2024-2025學(xué)年人教版高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義：拓展一異面直線所成角

第07講拓展一：異面直線所成角（傳統(tǒng)法與向量法）

一、知識點歸納

1、（傳統(tǒng)法）核心技巧：平移使相交

具體操作，通過平移一條（或2條），使異面直線轉(zhuǎn)化為相交直線，然后在三角形中利用余弦定理求角

2、（向量法）用向量運算求兩條直線所成角

已知b為兩異面直線，A，。與8，。分別是4，b上的任意兩點，a,b所成的角為。，貝U

①cos〈恁，礪>=竺已

\AC\\BD\

②cos0=|cos<AC,BD>\="叫.

阿?|叫

二、題型精講

題型01求異面直線所成角（定值）（傳統(tǒng)法）

【典例1］（2023春?河北保定?高一定州市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在平行六面體中,

底面ABC。是菱形，/B4D=60。，AA1與底面A3CD垂直，M,N分別在3。和耳鼻上，且BD=3BM,

Bn=3D1N,AB=3,懼=4,則異面直MN與所成角的余弦值為（）

47^/19口7717「3M「3M

A?-----------D?-----------v?-----------u?----------

34341717

【答案】B

【詳解】取QM中點K,連接。山、AK,

因為=D\N〃KM,所以四邊形RMWK為平行四邊形,

所以D\K//MN,所以異面直線MN與A。所成角為/ARK或其補角.

因為底面ABCD是菱形，ZS4D=60°,AB=3,

所以在A4DK中，利用余弦定理得AK=7AD2+DK2-2AD-DK-cos600=百，

又AR=4?+DD；=5,D1K=QKD?+DD；=上,

4nxl+,工npHAn十…ADt~+DXK~—AK~25+17-77A/T7

在AA2K中，利用余弦定理得cos/ARK=-”——=2x5x布=^4~'

所以異面直與AR所成角的余弦值為△叵.

34

故選：B.

【典例2]（2023春?河北張家口?高一河北省尚義縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在正方體ABC。-A耳G2

中，E為棱3瓦的中點，則異面直線AE與BG夾角的余弦值為（）

A.0B.—C.BD.叵

2310

【答案】D

【詳解】取CG中點G,連接，G,EG,延長。2至點H,使得RH=C￡,連接C戶,

則EG〃用6//42，或7=86=42,所以四邊形EG2A是平行四邊形，所以AE//RG,

因為RH//C,G,DN=qG,,所以四邊形2GGH是平行四邊形，所以"CJ/RG,

所以HQ//AE,

所以NHC出是異面直線AtE與BG夾角或其補角，

設(shè)正方體棱長為1,則DB=BG=^,

在RtADBH中，BH=<BD。+DH2=Jz+g)=孚，

在RtACQH中，C]〃=JC]ZV+Q|”2=/+=4,

17

2+5一

BC；+GH2-BH2

在△8G5中，由余弦定理得cosN5GH=44

2BGGH

2xV2x—To-

2

所以異面直線AE與g夾角的余弦值為誓

故選:D

【典例3】（2023春?河南開封?高一河南省杞縣高中?？茧A段練習(xí)）正方體A3。-ABGA中，M是A2

的中點，則。片與CM所成角的余弦值為.

【答案】叵金小

1515

【詳解】在正方體ABCO-A4GA右側(cè)作出一個全等的正方體BCM-BC禺不連接CJM%如圖,

D、

GEi

MB,

易知B\FJ/CD,B\F、=CD,所以四邊形耳印第是平行四邊形，貝Q耳//C%

所以NMCK是DBX與CM所成角的平面角或補角,

不妨設(shè)正方體ABCD-4qGA的棱長為2a,

則在正方體BC￡F-耳。］耳片中，CF、=6x2a=2也a,

在RtJWBC中，MC=業(yè)+（24）2=氐,

在RtAMFf；中，MK=J（2a『+（3a）?=屈a,

所以。片與CM所成角的余弦值為姮.

故答案為：叵.

