2024-2025學(xué)年北京某中學(xué)九年級（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷（含答案）

2024-2025學(xué)年北京交大附中九年級（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題2分，共16分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.下列各式：①道，②③?④汨，⑤尸”中，最簡二次根式有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

2.在△ABC中，乙4,乙B,NC的對邊分別為a,b,c,下列條件中可以判斷乙4=90。的是（）

A.a=3,b=4,c=5B.a=6,b=5,c=4

C.a=2,b=",c="D.a=1,b=2,c=避

3.直線y=a%+b經(jīng)過第一、二、四象限，則直線y=6%+。的圖象只能是圖中的（）

4.若關(guān)于久的一元二次方程/-3%+血=0有兩個相等的實數(shù)根，則實數(shù)6的值為（）

9Q

A.-9B.――C.~7D.9

5.下表是某社團20名成員的年齡分布統(tǒng)計表，數(shù)據(jù)不小心被撕掉一塊，仍能夠分析得出關(guān)于這20名成員年

齡的統(tǒng)計量是（）

年齡/歲11121314

頻數(shù)/名56

A,平均數(shù)B.方差C.中位數(shù)D.眾數(shù)

6.如圖，在長為60爪，寬為40nl的矩形耕地上，修筑同樣寬的二條道路（其中有兩條縱向和一條橫向，橫向

與縱向道路互相垂直），把耕地分成六塊作為試驗田，要使試驗田總面積為2024m2,問道路應(yīng)為多寬？若

設(shè)道路寬為xzn,則下列方程正確的是()

A.40x60-40x2x-60x=2024

B.40x60-(40-x)(60-2x)=2024

C.(40-x)(60-2x)=2024

D.40X60-40X2x—60x—2x2=2024

7.如圖1,在△ABC中，Z4=90°,AB=3,AC=4,P是邊BC上的一個動點，過點P分另U作PD14B于

點D,PE1AC于點E,連接DE.如圖2所示的圖象中，”（辭■）是該圖象的最低點,下列四組變量中，y與x之

間的對應(yīng)關(guān)系可以用圖2所示圖象表示的是（）

第1頁，共15頁

y

A.點P與B的距離為x,點P與C的距離為y

B.點P與B的距離為x,點。與E的距離為y

C.點P與D的距離為久,點P與E的距離為y

D.點P與。的距離為無,點。與E的距離為y

8.如圖，點A,B,C在同一條直線上，點8在點4C之間，點、D,E在直線AC同側(cè)，AB<BC,

Z4=ZC=90°,4EAB咨4BCD,連接DE.設(shè)4B=a,BC=b,DE=c,給

出下面三個結(jié)論：

①a+b<c；

@a+b>yja2+b2；

③姆(a+6)>c.

上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

二、填空題：本題共8小題，每小題2分，共16分。

9.式子曲二I在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，貝取的取值范圍是

10.將直線y=kx+3向上平移3個單位長度后經(jīng)過點（1,4）,則k的值是.

11.在口A8CD中，若乙4=4B+50°,則AB的度數(shù)為度.

12.已知x=2是一元二次方程/-2小久4-4=0的一個解，則根的值為

13.將拋物線y=2%2向上平移2個單位長度，再向右平移3個單位長度后，得到的拋物線的表達式為

14.在一次演講比賽中，甲的演講內(nèi)容90分、演講能力80分、演講效果90分，若按照演講內(nèi)容占50%,演

講能力占40%,演講效果占10%,計算選手的綜合成績，則該選手的綜合成績?yōu)?

15.如圖，矩形48CD的對角線AC、8。相交于點0,A.AOB=60。，AB=2,那

么BC的長是.

16.已知拋物線y=ax2+bx+c（a,比c是常數(shù),a大0）經(jīng)過點（一1,一1）和（0,1）,當(dāng)x=一2時，與其對應(yīng)的函

數(shù)值y>1,有下列結(jié)論：①abc>0；②關(guān)于x的方程a/+bx+c+1=。有兩個不等的實數(shù)根；

③a>2；④若方程a/+bx+c=。的兩根為x2>則的+x2<一2.其中正確的有.

三、計算題：本大題共1小題，共4分。

第2頁，共15頁

17.解方程：X2-2X-3=0.

四、解答題：本題共U小題，共62分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

18.（本小題4分）

計算：（2024-TT）0+CI）-1+|V3-2|-V27.

19.（本小題6分）

在數(shù)學(xué)課上，老師布置任務(wù)：利用尺規(guī)”作以線段2B為對角線的正方形”.

