第27講 數(shù)列求和問題（學生版） 備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學一輪復習考點幫（天津專用）

PAGE1第27講數(shù)列求和問題（7類核心考點精講精練）1.5年真題考點分布考題示例考點分析2024年天津卷，第19題,15分由遞推數(shù)列研究數(shù)列的有關性質等比數(shù)列通項公式的基本量計算求等比數(shù)列前n項和裂項相消法求前n項和2023年天津卷，第19題,15分等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合應用等差數(shù)列通項公式的基本量計算求等差數(shù)列前n項和寫出等比數(shù)列的通項公式2023年天津卷，第5題,5等比數(shù)列通項公式的基本量計算利用等比數(shù)列的通項公式求數(shù)列中的項2022年天津卷，第18題,15分等差數(shù)列通項公式的基本量計算等比數(shù)列通項公式的基本量計算錯位相減法求和分組(并項)法求和2021年天津卷，第19題,15分等差數(shù)列前n項和的基本量計算由定義判定等比數(shù)列錯位相減法求和數(shù)列不等式恒成立問題2020年天津卷，第19題,15分等差數(shù)列通項公式的基本量計算求等差數(shù)列前n項和等比數(shù)列通項公式的基本量計算分組(并項)法求和2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內容是天津高考卷的必考內容，設題穩(wěn)定，難度較高，分值為15分【備考策略】1.理解、掌握集數(shù)列通項公式的求法，能夠利用證明等差數(shù)列與等比數(shù)列2.能掌握數(shù)列的求和公式3.具備數(shù)形函數(shù)的思想，會借用函數(shù)的特征求解數(shù)列的單調性與最值4.會解數(shù)列的奇偶項求和與公共項等問題?！久}預測】本節(jié)內容是天津高考卷的必考內容，一般給出數(shù)列的遞推公式，求解數(shù)的通項與求和問題。知識講解知識點.數(shù)列求和的幾種常用方法1.公式法直接利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項和公式求和．①等差數(shù)列的前n項和公式：Sn②等比數(shù)列的前n項和公式：S2.分組求和法與并項求和法①分組求和法若一個數(shù)列是由若干個等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，則求和時可用分組求和法，分別求和后相加減．②并項求和法一個數(shù)列的前n項和中，可兩兩結合求解，則稱之為并項求和．形如an＝(－1)nf(n)類型，可采用兩項合并求解．3.錯位相減法如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應項之積構成的，那么這個數(shù)列的前n項和即可用此法來求，如等比數(shù)列的前n項和公式就是用此法推導的．4.裂項相消法把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得其和．常見的裂項技巧：①eq\f(1,nn＋1)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1).②eq\f(1,nn＋2)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋2))).③eq\f(1,2n－12n＋1)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1))).④eq\f(1,\r(n)＋\r(n＋1))＝eq\r(n＋1)－eq\r(n).⑤eq\f(1,nn＋1n＋2)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,nn＋1)－\f(1,n＋1n＋2))).考點一、分組與并項求和法1.（2022·天津·高考真題）設an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列，且(1)求an與b(2)設an的前n項和為Sn，求證：(3)求k=12.（2019·天津·高考真題）設an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列.已知（Ⅰ）求an和b（Ⅱ）設數(shù)列cn滿足c1=1,（i）求數(shù)列a2（ii）求i=11.（24-25高三上·廣西·階段練習）已知函數(shù)fx=lnxA．?20232 B．?2023 C．?1012 2.（24-25高三上·廣東·開學考試）已知數(shù)列an滿足an+1=an+1,an<3,an3,an≥3,記a3.（24-25高三上·湖南長沙·開學考試）已知數(shù)列an的前n項和為Sn=(1)求數(shù)列an(2)設bn=2(3)設cn=bn+n，求數(shù)列4.