2020-2021學(xué)年北京市朝陽區(qū)高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

試卷第=page22頁，共=sectionpages44頁2020-2021學(xué)年北京市朝陽區(qū)高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知復(fù)數(shù)(其中i是虛數(shù)單位)，則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A．(1，1) B．(1，-1) C．(-1，1) D．(-1，-1)【答案】B【分析】利用復(fù)數(shù)的除法求得復(fù)數(shù)，然后利用幾何意義求得z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】復(fù)數(shù)，則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是(1，-1)，故選：B.2．如圖、在四棱錐中，底面為矩形，底面，若，，則該四棱錐的體積為（）A．18 B．12 C．9 D．6【答案】D【分析】由棱錐的體積公式計(jì)算即可求解.【詳解】由題意可得：該四棱錐的體積為，故選：D.3．一個(gè)袋子中有大小和質(zhì)地相同的4個(gè)球，其中有2個(gè)紅色球，2個(gè)綠色球，從袋中不放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球，則兩個(gè)球顏色相同的概率是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】記兩個(gè)球顏色相同為事件，先求基本事件的總數(shù)，再計(jì)算事件包含的基本事件的個(gè)數(shù)，由古典概型概率公式即可求解.【詳解】從4個(gè)球中不放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球，基本事件有種，記兩個(gè)球顏色相同為事件，事件包含的基本事件有種，所以兩個(gè)球顏色相同的概率是，故選：B.4．設(shè)是兩個(gè)不同的平面，是平面內(nèi)的一條直線，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，結(jié)合充分條件和必要條件的判定方法，即可求解.【詳解】因?yàn)橹本€是平面內(nèi)的一條直線，且，根據(jù)面面垂直的判定定理，可得，所以充分性成立；反之：直線是平面內(nèi)的一條直線，由，但不一定成立，所以必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.5．在中，，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由正弦定理化邊為角即可求解.【詳解】在中，由正弦定理可得：，因?yàn)?，所以，可得，因?yàn)椋?，故選：C.6．水稻是世界最重要的食作物之一，也是我國60%以上人口的主糧.以袁隆平院士為首的科學(xué)家研制成功的雜交水稻制種技術(shù)在世界上被譽(yù)為中國的“第五大發(fā)明"，育種技術(shù)的突破，雜交水稻的推廣，不僅讓中國人端穩(wěn)飯碗，也為解決世界糧食短缺問題作出了巨大貢獻(xiàn).某農(nóng)場種植的甲、乙兩種水稻在面積相等的兩塊稻田中連續(xù)6年的產(chǎn)量(單位：kg)如下：品種第1年第2年第3年第4年第5年第6年甲900920900850910920乙890960950850860890根據(jù)以上數(shù)據(jù)，下面說法正確的是（）A．甲種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)比乙種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)大B．甲種水稻產(chǎn)量的中位數(shù)比乙種水稻產(chǎn)量的中位數(shù)小C．甲種水稻產(chǎn)量的極差與乙種水稻產(chǎn)量的極差相等D．甲種水稻的產(chǎn)量比乙種水稻的產(chǎn)量穩(wěn)定【答案】D【分析】分別計(jì)算兩種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)、中位數(shù)、極差、方差即可判斷四個(gè)選項(xiàng)的正誤，即可得出正確選項(xiàng).