與數(shù)列相結合的概率綜合問題-2022年高考數(shù)學二輪復習之大題專練（解析版）

第四篇概率與統(tǒng)計

專題05與數(shù)列相結合的概率綜合問題

常見考點

考點一與數(shù)列相結合問題

典例1.某商場擬在年末進行促銷活動，為吸引消費者，特別推出“玩游戲，送禮券

"的活動，游戲規(guī)則如下：每輪游戲都拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子（形狀為正方體，六

個面的點數(shù)分別為1,2,3,4,5,6）,若向上點數(shù)不超2點，獲得1分，否則獲

得2分，進行若干輪游戲，若累計得分為19分，則游戲結束，可得到200元禮券，

若累計得分為20分，則游戲結束，可得到紀念品一份，最多進行20輪游戲.

（1）當進行完3輪游戲時，總分為X,求X的期望；

（2）若累計得分為，的概率為P,,（初始得分為0分，P0=l）.

①證明數(shù)列｛p廠P-｝,（i=l,2,19）是等比數(shù)列；

②求活動參與者得到紀念品的概率.

【答案】（1）5；（2）①證明見解析；②|x1+[|].

【解析】

【分析】

（1）由題意可知每輪游戲獲得1分的概率為1"獲得2分的概率為,o，而每輪游戲

的結果互相獨立，設進行完3輪游戲時，得1分的次數(shù)為F,所以Y~B13，T，X=6-V,

即可求出X的期望；

（2）①根據(jù)累計得分為，的概率為P,,分兩種情形討論得分情況，從而得到遞推式

71

￡=§七+飛％?=2,3,…,19）,再根據(jù)構造法即可證出數(shù)列出-k｝是等比數(shù)列；

②根據(jù)①可求出P,「PT=（T，再根據(jù)累加法即可求出2,3,…,19）,然后由

2

鳥0=§耳8從而解出.

【詳解】

（1）由題意可知每輪游戲獲得1分的概率為1"獲得2分的概率為：o，設進行完3

-k

輪游戲時，得1分的次數(shù)為y,所以丫?8得,仆上唱11），左=0,1,2,3,

fflnx=y+2(3-y)=6-y,即隨機變量x可能取值為3,4,5,6,

[8

P(X=5)=C；

"27,

...X的分布列為：

X3456

1248

P

279927

i948

E（X）=3x——+4x—+5x—+6x——=5.

279927

（2）①證明：n=\,即累計得分為1分，是第1次擲骰子，向上點數(shù)不超過2點,

12

4=2,則《-4=-;，累計得分為，分的情況有兩種：

2

（1）/=（z-2）+2,即累計得，-2分，又擲骰子點數(shù)超過2點，其概率為§匕2,

（II）累計得分為i-1分，又擲骰子點數(shù)沒超過2點，得1分，其概率為:匕「

219

"=”+”心2,3,...』9）,“田一（—（—3,19）,

數(shù)列出-小}，M=1，2,…，19）是首項為-g,公比為-g的等比數(shù)列.

②二.數(shù)列出-PT},（，=1,2,19）是首項為公比為的等比數(shù)列，

Pi_Pi-i=（-?’>

A-ft=-|-，“?'Pi~Pi-\；

各式相加，得：Pi-Po=~^xI—[—：[]'

"J+X訃（1]（，j2,…,19）,

.??活動參與者得到紀念品的概率為:

【點睛】

本題第一問解題關鍵是明確得1分的次數(shù)為y服從二項分布，從而找到所求變量x

與y的關系，列出分布列，求得期望；第二問①主要是遞推式的建立，分析判斷如

何得至Ui分的情況，進而得到￡筆2+：4T，利用數(shù)列知識即可證出，②借由①的

2

結論，求出口。=2,3,…,19）,分析可知鳥0=§幾，從而解出.

變式1-1.某商場調(diào)研了一年來日銷售額的情況，日銷售額（萬元）服從正態(tài)分布

N（10,4）.為了增加營業(yè)收入，該商場開展“游戲贏獎券”促銷活動，購物滿300元可

以參加1次游戲，游戲規(guī)則如下：有一張共10格的方格子圖，依次編號為第1格、

第2格、第3格......第10格，游戲開始時“跳子”在第1格，顧客拋擲一枚均勻

的硬幣，若出現(xiàn)正面，則“跳子”前進2格（從第人格到第k+2格），若出現(xiàn)反面，則

“跳子”前進1格（從第人格到第左+1格），當“跳子”前進到第9格或者第10格時，

游戲結束.“跳子”落在第9格可以得到20元獎券，“跳子”落在第10格可以得到50

元獎券.

