)且僅當(dāng)x=7.5,y=5時(shí)取等，故孫W37.5,

故健身廣場的最大面積為37.5m?.

故選：C

3.（2324高一上?新疆?期末）若正實(shí)數(shù)x、y滿足無+y=2,則上的最小值為（）

孫

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【分析】利用基本不等式可求得工的最小值.

xy

11?

—2------------1

【詳解】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)X、y滿足x+y=2,則孫（x+y；,

\x=y

當(dāng)且僅當(dāng)。時(shí)，即當(dāng)％=丁=1時(shí)，等號成立，

[x+y=2

故人的最小值為1.

孫

故選：B.

22

4.（2324高一下?湖南?開學(xué)考試）已知療>〃>0,則機(jī)+-//2、-的最小值為（

?n（m—n）

A.4B.6C.8D.2

【答案】A

【分析】根據(jù)給定條件，利用基本不等式求解即得.

【詳解】由機(jī)2>”>0,得J""'[-嘰],當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，

222224\4

因此"+Ja-"+正="+方"2M2?薪=4,當(dāng)且僅當(dāng)加=2時(shí)取等號，

T

22

所以當(dāng)病=2,〃=1時(shí)，"+/,。、取得最小值4.

Jn（m"—n）

故選：A

二、多選題

5.（2324高一下.山東淄博?期中）已知q>0,b>0,且a+6=l,則下列不等式成立的是（）

A.ab>—B.—I—225C.\[a+y[b<A/2D.a2<a+3b

4ab

【答案】BCD

【分析】借助基本不等式可求積的最大值，即可得A；借助基本不等式“1”的妙用可得B；結(jié)合A中所得可得C；借助

作差法，結(jié)合所給條件可得D.

【詳解】對A：ab<（^\=-,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時(shí)，等號成立，故A錯(cuò)誤；

12；42

“049<49\…46、14b9a?

ab\ab）abyab

當(dāng)且僅當(dāng)4竺b=手9a，即，=2：,b=3J時(shí)，等號成立，故B正確；

ab55

71

對C：由A知],ab<—,〃+Z?+2Jab-1+2,ah<1+2x——2,

42

即G+&W垃,當(dāng)且僅當(dāng)。=b=g時(shí)，等號成立，故C正確;

對D：由=故人=1一〃，

貝!Ja?—ci—3b-a?—Q—3（1—a）=a?+2a—3=（〃+1）—4,

由〃>0,b>0,故Ovavl,貝lj（々+1）2￡（1,4）,

即〃2一々一36=（4+1）2一4<0,故<々+3〃，故D正確.

故選：BCD.

6.（2324高一下.云南.階段練習(xí)）已知a,b均為正數(shù)，且2a+5）=l,則下列結(jié)論一定正確的是（）

11Q1

A.->yB.—7+—三的最小值是16

aba+Aba+b

C.ab的最大值是工D.8a2+50Zj2>1

40

【答案】BCD

【分析】通過取特值代入檢驗(yàn)排除A項(xiàng)，利用常值代換法可得B項(xiàng)，直接利用基本不等式可得C項(xiàng)，利用基本不等式

的變形公式漢史4J^^即得D項(xiàng).

2V2

111

【詳解】對于A,取“=6=!滿足題意，但顯然不成立，故A錯(cuò)誤;

7ab

對于B,由2a+5Z?=(a+4〃)+(a+b)=l,因〃，Z?均為正數(shù),

_,91(91V.7\1八9。+9人〃+461,

貝0--------1--------=----------1-------\(a+4b7+a+b}=l0-\-------------1---------->16

a+4ba+b+a+b)a+4ba+b

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)駒+0=￡±竺，即。=1，b=\,等號成立，故B正確;

a+4ba+b126

對于C,由基本不等式可知2a+56=1±2而拓，即

40

當(dāng)且僅當(dāng)“4八4時(shí),等號成立,故°正確;

對于D,由基本不等式可知工=生土,則81+506221,

22V2

當(dāng)且僅當(dāng).,。亮?xí)r，等號成立,故D正確

故選：BCD.

三、填空題

,91

7.⑵24”上?安徽馬鞍山?期中）已知。6。且j=3,則布的最小值為一

_心人.16

【答案】y

【分析】依題意可得（。+1）+（6+1）=5,利用乘“1”法及基本不等式計(jì)算可得.

【詳解】因?yàn)榍襛+6=3,所以（。+1）+（6+1）=5,

所以/1+。=1/3+5][(.+1)+優(yōu)+1)]

4+1+如W16

5。+1Z?+1

9(6+1)(2+1即二%時(shí)取等號，

當(dāng)且僅當(dāng)

4+1b+1

所以言+擊的最小值為

故答案為：

21m

8.（2324高一上.江西南昌.階段練習(xí)）已知。>〃>c且三+9—N旦恒成立，實(shí)數(shù)機(jī)的最大值是

a-bb-ca-c

【答案】3+2A/2/2A/2+3

【分析】將不等式轉(zhuǎn)化，應(yīng)用基本不等式求出最大值，即可得到答案.