小麗的作法如下：

①分別以點4B為圓心，以大于為半徑作弧，兩弧交于E、F兩點；

②連接EF,與48交于點。；

③以點。為圓心，。力長為半徑作弧，與EF交于C、D兩點；

④分別連接線段"，BC,BD,D4所以四邊形4DBC就是所求作的正方形.

根據(jù)小麗的作圖過程，

（1）使用直尺和圓規(guī)，補全圖形（保留作圖痕跡）；

（2）完成下面的證明.

證明：???OA=OB,OC=OD,

???四邊形4DBC為平行四邊形.（）（填推理的依據(jù)）

OA=OB=OC=OD,即4B=CD,

■■四邊形2DBC為矩形（填推理的依據(jù)）

CDAB,

???四邊形2DBC為正方形"填推理的依據(jù)）

AB

20.（本小題6分）

已知關(guān)于尤的一元二次方程/一（爪+3）x+2+m=0.

（1）求證：對于任意實數(shù)小，該方程總有實數(shù)根；

（2）若這個一元二次方程的一根大于2,求小的取值范圍.

21.（本小題6分）

已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c,自變量x與函數(shù)y的部分對應(yīng)值如下表：

第3頁，共15頁

X-2-101234

y50-3-4-30m

(1)二次函數(shù)圖象的開口方向,頂點坐標(biāo)是,巾的值為;

(2)點P(—3,月)、Q(2)2)在函數(shù)圖象上，yi丫2(填<、>、=)；

(3)當(dāng)y<0時，x的取值范圍是；

(4)關(guān)于x的一元二次方程ax2+以+c=5的解為.

22.(本小題5分)

在平面直角坐標(biāo)系*。丫中，函數(shù)y=kx+b(k力0)與丫=-kx+3的圖象交于點(2,1).

(1)求k,6的值；

(2)當(dāng)久>2時，對于x的每一個值，函數(shù)y=力0)的值既大于函數(shù)丫=kx+b的值，也大于函數(shù)

y=-fcr+3的值，直接寫出m的取值范圍.

23.(本小題6分)

如圖，在△ABC中，4CAB=90°,點、D,E分別是BC,4C的中點.連接DE并延長至點F,使得EF=DE.連

接”，CF,AD.

(1)求證：四邊形力DCF是菱形；

(2)連接BF,若乙4cB=60。，AF=2,求BF的長.

24.(本小題5分)

某學(xué)校舉辦的“青春飛揚”主題演講比賽分為初賽和決賽兩個階段.

(1)初賽由10名教師評委和45名學(xué)生評委給每位選手打分(百分制).對評委給某位選手的打分進行整理、描

述和分析.下面給出了部分信息.

①教師評委打分：

86889091919191929298

b.學(xué)生評委打分的頻數(shù)分布直方圖如圖(數(shù)據(jù)分6組：第1組82Wx<85,第2組85Wx<88,第3組

88<x<91,第4組91<久<94,第5組94Wx<97,第6組97WxW100)：

c.評委打分的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)如下：

第4頁，共15頁

平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)

教師評委9191m

學(xué)生評委90.8n93

根據(jù)以上信息，回答下列問題：

①加的值為，n的值位于學(xué)生評委打分?jǐn)?shù)據(jù)分組的第組；

②若去掉教師評委打分中的最高分和最低分，記其余8名教師評委打分的平均數(shù)為鼠則I91（填

“>”“=”或“<”）；

（2）決賽由5名專業(yè)評委給每位選手打分（百分制）.對每位選手，計算5名專業(yè)評委給其打分的平均數(shù)和方差.

平均數(shù)較大的選手排序靠前，若平均數(shù)相同，則方差較小的選手排序靠前.5名專業(yè)評委給進入決賽的甲、

乙、丙三位選手的打分如下：

評委1評委2評委3評委4評委5

甲9390929392

乙9192929292

丙90949094k

若丙在甲、乙、丙三位選手中的排序居中，則這三位選手中排序最靠前的是，表中k（k為整數(shù)）的值

為.

頻數(shù)+

12

8

6

3

2

O

28588919497100打分

25.（本小題6分）

電纜在空中架設(shè)時，兩端掛起的電纜下垂可以近似的看成拋物線的形狀.如圖，在一個斜坡8。上按水平距

離間隔60米架設(shè)兩個塔柱，每個塔柱固定電纜的位置離地面高度為27米Q4B=CD=27米），以過點4的水

平線為x軸，水平線與電纜的另一個交點為原點。建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示.經(jīng)測量，4。=40米，斜

坡高度12米（即8、。兩點的鉛直高度差）.

