2024-2025學(xué)年廣東省汕尾市四校高三（上）聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（含答案）

2024-2025學(xué)年廣東省汕尾市四校高三(上)聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.若集合4={久[0<x<2},B={x\-l<x<3},則an8=()

A.[-1,3]B.(0,2]C.(0,1]D.(1,2]

2.已知命題p：VxeR,ex>0；命題q：a>b是ac2>be?的充分條件，貝！|()

A.p和q都是真命題B.-'p和q都是真命題

C.p和「q都是真命題D.「p和「q都是真命題

3.若函數(shù)丫=Gcos(2a)K苫)(3>0)兩零點(diǎn)間的最小距離為會(huì)則3=()

A.1B.2C.3D.4

4.已知一個(gè)矩形的周長為36an,矩形繞它的一條邊旋轉(zhuǎn)形成一個(gè)圓柱.旋轉(zhuǎn)所形成的圓柱的側(cè)面積最大是

()

A.81cm2B.162cm2C.324;Tcm2D.1627rcm2

5.已知函數(shù)拉0)=X2一質(zhì)一8,在[5,10]上是單調(diào)函數(shù)，貝冰的取值范圍是()

A.(-oo,10]B,[20,+oo)

C.(-oo,10]U[20,+oo)D.0

6.已知a、0都是銳角，sina=1,cos(a+￡)=、，則s譏夕的值為()

53331613

A?布B-65C.而D.-布

7.酒駕是嚴(yán)重危害交通安全的違法行為.為了保障交通安全，根據(jù)國家有關(guān)規(guī)定：100mL血液中酒精含量達(dá)

到20?79Mg的駕駛員即為酒后駕車，80Mg及以上認(rèn)定為醉酒駕車.假設(shè)某駕駛員喝了一定量的酒后，其

血液中的酒精含量上升到了lmg/mL如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量會(huì)以每小時(shí)30%的速度減

少，那么他至少經(jīng)過幾個(gè)小時(shí)才能駕駛？()(參考數(shù)據(jù)：lg2?0.301,lg3=0.477,匈7?0.845)

A.3B.4C.5D.6

8.設(shè)△ABC的內(nèi)角4B,C的對邊分別為a,b,c,且a2+廿十山,=°2,若角。的內(nèi)角平分線=2,則

前?方的最小值為()

A.8B.4C.16D.12

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

9.如圖所示是y=/(%)的導(dǎo)函數(shù)y=/(%)的圖象，則下列結(jié)論中正確的是()

第1頁，共9頁

A./(x)在區(qū)間(一1,2),(4,+8)上單調(diào)遞增

B.x=一1是/(久)的極小值點(diǎn)

C./(X)在區(qū)間(2,4)上單調(diào)遞減

D.%=2是f(x)的極小值點(diǎn)

10.已知函數(shù)y=/(%+1)為奇函數(shù)，且/(I—%)=f(x+3),當(dāng)xG[0,1]時(shí)，/(x)=2—2，，貝|()

A./(久)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱B.f(x)的圖象關(guān)于直線久=2對稱

CJO)的最小正周期為2D./(l)+/(2)+...+/(30)=-1

11.已知函數(shù)/(*)=Asin{a)x+w)Q4〉0,3>0,|如<多的部分圖象如圖所示，將函數(shù)/(久)的圖象先向右平

移/個(gè)單位長度，再將所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的永縱坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)或久)的圖象.則()

y,

A.3=22

B./(%)=2s)(2%+J)4.\——產(chǎn)M

C.g(x)的一個(gè)對稱中心是(各,0)

D.若關(guān)于“的方程g(x)-m=0在(-卷芻上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-2,-憫

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

1

12.已知函數(shù)/'(久)=*+log2久，則/(5)=.

13.已知tcma=貝Usin2a=.

14.把一個(gè)三階魔方看成是棱長為1的正方體(圖1),若中間層旋轉(zhuǎn)角》。為銳角，如圖2所示)，記表面積增

TT

加量為S=/(%),則/(*=______,s的最大值是______.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

在△4BC內(nèi)，角4B,C所對的邊分別為a,b,c,且bcosA—ccosB=(^c—a)cosB.