15

【變式4（2023春?吉林四平?高一?？茧A段練習(xí)）在三棱柱ABC-4與和中，平面ABC,AB1BC,

AAl=BC=2AB,則異面直線\B與B{C所成角的余弦值為（）

「后D.叵

V??--------------

5

【答案】D

【詳解】在三棱柱ABC-ABC中，44,，平面A3C,AB1BC,

將三棱柱ABC-A與G補成長方體ABCD-\BXCXDX,設(shè)AB=1,則e=BC=2,

因為BC//A。且BC=42,故四邊形A3C2為平行四邊形，所以，CR//4B且CQ=A2,

故AtB與BtC所成角為4802或其補角，

在AB]C2中，B0=JBB；+BC。=V22+22=20，

22

BR=，4耳+”；=Vl+2=75,CD}=JCD?+DD；=jF+2?=也，

CB；+CD；-BR8+5-5M

由余弦定理可得cosNBCR

2cBi?CD、一2x20x6-5

因此，直線A也與片C所成角的余弦值為典.

5

故選：D.

【變式2]（2023春?河南鄭州?高一河南省新鄭市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，A5是半圓柱底面的

直徑，A4是半圓柱的高，C是A3上一點，且B4=AC=BC,。為夫8的中點，則異面直線A。與5C所

成角的余弦值為.

C

【答案】

33

【詳解】設(shè)R4=AC=3C=1,

如圖，取尸C的中點E,連接。E,AE,可得DE//BC,

所以異面直線AD與2C所成的角為—ADE（或其補角）.

又因為總，平面ABC,BCu平面ABC,則上

且AC13C,PAC\AC=A,PA,ACu平面PAC,

所以平面PAC.

且AEu平面PAC,則3C_LAE,所以Z2E_LAE.

因為。后=四=工4。=歿=四三互=且，

22222

所以在Rt^AED中，cosZADE=—=^.

AD3

故答案為：立.

3

C

題型02求異面直線所成角（定值）（向量法）

【典例1】（2023春?湖北武漢?高二校聯(lián)考期中）如圖，在四棱錐尸-ABCZ）中，上4,底面ABCD,底

面A3CD為正方形，PA=BC,E為。的中點，尸為尸C的中點，則異面直線M與PE所成角的余弦值為

y/3RV3R5A/3n573

9999

【答案】B

如圖，以點A為坐標原點，建立空間直角坐標系，設(shè)AB=2,

則4（0,0,0）,5（2,0,0）,尸（0,0,2）,C（2,2,0）,￡＞（0,2,0）,

則磯1,2,0）,尸（1,1,1）,

所以而=（一1』,1）,而=。,2,-2）,

LlLUlULU廣

“I/黑吃'歸0-1+2-2V3

所以cos（8F,尸￡）二|Utm||UUT|二—尸----二--—,

加以、/網(wǎng)網(wǎng)73x39，

所以，異面直線所與PE所成角的余弦值為走.

9

故選：B.

【典例2］（2023金國?高三專題練習(xí)）如圖，在三棱錐M-EEG中，ME=VG=EG=2G，￡F=FG=2,

平面MEG，平面瓦G,則異面直線ME與FG所成角的余弦值為（）

M

石

VuTRV3RA/13n

L.----------D?------U?--------U?------

121244

【答案】D

【詳解】解法一

如圖，設(shè)O,C,D分別為線段EG,MG,E尸的中點，連接MO,OC,OO,8則。C〃ME,OC=；ME=6,

OD//FG,OD=-FG=\,

2

NCOD是異面直線ME與尸G所成的角或其補角.

ME=MG=EG=2^3，。為EG的中點，,MOIEG,MO=3,

?平面MEG_L平面EFG,平面MEGc平面EFG=EG,MO_L平面￡FG.

設(shè)N為OG的中點，連接CN,DN,則NCL平面分G,

NC//MO,NC=-MO=~,EN=正,

222

NC±ND,連接。/，易得OFLEO,^FEO=—=—,

cosEF2

2X1X3^X^-13

在ADEN中DN2=ED2+EN2-2EDxENcosNDEN=12+

224

13911

?,.CD02=DN02+NC29=-+-=—

442

?-?MODS-CD，

2OCxOD2x1X5^4

二異面直線處與FG所成角的余弦值為李

故選:

解法二

如圖,FO,

,:ME=MG=EG=2B：.MOLEG,MO=3,

?平面MEG_L平面￡FG,平面MEGc平面EFG=EG,二MO_L平面￡FG,

VEF=FG=2,FO±EG,FO=1,故以。為坐標原點,

OF,OG,aw所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系。-孫z,

二￡(0,-括,0),M(0,0,3),F(1,0,0),G(0,6,0),.?.前=(0,右,3),彷=(-1,0,0),

EMFG0x(-1)+島g+3x0

costEM,FG)==3

|甌,國府+(后+32*,/(-1)2+(^3)2+024

異面直線ME與FG所成角的余弦值為且

4

故選:D.