【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：甲種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)：，乙種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)：，所以甲種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)和乙種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)相等，故選項(xiàng)A不正確；對(duì)于選項(xiàng)B：甲種水稻產(chǎn)量分別為：，中位數(shù)為，乙種水稻產(chǎn)量分別為，中位數(shù)為，所以甲種水稻產(chǎn)量的中位數(shù)比乙種水稻產(chǎn)量的中位數(shù)大，故選項(xiàng)B不正確；對(duì)于選項(xiàng)C：甲種水稻產(chǎn)量的極差為：，乙種水稻產(chǎn)量的極差為：，甲種水稻產(chǎn)量的極差與乙種水稻產(chǎn)量的極差不相等，故選項(xiàng)C不正確；對(duì)于選項(xiàng)D：甲種水稻的產(chǎn)量的方差為：乙種水稻的產(chǎn)量的方差為：，甲種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)和乙種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)相等，甲種水稻的產(chǎn)量的方差小于乙種水稻的產(chǎn)量的方差，所以甲種水稻的產(chǎn)量比乙種水稻的產(chǎn)量穩(wěn)定，故選項(xiàng)D正確，故選：D.7．向量在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若，則（）A．3 B． C．-3 D．【答案】D【分析】利用向量減求得，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算性質(zhì)，向量相等即可得出．【詳解】解：根據(jù)向量的減法得,，且，因此，則故選：D．8．某中學(xué)舉辦知識(shí)競賽，共50人參加初試，成績?nèi)缦拢撼煽?分)959085807570656060以下人數(shù)146546789如果有40%的學(xué)生可以參加復(fù)試，則進(jìn)入復(fù)試的分?jǐn)?shù)線可以為（）A．65 B．70 C．75 D．80【答案】C【分析】由題得有20個(gè)學(xué)生可以進(jìn)入復(fù)試，即得解.【詳解】，所以有20個(gè)學(xué)生可以進(jìn)入復(fù)試，由于1+4+6+5+4=20，所以進(jìn)入復(fù)試的分?jǐn)?shù)線可以為75.故選：C9．在棱長為1的正方體中，若點(diǎn)E是線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)M是底面ABCD內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則線段AM的長的最小值為（）A． B． C．1 D．【答案】B【分析】以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，由可得點(diǎn)的軌跡方程，從而由平面知識(shí)即可求出線段AM的長的最小值．【詳解】如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，，所以，由可得，即，所以線段AM的長的最小值為．故選：B．10．已知不共線的平面向量兩兩的夾角相等，且，實(shí)數(shù)，，則的最大值為（）A． B．2 C． D．5【答案】C【分析】根據(jù)向量之間的夾角和模長求解兩兩之間的數(shù)量積，然后把目標(biāo)式平方，結(jié)合的取值可得答案.【詳解】因?yàn)槠矫嫦蛄績蓛傻膴A角相等，所以它們的夾角是；因?yàn)?，所以；因?yàn)?，，所以?dāng)取最大值時(shí)，即時(shí)，所以的最大值為.故選：C.二、填空題11．已知平面向量，，且，則實(shí)數(shù)_______________.【答案】【分析】由向量垂直的坐標(biāo)表示列方程即可求解.【詳解】因?yàn)?，，且，所以，解得：，故答案為?12．若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為_______________.【答案】-2【分析】解不等式組得解.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)為純虛數(shù)所以，所以.故答案為：13．某班有42名學(xué)生，其中選考物理的學(xué)生有21人，選考地理的學(xué)生有14人，選考物理或地理的學(xué)生有28人，從該班任選一名學(xué)生，則該生既選考物理又選考地理的概率為_______________.【答案】【分析】先計(jì)算出該班有既選考物理又選考地理的人數(shù)，再除以班級(jí)總?cè)藬?shù)即可求解【詳解】設(shè)選考物理的學(xué)生為集合，選考地理的同學(xué)為集合，由題意可得：，即，解得：，所以該班有人既選考物理又選考地理，所以從該班任選一名學(xué)生，則該生既選考物理又選考地理的概率為，故答案為：.14．已知的三邊長為連續(xù)的正整數(shù)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①存在滿足條件的三角形，使得三個(gè)內(nèi)角中的最大角等于另外兩個(gè)角的和；②存在滿足條件的三角形，使得三個(gè)內(nèi)角中的最大角大于另外兩個(gè)角的和；③存在滿足條件的三角形，使得三個(gè)內(nèi)角中的最大角等于最小角的2倍；④存在滿足條件的三角形，使得三個(gè)內(nèi)角中的最大角等于最小角的3倍.