【詳解】由題意，a-b>0,b-c>0,a-c>0,

*221m/丑/[*2（a—c）a-c

所以--+-->——轉(zhuǎn)化為一^----+——>m,

a-bb-ca-ca-bb-c

2（a-b+b-c）a-b+b-c目口2他-c）a-b、

可得一----------+---------->m,BP2+—^----^+1+----->m,

a-bb-ca-bb-c

B^2+2^~^+l+—>3+272,當(dāng)且僅當(dāng)。一6=血僅一c）時(shí)等號成立，

a-bb-c

所以實(shí)數(shù)機(jī)的最大值是3+2&.

故答案為：3+20

3yxX

9.（2324高一下.湖南?階段練習(xí)）若實(shí)數(shù)無>2y>0,則一十+一的最小值為________，此時(shí)一=

x-2yyy

【答案】273+22+g/g+2

【分析】二一+二==一+=幺+2,利用基本不等式求最小值，由等號成立的條件求二的值.

x-2yyx-2yyy

【詳解】上+±=上+'-2'+2，=上+0+2三2、3.0+2=2百+2,

x-2yyx-2yyx-2yy^x-2yy

當(dāng)且僅當(dāng)（尤-2y）2=3，，即x=（2+省卜時(shí)，等號成立.

此時(shí)2=2+道.

y

故答案為：2括+2；2+>/3.

四、解答題

10.（2324高一上?廣東韶關(guān)?階段練習(xí)）（1）已知X>1,求函數(shù)y=」\4+x的最小值;

x-1

（2）已知正數(shù)無V滿足?+y=l,求工+L的最小值.

%y

【答案】⑴5；（2）9

【分析】（1）通過配湊，然后利用基本不等式直接求解可得.

（2）利用基本不等式力”的妙用求解可得.

4

【詳解】（1）因?yàn)?>1,所以1-1〉0,——->0,

x-1

所以y=-+x=-4+%-1+1>2A/4_.（%-1）+1=5,

x-1x-1Vx-117

4

當(dāng)且僅當(dāng)二T=i'即I時(shí)，取等號,

4

所以函數(shù)>=73T+X的最小值為5；

(2)因?yàn)椋?gt;0,y>0,所以!>。，工>0,

所以工+工的最小值為9.

xy

11.(2324高一上.山東荷澤.階段練習(xí))已知〃>0,b>0,o+b=l,求下列代數(shù)式的最小值

(1)——+——

Q+2力+2

(2)—(/?+Y).

ab

【答案】(嗚4

(2)2忘+2

【分析】(1)運(yùn)用配湊和常值代換法將其轉(zhuǎn)化，利用基本不等式即可求得;

(2)展開變形成匕1,再將1換成(4+6)2展開，即可利用基本不等式求解.

ab

【詳角軍】(1)因〃>0,b>0,a+/?=l,貝|(a+2)+(b+2)=5,

a+2-擊T(“+2)+("2)][11b+2Q+2b+2a+24

于是得二+--------1-------2+------+-------2+2,

〃+2Z?+2a+2Z?+2-IQ+2Z?+2,5,

當(dāng)且僅當(dāng)"!=*，即。=。=：時(shí)取“=”，

a+2b+22

1114

所以，當(dāng)。=6=：時(shí)，娛+不\的最小值是:;

2a+2b+25

(2)因。>0,b>0,a+b=l,

則小+n=3J+（a+"/+2"+2也4竺+222、洋+2=2夜+2,

ayb）abababba\ba

當(dāng)且僅當(dāng)?=殳，即a=2-/6=0-1時(shí)取“=”，

ba

rrU"〕r

所以當(dāng)a=2-"6=及-1時(shí)，八"的最小值是20+2.

【能力提升】

一、單選題

1.（2324高一下?河南周口?階段練習(xí)）已知正數(shù)滿足成=1,則T=（a+l）2+（》+l）2的最小值為（）

A.4B.6C.8D.16

【答案】C

【分析】利用基本不等式和不等式的加法性質(zhì)即可求解.

【詳角星】因?yàn)門=a2+b2+2（^a+b^+2>2ab+4y[ab+2=8,

當(dāng)且僅當(dāng)。=方=1時(shí)取等號，所以T的最小值為8.

故選：C.

2.（2324高一上.安徽蕪湖.期末）若實(shí)數(shù)滿足孫=1,則尤2+2丁的最小值為（）

A.1B.72C.2D.2A/2

【答案】D

【分析】通過肛=i求出y,代入所求式消元，運(yùn)用基本不等式求解即得.