【典例3】（2023?全國?高三專題練習(xí)）如圖，在多面體ABCDEEG中，四邊形ABC。為菱形，AB=2,

,一DF

"AB=60。，AE//CG//DF,且。?平面,小四邊形班FG是正方形'則市=;異面直

線AG與DE所成角的余弦值為

【答案】拒

【詳解】由四邊形ABCD為菱形，ZZMB=60°,可得△ABD為正三角形,

設(shè)H為A3的中點，連接DH,所以又OC〃AB,因此DZ/LDC.

又「引上平面A3CD,故以。為原點，以上為x軸，DC為V軸，。尸為z軸，建立空間直角坐標系,

則￡＞（0,0,0）,A（A^-1,0）,2（后1,0）,C（0,2,0）,

由題意AE〃CG〃止，則AE_L平面ABCD,CG_L平面ABCD,

設(shè)網(wǎng)6-1,無），G（0,2,y）,從而旃=卜百而=（O,-2,x）,

因為四邊形眄G是正方形，所以產(chǎn)卜產(chǎn)］所以NIP+仔+V="2+（-"+尤2,

BGYBE［（-g）x0+lx（-2）+yxx=0

即，'=解得x=y=四，所以耳后T@,G（0,2,⑹，設(shè)尸（0,0,z）,

則存=（0,-2,z-何，因為|畫=|畫，所以J（一后+仔+02=府+（-0）2,所以z=2萬,

即尸（0,0,20）,所以而=（0,0,2應(yīng)），所以箓=D方F=乎3

設(shè)異面直線AG與DE所成角為a,又同=卜區(qū)3四屁=出-1四,

,一一?\AG-DE\（-V3）X5/3+3X（-1）+72X722面

所以cosa=cosAG,。目=?_=「―/1-'=—7^

|罔義|聞J,（一石」）2+32+（應(yīng)）2義J（相）2+（—1）2+（&）221

所以異面直線AG與OE所成角的余弦值為2亙.

21

故答案為：V2;巫

21

【變式1］（2023春止海寶山高二上海市吳淞中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖所示,已知正方體ABC￡>-A4GR,

E,產(chǎn)分別是正方形A耳GQ和ADRA的中心，則斯和8所成的角是（）

DiG

A.60°B.45°C.30°D.135°

【答案】B

【詳解】如圖建立空間直角坐標系，令正方體的棱長為2,則E（l』,2）,F（1,0,1）,0（0,0,0）,C（0,2,0）,

所以訪=（0,-1,一1）,5C=（0,2,0）,

\EF-D62%

設(shè)E7;1和CD所成的角為a,則cosa=1_?_三=三伍=不

EF-DC2422

【變式2］（2023春?福建莆田?高二莆田華僑中學(xué)?？计谥校┤鐖D，圓柱的軸截面為矩形ABCD,點V,

N分別在上、下底面圓上，NB=2AN>CM=2MD，AB=2,BC=3,則異面直線AW與CN所成角的

A3屈V3「gn3而

A?-------RD?U?u?----

104520

【答案】D

【詳解】方法一如圖（1）,在AB上取點E,使AE=2EB，連接M?,AN,NB,BE,EA.

易知四邊形AVBE為矩形，則A?〃AE,且A?=AE.

連接〃N,CM.因為VN〃BC,且MV=BC,

所以四邊形MN3C為平行四邊形，所以。0〃A?,且CA/=NB.

連接CE,則AE〃CM,且AE=CM,

所以四邊形AEQ0為平行四邊形，則AM〃CE,

所以NNCE或其補角是異面直線40與CN所成的角.

BN=y/3,所以CN=,3?+（退了=2百.

在RtZkBNC中，CB=3

在Rt^BCE中，CB=3,BE=1,所以CE=7?7F=回.又NE=AB=2,

10+12—4

所以cosNNCE=

2xV10x2V320

故選：D.

圖⑴圖⑵

方法二如圖（2）,在AB上取點E，使AE=2EB，連接AN,NB,BE,EA.

易知四邊形AVBE為矩形，AN=1,NB=C.連接MN.

由已知條件，得MN為圓柱的一條母線.