（24-25高三上·江蘇南京·階段練習）已知an是各項均為正數(shù)，公差不為0的等差數(shù)列，其前n項和為Sn，且(1)求數(shù)列an(2)定義在數(shù)列an中，使log3an+1考點二、錯位相減法1.（2020·全國·高考真題）設{an}是公比不為1的等比數(shù)列，a1為（1）求{a（2）若a1=1，求數(shù)列{n2.（24-25高三上·四川達州·開學考試）已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且(1)求數(shù)列an(2)求數(shù)列nan?2的前n1.（23-24高三下·江蘇南通·階段練習）已知各項均為正數(shù)的數(shù)列an的前n項和為Sn，且a2=3，an(1)求an(2)若bn=an2n，設數(shù)列bn2.（2024·河南周口·模擬預測）記Sn為正項等比數(shù)列an的前n項和，已知S2=3(1)求數(shù)列an(2)設bnan=2n?1，Tn3.（24-25高三上·全國·單元測試）已知數(shù)列an滿足a(1)求an(2)求an的前n項和S4.（24-25高三上·天津·開學考試）設{an}是等比數(shù)列，公比大于0，其前n項和為Sn(n∈N?)，{bn(1)求{an}(2)求k=1考點三、裂項相消法1.（2021·浙江·高考真題）已知數(shù)列an滿足a1=1,anA．32<S100<3 B．3<S2.（2022·全國·高考真題）記Sn為數(shù)列an的前n項和，已知a1(1)求an(2)證明：1a1.（24-25高三·上?！ふn堂例題）在2?xn的展開式中，若x2的系數(shù)為an2.（24-25高三上·湖南長沙·開學考試）若數(shù)列an的通項公式為an=A．12 B．1112 C．10113.（24-25高三上·江蘇南京·階段練習）記遞增的等差數(shù)列an的前n項和為Sn，已知S5(1)求an和S(2)設bn=5anan4.（24-25高三上·江蘇無錫·開學考試）已知數(shù)列an的前n項和為Sn，S3(1)求證：Sn(2)求數(shù)列an(3)若bn=log5an4考點四、倒序相加法1.（24-25高三上·廣東·開學考試）若fx=x?13+2x?1?lnx2?x+2A．76 B．38 C．19 D．02.（2024高三·上?！ｎ}練習）已知函數(shù)f(x)=21+x2A．2020 B．20202 C．2 D．1.（2024·四川成都·模擬預測）已知f(x)=A．-8088 B．-8090 C．-8092 D．-80942.（23-24高三上·重慶沙坪壩·階段練習）已知an為正項等比數(shù)列，且a1012=1，若函數(shù)fA．2023 B．2024 C．20232 3.（2023·全國·模擬預測）對于三次函數(shù)fx=ax3+bx2+cx+da≠0給出定義：設f'x是函數(shù)yA．2021 B．2022 C．2023 D．20244.（2024·湖南衡陽·模擬預測）數(shù)列的綜合求和方法有：錯位相減法，裂項相消法，分組求和法及倒序相加法.在組合數(shù)的計算中有如下性質：Cnr=Cnn考點五、奇偶項求和法1.（23-24高三上·廣東·階段練習）數(shù)列{an}滿足an2.（2024·天津·高考真題）已知數(shù)列an是公比大于0的等比數(shù)列．其前n項和為Sn．若(1)求數(shù)列an前n項和S(2)設bn=k（?。┊攌≥2,n=（ⅱ）求i=11.（2019·天津·高考真題）設an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列，公比大于0，已知a1=b（Ⅰ）求an和b（Ⅱ）設數(shù)列cn滿足cn=2.（23-24高三上·重慶南岸·階段練習）設數(shù)列an的前n項和為Sn，已知(1)求an(2)設bn=an,n為奇數(shù)3.（2024·重慶·一模）已知首項為正數(shù)的等差數(shù)列an的公差為2，前n項和為Sn，滿足(1)求數(shù)列an(2)令bn=4cosnπ?n+14.（2024·海南海口·模擬預測）已知函數(shù)y=x是高斯函數(shù)，其中x表示不超過x的最大整數(shù)，如[0.8]=0，[1.5]=1.若數(shù)列an滿足a1=2(1)求數(shù)列an(2)求數(shù)列bn的前2024考點六、數(shù)列公共項問題1.（21-22高三上·內蒙古呼和浩特·階段練習）已知an是等比數(shù)列，公比大于1，且a2+a4=20，a3=8.記bm為a2.（2024高三·江蘇·專題練習）設等差數(shù)列an的前n項和為Sn，且a5=17，S4=2a2+22.則數(shù)列an的通項公式為；在任意相鄰兩項ak和a1.（2024·湖北襄陽·二模）已知等差數(shù)列an和等比數(shù)列bn滿足a1=5，b1=2，a2=2b2+1，a3=b3+5.數(shù)列an和bn中的所有項分別構成集合2.（2023·山東·一模）已知正項數(shù)列an的前n項和為Sn，且a1(1)求Sn(2)在數(shù)列an的每相鄰兩項ak、ak+1之間依次插入a1、a2、?、ak，得到數(shù)列bn:a1、a1、a2、a1、a2、a3、3.