（1）根據(jù)調(diào)研情況計算該商場日銷售額在8萬元到14萬元之間的概率;（參考數(shù)據(jù)：

若隨機變量服從正態(tài)分布,則P（〃-b<J<〃+b）。0.6827,

P（"-2bv〃+2b）h0.9545,PR—3b<^<JLI+3b）?0.9973.）

（2）記“跳子”前進到第〃格（上〃W10）的概率為尸“，證明：花，-窄J（2<?<9）是

等比數(shù)列；

（3）求某一位顧客參加一次這樣的游戲獲得獎券金額的期望.

【答案】（1）0.8186；（2）證明見解析；（3）期望為鴛元.

IZo

【解析】

（1）由自服從正態(tài)分布陽10,4）可得

P（8<§<14工尸（〃一2b<〃+2。）一尸（〃-2b<〃+2工——）；

（2）計算出［=1、8=g,“跳子”前進到第九（3釉9）格的情況得到

匕=3匕一2+；%可得匕-匕2）化簡可得答案；

（3）設某一位顧客參加一次這樣的游戲獲得獎券金額為X元，則X的值可取20和

50,

求出對應的概率可列出分布列求出期望.

【詳解】

（1）由」服從正態(tài)分布M10,4）可得:

0.9545-0.6827

P(8<€<14)~0.9545-=0.8186.

2

（2）“跳子”開始在第1格為必然事件，［=1.第一次擲硬幣出現(xiàn)反面，“跳子”移

到第2格，其概率為3，即心=；,

N2

“跳子”前進到第,（3別I9）格的情況是下面兩種，而且只有兩種:

①“跳子”先到第〃-2格，又擲出正面，其概率為;之2,

②“跳子”先到第”-1格，又擲出反面，其概率為:如，

??.《=/"配，

?.?與一小尸0(2剿!9),

(3制9),

:.當瑜9時，數(shù)列匕-加｝是等比數(shù)列，首項為￡-《=4,公比為

（3）設某一位顧客參加一次這樣的游戲獲得獎券金額為X元，則X的值可取20和

50,

由（2）可知2（2釉9）,

1-

=|1-（2釉9）,《=1也適合,

1-1

I1+Q}=簽，^o=^=1x|[l-(-l)8

X的分布列為:

X2050

17185

P

256256

r-t.iV廿口十日,17185__76703835/一、

^J^W1lW*￡（X）=—X20+—X5O=—=—（兀）.

【點睛】

本題考查了正態(tài)分布、隨機變量的分布列，關鍵點是證明數(shù)列優(yōu)-是等比數(shù)列、

求出X所有可能取值對應的概率.，考查了學生分析問題、解決問題的能力，是一道

綜合題.

變式122020年春天隨著疫情的有效控制，高三學生開始返校復課學習.為了減少

學生就餐時的聚集排隊時間，學校食堂從復課之日起，每天中午都會提供A、8兩

種套餐（每人每次只能選擇其中一種），經(jīng)過統(tǒng)計分析發(fā)現(xiàn)：學生第一天選擇A類套

餐的概率為：、選擇3類套餐的概率為，而前一天選擇了A類套餐第二天選擇A類

套餐的概率為了、選擇B套餐的概率為:；前一天選擇8類套餐第二天選擇A類套餐

44

的概率為3、選擇B類套餐的概率也是如此往復.記某同學第"天選擇A類套餐

的概率為P-

（1）證明數(shù)列［匕-才是等比數(shù)列，并求數(shù)列｛e｝的通項公式；

（2）記高三某宿舍的3名同學在復課第二天選擇A類套餐的人數(shù)為X,求X的分布

列并求E（X）；

（3）為了貫徹五育并舉的教育方針，培養(yǎng)學生的勞動意識，一個月后學校組織學生

利用課余時間參加志愿者服務活動，其中有20位學生負責為全體同學分發(fā)套餐.如

果你是組長，如何安排分發(fā)A、B套餐的同學的人數(shù)呢，說明理由.

【答案】⑴證明見解析，匕=|-（2）分布列見解析，1；（3）A套餐

的8人，B套餐的12人；理由見解析.

【解析】

【分析】

（1）依題意得CM=CX［+（1一C）xg,根據(jù)遞推關系即可證明［匕-1，是等比數(shù)列，

利用等比數(shù)列通項公式求得［匕-1，的通項，即可求得花｝的通項公式；

（2）依題意求得第二天選擇A、8類套餐的概率，列出X的可能取值，結合二項分

布求得分布列與數(shù)學期望；

（3）由｛尺｝的通項公式得根據(jù)總人數(shù)即可求得分發(fā)A、3套餐的同學的人

數(shù).

【詳解】

（1）依題意，”叫+（1_匕）4,

24

當”=1時，可得百，

...數(shù)列［e-1）是首項為△公比為-;的等比數(shù)列.

〃515I4）

（2）第二天選擇A類套餐的概率2=|x；+；x；=\

23112

第二天選擇8類套餐的概率?=

A3人在第二天的有X個人選擇A套餐，

X的所有可能取值為0、1、2、3,

有P(X=A)=cd/J(左=0,1,2,3),

X的分布列為

X0123

8421

p

279927

Q421

故石(X)=0xk+lx-+2x-+3x—=1.