以N為坐標原點，分別以直線N3,NA,M0為無軸、丁軸、z軸建立如圖（2）的空間直角坐標系Npz,

則N（0,0,0）,A（0,l,0）,M（0,0,3）,C（省,0,3）,

所以麗=（0,—1,3）,而=（若,0,3）,則cos（國覺”而認=考^,

所以異面直線AM與CN所成角的余弦值為酒.

20

故選：D.

【變式3］（2023春?浙江?高一期中）已知直三棱柱ABC-A由G的側(cè)棱與底面邊長都相等，D,尸分

別是和4G的中點，那么異面直線3。和AF所成角的余弦值等于

【答案】木7/0.7

【詳解】因為直三棱柱ABC-A用G的側(cè)棱與底面邊長都相等，

所以AABC為等邊三角形，取A8的中點0,所以COLAS,

因為。為A也的中點，所以O(shè)D/MA，

又因為胡，平面A3C,所以O(shè)DL平面ABC,

如圖，以。為坐標原點，分別以08,0C,所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系,

因為直三棱柱ABC-A#G的側(cè)棱與底面邊長都相等，設(shè)AB=2,

則8(1,0,0),A(-1,0,0),0(0,0,2),F(--,—,2),BD=(-1,0,2),AF=(-,—,2),

2222

設(shè)異面直線3。和AF所成角為。，

所以c°sd=k°s(加，而)|=||普-=g,

7

即異面直線50和AF所成角的余弦值為伍.

7

故答案為：—.

題型03易錯題型求異面直線所成角忽略角的取值范圍

【典例1](2023春?江蘇?高二校聯(lián)考階段練習(xí))如圖所示，在棱長為2的正方體ABCD-ABIGA中，

E是棱CG的中點，而=1而，若異面直線2E和4戶所成角的余弦值為哈，則異面直線4戶與跖

所成角。的余弦值為（)

eB7A/2D.一逑

A.及

1010i(r10

【答案】B

【詳解】如圖，以。為原點，分別以DC,所在直線為無，y,z軸，建立空間直角坐標系,

因為正方體的棱長為2,則4（2,0,2）,Di（0,0,2）E(0,2,1),A(2,0,0).

所以屏=(0,2,—1),

又率=石+通=率+AAD=(0,0,-2)+2(-2,0,0)=(-22,0,-2)

所以cos(即，/W,空=2=坐,整理得到9分=1,解得人;(舍去W),

\/園尸10囿2y/A2+lxy/51033

_.___.2

所以BE=(-2,0,l),^F=(--,0,-2),

_.__--2板廠

所以85(2￡\4尸)=31COS0=—,

信爐1010

故選：B.

【典例2】（2023春?福建漳州?高二漳州三中校考階段練習(xí)）正方體A3。-4片G0中，E,尸分別

為DC，B用的中點，則異面直線AE與尸C所成角的余弦值為（）

.A/5R4岔R2A/5N2A/5

15151515

【答案】D

【詳解】如圖，建立空間直接坐標系，設(shè)正方體的棱長為2,

因為E,尸分別為，C，的中點，易知，4(2,0,0),E(0,1,2),

C(0,2,0),F(2,2,1),所以通=(-2,1,2),CF=(2,0,1),

AECF

所以3＜荏衣＞=275

\AE\-\CF\IF

因為異面直線AE與FC所成角為銳角.

所以異面直線AE與FC所成角的余弦值為坡.故A,B,C錯誤.

15

故選：D.

【變式1](2023春?四川成都?高二四川省成都市新都一中校聯(lián)考期中)如圖，將ZA=60。的菱形ABC。

沿對角線3。折起，使得平面人犯，平面C&),則異面直線與C。所成角的余弦值為()

【答案】B

【詳解】

如圖，取2。中點為坐標原點,建立空間直角坐標系,

令A(yù)B=2,A(A/3,0,0),8(0,1,0),C(0,0,用)，￡>(0,-1,0),

則瓶=(-石,1,0),CD=(0,-1,-V3),

cos<AB-C￡?=-4-=-y

2x24

..AB,。所成角的余弦值為!.

4

故選：B.