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是_____________.【答案】①②③【分析】通過實(shí)例，可判定①正確，②正確；設(shè)（其中為大于1的整數(shù)），結(jié)合正弦定理、余弦定理和三角函數(shù)的性質(zhì)，可判定③正確；④不正確，得到答案.【詳解】①中，例如：若，此時(shí)為直角三角形，滿足，所以①正確；②中，例如：若，由余弦定理可得，因?yàn)闉槿切蔚膬?nèi)角，可得，此時(shí)為鈍角三角形，滿足，所以②正確；③中，設(shè)，當(dāng)時(shí)，可設(shè)（其中為大于1的整數(shù)），由正弦定理，可得因?yàn)?，可得，可得，由余弦定理，可得，所以，解得，所以，即存在三邊時(shí)，使得最大角時(shí)最小角的兩倍，所以③正確；④中，由③值且，即，若，可得，可得，整理得，所以，因?yàn)椋?，解得，因?yàn)?，所以不存在三邊為連續(xù)的自然數(shù)的三角形，使得最大角時(shí)最小角的三倍，所以④不正確.故答案為：①②③三、雙空題15．已知一組不全相等的樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10，方差為2，現(xiàn)再加入一個(gè)新數(shù)10，則新樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)____________，方差____________.(填“變大”，“變小”，“不變”)【答案】不變變小【分析】根據(jù)平均數(shù)和方差的計(jì)算公式即可求解.【詳解】設(shè)原來的一組數(shù)據(jù)有個(gè)分別為：，則，方差，加入一個(gè)新數(shù)10后，平均數(shù)為，所以平均數(shù)不變，新的方差為，所以新樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)不變，方差變小，故答案為：不變，變小.16．已知等邊的邊長為2，D為邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為______________，最小值為______________.【答案】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.【詳解】如圖，以所在的直線為軸，以的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，對(duì)稱軸為，所以在區(qū)間單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，最大為，當(dāng)時(shí)，最小為，故答案為：；.四、解答題17．在中，（1）求的值；（2）若，，求的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用余弦定理可求得的值；（2）利用二倍角的正弦公式求出的值，然后利用正弦定理可求得的值.【詳解】（1）因?yàn)樵谥?，，所以，；?）由（1）知，，所以因?yàn)?，所以又因?yàn)?，由正弦定理，可?8．如圖，在正方體中，點(diǎn)分別是棱的中點(diǎn).（1）求證：BD平面AEF；（2）求證：平面；（3）判斷點(diǎn)是否在平面內(nèi)，并說明理由.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）點(diǎn)在平面AEF內(nèi)，理由見解析.【分析】（1）由點(diǎn)分別是棱的中點(diǎn)，證得四邊形BEFD為平行四邊形，得到，結(jié)合線面平行的判定定理，即可證得BD平面；（2）由平面，得到，進(jìn)而證得，結(jié)合線面垂直的判定定理，即可證得平面.（3）取中點(diǎn)G，連接，證得FGDC，進(jìn)而得到AFBG，又由點(diǎn)E，G分別是棱的中點(diǎn)，證得，得到，即可得到結(jié)論.【詳解】（1）因?yàn)樵谡襟w中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱的中點(diǎn)，所以BEDF，且BEDF，所以四邊形BEFD為平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫妫訠D平面.（2）因?yàn)樵谡襟w中，平面，因?yàn)槠矫妫?因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，所以AC⊥BD又由（1）知BDEF，所以，又因?yàn)椋移矫?，所以平?（3）點(diǎn)在平面內(nèi)，理由如下：取中點(diǎn)G，連接，因?yàn)樵谡襟w中，點(diǎn)G，F(xiàn)分別是棱的中點(diǎn)，所以DFCG，且DFCG，所以四邊形DCGF為平行四邊形，所以FGDC，且FGDC，又因?yàn)锳BDC，ABDC，所以ABFG，ABFG，所以四邊形ABGF為平行四邊形，所以AFBG，因?yàn)樵谡襟w中，點(diǎn)E，G分別是棱的中點(diǎn)，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以，故點(diǎn)在平面內(nèi).19．