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(1)求角B的值；

(2)若△ABC的面積為3平乃=?，求△4BC的周長.

16.(本小題15分)

如圖，在三棱錐P—4BC中，PA1平面ABC,PA=AB=BC=1,PC=避.

(1)求證：BC1平面P4B；

(2)求二面角力-PC-B的大小.

17.(本小題15分)

7T71

已知函數(shù)/(X)=sin(x+^)+sin(x-g)+cosx+a的最大值為1.

(1)求a的值；

(2)求f(久)圖象的對稱中心和對稱軸；

⑶當(dāng)久6[苫方時(shí)，求/⑴的最值，以及相應(yīng)x的值.

18.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=ae2x+(a—2)ex—%.

(1)當(dāng)a=2時(shí)，求/(%)在x=。處的切線方程；

(2)討論/(%)的單調(diào)性;

(3)若有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

19.(本小題17分)

已知函數(shù)y=/0)的定義域?yàn)椤?，若對任意的?shí)數(shù)犯，%2eD,都有中/。1)+/(犯)]/)成立(等號

當(dāng)且僅當(dāng)％1=冷時(shí)成立)，則稱函數(shù)y=/0)是。上的凸函數(shù)，并且凸函數(shù)具有以下性質(zhì)：

對任意的實(shí)數(shù)々eD(i=1,2,3，…,n),都有寺[/(久1)+/(%2)++/(%?)]</(yi+%2^"+Xn)(neN,n>1)

成立(等號當(dāng)且僅當(dāng)％1=%2=-=。時(shí)成立).

(1)判斷函數(shù)y=-/、y=COSX(XG(0,71))是否為凸函數(shù)，并證明你的結(jié)論；

第3頁，共9頁

(2)若函數(shù)y=g(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，證明：y=g(x)不是R上的凸函數(shù)；

(3)求證：函數(shù)y=sinx是(0,兀)上的凸函數(shù)，并求sirM4-sinB+sinC的最大值(其中4、B、C是△4BC的

三個(gè)內(nèi)角).

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參考答案

1.5

2.C

3.X

4.D

5.C

6.C

7.C

8.4

9.ABC

1Q.ABD

11.ACD

12.1

13,3

]4.苧-412-872

15.解：(1)因?yàn)閎cosA—ccosB=(c—a)cosBf

由正弦定理得sinBcosZ-siTiCcosB={sinC—sinA)cosB,

即sin(/+8)=2sinCcosB,

又A+B+C=冗,所以sin(Z+8)=sinC,

又0<CV",所以sinC=2sinCcosB,

故l=2cosB,解得cosB=4，

JT

又Be(0,7T),所以B=§；

TT

(2)由(1)知B=3,

由余弦定理得拉=+c2-ac,①

乂S=-acsinB=」ac,

24

故坐ac=3避，則ac=12,②

4

又b=JR,由①②得層+c2-12=13,故M+c2=25,

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所以(a+c)2=a2+c2+2ac=25+24=49,

由題意得a>0,c>0,解得。+c=7(負(fù)根舍去)，

故△ABC的周長為7+5.

16.解：(1)證明：因?yàn)镻41平面ABC,BCu平面力BC,

所以P41BC,同理R41AB,

所以△P4B為直角三角形，

又因?yàn)镻B=yJPA2+AB2=y[2,BC=1,PC=4，

所以PB2+BC2=PC2,則^PBC為直角三角形，故2clpB,

又因?yàn)锽C1PA,PAHPB=P,

所以BC1平面P4B.