【詳解】由孫=1可知XHO,則y=L代入尤2+2/得：x2+2y2=x2+^>242,

XX

當(dāng)時(shí)等號成立，即當(dāng)x=±蚯時(shí)，/+2/取得最小值2&.

故選：D.

3.（2324高一上?河北?階段練習(xí)）如圖，某地區(qū)計(jì)劃在等腰融。的空地中，建設(shè)一個(gè)有一邊在8C上的矩形花園，已

知AB=AC=50m,3C=80m,則該矩形花園面積的最大值為（）

A

A.500m2B.550m2C.600m2D.650m2

【答案】C

【分析】方法一：當(dāng)該矩形花園的面積最大時(shí)，該矩形為等腰AABC的內(nèi)接矩形，設(shè)"E的長度為x（0<x<40）m,HI

的長度為y（0<y<30）m,根據(jù)相似求出的關(guān)系，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解；

方法二：設(shè)HE的長度為x（0c<40）m,m的長度為y（0<y<30）m,根據(jù)相似求出尤,y的關(guān)系，再根據(jù)基本不等式

即可得解.

【詳解】（方法一）如圖，當(dāng)該矩形花園的面積最大時(shí)，該矩形為等腰AABC的內(nèi)接矩形，

設(shè)等腰AABC的內(nèi)接矩形為DEFG,取BC的中點(diǎn)/,連接用交DE于點(diǎn)

設(shè)HE的長度為x（0<x<40）m,小的長度為y（0<y<30）m,

則/C=/B=40m,AI=30m,?AHE~^AIC,

AHHE30-2x3

所以方=元M=—,gpy=--x+30,

404

339

則該矩形花園的面積為2孫=--x2+60x=--(x-20)2+600,

當(dāng)％=20時(shí)，該矩形花園的面積取得最大值，最大值為600m之.

（方法二）如圖，當(dāng)該矩形花園的面積最大時(shí)，該矩形為等腰融。的內(nèi)接矩形,

設(shè)等腰融。的內(nèi)接矩形為。及G,取3C的中點(diǎn)/,連接卸交。后于點(diǎn)H,

設(shè)HE的長度為x（0<x<40）m,HI的長度為y（0<y<30）m,

貝!J/C="=40m,AI=30m,2AHE?小AIC,

所以二二器’得30—y_x

3040

貝U木+9=122,點(diǎn)?玄，即孫4300,

當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)=4，即x=20,y=15時(shí)，等號成立,

所以該矩形花園面積的最大值為600m2.

故選：C.

4.（2324高一上?福建龍巖?期末）已知尤S.x+y—xy=—,則2x+y的最小值是（）

A.2A/2B.4C.4A/2D.5

【答案】D

【分析】由已知可得（尤=再根據(jù)基本不等式求解即可.

【詳解】由x+y-孫=；,得=

因?yàn)椋ニ裕?1>0,丁一1>0,

貝lj2x+y=2（x-l）+（｝；-l）+3>2^2（x-l）（｝；-l）+3=5,

當(dāng)且僅當(dāng)2（X-1）=（丁一1）,即無=；,y=2時(shí)，等號成立，

所以2x+y的最小值是5.

故選：D.

二、多選題

14

5.（2324高一下?浙江?階段練習(xí)）已知a>0,b>0,M-+-=2,則下列說法正確的是（）

ab

9

A.ab有最小值4B.。+〃有最小值一

2

C.2H+匕有最小值4近D.4/+廿有最小值16

【答案】AB

【分析】對于A,直接利用基本不等式式即可；對于B,利用乘“1”法即可；對于C,代換2",再利用乘“1”法即可;

對于D,化簡表達(dá)式得到4/+*作時(shí)+學(xué)咨+16，再利用和4a-Z?不能同時(shí)為零即可否定結(jié)論.

【詳解】對于A,由2得必24,當(dāng)且僅當(dāng)工=2，即q=l,6=4時(shí)取等號，故A正確;

ab\abab

―71f14\7、1f_b4ay11_lb4a\9,.b4a3,

對于B,Q+O=Z—+?。ā??=75+—+72彳5+2j------=-,當(dāng)且僅當(dāng)_=丁，即〃=彳，8=3時(shí)取等節(jié),

21ab）2\ab）\abJ2ab2

故B正確；

14

對于C,由一+：=2,得2"—4〃一。二0,

ab

所以2ab+Z;=4Q+20=：+:］（4Q+2b）=6+—+^>6+2^--^=6+4A/2,

當(dāng)且僅當(dāng)2=手，即L+不二=2,即a=l±2&,b=2+應(yīng)時(shí)取等號，故C錯(cuò)誤；

aba2,2。2

對于D,有44+。2=（2Q-0『+4i0=（2Q-0）2+4。（工+：）=（2。-0）2'J+16=（24一/?）2+（4"+16,

而由于2〃-8和4〃-/?不相等，從而它們不能同時(shí)為零，所以46?+〃>[6,故D錯(cuò)誤.