結(jié)合上面信息，回答問題：

(1)若以1米為一個單位長度，則。點坐標(biāo)為,下垂電纜的拋物線表達式為.

(2)若電纜下垂的安全高度是13.5米，即電纜距離坡面鉛直高度的最小值不小于13.5米時，符合安全要求，

否則存在安全隱患(說明：直線G”1久軸分別交直線BD和拋物線于點口、G.點G距離坡面的鉛直高度為G”

的長)，請判斷上述這種電纜的架設(shè)是否符合安全要求？請說明理由.

26.(本小題6分)

在平面直角坐標(biāo)系工。>中，點(%1即)，(久2，打)在拋物線丫=a/+6%+c(a>0)上，設(shè)拋物線的對稱軸為

x—t.

(1)若對于久I=l,X2=3,有m=71,求t的值；

(2)若對于t—l<小<32<X2<3,存在6>九，求t的取值范圍.

27.(本小題6分)

已知：在正方形4BCD中，點E是BC延長線上一點，且CEKBC,連接DE,過點D作DE的垂線交直線4B于

點凡連接EF,取EF的中點G,連接CG.

(1)當(dāng)CE時，

①補全圖1；

②求證：4ADF會4CDE；

③用等式表示線段CD,CE,CG之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

(2)如圖2,當(dāng)CE>BC時，請你直接寫出線段CD,CE,CG之間的數(shù)量關(guān)系.

E

圖1圖2

28.(本小題6分)

在平面直角坐標(biāo)系工。了中，M為平面內(nèi)一點.對于點P和圖形加給出如下定義：若圖形W上存在點Q,使得點

P與點Q關(guān)于點M對稱，則稱點P為圖形M關(guān)于點M的“中心鏡像對稱點

(1)如圖1,X(-l,l),B(2,l).

第6頁，共15頁

①在點匕(一2,-1),22(。,一2)，P3(|,-l),24(2,-1)中，線段4B關(guān)于點M(0,0)的“中心鏡像對稱點”是

②若點P(l,-3)是線段48關(guān)于點的“中心鏡像對稱點”，請直接寫出點M的橫坐標(biāo)a的取值范圍；

(2)如圖2,矩形CDEF中，C(2,-l),D(-2,-l),E(—2,l),F(2,l).若直線y=久+m上存在矩形CDEF關(guān)于

點2)的“中心鏡像對稱點”，請直接寫出小的取值范圍.

圖1圖2

第7頁，共15頁

參考答案

1.5

2.C

3.0

4.C

5.C

6.C

7.5

8.D

9.x>2

10.-2

11.65

12.2

13.y=2(x-3)2+2

14.86分

15.24

16.①②③

17.解：將原方程左邊分解因式，得

(%—3)(%+1)=0,

.?.%—3=?；蚓?1=0,

-?-=3,冷=—1.

18.解:(2024-71)°+|V3-2|-A/27

=1+3+(2—^/3)—3A/3

=1+3+2—y/^—3

=6-4

第8頁，共15頁

19.(1)解：圖形如圖所示:

(2)證明：0A=OB,0C=0D,

???四邊形2DBC為平行四邊形(對角線互相平分的四邊形是平行四邊形),

???0A=OB=0C=0D,即4B=CD,

???四邊形4DBC為矩形(對角線相等的平行四邊形是矩形)，

CD1AB,

四邊形2DBC為正方形(對角線垂直的矩形是正方形).

20.(1)證明：1.■關(guān)于x的一元二次方程/一(爪+3)x+2+m=0,

4=(m+3/一4X1X(2+m)=(m+I)2>0,

對于任意實數(shù)該方程總有實數(shù)根；

(2)解：設(shè)方程的兩個實數(shù)根為尤1、冷，

_m+3+(m+1)

?1%=2'

???m+2,%2=1，

???這個一元二次方程的一根大于2,

m+2>2,

解得：m>0,

???m的取值范圍根>0.

21.(1)向上；(1-4)；5；

(2)>；

(3)-1<%<3；

(4)%=-2或4.

第9頁，共15頁

22.解:(1)v直線y=-kx+3點(2,1),

-2/c+3=1,

解得k=1，

將點(2,1)代入y=%+b得：2+h=1,

解得b=-l.

(2),??當(dāng)%>2時，對于％的每一個值，函數(shù)

y-mx(jn。0)的值既大于函數(shù)y=%-1的

值，也大于函數(shù)y=-％+3的值，

???m>1.

*，*TH的取值范圍是租>1.

23.(1)證明：???點E是AC的中點，

AE—EC.