9927

（3）由（1）知：|,

〃51514）

22

???Px?~,即第30次以后購買A套餐的概率約為不

則20x：=8,20-8=12

負責A套餐的8人，負責B套餐的12人.

【點睛】

思路點睛：

求離散型隨機變量的分布列及期望的一般步驟：

（1）根據(jù)題中條件確定隨機變量的可能取值；

（2）求出隨機變量所有可能取值對應的概率，即可得出分布列；

（3）根據(jù)期望的概念，結合分布列，即可得出期望（在計算時，要注意隨機變量是

否服從特殊的分布，如超幾何分布或二項分布等，可結合其對應的概率計算公式及

期望計算公式，簡化計算）

變式1-3.安慶市某學校高三年級開學之初增加晚自習，晚飯在校食堂就餐人數(shù)增多，

為了緩解就餐壓力，學校在原有一個餐廳的基礎上增加了一個餐廳，分別記做餐廳

甲和餐廳乙，經(jīng)過一周左右統(tǒng)計調(diào)研分析：前一天選擇餐廳甲就餐第二天選擇餐廳

甲就餐的概率是25%、選擇餐廳乙就餐的概率為75%,前一天選擇餐廳乙就餐第二

天選擇餐廳乙就餐的概率是50%、選擇餐廳甲就餐的概率也為50%,如此往復.假設

學生第一天選擇餐廳甲就餐的概率是g,擇餐廳乙就餐的概率是:，記某同學第〃

天選擇甲餐廳就餐的概率為

（1）記某班級的3位同學第二天選擇餐廳甲的人數(shù)為X,求X的分布列，并求E（X）；

（2）請寫出A.與匕（〃eN*）的遞推關系;

（3）求數(shù)列｛匕｝的通項公式并幫助學校解決以下問題：為提高學生服務意識和團隊

合作精神，學校每天從20個班級中每班抽調(diào)一名學生志愿者為全體學生提供就餐服

務工作，根據(jù)上述數(shù)據(jù)，如何合理分配到餐廳甲和餐廳乙志愿者人數(shù)？請說明理由.

【答案】（1）分布列答案見解析，E（X）=I；

（2）匕M=匕+；（〃eN*）；

（3）分配到餐廳甲和餐廳乙志愿者人數(shù)8人和12人，理由見解析.

【解析】

【分析】

（1）依題意可得X?進而可得分布列和期望；

（2）由*1=月'［+（1-勺）xg可得結果；

2

（3）由（2）求得?，且匕由此可得分配方案.

【詳解】

（1）某同學第二天選擇餐廳甲就餐的概率2=|x；+；x；=；,

某同學第二天選擇餐廳乙就餐的概率心23112

二3位同學第二天選擇餐廳甲就餐的人數(shù)為X,則X?8m

23=/）=璘1］（|）化=0,1,2,3）,

；.X的分布列為

X0123

8421

P

279927

故E（X）=3x；=l.

（2）依題意，P“M=P,X,D4即匕「一;匕+：（”"）.

⑶由⑵知心|=-：匕+；（"€N*）,則q+i-p-U匕-!■］（〃€"*）當”=1時,

22_2_

可得丁

83"5-15

二數(shù)列，只-才是首項為2公比為廿的等比數(shù)列.

2

匕-g5f+8）,

2

所以，分配到餐廳甲的志愿者人數(shù)為20x^=8,分配到餐廳乙的志愿者人數(shù)為

20—8=12.

【點睛】

關鍵點點睛：第（1）問的關鍵點是：探究得到X?2（3,￡|；后兩問的關鍵點是得到

遞推關系月包=-；匕+；（女1）.

典例2.為落實《關于全面加強和改進新時代學校體育工作的意見》，完善學校體育

“健康知識+基本運動技能+專項運動技能”教學模式，建立“校內(nèi)競賽一校級聯(lián)賽一

選拔性競賽一國際交流比賽”為一體的競賽體系，構建校、縣（區(qū)）、地（市）、省、

國家五級學校體育競賽制度.某校開展“陽光體育節(jié)”活動，其中傳統(tǒng)項目“定點踢足

球”深受同學們喜愛.其間甲、乙兩人輪流進行足球定點踢球比賽（每人各踢一次為

一輪），在相同的條件下，每輪甲、乙兩人在同一位置，甲先踢，每人踢一次球，兩

人有1人命中，命中者得1分，未命中者得-1分；兩人都命中或都未命中，兩人均

得0分，設甲每次踢球命中的概率為5，乙每次踢球命中的概率為I，且各次踢球

互不影響.

（1）經(jīng)過1輪踢球，記甲的得分為X,求X的數(shù)學期望；

（2）若經(jīng)過九輪踢球，用P，表示經(jīng)過第i輪踢球累計得分后甲得分高于乙得分的概

率.