（22-23高三上·湖南衡陽·期中）已知Sn為數(shù)列an的前n項和，a2=5，Sn+1=Sn(1)求數(shù)列an，b(2)數(shù)列an和bn的所有項分別構成集合A，B，將A∪B的元素按從小到大依次排列構成一個新數(shù)列4.（2024·天津河西·模擬預測）已知等比數(shù)列an的前n項和為Sn，且(1)求數(shù)列an(2)在an與an+1之間插入n個數(shù)，使這n（?。┣髷?shù)列dn的通項公式及k（ⅱ）在數(shù)列dn中是否存在3項d考點七、數(shù)列增減項問題1.（2022·安徽·模擬預測）已知數(shù)列an，bn的通項公式分別為an=2n，bn=2n，現(xiàn)從數(shù)列aA．23804 B．23946 C．24100 D．246122.（23-24高三上·陜西西安·期中）已知數(shù)列an的前n項和Sn=n2+n，將數(shù)列an與數(shù)列2n?1的公共項從小到大排列得到數(shù)列A．5 B．6 C．7 D．81.（23-24高三上·江西·期中）在等差數(shù)列an中，a1=1，a1,a2,a5成公比不為1的等比數(shù)列，Sn是aA．1 B．10101011 C．10112023 2.（2023·江西南昌·三模）已知n∈N?，將數(shù)列{2n?1}與數(shù)列nA．919 B．1021 C．11233.（22-23高三上·河南焦作·期中）已知數(shù)列an的前n項和Sn=n2+n，將數(shù)列an與數(shù)列2n?1的公共項從小到大排列得到數(shù)列bnA．5 B．6 C．7 D．84.（2023·甘肅·二模）我國古代數(shù)學名著《孫子算經(jīng)》卷下的第26題是：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何？”此題所表達的數(shù)學涵義是：一個正整數(shù)，被3除余2，被5除余3，被7除余2，這個正整數(shù)是多少？這就是舉世聞名的“中國剩余定理”．若分別將所有被3除余2的正整數(shù)和所有被7除余2的正整數(shù)按從小到大的順序組成數(shù)列an和bn，并依次取出數(shù)列an和bn的公共項組成數(shù)列cn，則cn=；若數(shù)列dn滿足dn=1．（2023·吉林長春·一模）已知數(shù)列an，a1=2，a2=0A．15 B．30 C．60 D．1202．（23-24高三上·天津河東·期中）設等差數(shù)列an的前n項和為Sn，數(shù)列bn的前n和為Tn，已知a5=11，S10=120，A．9 B．8 C．7 D．63．（23-24高三上·天津河東·期中）已知數(shù)列an滿足a1=1，a2=2，an+24．（23-24高三上·山東·階段練習）已知數(shù)列an是公差不為零的等差數(shù)列，滿足a1=1，a4+a5=a(1)求數(shù)列an和b(2)在b1和b2之間插入1個數(shù)c11，使b1，c11，b2成等差數(shù)列；在b2和b3之間插入2個數(shù)c21，c22，使b2，c21，c22，b3成等差數(shù)列；…；在bn和bn+1之間插入n（ⅰ）求cnk（ⅱ）求c115．（23-24高三上·天津武清·開學考試）已知等比數(shù)列an的首項為1，公比為q，a4，a3(1)求公比q的值；(2)當公比q<0時，求數(shù)列nan6．（22-23高三上·天津河西·期末）已知數(shù)列an是公比q>1的等比數(shù)列，前三項和為13，且a1，a2+2(1)求an和b(2)設cn=an+1b(3)求k=12n1．（2024·天津河西·二模）已知數(shù)列an的首項a1=12，且滿足an+1(1)證明數(shù)列1nan(2)當n≥2時，16an(3)在數(shù)列bn中，b1=2，bnb2．（2024·天津和平·二模）已知Sn為等差數(shù)列an的前n項和，S4(1)若Tn為數(shù)列Snn(2)等差數(shù)列bn滿足an=bn（i）求數(shù)列bnn∈（ii）求k=13．（23-24高三下·天津·階段練習）已知數(shù)列an是等差數(shù)列，a2+a5=16，a5(1)求數(shù)列an和b(2)若集合M=n∈(3)設數(shù)列cn滿足bn=bn+1,4．（2024·天津·一模）已知數(shù)列an的前n項和為Sn，a1=1，Sn+1=Sn+a(1)求an和b(2)若cn=an+2bn(3)設dn=?1n?an5．（2024·天津紅橋·一模）已知Sn為數(shù)列an的前n項和，且滿足Sn=2a(1)求數(shù)列an(2)設bn=(?1)n+16．（2024·天津河西·一模）已知各項均為正數(shù)的數(shù)列an的前n項和為Sn，且滿足2Sn=an(1)求數(shù)列an和b(2)求證：Sn(3)求i=17．（23-24高三上·天津·期末）已知公差為d的等差數(shù)列an和公比q>0的等比數(shù)列bn中，a(1)求數(shù)列an和b(2)求i=1(3)若在數(shù)列an任意相鄰兩項an,an+1之間插入一個實數(shù)cn，從而構成一個新的數(shù)列dn．若實數(shù)cn1