【變式2】（2023秋?浙江寧波?高二統(tǒng)考期末）在四面體A3CD中，AABC為正三角形，DB_L平面ABC,

且AB=8D,若3/=初，2CF=CD,則異面直線DE和郎所成角的余弦值等于（）

4A/26RA/26R2A/39n2回

13133939

【答案】A

【詳解】因為平面ABC,AA6C為正三角形，

故以8為原點，以團，麗為％z軸的正方向，建立空間直角坐標系，

設(shè)A3=6,則。（0,0,6）,C（0,6,0）,A（3若,3,0）,8（0,0,0）,

由=Z再，2CF=CD,

所以詼=（2石,2,-6）,麗=（0,3,3）,

/T^RF\DEBF-12V26

所以c°s（誠S=同研=可—一百，

所以異面直線DE和BF所成角的余弦值等于叵.

13

故選：A.

題型04求異面直線所成角（最值或范圍）

【典例1】（2023?遼寧大連??？寄M預(yù)測）有很多立體圖形都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美，其中半正多面體

是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，半正多面體因其最早由阿基米德研究發(fā)現(xiàn)，故也被稱作阿

基米德體.如圖，這是一個棱數(shù)為24,棱長為近的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的表面上，

可以看成是由一個正方體截去八個一樣的四面體所得.若點E為線段8c上的動點，則直線DE與直線AF所

成角的余弦值的取值范圍為（）

【答案】C

【詳解】將半正多面體補成正方體，建立如圖所示的空間直角坐標系.

z.

因為半正多面體的棱長為0,故正方體的棱長為2.

所以4(2,1,0)/(2,2,1),B(l,0,2),C(0,l,2),L>(l,2,2),AF=(0,Xl),BC=(-l,l,0).

設(shè)而=4覺=則E(l—/l,42),讀=(一4力一2,0).

AFDE("2)2_1

所以cos(衣,下)=2()

|AF||DE|&〃2+(__2j2(2-2)+22-2+2~~21+^-+—

2-2("2)2

令—e-1,-^,貝［］COS^AGDE)=.=,

A-2L2j'/242產(chǎn)+2/+1

因為2/+2/+le—,1,所以cos(AF,e-,

故直線DE與直線AF所成角的余弦值的取值范圍為、，等］

故選：C

【典例2】(2023?全國?高三專題練習(xí))如圖，在長方體A3CO-ABG2中，￡是4月的中點，點廠是

AD上一點,AB=AA}=2,BC=3,AF=1,動點P在上底面A耳GQ上，且滿足三棱錐P-3成的體積等

于1,則直線CP與。，所成角的正切值的最小值為.

D____________G

/{\/\

AB

【答案】專

【詳解】解：以。為坐標原點，分別以DC,DR所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系,

P(m,n,2)(0<m<3,0<n<2),則P(2,0,0),磯3,0,1),3(320),C(0,2,0),'(0,0,2),

FB=(1,2,G),FE=(1,0,1),CP=(m,n-2,2),DDX=(0,0,2),

設(shè)平面BFE的法向量為a=(x,y,z)

.[a-FB=x+2y=0.,

則n《一，令x=2,n則z=-2,y=-l,

[a-FE^x+z=0

所以平面ME的一個法向量值=(2,-1,-2)

因為麗=(m-3,〃,l),

所以點P到平面BFE的距離d=尸H=*8一4,

間3

因為EF=JF+F=RBF=BE7fs=5

所以在等腰△BEE中，8到FE的高為有j-[

所以SBFE=-XV2X3拆=—

aSF￡222

113

因為%-8也=3*5"稗'“=§乂5*4=1,

所以2加一〃二2或2根一〃=14（舍去），

JT

設(shè)直線CP與。2所成的角為。，則0,-

CPDD,4

所以COS夕=_=---,==

CP||D^|2xJ加2+(〃-2)2+4

_________2_________2_2<下

yjm2+(2m-4)2+4V5m2-16m+20J5m81?363,

所以cos。的最大值為逝，此時夕最小，此時tan。最小，

3

TT2

因為sin?e+cos?。=1,且?！?,—,所以sin6=§,

—2/-

所以tan，=京=一，即直線cP與。R所成角的正切值的最小值為竽，

故答案為：竿

【典例3】（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知正四面體內(nèi)接于半徑為雙的球。中，在平面BCD

