2020-2021學(xué)年北師大版八年級上冊數(shù)學(xué)《第1章-勾股定理》單元測試卷(有答案)

2020-2021學(xué)年北師大版八年級上冊數(shù)學(xué)《第1章勾股定理》單元測試卷一．選擇題1．如圖，原來從A村到B村，需要沿路A→C→B（∠C＝90°）繞過村莊間的一座大山．打通A，B間的隧道后，就可直接從A村到B村．已知，AC＝12km，BC＝16km，那么，打通隧道后從A村到B村比原來減少的路程為（）A．5km B．8km C．10km D．20km2．有5cm，13cm兩根木條，現(xiàn)想找一根木條組成直角三角形，則下列木條長度適合的是（）A．8cm B．12cm C．18cm D．20cm3．如圖，正方體的棱長為4cm，A是正方體的一個頂點，B是側(cè)面正方形對角線的交點．一只螞蟻在正方體的表面上爬行，從點A爬到點B的最短路徑是（）A．9 B．3+6 C．2 D．124．下列給出的三條線段的長，不能組成直角三角形的是（）A．32、42、52 B．9、40、41 C．7、24、25 D．5、12、135．如圖，在△ABC中，AC＝8，BC＝6，AB＝10，P為邊AB上一動點，PD⊥AC于D，PE⊥BC于E，則DE的最小值為（）A．3.6 B．4.8 C．5 D．5.26．下列幾組數(shù)，能作為直角三角形的三邊長的有（）組．①3，4，5；②5，12，13；③6，7，8．A．0 B．1 C．2 D．37．下列各組數(shù)是勾股數(shù)的是（）A．4，5，6 B．5，7，9 C．6，8，10 D．10，11，128．在學(xué)習“勾股數(shù)”的知識時，愛動腦的小明發(fā)現(xiàn)了一組有規(guī)律的勾股數(shù)，并將它們記錄在如下的表格中：a68101214…b815243548…c1017263750…則當a＝20時，b+c的值為（）A．162 B．200 C．242 D．2889．如圖，“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成大正方形，若小正方形邊長為1，大正方形邊長為5，則一個直角三角形的周長是（）A．6 B．7 C．12 D．1510．如圖所示是某房屋頂框架的示意圖，其中AB＝AC，AD⊥BC，∠BAC＝120°，AD＝3.5m，則AB的長度為（）A．6m B．7m C．8m D．9m二．填空題11．三個正整數(shù)a，b，c，如果滿足a2+b2＝c2，那么我們稱這三個數(shù)a，b，c叫做一組勾股數(shù)．如32+42＝52，則3，4，5就是一組勾股數(shù)．請寫出與3，4，5不同的一組勾股數(shù)．12．一個直角三角形的兩條直角邊邊長分別為10和24，則第三邊長是．13．已知三角形的兩條較短邊的長分別為6和8，當?shù)谌叺拈L為時，此三角形是直角三角形．14．如圖，一根長16cm的牙刷置于底面直徑為6cm、高8cm的圓柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的長度為hcm，則h的取值范圍是．15．有一長、寬、高分別是5cm，4cm，3cm的長方體木塊，一只螞蟻要從長方體的一個頂點A處沿長方體的表面爬到長方體上和A相對的頂點B處，則需要爬行的最短路徑長為．16．如圖，用4個全等的直角三角形與1個小正方形鑲嵌而成的正方圖案，已知大正方形面積為10，小正方形面積為2，若用x，y表示直角三角形的兩直角邊（x＞y），下列四個說法：①x2+y2＝10；②xy＝2；③；④．其中說法正確的有．（只填序號）17．把圖1中長和寬分別6和4的兩個全等矩形沿對角線分成四個全等的直角三角形，將這四個全等的直角三角形拼成圖2的正方形，則圖2中小正方形ABCD的面積為．18．如圖，在△ABC中，AB＝13，AC＝15，BC＝14，則△ABC的面積為19．若8，a，17是一組勾股數(shù)，則a＝．20．如圖，臺風來時，一根樹在離地2米處斷裂，斷裂部分與地面所夾銳角恰好為30度，樹折斷之前有米．三．解答題21．