①求Pl，Pl）。3；

②規(guī)定A>=。，且有P產(chǎn),請根據(jù)①中P1，P1，。3的值求出A、B,并求

出數(shù)列｛2｝的通項公式.

【答案】⑴;⑵①P1=1，=2，。3=；^；②4=:，B=；,匕=*-.

663621677八6）

【解析】

【分析】

（1）X的可能取值為-1,0,1,分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列與

期望；

（2）①經(jīng)過2輪投球甲的累計得分高有兩種情況：一是2輪甲各得1分，

二是2輪中有1輪甲得0分，有1輪甲得1分，由此能求出外.經(jīng)過3輪投球，甲

累計得分高于乙有四種情況：甲3輪各得1分；甲3輪中有2輪各得1分，1輪得0

分；甲3輪中有1輪得1分,2輪各得0分；甲3輪中有2輪各得1分，1輪得-1分.由

此能求出外.

②推導出Pi=Api+l+Bpi_l，將）。=0,R=]0=《,0=熹，代入得，p,.=JpM+1PT，

63621677

推導出｛P“-P"-J是首項與公比都是!的等比數(shù)列，由此能求出結果.

O

【詳解】

（1）記一輪踢球，甲命中為事件A,乙命中為事件8,A,8相互獨立.

17

由題意尸（A）=jP⑻=；甲的得分X的可能取值為T，0,1.

尸（X=T）=P（M）=P0）P（B）=11.￡|X|=:，

P（X=0）=P（A8）+P（而）=P網(wǎng)尸⑻+尸（可P⑻=3|+11-；411一'=；.

P（X=l）=P（AB）=P（A）xP（B）=1x^l-|^=i,

X的分布列為：

X-101

11

P

326

E（X）=-lx—+0x—+lx—=

3266

（2）①由⑴P1=4，

o

P2=P（X=O）?P（X=1）+P（X=1"（X=O）+P（X=1））

經(jīng)過三輪踢球，甲累計得分高于乙有四種情況：甲3輪各得1分；甲3輪中有2輪

各得1分，1輪得0分；甲3輪中有1輪得1分，2輪各得0分；甲3輪中有2輪各

得1分，1輪得-1分.

143

x—二---

3216

②\?規(guī)定區(qū)=°,且有Pi=Ap+i+珈I,

,6

A=—

A=A0+Bp。61

;代入得:+

p=Ap+BpPi=-Pi+i~Pi-^

23iB=-

7

?**A+i-P,=|（A-A-i），，數(shù)列｛%是等比數(shù)列,

公比為4=；,首項為口-A>=:，.

oo16J

，4=(P,一%T)+(P“T_P,-2)+…+(8_4)=[,[+…+g=g[l_g

【點睛】

關鍵點睛：利用待定系數(shù)法得到后，緊扣等比數(shù)列定義是解決問題

的關鍵.

變式2-1.為迎接2020年國慶節(jié)的到來，某電視臺舉辦愛國知識問答競賽，每個人

隨機抽取五個問題依次回答，回答每個問題相互獨立.若答對一題可以上升兩個等級,

回答錯誤可以上升一個等級，最后看哪位選手的等級高即可獲勝.甲答對每個問題的

1o

概率為“答錯的概率為

（1）若甲回答完5個問題后，甲上的臺階等級數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學期望；

（2）若甲在回答過程中出現(xiàn)在第近22）個等級的概率為4，證明：仍-匕）為等比

數(shù)列.

【答案】（1）分布列答案見解析，數(shù)學期望：y;（2）證明見解析.

【解析】

【分析】

（1）首先確定X的所有可能取值X=5,6,7,8,9,10,根據(jù)概率公式分別求出對應發(fā)生

的概率，列出分布列，即可求出數(shù)學期望；

91

（2）根據(jù)已知的關系，求出&與《，&的關系式塔=；月+3電，再通過化簡和

等比數(shù)列的定義求解即可.

【詳解】

解：⑴依題意可得，X=5,6,7,8,9,10,

180

X—=--------

3243

"=7）臼|閭嘿,「國=8）=喏噎,

尸（X=＞需Mg]嘿,尸（X=10）=4+看,

則X的分布列如表所示.

X5678910

32808040101

P

243243243243243243

…、u32/80r80°40c10s120

E(X)=5x-----F6x-------F7x------F8x------F9x------1-10x-----=—

2432432432432432433

（2）處于第，+1個等級有兩種情況:

2

由第i等級到第，+1等級，其概率為§牛

由第等級到第，+1等級，其概率為:電；

711

所以匕1=]4+耳47,所以%「々=-§（￡一4一）,

即4一%3-

所以數(shù)列仍-當｝為等比數(shù)列.