故選：AB.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于使用基本不等式及不等式的性質(zhì)求出或否定最值.

6.（2223高一上?山西大同?階段練習(xí)）下列結(jié)論正確的是（）

A.當(dāng)％>0時(shí)，+-^>2B.當(dāng)x>2時(shí)，x的最小值是2

7xx

XV]

C.當(dāng)x>0,y>0時(shí)，一+—22D.當(dāng)％<2時(shí)，y=x-l+的最小值為3

y%x-2

【答案】AC

【分析】根據(jù)基本不等式及其等號成立的條件逐項(xiàng)判斷后可判斷ABC的正誤，結(jié)合反例可判斷D的正誤.

由基本不等式可得6+3川口去=2,

【詳解】對于A,當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)等號成立，故A正確.

yjx

對于B,由基本不等式可得、+」22\限工=2,當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)等號成立,

xVx

而x>2,故等號不成立，故無的最小值不是2,故B錯(cuò)誤.

X

對于C,由基本不等式可得<歸1*=2,當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)等號成立，故C正確.

yxVyx

對于D,取x=—5,則xT+」^=-6-1<3,故y=的最小值不為3,故D錯(cuò)誤.

x—27x-2

故選：AC.

三、填空題

9

7.（2324高一上?北京?期中）已知x>0,則無+—在彳=時(shí)，取得最小值為.

x

【答案】36

【分析】由條件知，可用基本不等式求其最小值.

【詳解】因x>0,x+->2.p=6,當(dāng)且僅當(dāng)x=3時(shí)等號成立，即在x=3時(shí)，x+2取得最小值為6.

X\XX

故答案為：3；6.

O

8.（2324高一上.北京?期中）已知y=2無+―-（%>3）,則當(dāng)x=____時(shí)，y取最小值為______.

x-3

【答案】514

【分析】利用基本不等式求解即可.

【詳解】因?yàn)閤>3,所以x+3>0,

QQIQ

貝!Jy=2x+-----=2-3）H---------1-6>2J2（x-3）--------1-6=14,

x3x3Vx3

Q

當(dāng)且僅當(dāng)2（X-3）=T，即x=5時(shí)取等號，

所以當(dāng)x=5時(shí)，y取最小值為14.

故答案為：5；14.

9.（2324高一下?安徽?階段練習(xí)）設(shè)a,b為正實(shí)數(shù)，且滿足。+匕=2,則J虧+』的最小值是_____

1+a1+b

【答案】1

【分析】將所求因式通分后利用基本不等式計(jì)算即可.

、、刀11_1+尸+1+。2_2+4+。2

【詳解】立7+而=（1+項(xiàng)1+〃）=1+/+/+//,①

因?yàn)閍,b為正實(shí)數(shù)，且滿足a+6=2,

所以必《審:=1,當(dāng)且僅當(dāng)。=方=1時(shí)取等號，

所以…，所以8T

故答案為：1.

四、解答題

10.（2324高一上?安徽蕪湖?階段練習(xí)）（1）已知a,beR,比較5〃+〃+2與4ab+2a的大小，并說明理由.

（2）已知x>l,求y=4x+」~；■的最小值，并求取到最小值時(shí)尤的值.

X-1

【答案】（1）5/+〃+2>4仍+24，理由見解析

3

⑵最小值為8,此時(shí)x=]

【分析】（1）利J用作差法得至%/+〃+2--2a>0,進(jìn)而即可比較；

（2）依題意可得y=4（x-l）+—1+4,再利用基本不等式即可求解.

x—1

【詳角軍】(1)由5a2+b2+2—4ab-2a=(2a-Z?y+(^-l)2+1,

又(2a-6)&0,(a-l)2>0,

貝！J5a2+b2+2-4ab-2a>Q,

所以5a2+b2+2>4ab+2a.

（2）由〉=4工+，=4口-1）+-1—+422\[4"-1）.，+4=4+4=8,

X1X1jX1

i3

當(dāng)且僅當(dāng)4（x-l）=時(shí)，即無=：時(shí)取等號，

13

所以7=4X+-^的最小值為8,止匕時(shí)x==.

x-12

11.（2324高一上.吉林長春?期中）珍珠棉是聚乙烯塑料顆粒經(jīng)過加熱、發(fā)泡等工藝制成的一種新型的包裝材料，疫情

期間珍珠棉的需求量大幅增加，某加工珍珠棉的公司經(jīng)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，若本季度在原材料上多投入X萬元（l〈xV15）,

10%Z