EF=DE,

???四邊形ZDCF是平行四邊形.

在△48C中，/乙48=90。，點。是BC的中點,

AD=BD=DC.

??.四邊形ADCF是菱形;

???四邊形/DCF是菱形，ACB=60°,AF=2,

?

..CF=DC=AF=2f2LACF=Z.ACD=60°,

???乙FCG=180°-^ACF-2LACD=60°,

???乙GFC=90°-zFCG=30°,

在△CFG中，Z.CGF=90°,Z.GFC=30°,

???CG=1CF=1,

第10頁，共15頁

??.FG=yjCF2-CG2=B

BD=CD=2.

?*.BG-BD+CD+CG=5.

在△BFG中，乙BGF=90°

...BF=y/BG2+GF2=2^/7.

24.(1)91；4；

②<;

(2)甲選手的平均數(shù)為搟X(93+90+92+93+92)=92,

-1

乙選手的平均數(shù)為/X(91+92+92+92+92)=91.8,

???丙在甲、乙、丙三位選手中的排序居中，

丙選手的平均數(shù)大于或等于乙選手的平均數(shù)，

???5名專業(yè)評委給乙選手的打分為91,92,92,92,92,

2

乙選手的方差眨=|x[4x(92-91.8)+(91—91.8)2]=016)

5名專業(yè)評委給丙選手的打分為90,94,90,94,k,

???乙選手的方差小于丙選手的方差，

丙選手的平均數(shù)大于乙選手的平均數(shù)，小于或等于甲選手的平均數(shù)，

93+90+92+93+92290+94+90+94+k>91+92+92+92+92,

.--922k>91,

???k為整數(shù)，

k(k為整數(shù))的值為92,

25.(1)(20-15),y=-x2+-x；

(2)這種電纜的架設(shè)符合安全要求，理由如下：

由⑴可知：y=^x2+jx,5(-40-27),￡>(20,-15),

設(shè)斜坡BD解析式為y=依+b,代入8(-40,-27),￡((20-15),

—曰(—40k+b=-27

周倚：［20k+b=-15'

‘k=L

解得：〃一5

b=-19

斜坡BD解析式為y=|x-19,

第11頁，共15頁

2

則電纜與坡面的鉛直高度GH=焉久2+|x-(1x-19)=加2+9+19=擊。+10)+18,

得>。，

.?.當(dāng)芯=-10時，GH有最小值為18,GH最小=18>13.5,

這種電纜的架設(shè)符合安全要求；

26.解：(1),?,點(久1師)，(％2,九)在拋物線y=a"+b%+c(a>0)上，且第i=1,%2=3,m=n,

(2)va>0,

???當(dāng)％之七時，y隨汽的增大而增大；當(dāng)工工時，y隨工的增大而減小，

設(shè)拋物線上的四個點的坐標(biāo)為BSzg)，。(2/c)，。(3,沏),

???點/關(guān)于對稱軸久=的對稱點為

1A(￡+lfmA).

???拋物線開口向上，點B是拋物線頂點，

??-mA>mB：

①當(dāng)<［時，

tnc<nD,

,t+1<2.

???mA<nc,

???不存在血>n,不符合題意；

②當(dāng)時，

1VCW2nc<nD,

2<t+1<3.

???mA>nc,

???存在租>九，符合題意；

③當(dāng)2Vy<3時，幾的最小值為加中

??-mA>mB,

???存在加>?1,符合題意；

④當(dāng)時，

3<4nD<nc,

???2<t-1<3,

.mA>nD,

????存在zn>n,符合題意；

⑤當(dāng)時，

1>4nD<nc,

t-1N39

第12頁，共15頁

???mA<nD,不存在zn>?i,不符合題意;

綜上所述，力的取值范圍是l<tV4.

27.解：（1）①如圖即為所求，

②證明：???四邊形/BCD是正方形，

.?.AD=CD=AB=BC,/-ADC=cBCD=AD=LABC=90。，

???乙DCE=180°-90°=90°=^DAF,

???DF1DE,乙FDE=^ADC=90°,

即NADF+匕FDC=Z-FDC+乙CDE=90°,

???Z-ADF=Z-CDE,

???△ADF^△CDE(ASA)；

③CG=#(CD-CE),理由如下：

在BC上取一點M,使得CM=CE,連接FM,

ADF^ACDE(ASA),

：.AF=CE；

CE=CM,點G是EF的中點，

CG是△EFM的中位線，

CG=^FM,

由②得AB=BC,CE=2F,Z.ABC=90°,

???AF+BF