2

內(nèi)有一動點尸，且滿足AP=4后，則忸H的最小值是;直線AP與直線8C所成角的取值范圍為

【答案】2若-2點

【詳解】在正四面體A-3CZ）中，設(shè)A在面3CD內(nèi)的投影為E,故E為三角形BCD的中心,

設(shè)正四面體A-3CD的棱長為x,球。的半徑為R,

則BE=MXX?=叵,AE7ABz一BE。=

323

依題意正四面體A-3CD內(nèi)接于半徑為雙的球。中，故球心。在AE上,

2

設(shè)球的半徑為民則R2=BE2+（AE-R>,

即)2+,解得x=6，x=0（舍去），

貝=AE=2A/6,

又4尸=4A/2,.-.PE=』AP。-AE。=?、?丫-（2府=2A/2，

故尸的軌跡為平面BCD內(nèi)以E為圓心，2夜為半徑的圓，

而BE=26,當(dāng)民尸,E三點共線時，且P在8,E之間時，忸P|最小，最小值是26-2收；

以E為圓心，BE所在直線為x軸，在底面A3C內(nèi)過點E作BE的垂線為y軸，E4為z軸，建立如圖所示直

角坐標系，

則A（0,0,2店）,BQ拒,0,0）,C（-拒,3,0）,D（-百，一3,0）,

設(shè)尸（2行COS0,25/2sin9,0）,6?G[0,27t）,

故衣=（2A/2COS9,2A/2sin仇-2扃,BC=（-3后3,0）,

設(shè)直線AP與直線BC所成角為a,ai[0,"],

APBC-6^6cos0+6^sin61./ZI兀、

,/cos(APBC)=>—>=------T=---------=-sin(，--),

\AP\\BC\4V02xx6623

因為何0,2%），故嗯引4苧，故gsin（"$c

717171

又故cosaw0,—故ae

ae0,-3,2

故答案為：2>/.

【變式1]（2023春?江蘇南京?高二校考開學(xué)考試）如圖，四邊形ABCD中，

兀57r

AB=BD=DA=2,BC=CD=y/2.現(xiàn)將△ABD沿折起，當(dāng)二面角A—BD—C處于過程中，直

OO

線AD與3C所成角的余弦值取值范圍是（）

一近572

B-丁'二C.邛

【答案】D

【詳解】設(shè)向量亞與初所成角為4,二面角A-雙）-C的平面角大小為％,

7T

因為8c2+C￡)2=BO2,所以3CLCD,又BC=CD,所以NBDC=NDBC=—,

4

AD-DB=2x2xcos-=-2,BD-BC=2xy/2xcos^=-2,

貝而+礪+就，

所以|衣/4布+麗+//=亞2+加+/+2ADDB+2ADBC+2DBBC=2+4^2cos0l,

取BD中點E,連接A￡,CE,則AELBACELB。，ZAEC=02,

AE=5CE=I,

22

在△AEC中，AC=AE+CE--1AECE-cos02,即AC。=4_2gcosq,

所以2+40cosq=4-26cosq,即cos4=/一手cos%，

又因為名已~7,~7~,所以cos，e，

_OOJoo

71

因為直線夾角范圍為0,-,所以直線AD與5c所成角的余弦值范圍是

故選：D.

【變式2］（2023?湖南衡陽??？寄M預(yù)測）如圖所示，正方體A3C。-AgGR中，點。為底面ABCD

的中心，點尸在側(cè)面BCG4的邊界及其內(nèi)部移動，若ROLOP,則異面直線口尸與AB所成角的余弦值

的最大值為（）

A.|B.立C.叵D.逅

3233

【答案】C

【詳解】建立如下圖所示的空間直角坐標系，設(shè)正方體的棱長為2

A(2,0,0),5(2,2,0),Dj(0,0,2),0(1,1,0),取=(1,1,-2),AB=(0,2,0)

設(shè)P(a,2,b),4be[0,2],因為*.痂=0,OP=(a-l,l,b)

所以。―1+1-26=0,。=26,則尸(2瓦2,6)

在側(cè)面AR。區(qū)內(nèi)取一點Q,使得QP//AB,則Q(26,0/)

