空間直線、平面的垂直 2025年高考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)專項復(fù)習(xí)

第七章立體幾何與空間向量2025年高考數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)第四節(jié)空間直線、平面的垂直目錄線線角壹直線與平面垂直的判定與性質(zhì)貳線面角叁二面角肆平面與平面垂直的判定與性質(zhì)伍線線角壹教材知識萃取空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行,那么這兩個角相等或互補.提醒

教材素材變式

D

方法技巧求異面直線所成角的步驟（1）構(gòu)造：根據(jù)異面直線的定義，用平移法（常利用三角形中位線、平行四邊形的性質(zhì)）作出異面直線所成的角.（2）證明：證明作出的角就是要求的角.（3）計算：求角度（常利用三角形的有關(guān)知識）.（4）結(jié)論：若求出的角是銳角或直角，則它就是所求異面直線所成的角；若求出的角是鈍角，則它的補角就是所求異面直線所成的角.

C

D

C

C

直線與平面垂直的判定與性質(zhì)貳教材知識萃取

任意一條教材知識萃?。?）直線與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條②______直線垂直，那么該直線與此平面垂直.

性質(zhì)定理垂直于同一個平面的兩條直線④______.

相交

平行

教材知識萃取規(guī)律總結(jié)垂直關(guān)系中常用的6個結(jié)論（1）若一條直線垂直于一個平面，則它垂直于這個平面內(nèi)的任何一條直線（證明線線垂直的一個重要方法）．（2）若兩條平行線中的一條直線垂直于一個平面，則另一條直線也垂直于這個平面．（3）若一條直線垂直于兩平行平面中的一個平面，則這條直線與另一個平面也垂直.教材知識萃?。?）兩個相交平面同時垂直于第三個平面，它們的交線也垂直于第三個平面．（5）三垂線定理：平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直.（6）三垂線定理的逆定理：平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線在這個平面內(nèi)的射影垂直.教材知識萃取方法技巧1.證明線面垂直的常用方法

教材知識萃取2.證明線線垂直的常用方法（1）利用線面垂直的性質(zhì)證明線線垂直；

（3）平面幾何中常見的垂直，如直徑所對的圓周角為直角，菱形對角線相互垂直等.3.證明線面垂直的關(guān)鍵是證明線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質(zhì)．教材知識萃取三垂線定理:平面內(nèi)的一條直線如果和穿過這個平面的一條斜線在這個平面內(nèi)的射影垂直,那么它也和這條斜線垂直.三垂線定理的逆定理:平面內(nèi)的一條直線如果和穿過這個平面的一條斜線垂直,那么它也和這條斜線在這個平面內(nèi)的射影垂直.結(jié)論拓展教材素材變式

CA.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

ABC

C

線面角叁教材知識萃取

教材素材變式

B

D

A

B

解后反思用幾何法求線面角時，若線面角不易找到，則可以用等體積法求解，此時的目標是求出直線上一點到平面的距離，它的好處是不需要找到此點在平面上的射影，運用本方法時一般需先找到一個對應(yīng)的三棱錐，再轉(zhuǎn)換三棱錐的頂點，根據(jù)等體積法求高.二面角肆教材知識萃取二面角與兩個平面的夾角

半平面教材知識萃取二面角的大小可以用它的平面角來度量,二面角的平面角是多少度,就說這個二面角是多少度.二面角的平面角的取值范圍是⑥______.平面角是直角的二面角叫做直二面角.

教材素材變式

D

BCD

圖1

圖2

圖3二級結(jié)論三垂線定理平面內(nèi)的一條直線如果與穿過這個平面的一條斜線在這個平面上的射影垂直，那么它也與這條斜線垂直.三垂線定理的逆定理:平面內(nèi)的一條直線如果與穿過該平面的一條斜線垂直，那么它也垂直于這條斜線在平面內(nèi)的射影.用定義法作二面角的平面角，經(jīng)常會用到三垂線定理及其逆定理.此時請?zhí)貏e關(guān)注線面垂直或面面垂直的信息，因為若能找到一個半平面內(nèi)的一個點在另一個半平面上的射影，那么借助三垂線定理或其逆定理，構(gòu)造二面角的平面角就非常簡單了.

平面與平面垂直的判定與性質(zhì)伍教材知識萃?。?）平面與平面垂直的定義一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是⑥__________，就說這兩個平面互相垂直.直二面角教材知識萃?。?）平面與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理如果一個平面過另一個平面的⑦_____，那么這兩個平面垂直.

性質(zhì)定理兩個平面垂直，如果一個平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個平面的⑨______，那么這條直線與另一個平面垂直.

垂線交線教材知識萃取方法技巧證明面面垂直的方法（1）利用面面垂直的定義，即判定兩平面所成的二面角為直二面角，將證明面面垂直的問題轉(zhuǎn)化為證明二面角的平面角為直角的問題.

教材知識萃取方法技巧教材素材變式

A

A

圖1圖2圖3圖4方法技巧要證面面垂直，需要在其中一