【點睛】

本題考查概率公式、隨機變量的分布列及數(shù)學期望，考查運算求解能力、數(shù)據(jù)處理能

力，考查數(shù)學運算、邏輯推理核心素養(yǎng).其中第二問解題的關鍵在于尋找匕「與4,九

71

的關系式，即：膜=”+"心2）,進而根據(jù)等比數(shù)列的定義證明.

變式2-2.為搶占市場，特斯拉電動車近期進行了一系列優(yōu)惠促銷方案.要保證品質(zhì)

兼優(yōu),特斯拉上海工廠在車輛出廠前抽取1。0輛Models型汽車作為樣本進行了單次

最大續(xù)航里程的測試.現(xiàn)對測試數(shù)據(jù)進行分析，得到如圖所示的頻率分布直方圖：

（I）估計這100輛汽車的單次最大續(xù)航里程的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間

的中點值代替）.

（2）根據(jù)大量的測試數(shù)據(jù)，可以認為Mode/3這款汽車的單次最大續(xù)航里程X近似

地服從正態(tài)分布N（〃Q2）,經(jīng)計算第（1）問中樣本標準差s的近似值為50用樣本平

均數(shù)［作為〃的近似值，用樣本標準差s作為的估計值，現(xiàn)從生產(chǎn)線下任取一輛汽

車，求它的單次最大續(xù)航里程恰在250千米到400千米之間的概率.

（3）為迅速搶占市場舉行促銷活動，特斯拉銷售公司現(xiàn)面向意向客戶推出“玩游戲，

贏大獎，送車?！被顒樱蛻艨筛鶕?jù)拋擲硬幣的結果，指揮車模在方格圖上行進，若

車模最終停在“幸運之神”方格，則可獲得購車優(yōu)惠券6萬元；若最終停在“贈送車?！?/p>

方格時，則可獲得車模一個.已知硬幣出現(xiàn)正、反面的概率都是05方格圖上標有第

。格、第1格、第2格.....第20格.車模開始在第0格，客戶每擲一次硬幣，車模向

前移動一次.若擲出正面，車模向前移動一格（從左到k+1），若擲出反面，車模向前

移動兩格（從k到k+2）,直到移到第19格（幸運之神）或第20格（贈送車模）時游戲結

束.設車模移到第格的概率為月，試證明優(yōu)-只_},（〃22）是等比數(shù)列；若

有6人玩游戲，每人參與一次，求這6人獲得優(yōu)惠券總金額的期望值（結果精確到1

萬元）.

參考數(shù)據(jù)：若隨機變量J服從正態(tài)分布N（〃,4）,則P（〃-。<代〃+0卜0.6827

P（〃一2cr<自V〃+2b）a0.9544,P（/z-3cr<^<//+3cr）?0.9973

【答案】（1）300（千米）；（2）0.8186；（3）證明見解析，優(yōu)惠券總金額的期望24萬

元.

【解析】

（1）利用頻率分布直方圖能估計這100輛汽車的單次最大續(xù)航里程的平均值.

（2）X服從正態(tài)分布N（300,502）,由此能求出它的單次最大續(xù)航里程恰在250千米

到400千米之間的概率.

（3）遙控車開始在第0格為必然事件，4=1,第一次擲硬幣出現(xiàn)正面，遙控車移

到第一格，其概率為J，即6=:.遙控車移到第〃（2W〃W19）格的情況是下列兩種，

而且也只有兩種.①遙控車先到第2格，又擲出反面，其概率為：只.2,②遙控車

先到第〃-1格，又擲出正面，其概率為9-從而匕-肥=-，*-比2），進而能

證明當2W〃W19時，數(shù)歹必匕-匕―｝是公比為的等比數(shù)列，由此能求出結果.

【詳解】

（1）x=0.002x50x205+0.004x50x255+0.009x50x305

-+0.004x50x355+0.001x50x405=300（千米）

（2）因為X服從正態(tài)分布N（300,502）

所以P（250<X<400）。0.9544-0,9544~0,6827=0.8186

（3）第一次擲硬幣出現(xiàn)正面，車模從第0格移到第一格，其概率為g,即移動

1113

到第二格有兩類情況+]=.車模移到第〃（3<〃419）格的情況是下列兩種，

而且也只有兩種.

①車模先到第〃一2格，又擲出反面，其概率為:匕_2

②車模先到第”-1格，又擲出正面，其概率為

所以《=11-2，,P?-

.?.當34〃<19時，數(shù)列代-匕―｝是公比為的等比數(shù)列.

?..《=g，6一勺=卜；：,6_鳥=J,經(jīng)驗證n=2也滿足.；?｛匕-匕-｝是公比為彳的

等比數(shù)列.

.*4-卜J'…憶/=13

以上各式相加，得[一[=[一￡|+[-g]+,"+[_￡!

即4-1=

（孔=2,…/9）,經(jīng)檢驗〃=1時也符合.