易知三角形2。尸為直角三角形，則卜°s(印，碼|=辰(/，西)|=崗

\QP\=2,D^P=(2仇2,6-2),叩=""+4+>?+4-4匕=45〃-41+8

-4424236

設(shè)〉=582-4/7+8,對稱軸為匕=-----=一=一，貝1yin=5x------4x-+8=-

2x5105mran2555

町(cos(取，荏力=4=正王

即I\1//a§663

行

故選:C

【變式3】（2023?全國?高三專題練習(xí)）三棱錐P-ABC中，尸A,尸氏尸C兩兩垂直，PA=PB=PC=&,

點M為平面ABC內(nèi)的動點，且滿足尸知=6,記直線PM與直線45的所成角的余弦值的取值范圍為

【答案】

【詳解】因為尸APB,PC兩兩垂直，且R4=PB=PC,所以由勾股定理可知AB=AC=3C,

所以三棱錐為正三棱錐，記P在底面ABC內(nèi)的投影為0,

所以AB=AC=3C=力^+於=26，

AR_________

因為AOCOS3（T=7-,所以A0=2,所以po=1"2_Ad1=叵，

因為PM=6，所以O(shè)M=JPM?-OP2=1，所以"的軌跡是以。為圓心半徑為1的圓,

取A3中點O,連接8,可知8經(jīng)過點O,建立如下圖所示的空間直角坐標系：

設(shè)Af（cosa,sine,。），ae[0,2n],4（1,一6,0）,3（1,百,0）,尸（0,0,應(yīng)卜

所以而=（cosa,sina,-0）,AB=（0,2百,0）,

所以cos（加，國”黑詈Musina,

設(shè)直線PM與直線AB的所成角為仇

故答案為：。，當(dāng)

題型05已知線線角求參數(shù)

【典例1】（2023?全國?高三專題練習(xí)）如圖，在四棱柱ABCD-4耳GA中，明，底面ABCD,且底

面A3CD為菱形，M=3,Afi=2,ZABC=n0°,尸為3C的中點，M在上，。在平面A3CD內(nèi)運

動（不與尸重合），且P。4平面相C。，異面直線PQ與片M所成角的余弦值為手，貝（JtanZAQ”的最

大

值為.

【答案】手46

【詳解】連接30交AC于點。，???A4,，平面ABCD,平面ABCD,貝

因為四邊形ABCD為菱形，則3D，AC,

?.?A41nAe=A,AA、4。匚平面的弓（?,.1即，平面懼6（?,

以點0為坐標原點，OA，OB.畫的方向分別為x、八z軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標系,

則A(Mo,o)、4(石,0,3)、4一點0,0)、8(0,1,0)、0(0,—1,0)、P-孝],0、4(0,1,3),

\7

易知平面A41GC的一個法向量為正=（0,1,0）,

因為尸。1平面A41c/，所以，PQHm,

設(shè)點M（若,0j）,其中0W/W3,貝|甌=（石,一11-3卜

l^jM-ml]

由已知可得卜os〈瓦憶沅〉卜

|W|'|^|^3+1+(?-3)25

因為0WK3,解得r=2,即點M（6,o,2卜

―(/?[)

設(shè)點。(x,y,o),貝1」①=x+^-,y--,Q,

\22)

因為尸?！C，則尤+^^=0,可得x=—J3.y~~0,可得、片彳，

2222

所以，點°［一旁,%。］,

I?

因為工平面ABCD,AQ、AMLAQ,

\2

且國=+八正,

一*石2

7

AM2,24A/3

匚0..tan--?—尸—

所以，AQAQ3>/39-

2

故答案為：乎

【典例2】(2023?全國?高三專題練習(xí))如圖，在四棱錐P-ABCD中，已知平面ABCD,且四邊

形ABCZ）為直角梯形，ZABC=ZBAD=-,PA=AD=2,AB=BC=1.

2

(1)求平面R4B與平面PCD所成銳二面角的余弦值；

(2)點。是線段8尸上的動點，當(dāng)直線CQ與。尸所成的角最小時，求線段的長.

【答案】(1)—(2)遞

35

【詳解】試題分析：以｛:而，歷,工司為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標系A(chǔ)4z,則各點的坐標為

5(1,0,0),C(l,l,0),D(0,2,0),P(0,0,2).

(1)因為平面所以而是平面P4B的一個法向量，ID=|O=25O|.

因為定=(1,1,-2),PD=(0,2,-2).

設(shè)平面PCD的法向量為加=(x,y,z),則m-PC=0,m-PD=0,

x+y-2z=0t

即｛Gc八，令y=i,解得z=s=L

2y-2z=0

所以機=(1,1,1)是平面PCD的一個法向量，從而cos(AD,Tri)==與

所以平面與平面PC。所成二面角的余弦值為3.

3

(2)因為麗=(-1,0,2),l^BQ=ABP=(-A,0,2A)(0<2<1),

又麗=(0,-1,0),貝U西=而+苑=(-4-1,22),

又加=(0,-