(2)由(1)BC1平面P4B,又ABu平面PAB,貝l|BC1AB,

以4為原點(diǎn)，力8為萬軸，過4且與平行的直線為y軸，2P為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖,

貝必(0,0,0),P(0,0,l),C(l,l,0),B(l,0,0),

所以而=(0,0,l),XC=(1,1,0),近=(0,1,0),PC=(1,1-1),

設(shè)平面P2C的法向量為訪=(打,月/1),則蕓二:，即

令久1=1,則、1=一1,所以訪=（1,一1,0）,

設(shè)平面PBC的法向量為元=（%2，、2/2），則｛:.罌=］即管+；2-Z2=。，

令%2=1，則Z2=l,所以元=(1,0,1),

所以c°s〈嬴〉=湍=；^/

又因?yàn)槎娼橇?PC-B為銳二面角,

所以二面角A-PC-B的大小為宗

第6頁，共9頁

7T7T

17.解：(1)函數(shù)/(%)=sin(x+不)+sin(%—不)+cos久+a

.7T.TTIT,TT

=sinxcos-^-^-COSXSITT^-^-sinxcos-^—cosxsirr^-^cosx+a

=y/^sinx+cosx+a

Ti

=2sm(x+q)+a,

函數(shù)〃>)的最大值為1,

所以2+a=1,解得a——1；

■JTJT

(2)令％+%=k7i(kEZ),解得久=—%+kn,kEZ,

TT

故函數(shù)的對稱中心為(-7+--1)，

令X+看=k7r+看解得％=^+/C7T,fcGZ,

TT

故函數(shù)的對稱軸為X=§+左兀，kCZ,

⑶當(dāng)%e［苫,芟時(shí)，

則久+?GJ''等'

當(dāng)X+壯箏即刀=半時(shí)，/⑶取得最小值一收一1；

當(dāng)x即久=狎，f(%)取得最大值1.

18.解：(1)當(dāng)a=2時(shí)，/(%)=2e2x-x,???fr(x)=4e2x-l,

((0)=3,又f(0)=2,

???/(%)在％=0處的切線方程為：y-2=3(x-0),

BP3x-y+2=0；

(2)/(%)的定義域?yàn)镽,f(x)=2ae2x+(a-2)ex-l=(aex-l)(2ex+1),

當(dāng)aW。時(shí)，/'(%)<0,所以/(%)在R上單調(diào)遞減；

當(dāng)a>0時(shí)，則由/'(%)=0得％=—Ina,

當(dāng)久G(—8,一)a)時(shí)，/'(%)<0；當(dāng)久e(—Ina,+8)時(shí)，/'(%)>0,

所以/(%)在(-8,-"a)上單調(diào)遞減，(-Ina,+8)上單調(diào)遞增；

綜上所述：

當(dāng)時(shí)，/(%)在R上單調(diào)遞減；

當(dāng)Q>0時(shí)，/(%)在(一8,一仇Q)上單調(diào)遞減，(一必見+8)上單調(diào)遞增；

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(3)若aWO,由⑴知,f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意.

1

若a>0,由(1)知，當(dāng)久=一①a時(shí)，/(%)取得最小值，且最小值為/(一,a)=1-公+仇。，

要使/(%)有兩個(gè)零點(diǎn)，則/(一ma)<0,

即求1—)a<0的解集，

令g(a)=1~+lna,a>0,

則g'(久)=*+《=*〉。?

所以g(a)在(。,+8)上單調(diào)遞增，又g(l)=0,

所以ae(0,1)時(shí)，g(a)<0,ae(1,+8)時(shí)，g(a)>0,

所以1—5+仇a<0的解集為(0,1).

綜上，aE(0,1).

19.解：(1)函數(shù)y=-%2、y=cosx(xE(0,兀)都是為凸函數(shù)，證明如下：

證明：對于函數(shù)/(%)=-%2,XER,對任意的實(shí)數(shù)第1，%2R，則有步(汽1)+/(%2)]=-￡(好+始)，/(

為1+%2)_(冗1+%2)2

又因?yàn)閷θ我鈱?shí)數(shù)Q，b,"2+力2_(瞪與2=；(q2_|ab+人2)=X(Q_1)2+第2]之0,當(dāng)。=6=0時(shí)，等

號成立，

所以好+%i>(也尹)2,所以一支好+%^)<—(歸尹尸，

即^/(/)+/。2)]</(^4^)，

所以/(%)=-%2,%eR是為凸函數(shù)；

對于/(%)=COSX,X6(0,71),對任意的實(shí)數(shù)％1，X2￡(0,71),