數(shù)學課后導練：直線與平面的夾角

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精課后導練基礎達標1.直線a與平面α內(nèi)任一條線所成最小的角為θ,a是平面α的斜線，b是平面α內(nèi)與a異面的任意直線，則a與b所成的角（）A.最小值為θ，最大值為π—θB.最小值為θ，最大值為C.最小值為θ,無最大值D.無最小值，最大值為答案：B2。如右圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求直線A1C1與平面ABC1D(）A。30°B。60°C.45°D.90°答案：A3.正方體ABCD—A1B1C1D1中，A1B和面BB1D1A.15°B。45°C.60°D。30°答案：D4。如左下圖,正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是CC1的中點，求BE與平面B1答案：5.如右上圖，S是△ABC所在平面外一點，SA，SB，SC兩兩垂直，判斷△ABC的形狀_________.答案:銳角三角形6。四面體S—ABC中,SA、SB、SC兩兩垂直，∠SBA=45°，∠SBC=60°，M為AB的中點，求：(1）BC與平面SAB所成的角；（2)SC與平面ABC所成角的正弦值。解析:（1)如右圖,∵SA、SB、SC兩兩垂直，∴SC⊥面SAB.∴∠CBS是BC與平面SAB所成的角.∵∠CBS=60°,∴BC與平面SAB所成的角為60°。（2)連結MC，在Rt△ASB中,∠SBA=45°,則SM⊥AB.又SC⊥面SAB,∴SC⊥AB,∴AB⊥面SMC。過S作SO⊥MC于點O,則SO⊥AB,∴SO⊥面ABC,∴∠SCM是SC與平面ABC所成的角.設SB=a，則SC=a，SM=a，在Rt△CSM中,CM=a,∴sin∠SCM=.7.在Rt△ABC中,∠A=90°，AB=3，AC=4，PA是平面ABC的斜線，∠PAB=∠PAC=60°，（1）求PA與平面ABC所成角的大小;（2)PA的長等于多少時，點P在平面ABC上的射影O恰好在BC邊上?解：(1）如右圖，過P作PO⊥平面ABC于O,則∠PAO為PA與平面ABC所成的角，易證AO為∠BAC的平分線,則∠OAB=45°。由公式cosθ=cosθ1·cosθ2可得cos∠PAO==，∴∠PAO=45°.∴PA與平面ABC所成的角為45°.（2）若O∈BC，在△AOB中,BO=，sinB=,由正弦定理可求得AO=.∴PA=f，即PA=時，點P在平面ABC上的射影O恰好在BC邊上。8.如右圖，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，P是側棱CC1試確定m,使得直線AP與平面BDD1B1所成角的正切值為3。解:建立如右圖所示的空間直角坐標系,則A(1，0，0)，B（1,1，0），P（0，1,，m)，C(0，1,0），D(0，0,0），B1（1,1，1),D1(0，0,1）所以=（—1，1，0),=(0，0,1）,=（-1，1，m），=（—1,1，0)，又由·=0，·=0知,為平面BB1D1D的一個法向量。設AP與平面BB1D1D所成的角為θ，則sinθ=cos（—θ）=依題意有,解得m=，故當m=時，直線AP與平面BDD1B1所成角的正切值為32。9.如右圖，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AB=2,AA1=4，E為BC的中點，F(xiàn)為直線CC1上的動點，設C1F當λ=3時，求EF與平面ABCD所成的角。解析：如右圖建立空間直角坐標系，則D(0，0,0)，E（1,2，0)。當λ=3時，F(xiàn)(0，2，1）,=（—1,0，1).設平面ABCD的法向量為n,則n=(0,0，1）。設與n的夾角為θ，則cosθ=∴EF與平面ABCD所成的角為45°.綜合運用10.如下圖所示，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，對角線BD1=8，BD1與側面BC1求：BD1和底面ABCD所成的角。解：正四棱柱AC1中,CC1⊥底面A1C1∴CC1⊥D1C1∵底面是正方形,∴D1C1⊥B1C∴D1C1⊥側面BC1∴D1C1⊥BC1∴∠D1BC1就是BD1與側面BC1所成的角。∴∠D1BC1=30°,∵D1B=8，∴D1C1=4,B1D1==BD。∵D1D⊥底面AC，∴∠D1BD就是BD1與底面AC所成的角?！鱀1BD中，cos∠D1BD=。∴∠D1BD=45°，即BD1和底面ABCD所成的角為45°。11.正三棱柱ABC-A1B1C1底面邊長為a，側棱長為a。（1）建立適當?shù)淖鴺讼?并寫出點A、B、A1、C1的坐標;(2）求AC1與側面ABB1A1所成的角。解：（1)以點A為坐標原點O，以AB所在直線為Oy軸,以AA1所在直線為Oz軸，以經(jīng)過原點且與平面ABB1A1由已知，得A（0，0,0)、B（0,a，0)、A1（0，0，2a）、C1（-a，，a).(2)坐標系如右圖，取A1B1的中點M,于是有M(0,,a），連結AM、MC1，有=(a，0，0)且=(0,a，0），=（0，0,a)。由于·=0，·=0,∴MC1⊥面ABB1A1∴AC1與AM所成的角就是AC1與側面ABB1A1∵=(a，,a)，=(0，,a），∴·=0++2a2=a2.而||==a，|｜==a?！郼os〈,〉=?！嗯c所成的角，即AC1與側面ABB1A1所成的角為30°。12.如下圖，正方體ABCD—A1B1C1D1中，求證：A1C⊥平面C證明:因為ABCD—A1B1C1D1是正方體，所以A1連結AC，則AC是A1C在平面ABCD內(nèi)的射影。又BD⊥AC,故由三垂線定理知BD⊥A1C。又A1B1⊥平面B1BCC1，連結B1C，則B1C是A1C在平面B1BCC1內(nèi)的射影.因為BC1⊥B1C,所以由三垂線定理知BC1⊥A1C因為BD∩BC1=B，所以A1C⊥平面C1BD。拓展研究13.如下圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點。（1)證明PA∥平面EDB；(2）求EB與底面ABCD所成的角為正切值.分析:如下圖所示建立空間直角坐標系，D是坐標原點,設DC=a.（1）證明:連結AC，AC交BD于G,連結EG。依題意得A（a,0，0),P（0,0,a)，E(0，，)。因為底面ABCD是正方形,所以G是此正方形的中心.故點G的坐標為(，,0).所以=(a,0,—a）。=(,0，—）。所以=2.這表明PA∥EG.而EG平面EDB且PA平面EDB，因為PA∥平面DEB.(2)解:依題意得B（a，a，0)，C（0,a,0).取DC的中點F（0,,0),連結EF