如圖，將直角三角形分割成一個正方形和兩對全等的直角三角形，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，正方形IECF中，IE＝EC＝CF＝FI＝x（1）小明發(fā)明了求正方形邊長的方法：由題意可得BD＝BE＝a﹣x，AD＝AF＝b﹣x因為AB＝BD+AD，所以a﹣x+b﹣x＝c，解得x＝（2）小亮也發(fā)現(xiàn)了另一種求正方形邊長的方法：利用S△ABC＝S△AIB+S△AIC+S△BIC可以得到x與a、b、c的關(guān)系，請根據(jù)小亮的思路完成他的求解過程：（3）請結(jié)合小明和小亮得到的結(jié)論驗證勾股定理．22．閱讀下面材料：勾股定理的逆定理：如果是直角三角形的三條邊長a，b，c，滿足a2+b2＝c2，那么這個三角形是直角三角形．能夠成為直角三角形三條邊長的正整數(shù)，稱為勾股數(shù)．例如：32+42＝52，3、4、5是一組勾股數(shù)．古希臘的哲學(xué)家柏拉圖曾指出，如果m表示大于1的整數(shù)，a＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1，那么a，b，c為勾股數(shù)，你認為正確嗎？如果正確，請說明理由，并利用這個結(jié)論得出一組勾股數(shù)．23．如圖圓柱外點A處有一螞蟻，想去點P處吃蜂蜜，已知底面圓的直徑AB為cm，圓柱高為12cm，P為BC的中點，求螞蟻從A點爬到P點的最短距離．24．如圖，每個小正方形的邊長都為1．（1）求四邊形ABCD的周長及面積；（2）連接BD，判斷△BCD的形狀．25．如圖，一塊草坪的形狀為四邊形ABCD，其中∠B＝90°，AB＝4m，BC＝3m，CD＝12m，AD＝13m，求這塊草坪的面積．26．如圖，△ABC中，AC＝21，BC＝13，點D是AC邊上一點，BD＝12，AD＝16．（1）求證：BD⊥AC；（2）若點E是AB邊上的動點，連接DE，求線段DE的最小值．

參考答案與試題解析一．選擇題1．解：由題意可得：AB＝＝＝20（km），則打通隧道后從A村到B村比原來減少的路程為：12+16﹣20＝8（km）．故選：B．2．解：∵52+132＝，132﹣52＝122，∴木條長度適合的是12cm，故選：B．3．解：如圖，AB＝＝2，故選：C．4．解：A、因為92+162≠252，所以三條線段不能組成直角三角形；B、因為92+402＝412，所以三條線段能組成直角三角形；C、因為72+242＝252，所以三條線段能組成直角三角形；D、因為52+122＝132，所以三條線段能組成直角三角形．故選：A．5．解：∵△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，AB＝10，82+62＝102，∴△ABC是直角三角形，∠C＝90°，連接CP，∵PD⊥AC于D，PE⊥CB于E，∴四邊形DPEC是矩形，∴DE＝CP，當DE最小時，則CP最小，根據(jù)垂線段最短可知當CP⊥AB時，則CP最小，∴DE＝CP＝＝4.8，故選：B．6．解：滿足兩邊的平方和等于第三邊的平方即可，即a2+b2＝c2，將上述數(shù)據(jù)代入即可發(fā)現(xiàn)，只有①②中的三個數(shù)滿足條件，可以構(gòu)成三角形．故選：C．7．解：A、42+52≠62，故此選項錯誤；B、52+72≠92，故此選項錯誤；C、52+122＝132，故此選項正確；D、102+112≠122，故此選項錯誤．故選：C．8．解：根據(jù)表格中數(shù)據(jù)可得：a2+b2＝c2，并且c＝b+2，則a2+b2＝（b+2）2，當a＝20時，202+b2＝（b+2）2，解得：b＝99，則c＝99+2＝101，∴b+c＝200，故選：B．9．解：設(shè)直角三角形兩條直角邊長分別為a和b，由題意可知：中間小正方形的邊長為：a﹣b＝1，根據(jù)大正方形的面積等于4個直角三角形的面積加上小正方形的面積可知：25＝4×ab+1，所以2ab＝24，根據(jù)勾股定理，得a2+b2＝52，所以（a+b）2＝a2+b2+2ab＝25+24＝49，因為a+b＞0，所以a+b＝7，所以7+5＝12．