2

「?獲得優(yōu)惠券的概率%

獲得車模的概率與=g4=g1+[1

1、

2

設參與游戲的6人獲得優(yōu)惠券的有X人，由題可知X?26卷

J7

2「(1Y°1

???X的期望E(X)=6X§=41-

設優(yōu)惠卷總金額為y萬元，；1=6丫

優(yōu)惠券總金額的期望EC）=E（6X）=4合24萬元

【點睛】

關鍵點睛：由于頻率分布直方圖中是沒有樣本數(shù)據(jù)的，平均值等于每個小長方形面

積乘每組橫坐標的中點，然后相加求和，且所有矩形的面積之和為L

變式2-3.某校園格局呈現(xiàn)四排八棟分布，學生從高一入學到高三畢業(yè)需踏著層層臺

階登攀，這其中寓意著學校對學生的期盼與激勵.現(xiàn)假設臺階標有第0,1,2,

50級，有一位同學拋擲一枚均勻質(zhì)地的骰子進行登攀臺階游戲，這位同學開始時位

于第。級，若擲出偶數(shù)點，則向上一步登一級臺階，若擲出奇數(shù)點，則向上一步登

兩級臺階，直到登上第49級（成功）或第50級（失?。螒蚪Y束.設X（〃）為登

攀至第〃級的步數(shù)（1W〃W5O）,這位同學登到第〃級的概率為P,.

（I）求X⑶的分布列與數(shù)學期望；

（II）證明：仍-勺7｝（2<〃<49）為等比數(shù)列.

【答案】（I）分布列見解析，y;（II）證明見解析.

【解析】

【分析】

(I)由題意，X⑶登至第3級的基本事件｛3次偶數(shù)，1次奇數(shù)1次偶數(shù)｝,即x⑶

可能取值為2,3,每次擲奇數(shù)、偶數(shù)的概率都為根據(jù)二項分布，并結合古典概

型求概率，寫出分布列并出求期望；

(II)從第〃-2級登至第〃級的概率為從第1級登至第〃級的概率為5，由條

件概率及概率加法公式得匕=；仍7+匕2)并整理，又4=1/=：即可證等比數(shù)列.

【詳解】

(I)由定義知，X⑶可能取值為2,3.

j_

21

根據(jù)條件概率計算公式得：P(X⑶=2)==

55

8

???X⑶的分布列為

4111

???E(X(3))=2x-+3x-=y.

(II)證明：由題意，匕=1%+%)，則匕-*=-3(射-匕_2)(2"449)；

又i=—

數(shù)歹K只-aT｝(1<"<49)是首項、公比均為-;的等比數(shù)列.

【點睛】

關鍵點點睛：

(1)由登至第〃級的各個基本事件都是獨立試驗，應用二項分布公式求概率，再由

概率加法公式，結合古典概率求登至第”級概率；

(2)理解登至第"級可以從第"-2級或第"-1級一次性完成，結合概率加法公式確

定A，A-%2的關系式.

鞏固練習

練習一與數(shù)列相結合問題

1.某景點上山共有999級臺階，寓意長長久久.甲上臺階時，可以一步上一個臺階，

也可以一步上兩個臺階，若甲每步上一個臺階的概率為g,每步上兩個臺階的概率

為：，為了簡便描述問題，我們約定，甲從0級臺階開始向上走，一步走一個臺階

記1分，一步走兩個臺階記2分，記甲登上第〃個臺階的概率為匕，其中“eN*,且

?<998.

⑴若甲走3步時所得分數(shù)為X,求X的概率分布；

(2)證明：數(shù)列花+「〃｝是等比數(shù)列;

⑶求甲在登山過程中，恰好登上第99級臺階的概率.

【答案】(1)分布列見解析

(2)證明見解析

34(2『

⑶二十日

【解析】

【分析】

(1)考慮甲走3步時，是一步上一個臺階還是一步上兩個臺階，從而寫出X的所有可

能取值，求出每一個值對應的概率，即可得X的分布列；

(2)由題意可得到遞推式以2=(之|+；匕，構造數(shù)列，從而證明結論；

(3)利用(2)的結論，采用累加求和，結合等比數(shù)列的前〃項和公式，求得答案.

(1)

由題意可得X的所有可能取值為3,4,5,6,

尸(X=3)=0V，尸(X=4)=C；x|d

P(X=5)=C；x]|"=。尸—6)=4*,

，X的分布列為:

(3)

由(2)可得&=(&->)+(&一>)+…+(上-4)+4

2.近年來，新能源汽車產(chǎn)業(yè)大規(guī)模發(fā)展，某汽車產(chǎn)品自生產(chǎn)并投人市場以來，受到

多位消費者質(zhì)疑其電池產(chǎn)品質(zhì)量，汽車廠家提供甲、乙兩家第三方檢測機構對產(chǎn)品進

行質(zhì)量檢測，邀請多位車主進行選擇，每位車主只能挑選一家.若選擇甲機構記1分，

若選擇乙機構記2分，每位車主選擇兩個機構的概率相等，且相互獨立.

