數(shù)學(xué)課后導(dǎo)練：排序不等式

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課后導(dǎo)練基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1。a,b,c∈R+,則的最小值為(）A。 B。 C。1 D。2解析：不妨設(shè)a≥b≥c>0，則,則≥；≥;兩式相加得≥.答案：A2.y=3sinx+的最大值為()A。40 B.41 C.42 D。43解析:y=3sinx+=3sinx+4|cosx｜≤［32+（4）2］（sin2x+cos2x）=41。故選B.答案:B3。設(shè)a1,a2,a3為1,2，3的一個(gè)排列，則+的最小值為(）A。 B. C。 D。2解析：設(shè)b1,b2,b3是a1,a2，a3的一個(gè)排列，且b1〈b2〈b3,則+≥+=2，故選D。答案：D4.設(shè)a1，a2，a3為正數(shù)a1′，a2′，a3′的某一排列，則++的最小值為__________.解析：不妨設(shè)a1≥a2≥a3，取兩組數(shù)a1,a2,a3和，，,則++=3,于是++≥3。答案:35。試比較1010×1111×1212×1313和1013×1112×1211×1310的大小.解：∵10<11<12<13,且lg10<lg11〈lg12<lg13，應(yīng)用排序不等式得10lg10+11lg11+12lg12+13lg13>13lg10+12lg11+11lg12+10lg13,即lg(1010×1111×1212×1313）〉lg（1013×1112×1211×1310)，即1010×1111×1212×1313>1013×1112×1211×1310(等號不成立）。6。證明，其中a1,a2，a3∈R。證明:由柯西不等式得（a1+a2+a3）2=（a1·1+a2·1+a3·1）2≤（a12+a22+a32）·（12+12+12）=（a12+a22+a32）×3，∴≤a12+a22+a32。7.a,b,c∈R+，求證:aabbcc≥（abc）.證明：不妨設(shè)a≥b≥c〉0，則lga≥lgb≥lgc，則alga+blgb+clgc≥blga+clgb+algc,alga+blgb+clgc≥clga+algb+blgc，則3（alga+blgb+clgc)≥(a+b+c）（lga+lgb+lgc）,即lgaabbcc≥lgabc。則aabbcc≥（abc）.8。a1,a2,a3，a4與b1,b2,b3，b4都是1，2，3，4的一個(gè)排列,則+++的最小值為__________。答案:49。已知a，b，c∈R+，則++的最小值為__________.答案：3綜合運(yùn)用10。設(shè)xi，yi(i=1，2，…,n）是實(shí)數(shù),且x1≥x2≥…≥xn,y1≥y2≥…≥yn，z1，z2,…，zn是y1，y2，…，yn的一個(gè)排列.求證：=.證明:將原不等式展開整理得.∵,∴只需證.而上式左邊為亂序和，右邊為同序和，即由排序不等式得證.11.設(shè)a1,a2，…,an為兩兩各不相同的正整數(shù)，求證：≥。證明：設(shè)b1，b2,…，bn;a1，a2,…,an的從小到大的有序排列即b1≤b2≤…≤bn，因?yàn)閎i是互不相同的正整數(shù),則b1≥1,b2≥2，…,bn≥n。又因?yàn)?〉>>…>，所以由排序不等式得a1++…+(亂序)≥b1++…+（倒序)≥1++…+，即≥成立.拓展探究12。設(shè)a,b，c∈R+,求證：a+b+c≤++≤++。證明:不妨設(shè)a≥b≥c,則≥≥，a2≥b2≥c2〉0.由排序不等式有a2·+b2·+c2·≤++,a2·+b2·+c2·≤++