所以一個直角三角形的周長是12．故選：C．10．解：∵在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∠BAC＝120°．∴∠B＝∠C＝（180°﹣120°）÷2＝30°，∴∠BAD＝∠BAC＝60°；在△ABC中，AD＝3.5m，∠C＝30°，∴AB＝2AD＝7m．故選：B．二．填空題11．解：與3，4，5不同的一組勾股數(shù)可以為6，8，10．故答案為6，8，10（答案不唯一）．12．解：∵直角三角形的兩條直角邊分別為10和24，∴第三邊長＝＝26．故答案是：26．13．解：∵三角形的兩條較短邊的長分別為6和8，∴當?shù)谌叺拈L為＝10時，此三角形是直角三角形．故答案為：10．14．解：當牙刷與杯底垂直時h最大，h最大＝16﹣8＝8cm．當牙刷與杯底及杯高構(gòu)成直角三角形時h最小，如圖所示：此時，AB＝＝＝10cm，故h＝16﹣10＝6cm．故h的取值范圍是6≤h≤8．故答案是：6≤h≤8．15．解：因為平面展開圖不唯一，故分情況分別計算，進行大、小比較，再從各個路線中確定最短的路線．（1）展開前面、右面，由勾股定理得AB2＝（5+4）2+32＝90；（2）展開前面、上面，由勾股定理得AB2＝（3+4）2+52＝74；（3）展開左面、上面，由勾股定理得AB2＝（3+5）2+42＝80；所以最短路徑長為cm．故答案為：cm．16．解：①大正方形的面積是10，則其邊長是，顯然，利用勾股定理可得x2+y2＝10，故選項①正確；③小正方形的面積是2，則其邊長是，根據(jù)圖可發(fā)現(xiàn)y+＝x，即③x﹣y＝，故選項③正確；②根據(jù)圖形可得四個三角形的面積+小正方形的面積＝大正方形的面積，即4×xy+2＝10，化簡得②xy＝4，故選項②錯誤；④，則x+2y＝4，故此選項正確．故答案為：①③④．17．解：6﹣4＝2，2×2＝4．故圖2中小正方形ABCD的面積為4．故答案為：4．18．解：如圖，過點A作AD⊥BC于D，設(shè)BD＝x，則CD＝14﹣x，在Rt△ABD中，AD2+x2＝132，在Rt△ADC中，AD2＝152﹣（14﹣x）2，∴132﹣x2＝152﹣（14﹣x）2，132﹣x2＝152﹣196+28x﹣x2，解得x＝9，∴CD＝5，在Rt△ACD中，AD＝＝12，∴△ABC的面積＝BC?AD＝×14×12＝84，故答案為：84．19．解：①a為最長邊，a＝，不是正整數(shù)，不符合題意；②17為最長邊，a＝＝15，三邊是整數(shù)，能構(gòu)成勾股數(shù)，符合題意．故答案為：15．20．解：∵AB＝2米，∠ACB＝30°，∠BAC＝90°，∴BC＝2AB＝2×2＝4（米），∴樹折斷之前有2+4＝6（米）；故答案為：6．三．解答題21．解：（2）因為S△ABC＝S△ABI+S△BIC+S△AIC＝cx+ax+bx所以x＝．答：x與a、b、c的關(guān)系為x＝．（3）根據(jù)（1）和（2）得：x＝＝．即2ab＝（a+b+c）（a+b﹣c）化簡得a2+b2＝c2．22．解：正確．理由：∵m表示大于1的整數(shù)，∴a，b，c都是正整數(shù)，且c是最大邊，∵（2m）2+（m2﹣1）2＝（m2+1）2，∴a2+b2＝c2，即a、b、c為勾股數(shù)．當m＝2時，可得一組勾股數(shù)3，4，5．23．解：已知如圖：∵圓柱底面直徑AB＝cm、母線BC＝12cm，P為BC的中點，∴圓柱底面圓的半徑是cm，BP＝6cm，∴AB＝×2π×＝8（cm），在Rt△ABP中，AP＝＝10（cm），∴螞蟻從A點爬到P點的最短距離為10cm．24．解：（1）根據(jù)勾股定理得AB＝＝，AD＝＝，CD＝＝，BC＝＝2，故四邊形ABCD的周長為+3+；面積為5×5﹣×1×5﹣×1×4﹣1﹣×1×2﹣×2×4＝14.5；（2）連接BD，∵BC＝2，CD＝，BD＝5，∴BC2+CD2＝BD2，∴∠BCD＝90°，∴△BCD是直角三角形．25．解：連接AC，因為∠B＝90°，所以直角△ABC中，由勾股定理得：AC2＝AB2+BC2AC2＝42+32AC2＝25，∴AC＝5