(1)若參加的車主有3人，記總得分為X,求X的分布列與數(shù)學期望；

(2)若有位車主，記總得分恰好為〃分的概率為｛%｝,求數(shù)列位,｝的通項公

式；

⑶在(2)的條件下，汽車廠商決定總得分為99分或100分時就停止計分，若總得

為99分就選甲機構，總得分為100分就選乙機構，請分析這種方案是否合理.

【答案】(1)分布列答案見解析，數(shù)學期望：

⑶這方案不合理，分析答案見解析.

【解析】

【分析】

(1)由題意可知，隨機變量X的可能取值有3,4,5,6.分別求得隨機變量取每一

值時的概率得其分布列，由數(shù)學期望公式可求得答案；

(2)依題意，總得分恰好為九分時，得不到〃分的情況是先得(〃-1)分，再得,

1I

概率為即有1-4=5〃,7，由此可求得答案;

(3)由(2)求得〃99，"100,比較可得結論.

(1)

解：由題意可知，隨機變量X的可能取值有3,4,5,6.

p(X=3)=I|=gP(X=5)=C|-Ihr

P(X=6)=

?,?隨機變量X的分布列如下表所示:

13319

，E(X)=3x—+4x—+5x—+6x—=—

88882

(2)

解：依題意，總得分恰好為〃分時，得不到〃分的情況是先得(〃-1)分，再得2

分，概率為:q

n-\，

21

a

/.l-a=~n,-\，即見%

n32I-

21211n-1211n-1

又％=p

3662362

(3)

］、98

212_21n"2

解：因為。券〈一,0,00=〉一，“100>"99，

36233-623

???選擇乙機構的概率大于甲機構，這方案不合理.

3.武漢又稱江城，它不僅有深厚的歷史積淀與豐富的民俗文化，還有眾多名勝古跡

與旅游景點，其中黃鶴樓與東湖被稱為武漢的兩張名片.為合理配置旅游資源，現(xiàn)對

某日已游覽黃鶴樓景點的游客進行隨機問卷調(diào)查，若不繼續(xù)游玩東湖記1分，繼續(xù)

游玩東湖記2分，每位游客游玩東湖的概率均為游客是否游玩東湖相互獨立.

（1）若從游客中隨機抽取加人，記總分恰為加分的概率為求數(shù)列｛4｝的前10

項和；

（2）在對所有游客進行隨機問卷調(diào)查過程中，記已調(diào)查過的游客的累計得分恰為〃

分的概率為紇，探討紇與紇-之間的關系，并求數(shù)列｛4｝的通項公式.

【答案】⑴黑；⑵紇=一那+1,紇=尹.3?

【解析】

【分析】

（1）由題意求出4,利用等比數(shù)列求和即可；

（2）根據(jù)概率關系可得紇=-：紇-+1,構造等比數(shù)列求通項公式即可.

【詳解】

（1）總分恰為加分的概率為4=（［，

...數(shù)歹K4｝是首項為公比為3的等比數(shù)列，

貝U其前10項和S10==黑.

1024

2

（2）已調(diào)查過的游客的累計得分恰為〃分的概率為紇，得不到〃分的情況只有先得

"-1分，再得2分，概率為:紇一用=；.

：A-B,=^Bnl,即打=一gqi+l,

.??數(shù)列［紇-幺是首項為-1，公比為的等比數(shù)列，

〔力62

4.某植物學家培養(yǎng)出一種觀賞性植物，會開出紅花或黃花，已知該植物第一代開紅

花和黃花的概率都是從第二代開始，若上一代開紅花，則這一代開紅花的概率

1o3

是:，開黃花的概率是:，若上一代開黃花，則這一代開紅花的概率是g,開黃花的

概率是:2，記第"代開紅花的概率是P",第”代開黃花的概率為縱，

(1)求。2；

(2)試求數(shù)列｛2｝(“€2)的通項公式；

(3)第,(女心會2)代開哪種顏色的花的概率更大.

【答案】(1)必=(；(2)Pn=~pn_l；(3)第〃代開黃花的概率更大.

【解析】

【分析】

13

(1)由。2=§0+/計算；

(2)由關系式瞑=乩+*1-外)可得卜"-"是等比數(shù)列，從而求得P.；

(3)由P,的表達式可得從而%=l-p,N；,從而可得結論.

【詳解】

解(1)第二代開紅花包含兩個互斥事件，即第一代開紅花后第二代也開紅花，第一

代開黃花而第二代開紅花，

故由網(wǎng)=；，得：

1人\37

P2=A--+(I-A)--=—?