某心理教育測評(píng)研究院為了解某市市民的心理健康狀況，隨機(jī)抽取了n位市民進(jìn)行心理健康問卷調(diào)查，將所得評(píng)分(百分制)按研究院制定的心理測評(píng)評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)整理，得到頻率分布直方圖.已知調(diào)查評(píng)分在[70，80)中的市民有200人心理測評(píng)評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)調(diào)查評(píng)分[0，40)[40，50)[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)[90，100]心理等級(jí)EDCBA（1）求n的值及頻率分布直方圖中t的值；（2）在抽取的心理等級(jí)為D的市民中，按照調(diào)查評(píng)分的分組，分為2層，通過分層隨機(jī)抽樣抽取3人進(jìn)行心理疏導(dǎo).據(jù)以往數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，經(jīng)心理疏導(dǎo)后，調(diào)查評(píng)分在[40，50)的市民的心理等級(jí)轉(zhuǎn)為B的概率為，調(diào)查評(píng)分在[50，60)的市民的心理等級(jí)轉(zhuǎn)為B的概率為，假設(shè)經(jīng)心理疏導(dǎo)后的等級(jí)轉(zhuǎn)化情況相互獨(dú)立，求在抽取的3人中，經(jīng)心理疏導(dǎo)后至少有一人的心理等級(jí)轉(zhuǎn)為B的概率；（3）該心理教育測評(píng)研究院建議該市管理部門設(shè)定預(yù)案：若市民心理健康指數(shù)的平均值不低于0.75，則只需發(fā)放心理指導(dǎo)資料，否則需要舉辦心理健康大講堂.根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)，判斷該市是否需要舉辦心理健康大講堂，并說明理由.(每組的每個(gè)數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替，心理健康指數(shù)=調(diào)查評(píng)分÷100)【答案】（1），t=0.002；（2）；（3）只需發(fā)放心理指導(dǎo)材料，不需要舉辦心理健康大講堂活動(dòng)，理由見解析.【分析】（1）利用公式求n的值，利用矩形的面積和為1求的值；（2）設(shè)事件M=“在抽取的3人中，經(jīng)心理疏導(dǎo)后至少有一人的心理等級(jí)轉(zhuǎn)為B”，利用對(duì)立事件的概率公式求解；（3）利用頻率分布直方圖的平均數(shù)求出平均數(shù)即得解.【詳解】解：(1)由已知條件可得，又因?yàn)槊拷M的小矩形的面職之和為1.所以(0.035+0.025+0.02+0.004+8t)×10=1，解得t=0.002·(2)由(1)知：t=0.002，所以調(diào)查評(píng)分在[40，50)中的人數(shù)是調(diào)查評(píng)分在[50，60)中人數(shù)的，若按分層抽樣抽取3人，則調(diào)查評(píng)分在[40，50)中有1人，在[50，60)中有2人，設(shè)事件M=“在抽取的3人中，經(jīng)心理疏導(dǎo)后至少有一人的心理等級(jí)轉(zhuǎn)為B”.因?yàn)榻?jīng)心理疏導(dǎo)后的等級(jí)轉(zhuǎn)化情況相互獨(dú)立，所以所以故經(jīng)心理疏導(dǎo)后至少有一人的心理等級(jí)轉(zhuǎn)為B的概率為·(3)由頻率分布直方圖可得，45×0.02+55×0.04+65×0.14+75×0.2+85×0.35+95×0.25=80.7.估計(jì)市民心理健康調(diào)查評(píng)分的平均值為80.7，所以市民心理健康指數(shù)平均值為.所以只需發(fā)放心理指導(dǎo)材料，不需要舉辦心理健康大講堂活動(dòng).20．在銳角中，，，、分別是邊、上的點(diǎn).且，再從條件①、條件②、條件③中選擇兩個(gè)能解決下面問題的條件作為已知，并求：條件①：；條件②：；條件③：.（1）的值；（2）的大小；（3）四邊形的面積.【答案】選擇①③或②③：（1）；（2）；（3）.【分析】選條件①③：（1）利用正弦定理可求得的值；（2）利用余弦定理求出，可求得，由此可求得的大?。唬?）求出、的面積，作差可得出四邊形的面積；選條件②③：（1）利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系以及兩角和的正弦公式可求得的值；（2）利用余弦定理求出，可求得，由此可求得的大??；（3）求出、的面積，作差可得出四邊形的面積；【詳解】選條件①③：（1）因?yàn)?，，，又因?yàn)樵谥?，，所以；?）因?yàn)殇J角三角形，由（1）知，所以.在中，因?yàn)?，所以，即，解得，又因?yàn)椋?又因?yàn)?，所以，故；?）因?yàn)?，，由?）知，所以，又因?yàn)?，所?所以四邊形的面積為；選條件②③：（1）因?yàn)?，，為銳角，所以，所以；（2）由（1）及正弦定理得，又因?yàn)?，所以，又?/p>