(2)由題意可知，第九代開紅花的概率與第〃-1代的開花的情況相關，故有

_1rl、3_43

PnPn-l+Pn-\),~^=~~^Pn-\+

94(9)

貝解。"一歷=-"-一歷｝

上十9191

FHJPi==，

11921938

所以數(shù)列［外-得］是以4為首項，-白為公比的等比數(shù)列.

〔iyJ3o1J

n-\

所以。"一，1

二——XI,所以必=

38

2±r±T%2±i

(3)由(2)+x+=

1938I15)19382

故有當〃eN+時，P"Vg,因此第〃代開黃花的概率更大.

5.有一對夫妻打算購房，對本城市30個樓盤的均價進行了統(tǒng)計，得到如下頻數(shù)分

布表：

均價X（單位：千元）[4,5)[5,6)[6,7)[7,8)[8⑼[910]

頻數(shù)22111041

（1）若同一組中的數(shù)才居用該組區(qū)間的中點值作代表，年樣本平均數(shù)最作為〃的近似

值，用樣本標準差s作為b的估計值，現(xiàn)任取一個樓盤的均價X,假定x?，

求均價恰在8.12千元到9.24千元之間的概率；

（2）經(jīng)過一番比較，這對夫妻選定了一個自己滿意的樓盤，恰巧該樓盤推出了趣味

蹦臺階送憂惠活動，由兩個客戶配合完成該活動，在一個口袋中有大小材質(zhì)均相同

的紅球40個，黑球20個，客戶甲可隨機從口袋中取出一個球，取后放回，若取出

的是紅球，則客戶乙向上蹦兩個臺階，若取出的是黑球，則客戶乙向上蹦一個臺階，

直到客戶乙蹦上第5個臺階（每平方米優(yōu)惠0.3千元）或第6個臺階（每平方米優(yōu)

惠3千元）時（活動開始時的位置記為第0個臺階），游戲結束.

①設客戶乙站到第”（OWwV6,〃eN）個臺階的概率為匕，證明：當時，數(shù)列

花-晶｝是等比數(shù)列;

②若不參加蹦臺階活動，則直接每平方米優(yōu)惠1.4千元，為了獲得更大的優(yōu)惠幅度,

請問該對夫妻是否應參與蹦臺階活動.

參考數(shù)據(jù)：取<^=1.12,[g]=0.13.若X?則尸（〃一b<jW〃+b）=0.68,

P"-2b<&W〃+2。卜0.95,P（/z-3cr<^<〃+3cr）a0.997.

【答案】（1）0.135；（2）①證明見解析；②應參與.

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)頻數(shù)分布表計算均值與方差，得X?N（7,L25）,然后由對稱性和特定區(qū)間

的概率得出結論；

（2）①由已知此=1,耳=；,而“22時，即客戶到第"人臺階分為兩種情況：一是

從第1個臺階跳一級過來，另一個是從第〃-2個臺階跳2級過來，由此可得月遞

推關系，變形后可證題設結論;

②利用①求得P,,，計算參加活動的期望值。-38+3及與1.4比較可得.

【詳解】

x=4.5x—+5.5x—+6.5xH7.5x—+8.5x—+9.5x—=7

(1)+

3030303030

77iiin

/=(4.5—7>x—+(5.5—7yx—+(6.5-7)2x—+(7.5-7)2x—

30303030

41

+(8.5-7)29x—+(9.5-7)92x—=1.25.

3030

因為4=%=7,S2=1.25,(J=s=1.12,所以X?N(7,L25).

0.95-0.68

所以P(8.12vXW9.24)=Q13

2

（2）①證明：客戶開始游戲時在第0個臺階為必然事件，故4=1,客戶甲第一次

摸得黑球，客戶乙邁上第一個臺階，其概率為，故

客戶乙邁入第n（2<"W5）個臺階的情況為下列兩種，而且也只有兩種.

2

一是客戶乙先到第〃-2格，客戶甲又摸出紅球，其概率為§匕2；

二是客戶乙先到第1格，客戶甲又摸出黑球，其概率為;

122

所以匕=§匕―+§Pn2，則P?~匕T=一§（尺T一匕一2）.

所以當1VK5時，數(shù)列憶-加｝是首項為片-E=J,公比為的等比數(shù)歹U.

2

②由①知，當時，P"一

3

所以匕-用=仍-4）+（2-幻+…+（只-匕-J

23

22222

+++-??+1-

33353

整理得匕=

且《亭=：|[|[=。452.

設這對夫妻參與游戲獲得優(yōu)惠的期望為每平方米丫千元,

貝|J￡(Y)=034+3e=0.3x0.548+3x0.452=1.5204(千元).

因為1.5204>1.4,所以參與游戲比較劃算.

6.根據(jù)各方達成的共識，軍運會于2019年10月18日至27日在武漢舉行，賽期

10天，共設置射擊、游泳、田徑、籃球等27個大項、329個小項.其中，空軍五項、

軍事五項、海軍五項、定向越野和跳傘5個項